【七年级下册数学】平行线中的拐点模型之铅笔头模型（解析版）

专题02平行线中的拐点模型之铅笔头模型

平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟

悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳

理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，

这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。

模型2：铅笔头模型

图1图2图3

如用1,①已知：AM//BN,结论：Nl+N2+N3=360。；②已知：Zl+Z2+Z3=360°,结论：AM//BN.

如图2,已知：AM//BN,结论：Zl+Z2+Z3+Z4=540°

如图3,己知:AM//BN,结论：N1+N2+...+N”（〃-1）180°.

【模型证明】在图1中，过尸作4必的平行线。0,

，岸隹

YAM//BN,：.PQ//BN,,N1+N/PQ=180°,N3+N5尸。=180°,，Nl+/2+N3=360‘；

在身2中，过Pi作出必的平行线PC，过点02作力M的平行线生0，

■:AM//BN,：-AM//P\C//P2D//BN.

.\Z1+ZJPIC=180°,ZP2PIC+ZPIP2Z)=180O,2802。+/4=180°,/.Zl+Z2+Z3+Z4=540°；

在到3中，过各角的顶点依次作48的平行线，

根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：Zl+Z2+Z3+-+Z/?=(/?-1)180°.

例1.（2023上•广东广州•八年级校考期中）如图，已知Zl=109°,Z2=120%则尸。的度

数是（）

A.39°B.48°C.49°D.60°

【答案】C

【详解】本题考查平行线的判定利性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键.

VAB//CD,AFG||AB||CD,AZ1+=180°,Z2+ZCFG=180°,

.,.ZZ4FC=ZJFG4-ZCFG=180O-Z2+180O-Z1=360O-109O-120O=I31O,

.•・zcre=180°-ZAFC=180o-131°=49°,故选C.

例2.（2023下•绵阳市•七年级校考期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架,

其主要作用是动力传输.如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已处AB/CD,CG//EF,

Z^G=150°,ZJGC=80°,则/的度数为（）

D.140°

【答案】C

【分析】过点尸作尸A/〃。，则〃/7M,再根据平行线的性质可以求出NM"、DEFA,进而可

求出ZEFM，再根据平行线的性质即可求得/QE产.

【详解】解：如图，过热F悍FM"CD-:AB〃CD、：.AB/iCD〃FM、

CED

£DEF+Z.EFM=180°,Z.MFA+4BAG=l80°,NMFA=180°-/BAG=180°-!50°=30°.

•/CG//EF,ZEFA=ZAGC=80°./.ZEFM=NEFA-NMFA=80°-30°=50°.

/.ZDEF=180°ZEFA/=180°50°=130°.故选；C.

【点睛】本题考查平行线的性质，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解题关键.

例3.（2023下•辽宁鞍山•七年级统考期末）如图，已知AB〃CD〃EF,下列结论正确的是（）

A.ZRAC=ZDCF.R.ZRAC=ACEF

C.ZBAC+ZJC£=180°D.ZBAC+ZACE^ZCEF=360°

【答案】D

【分析】根据平行线的性质逐项判断即可.

【详解】解：A.由48〃。。〃所无法得出/切C=/OCE,错误；

B.由〃即无法得出/A4C=NCM,错误；

C.VAB//CD,/.ZBJC+Z/1CD=180°,,二N历IC•十N/1CE>180。，错误；

D.VAB//CD//EF,ZZ?JC+ZJCD=180o,ZDCE+ZCEF=180°,

ZBAC+AACD+Z.DCE+ACEF=ZBAC+ZACE+ZCEF=360°,正确；故选：D.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.

例4.（2023春•新疆•七年级校考阶段练习）如图，如果/B〃CD,那么N8+N尸+NE+NO=—。.

【分析】过点E作EW〃CO,过点、F作FN〃CD,再根据两直线平:行，同旁内角互补即可作答.

【详解】过点£作用0〃8,过点后作“N〃CO,如图，

VA8//CD,EM//CD,FN//CD,:.AB〃FN、EM//FN,

；・NB+NBFN=180°,NFEM+NEFN=180\Z£)+ZDAM=180°,

•J乙DEF=々DEM+/FEM,/BFE=/BFN+/EFN,

:・/B+NBFE+/DEF+ND=NB+/BFN+NFEM+NEFN+ND+/DEM=54N,故答案为；540.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补.构造辅助线E例〃8,FN//CD

是解答本题的关键.

例5.（2023下•湖北武汉•七年级期末）如图，AB//EF,/ABP="BC,ZEFP=^ZEFC,己知

44

ZFCD=60°,则/P的度数为.

【答案】60。/60度

【分析】根据平角定义可求出/尸€2的度数，如图所示，过点。作CM〃/可求出

ZABC+ZFCB+ZEFC=360°,由此可:求N/8C+NE尸C=240。ZABP=-ZABC,ZEFP=-ZEFC,

44

可求出48P+NE/乎的度数，女「图所示，过点、P作PN力AB,可得/BPF=/ABP+NEFP,由此即可求

解.

【详解】解：VZFCD+ZFCB=180°,NFC。=60。，AZFCB=\20°,

如组所示，过点C作CW〃力8,•・・力8〃£77,/.AB//CM//EF,

：.ZABC+ZBCM=]S00,NMC尸+NEFC=18()。，/BCMtZMCF=NFCB,

・•・/ABC+NFCB+/EFC=360°,

•・•AFCB=120°,J.NABC+ZEFC=360-ZFCB=360。-120°=240°,

・・•Z.ABP=-4BC,/EFP=-NEFC,

44

••・N48P+NEFP=L(N48C+NER7)=,X2400=60。，如图所示，过点P作PN//AB,

44

VAB//EF,/.AB//PN//EF,：・&BP=NBPN,NEFP=NFPN,

:.NABP+/EFP=NBPN+/FPN=NBPF=60。，故答案为：60°.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键.

例6.（2023卜•浙江杭州•七年级校联考阶段练习）如图所小，ABHCDtZ3=|zi,Z4=jz2,卜列各

式：①N1+N2=NE②N1+N2+N3+N4=NF③N3+N4+/尸=360°④5NE+2//=720°

A.①②B.①③C.②③D.①④

【答案】D

【分析】过点E作点八作尸N||”，根据平行公理得EM||四||力41|CQ,根据平行线的性质

逐一计算解题即可.

【详解】解：如图，过点E作EMII48,•••力4〃。。，・••屈W||48||CO,

:.ZA=4BEM,Z2=Z.DEM,:.A+N2=NBEM+NDEM=NBED,故①正确；

如绍，过点尸作FNII/8,・.・/B〃C。，・・・BV|M8||CO,

；・N4BF+NBFN=180。,NCDF+NDFN='80。,

£ABF+^BFN+ZCDF+ADFN=360°,G[JZ1+Z2+Z3+Z4+ZBFD=360°,故②不正确;

3322

又•・•N3=?Nl,N4=巳N2,A-Z3+-Z4+Z3+Z4+NBFD=360°,

2233

gp|z3+|z4+Z5FD=360°,故③不正确：

V-Z3+-Z4+Z5FP=360°,/.ABFD=360°--Z3--Z4,

3333

22

•・•N1+N2=N6EW十NOEA/=N3ED,/.NBED=§/3+§N4,

5乙BED+2ZBFD=sf2Z3+2Z4>|+2f360；-5Z3+5Z4I=720°,

133yll33）

故④正确：.••正确的为①④，故选D.

【点睛】本题考查平行线的性质，能作辅助线构造平行线转化角是解题的关键.

例7.（2023下•河北石家庄•七年级统考期末）下列各图中的屈4与M4”平行.

图1中的幺+/4=180。,

图2中的"+”=360P,

图3中的幺+N4+N4+//=540°,

图4中的N4+N4+N4+N4+N4=。，…

据比推测，图10中的N4+N4+N4+…+/4。+乙%=

【答案】72001800°

【分析】由特殊情况发现规律，即可得答案.

【详解】解：图1中的幺+“=(2-l)xl80°=180°,

图2的N4+N4+=(3-1)*130°=360°,

图3中的N4+42+N4+"=i4-l)xl80°=540°,

图4中的幺+N4+43+N4+必=(5-1)X180°=720°,…

图10中的N4+N4+41…+乙K+/4=(11-1卜180。=1800。.故答案为：720°,1800°.

【点睛】本题考查平行线的性质，规律型：图形的变化类，关键是由特殊情况总结一般规律.

例8.（2023下♦河南安阳•七年级统考期末）【学习新知】

射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等.如图1，48是

平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为N1,反射光线与水平镜面的夹角为N2,则/1=N2.

⑴【初步应用】生活中我们可以运用“激光〃和两块相交的平面镜进行测距.如图2当一束"激光”力a射到

平如镜48上，被平面镜45反射到平曲镜8c上，乂被平面镜8c反射后得到反射光线U石，回答下列问

题：

①当DOJ/EO】,（即/1=30。）时，求NQO/的度数；

②当D4=90°时，任何射到平面镜力4上的光线。Q经过平面镜力4和BC的两次反射后，入射光线与

反射光线QE总是平行的.请你根据所学知识及新知说明理由.

（提示：三角形的内角和等于180。）

（2）【拓展探究】如图3,有三块平面镜48,BC,CD,入射光线EQ经过三次反射，得到反射光线已

知N1=N6=35。，若要使召厂，请直接写出”，的度数

【分析】（1）①由4=30。可求/。。。2=120。，再根据已知的平行条件可得NQOa+NEQq=180。，从而

求解；②由的度数求出N2+N3=90。，再根据N1=N2,Z3=Z4,可求出/。。必+/股。=180。，

根据平行线的判定和性质可得；（2）过点。2作。2〃。七，根据平行公理推论证明。夕〃。,，根据平行线

的性质，找出角与角之间的关系，求出NqaM=7T,=70°,进而可得/3=/4=20。，在W

由三角形内角和为180。,求出4=125。.

【详解】（1）解：（①・・・/1=/2=30。，.../。。。2=180°-3伊-30P=120P.

9

又DO.//EO2,NO0?E=180°-NDOQl60.

②由题意知N1=N2,/3=/4.VD5=90°,，N2+N3=90。，/.Zl+Z4=90°,

ZDO0,+NOQ?E=1800-Zl-Z2+180°-Z3-Z4=l80°,DO1〃O〉E.

（2）如图，过点。2作。2河〃。万，/£。。2+/。°2〃=180。

o

AZEOia+Z(91(92A7=180.VEOX//O.F,AO2M//O.F,

VZ1=35°=Z2,I./EQQ=180P-Nl-N2=U0°,AOflM=\W-AEOfl.=7(T.

同理可得NQqA/-7。。，/.Z3+Z4-1800-ZO}O2M-ZOyO2M-40°.

又，・/3=/4,/.Z3=20°,Z5=180°-Z2-Z3=125°.故答案为；125°.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，找出角与

角之间的关系.

例9.（2023下•河南平顶山•七年级统考期中）我们知道，两条平行线被第三条直线所截，可以得到一些相

等的角或者互补的角，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线〃可以起到将直线的位置关系转化为角的

数量关系的作用.

图1图2图3

问题初探：（1）如图1，AB//CD,用等式表示NB,NBED,之间的数量关系.

分析：过点七作£必〃力8,则有=因为AB〃CD,所以所以NQ=NQEM,

从而可以得到NR/BED,NO之间的数量关系.

请你直接写出/BED,N。之间的数量关系.

类比再探：（2）如图2,AB//CD,用等式表示N8,ABED,ZD之间的数量关系，并说明理由.

拓展应用：（3）利用上面（1）、（2）得出的结论完成下题：

已知，如图3,AB〃CD,/力EE与NCDE两个角的角平分线相交于点尸.

①若NE=60。，求//的度数.

②君/£的度数用x表示，/厂的度数用N表示，则>与x的之间的关系式为.

【答案】（1）4ED=/B+ZD；（2）360°；（3）①150。；②y=180°—gx

【分析】（1）根据平行线的性质及平行于同一条直线的两条直线互相平行解答即可；

（2）根据平行线的性质及平行于同一条直线的两条直线互相平行解答即可；

（3）①根据平行线的性质及平行于同一条直线的两条直线互相平行/48E+NCDE=30（F,再根据角平分

线的定义解答即可；②根据平行线的性质及平行于同一条直线的两条直线互相平行

/ABE+NCDE=360°-x,再根据角平分线的定义解答即可.

【详解】解：过点、E作EM〃/iB,：.NB=NBEM,

VAB//CD,JEM//CD,：.NO=4DEM,

,//BED=/DEM+NBEM,/.4BED=NB+/D；

（2）/8+/4£。+/。=360°,理由如下：过点、E作EN〃AB,；.NB+NBEN=180。,

VAB//CD,：.CD//EN,D+NDEN=180°,：.ZB+ZBED+ZD=360°.

AB

AB

(3)过点£作£〃〃48,过点少作"G〃川？，

EH//AB,FG〃AR.：./RFH+/ARE=]^0°,/CDE+/HED=1RO"

・•・ZBEH+NABE+NCDE+ZHED=360°,

乙4BE+Z-CDE+/BEH+Z.HED=360°,Z.4ABE+ZCDE+/BED=360°,

•・•ABED=60°,・••ZABE+/CDE=360°一60°=300°,

•；8尸平分/48七,DF平分乙CDE,:・/ABF=；/ABE,/CDF=g/CDE,

ZF=4ABF+ZCDF=-/ABE+-/CDE=-x300°=150°,

222

@VEH//AB,EG//AB,：.NBEH+/ABE=180。,NCDE+NHED=180°,

・•・ZBEH+ZABE+ZCDE+NHED=360°,

/ABE+NCDE+4BEH+NHED=360°,，/ABE+ZCDE+/BED=360°,

,：4BED=x,AAABE+ZCDE=36(F-x,〈BF平分/4BE,DF平分乙CDE,

:.NABF=L/ABE,ZCDF=-ZCDE,

22

NF=NABF+/CDF=-/ABE+-ACDE=-x(360°-,r)=180°--x,g|Jy=180°--x.

222v722

【点睛】本题考查了平行线的性黄，平行于同一条直线的两条直线互相平行，角平分线的定义，掌握平行

线的性质是解题的关键.

课后专项训练

1.（2023下•山西•七年级统考阶段练习）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门II的“曲臂直杆道闸”，并

抽象出如图所示的模型，已知川5垂直于水平地面力£.当车牌被自动识别后，曲臂直杆道间的8C段绕点

B缓慢向上旋转,C。段则一直保持水平状态上升（即C。与力£始终平行），在该过程中//18C+N4C。始

终等于（）

CD

A.180°B.250°C.270°D.360°

【答案】C

【分析】过点8作8G〃4E,利用平行线的性质可得/川E+48G=180。,ZC+ZCBG=180°,从而可得

/64七+/48。+/8。=360。，然后根据垂直定义可得N84E=903最后进行计算即可解答.

【详解】解：过点8作6G〃/1E,/.Z^E+ZJ5G=180°,

NBAE+ZABG+ZCBG+ZC=360"/.NBAE+ZABC+ZBCD=360°,

VBA1AE,.../B4E=90°,ZABC+ZBCD=3600-ZBAE=2705,故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质的常见模型是解题的关键.

2.（2023上•四川绵阳•八年级统考开学考试）如图，一束光线/4先后经平面镜。“，ON反射后，当

NW5M=35。时，NOC/V的度数为（）

【答案】A

【分析】根据入射角等于反射角以及“两直线平行，同旁内角互补”解答即可.

【详解】解：VZJ5A/=35°,/4BM=NOBC,；・NOBC=35。,

・•・NABC=180°-N/iBM-NOBC=180°-35°-35°=110°,

，：CD〃AB,J//i4C+/BCZ)=180°,A^BCD=180°-ZABC=70°,

VZHCO=ZDCN,N8CO+N8co+N〃C7V=18。，，N"CN=g（l8（尸-NACO）=55°,故选：A.

【点睛】此题考查了平行线的性质，入射角等于反射角等知识，熟记"两直线平行，同旁内角互补”是解题

的关键.

3.（2023•山东泰安•统考中考真题）如图，直线I/k,/1=30。，则N2+N3=（）

A.150°B.180°C.210°D.240°

【答案】C

【分析】根据题意作直线/平行于直线力和以再根据平行线的性质求解即可.

【详解】解：作直线/平行于直线力和〃.

•••////,///2,/.Zl=Z4=30°,Z3+Z5=180°.

•••/2=N4+N5，.•.N2iN3=N4i/5iN3=30+180'=210".故选C.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直.线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等是解题关键.

4.（2023下“Il东烟台•七年级统考期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使4=160。，

AB1BC,则N2的度数为（）

C

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】B

【分析】过点8作8E〃力。，然后根据两直线平行，同旁内角互补得出N1+乙4BE+NC8f+N2=360。,

再解答即可.

【详解】解；过，点，作・•・NJ8E+21=360。

VCF//AD,：.CF//RF//AD.：.ZC/?/?4-/2=360°

・•・Z1+/ABE+NCBE+Z2=360°,:.Zl+ZABC+N2=360°,

VAB1BC：.ZABC=90°VZ1=160°,；・N2的度数为110。.故选：B.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，加辅助线，然后利用平行线的性质求解是解此题的关键.

5.（2023下•浙江温州•七年级校联考期中）如图，已知直线/出〃CO,点”为直线上一点，G为射线BD

上一点，若NCDH=；NHDG,4EBF[/GBE,HD交BE于点E,则NE的度数为（）

A.40°B.45°D.60°

【答案】B

【分析】设NSH=x，/EBF=y,得到N〃QG=3x,NG8£=3y,根据平行线的性质得到

ZABD=ZCDG=4xf求得x+y=45。，根据三角形的内角和即可得到结论.

【详解】解：•；NCDH=；ZHDG,4EBF=；4GBE,

设NCQH=x,/EBF=y,"HDG=3x,NGBE=3y,

-AB//CD,:.NABD=NCDG=4x,

•//ABD+ADBE+AEBF=180°,4x+3y+y=180。，/.x+^=45°,

•:乙BDE=4HDG=3x,/.Zf=180°-3x-3y=180°-3（x+j）=45°,故选：B.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和，平角的定义是解题的关键.

6.（2022上•辽宁鞍山•八年级统考期中）如图，已知AB//CD,BE平分/ABC,DE平分ZADC,44）=80。,

N8c则的度数为.（用含〃的式子表示）

B

【答案】40。+；〃。

【分析】首先过点E作瓦'〃48,由平行线的传递性得力8〃CD〃以L再根据两直线平行，内错角相等,

得出N8CD=NABC=门。,/5/力=4OC=80。，由角平分线的定义得出4砧=；〃。，NEDC=40。,再

由两直线平行，内错角相等得出/8以'=乙48£=；〃。NFED=NEDC=40°,由NBED=NBEF+/FED即

可得出答案.

【详解】解：如图，过点、E作EF〃4B,则AB〃CD〃EF,

•:AB"CD,：.々BCD=4ABC=n。,/切。=N/OC=80。，

乂TBE'/分N/1BC,。七平分N4OC,/.ZLABE=-£ABC=-n0,Z1EDC=-ZJDC=-x80°=40°,

2222

VAB//EF//CD,："EF=/ABE=%,/FED=NEDC=40。，

2

ABED=ZFED+ABEF=400—nc,故答案为：40°+-w°.

22

【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平行线的性质和

角平分线的定义.

7.（2023上•云南昆明•八年级统考期末）如图，在五边形4BCDE中满足AB//CD,则图形中的x的值

是.

D

E号

V125°/

A

B

【答案】85

【分析】根据平行线的性质先求/B的度数，再根据五边形的内角和公式求x的值即可.

【详解】解：VAB/7CD,ZC=60%ZB=1800-ZC=120°.

・•・(5-2)xl80°=x°+150°+125°+60°+120°.Ax=85.故答案为：85.

【点睛】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握平行线的性质和多边形内角和定理是解题的关键.

8.(2023下•山西吕梁•七年级统考期中)如图是一款长臂折叠。护眼灯示意图，E户与桌面MV垂直,

当发光的灯管力〃恰好与桌面平行时，ZD£,F=120°,ZfiCD=110%则NC0E的度数为°,

【分析】过点。作OH/4C,过点E作EG〃A/N,根据平行线的性质和垂直的定义，进行求解即可.

【详解】解：过点。作力〃〃4C,过点夕作EG〃跖V,

则：ZACD+Z.CDH=180°,Z.GEF+Z.EFN=180°,，：EFA.MN,NDE产=1200,NBO)=1IO>,

:・NCDH=70°,NGEF=NEFN=90。,NDEG=NDEF-NGEF=30。,

,:AB〃MN,：,DH//EG,：.NHDE=NDEG=30。,

AZCDE=ZCDH+AHDE=100°,故答案为：100.

【点睛】本题考杳平行线的判定却性质.解题的关键是过拐点构造平行线.

9.(2023下•河北唐山•七年级统考期中)如图，AB〃EF,CD1EF,Z5JC=5(T,则乙4CO二

AB

50°

【答案】140°

【分析】延长力C交七厂「点G,争先运用平行线的性质求出NOGC的度数，借助三角形的内角和NQCG,

再由互补求出/力。即可解决问题.

【详解】证明：如图，延长4c交EF于点G,•；48〃斯，・・・NQGC=N84C=50。，

•・•CDA.EF,，ZCDG=90°，.IZ.DCG=180°-90°-50°=40°,

.,.ZJCZ）=180°-40°=140°.故答案为：140。.

【点睛】本题考查的是平行线的性质、互补等儿何知识点及其应用问题.解题的方法是作辅助线，将分散

的条件集中，解题的关键是灵活运用平行线的性质、互补等几何知识点来分析、判断、解答.

10.（2023下•甘肃•七年级校考期中）如图，48〃。，已知/C=150。，4=120。.则N"C=度.

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求解即可.

【详解】解：如图，过点P作PM〃4

,:AB〃CD,AAB//PM//CD,Z/l+ZJRW=180°,ZC+ZCPM=18(F,

•・•ZC=150°,N*=120°，••・NAPM=60°，"JPM=30°,

/.ZAPC=ZAPM+ZCPM=90°,故答案为；90.

【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记"两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键.

11.（2023下•山西临汾•七年级统考期末）如图，一环湖公路的48段为东西方向，经过四次拐弯后，又变

成了东西方向的庄段，则乙5+NC+/Q+NE的度数是.

AB

FE

【答案】540°

【分析】分别过点C,D作AB的平行线CG,DH,进而利用同旁内角互补可得NB+NBCD+NCDE+NE

的大小.

【详解】解：如图，根据题意可知：AB〃EF,

分别过点C,D作AB的平行线CG,DH,所以AB〃CG〃DH〃EF,

则/B+NBCG=180°,ZGCD+ZHDC=180°,ZHDE+ZDEF=180°,

:.ZB+ZBCG+ZGCD+NHDC+ZHDE+ZDEF=180°x3=540\

AZB+ZBCD4-ZCDE+ZE=540°.故答案为:540°.

AB

FE

【点睛】考查了平行线的性质，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小.

12.（2023下•河南许昌•七年级统考期末）如图，尸于尸，A"交48于点E,NF交CD千点、G.若

N

【答案】45

【分析】如图，过点尸作根据平行线的性质和判定求解即可.

【详解】解；如图，过点“作FH//CD,

VZl=135°,Z3=180°-135°=45°,

•：MFA.NF,1・NMFN=90。,AZ4=90°-45°=45°,

•:AB"CD,：.AB〃FH,：・£2=24=45。.故答案为：45.

【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定.

13.（2023下•山东枣庄•七年级校考期中）如图，已知QC〃阳，Zl=Z2,ZF£D=32°,4G/=76。,

FH平分/EFG,则/尸五〃=.

【分析】根据N1=N2,得出力8〃万，结合已知条件得出NEFG=108。，根据角平分线的定义得出

NEFH=-ZEFG=5夕，进而根据NPFH=NEFH-NEFP,即可求解.

2

【详解】解：VZl=Z2,:,AB〃FP,二乙4GF=NPFG,

'：DC//FP,:・NEFP=/DEF,AZEFG=ZDEF+ZJGF=32°+76°=108°,

'：FH①分NEFG、：./EFH=L/EFG=54。，：.NPFH=NEFH-NEFP=54。-32°=22°.故答案为:22。.

2

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键.

14.（2023•江苏盐城•七年级校联考阶段练习）如图，48〃CO,则N1+/2+/3+……+Z/7-1+ZM=.

【答案】（〃T）180°

【分析】根据Nl+N2=180。，Zl+Z2+Z3=(3-l)xl80°,ZI+Z2+Z3+Z4=(4-1)x180°,找出规律,

得出N1+N2+N3+N4+…1)」80°.

【详解】解：当力8与CQ之间有2个角时，如图所示:

Z3+Z^£F=180°,

Zl+Z7VEF+Z,MEF+Z3=Z1-Z2+Z3=360°,即N1+N2+N3=(3-1)x180°,

同理可得：当力8与之间有4个角时，Zl+Z2+Z3+Z4=（4-l）xl800,

・♦•当力8与CQ之间有〃个角时，/1+N2+N3+N4+…+/〃=（〃-1）」80。.故答案为：（〃-1）180。.

【点睛】本题主要考查了图形规律探索，平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键是根据已知图形找

出规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补.

15.（2023上•四川绵阳•八年级统考开学考试）如图，已知AB//EF,若/厂,

6=+/BCD+ZCDE+/E，则a与£方间的数量关系为

【答案】B=3a/a=)

【分析】过C作CW〃*〃，过。作Z）N〃力5,得到CW〃6V”*',由平行线的性质推出

/力+//=180。,NB+ZMCB=180。,NEDN+NDEF=180°,得到/B+/BCD+/CDE+Z£=180°x3,

即可得出结果.

【详解】解：过C作。W〃48,过D作DN〃/1B,•:AB〃EF,:.CM〃DN〃EF、

・•.+=180°,NB+/MCB=180°,NEDN+/DEF=180°,

・•・NB+NMCB+NMCD+NNDC+NEDN+NDEF=180°x3,

J/B+/BCD+ZCDE+ZE=180°x3,

•：a=/A+/F,0=/B+NBCD+/CDE+/E,：.p=3a.故答案为：P=3a.

【点睛】本题考查平•行线的性质，关键是过点C作。M〃/18,过。作£W〃44,得到CA/〃ON〃即，由

平行线的性质即可解决问题.

16.（2023下•辽宁铁岭•七年级统考期末）如图已知：AB//CD,CD//EF,4E平分/胡C,AC工CE,

有下列结论：®AB//EF；②N3-/4=90。③Nl+N3=180。：④2/1-/4=90。，其中，王确的结论

有.（填序号）

【答案】①@④

【分析】根据平行公理判断①：延长4C、FE交十点、G,根据N4+90。=NOCG,CD//EF,得出

ZDCG+ZCG£=180°,根据N3+4EG=180。,/AEGh/AGE,得出N3wNOCG,即可得出

N3-24工90。，判断②；根据平行线的性质得出/1=/胡石，根据平行线的性质得比/历1E=ZJ£G,从

而得出N1=4EG,根据N3+4EG=I80。，得出Nl+N3=180。，判断③：

根据平行线的性质得出NQCG=/84。，根据角平分线的性质得出/切C=2N1,即可得出/DCG=2/1,

Z.DCG-Z4=Z.ECG=90°,得出2/1-N4=90。，即可判断④.

【详解】解：••・48〃C。，CD//EF,:.AB//EF,故①正确；

延长NC、FE交于点、G,如图所示;

VACICF.,：./ACF.=/ECG=90°,AZ4+90°=ZDC(7,

・：CD〃EF,・•・NZ)CG+NCGE=180。，VZ3+ZJFG=180°,/AEG》NAGE,

・・・N3HZDCG,即N3-N4H90。，故②错误；

•，4七平分/84C,/.Z1=ZBAE,QAB〃EF,:.NBAE=NAEG,AZ1=^AEG,

VZ3+Z4£G=180°,/.Z1+Z3=I8O°,故③正确；

VAB//CD,:・NDCG=NBAC,丁WE平分/"C,；.NB4C=2N1,ZDCG=2Z1,

•/zLDCG-Z4=zLECG=90°,/.2Z1-Z4=90°,故④正确；

综上分析可知，正确的有①③④.故答案为：①③④.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：

两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等.平行线的判定是由角

的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.应用平行线的判定

和性质定理时，一定要弄清题设却结论，切莫混淆.

17.(2023下•河南安阳•七年级校考期中)图1是一种网红弹弓的实物图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形

成如图2的平面示意图，弹弓的两边可看成是平行的，即48〃8,活动小组在探索乙4P。与/力，ZD

之间的数量关系时.，有如下发现：当拉起皮筋使4=/。时，瞄准最准确.现测得4=140。，ZAPD=70°,

则比次瞄准是否最准确？

图1图2

【答r案】此次瞄准不是最准确的，见解析

【分析】如图，过点P作PE〃力8,可得/4。/=180°-140°=400,可得

^EPD=^APD-^APE=7(F-4(P=3(P,证明尸K〃C。，可得NO=180。—30。=150。，从而可得结论.

【详解】解：如图，过点P作尸£〃力8,.•.乙4+44在'=180。.

•••4=140。，AZJP£，=180°-14Do=40°.

•・•AAPD=70°,JNEPD=ZAPD-ZAPE=70°-40°=30c.

VAB//CD,PEHAB,:.PENCD.AZZ)+=18(F.

・•・NO=180。—30。=150。.・・・//£/。，・•・此次般准不是最准确的.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，熟记两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键.

18.(2023下•上海浦东新•七年级校考期中)如图，已知力8〃CO,ZE=90",那么N6+N。等于多少度？

为什么？

解：过点E作EF//4B,

得NB+NBEF=180。（）,

因为N8〃CQ（）,

EF//AB（所作），

所以E/〃CO（）.

得（）.

所以/B+NBEF+NDEF+ND=。（等式性质）.

即NB+/BED+NO=°,

因为N8EQ=90°（已知），

所以/8+/。=。（等式性质）.

【答案】两直线平行，同旁内角互补；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；ND+NDEF=180。；两

直线平行，同旁内角互补；360°；360。；270°

【分析】过点上作〃⑷9，根据平行公理推出召产〃C。，进而得出+++36。，

则N8+/.BED+ZD=360°,即可求解.

【详解】解：过点E作£：/〃川？,

得N8+/B£1尸=180。（两直线平行，同旁内角互补）,

因为（已知），EF//AB（所作）,

所以E”//CD（平行于同一直线的两直线互相平行）.

得NO+NOE/TgO。（两直线平行，同旁内角互补）.

所以/B+ZBE/+NDEE+NOuBGO。(等式性质).即/〃+N6EO+NO=360。,

因为N8EO=90°（已知），所以/8+/。=270°（等式性质）.

故答案为：两直线平行，同旁内角互补；已知；平行于同一直线的两直线互相平行：ZD+Z£>£,F=180°：

两直线平行，同旁内角互补；360。；360°；270°.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线公理以及两直线平行，同旁内角互补.

19.（2023下•天津滨海新•七年级统考期末）如图1,四边形肪、/。为一张长方形纸片.

图1图2图4

（1）如图2,将长方形纸片剪两刀，剪出三个角(NBAE、NAEC、乙ECD),则

ZBAE+ZAEC+ZECD=

（2）如图3,将长方形纸片剪三刀，剪出四个角(/B4E、NAEF、NEFC、Z.FCD),则

NB4E+N4EF+4EFC+ZFCD=

（3）如图4,将长方形纸片剪四刀，剪出五个角(NBAE、NAEF、NEFG、ZFGC、ZGCD),则

NBAE+ZAEF+NEFG+AFGC+ZGCD=

<4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪〃刀，剪出（"11）个角，那么这।1）个角的和足

【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）180”.

【分析1（1）过点E作EH〃AB,再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180。的2倍;

（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180。的

三倍；（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等

「180。的三倍；（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度.

【详解】（1）过E作EH〃AB（如图②）.，•原四边形是长方形，••・AB〃CD,

又・・・EH〃AB,・・・CD〃EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）.

VEH/7AB,・・・NA+NT=180。（两直线平行,同旁内角互补）.

•・・CD〃EH,.\Z2+ZC=180°（两直线平行，同旁内角互补）./.ZA+Z1+Z2+ZC=36O°,

XVZ1+Z2=ZAEC,ZBAE+ZAEC+ZECD=360°；

用上面的方法可得NBAE+NAEF+NEFC+NFCD=540°;

（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，

用上面的方法可得NBAE+NAEF+/EFG+NFGC+NGCD=720°；

（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度.

故答案为:（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，

总结规律求解是本题的难点.

20.（2023下•江西南昌•七年级校考期中）【课本再现】

（1）①如图1,已知力8〃CQ,直接写出N4,/O和NE满足的等式关系；

②如图2,已知48〃。。，直接写出和/£满足的等式关系；

【知识应用】（2）如图3是微信聊天对话框，图4是其示意图的一部分，已知48〃。。，/B=ND=9。。,

写出NE,/尸和/G满足的等式关系，并说明理由.

【答案】(1)①/8£。+/8+/。=360。；②N8EO=NB+ND；(2)ZF+ZG-ZF£G=180°,理由见解析

【分析】（1）①过点£作£?W48,可得4B//CD〃EF,根据平行线的性质得到

N8+4BEF=ND+4DEF=180°,从而可得/BED++NC=360°”②过点E作EF//AB，可得AB〃CD〃EF,

根据平行线的性质得至=炉，ZZ）=ZDEF,从而可得=+（2）过点E作〃/也，结

合（1）②中的结论可得/尸=90。+/尸£0，ZG=90°+ZGEM,进