2026高三数学复习讲义：二项分布、超几何分布与正态分布

11).7二项分布、超几何分布与正态分布

1.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.

2.了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.

3.了解正态分布的概念和特征，并能进行简单应用.

陞备知识回顾自主学习■基&同扣

教材回扣

1.二项分布

(1)伯努利试验

只包含适仝可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行八次所

组成的随机试验称为〃重伯努利试脸.

(2)二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件4发生的概率为〃(0<内1),用X表示

事件4发生的次数，则X的分布列为P(X=%)=C£p*(l—攵=0,1,2,...»n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布，记作X〜B5,

(3)两点分布与二项分布的均值、方差

①若随机变量X服从两点分布，则E(X)=0D(X)=P(\-P).

②若X〜B(〃,p),则E(X)=也，D(X}=np(\-p).

2.超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取〃仁(不

放回)，用X表示抽取的”件产品中的次品数，则x的分布列为2(*=4)=若产，k=m,

机+1,川+2,…，r>其中，〃，N,A/GN*,M<N,胫Mm=max{0,N+M},r=niin{/i,

M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

3.正态分布

⑴定义

若随机变量X的概率分布密度函数为/(x)=；^e-x£R，其中4£R,。>0为

参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X〜M”，

(2)正态曲线的特点

①曲线是单峰的，它关于直线以对称；

②曲线在3处到达峰值志；

③当因无限增大时，曲线无限接近4轴.

(3)3。原则

①尸(〃一回与+亦0.6827；

②尸(〃一2处X&/+2亦0.9545；

③P(〃-3处X9+3出).9973.

(4)正态分布的均值与方差

若X〜N(〃，/)，则E(X)=yD(X)=^.

B教材拓展

i.两点分布是二项分布当〃=i时的特殊情形.

2.“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题

对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.

3.在实际应用中，往往出现数量“较大、很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为〃重

伯努利试验，进而判定是否服从二项分布.

基础检测.

I.判断(正确的画错误的画“X”)

⑴某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了2()次，是〃重伯努利试验.(7)

(2)若X表示〃次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分

布.(4)

(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个

数X服从超几何分布.(x)

(4)当〃取定值时，正态曲线的形状由。确定，。越小，曲线越“矮胖”.(x)

2.(人教B版选择性必修第二册P83T4改编)已知离散型随机变量X〜/?(10,0.2),则

£(X)=(B)

A.8B.2

C.1.6D.0.8

解析：因为离散型随机变量X〜8(10,0.2),所以E(X)=10x0.2=2.故选B.

3.(人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T2改编)若X〜M1，/)，且尸(X>2)=0.10,

则P(X>0)=(D)

A.OJOB.0.40

C.0.80D.0.90

解析：根据题意X〜N(l,f)，且P(X>2)=0.10,则尸(X<0)=P(X>2)=0.10,故尸(X>0)

=l—P(X<0)=0.90.故选D.

4.(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)设10件同类型的零件中有2件是不合

格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格品的件数，则P(X=1)=(D)

-8、7

C,75D,75

解析：根据超几何分布的概率公式有P（X=1）=铲C\c=l裔5=6仁.7故选D.

Vx|01IJ

株键能力提升互动探究•考点林讲

考点1二项分布

【例1】（2024.河北承德二模）某市为了促进市艮学习党史，举办了党史知识竞赛活

动，通过随机抽样，得到了1000人的竞赛成绩（满分100分）数据，统计结果如下表所示:

成绩[30,[40,[50,[60,[70,[80,[90,

区间40)50)60)70)80)90)1001

频数201802002802208020

⑴求一:表数据的用F均直（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；

（2）根据样本估计总体的方法，用频率估计概率，从该市随机抽取3人参加党史知识竞赛,

记他们之中不低于60分的人数为X,求X的分布列及数学期望.

__1onnnnoonQQ

[解](1)平均值人=35xl000+45xl000+55xl000+65xl000+75xl000+85xl000

+95x7^=35x0.02+45x0.18+55x0.2+65x0.28+75x0.22+85x0.08+95x0.02=63.2.

1UlA7

(2)用强率估计榛率，随机抽取1人成绩不低于60分的概率为

280+220+80+206003

fooo=?000=5,

由题意可知，X〜从3,号，X=0,1,2,3,

则P(X=0)=@3=哉

P(X=1)=噬谒=患;

2

P(X=2)=ax|xg)喂；

⑶327

P(X=3)=©=后.

所以X的分布列为

X0123

8365427

P

125125125125

39

£(X)=3x-=-

1规律总结k

二项分布问题的解题关键

⑴定性

①在每一次试验中，事件发生的概率相同.

②各次试验中的事件是相互独立的.

③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.

(2)定参：确定二项分布中的两个参数〃和p,即试验发生的次数和试验中事件发生的概

率.

【对点训练1】(2024.陕西西安二模)某校组织学生进行跳绳比赛，以每分钟跳绳个

数作为比赛成绩(单位：个).为了解参赛学生的比赛成绩，从参赛学生中随机抽取50名学

生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩分成[60,80),[80,100),[100,120),[120,

140),[140,160),[160,180]这6组,得到的频率分布直方图如图所示.

(1)估计该校学生跳绳二匕赛成绩的中位数；

(2)若跳绳比赛成绩不低于140分的为优秀，以这50名学生跳绳比赛成绩的频率作为概

率，现从该校学生中随机抽取3人，记被抽取的比赛成绩优秀的学生人数为X,求X的分布

列与期望.

解：(1)因为(0.004+0.012)x20=0.32<0.5,0.32+0.016x20=0.64X).5,所以该校学生比

赛成绩的中位数在[100,120)内.

设该校学生比赛成绩的中位数为个，则(加一100)x0.016+0.32=0.5,

解得加=111.25,即佶计该校学生比赛成绩的中位数为111.25个.

(2)由频率分布直方图可知比赛成绩优秀的频率为(0.002+0.008)x20=0.2,

则从该校学生中随机抽取1人，被抽取的学生比赛成绩优秀的概率是0.2.

由题意可知X〜8(3,0.2),

则尸(X=2)=C§x0.2*x{l-0.2)3・&=C§x0.2*x0.83•心=0,1,2,3),即P(X=0)=C?x0.2°x0.83

=0.512,P(X=1)=C|X0.2'X0.82=0.384,P(X=2)=C?x0.22x0.8'=0.096,P(X=3)=C§

XO.23XO.8°=O.OO8,

所以X的分布列为

X0123

P0.5120.3840.0960.008

故E(X)=3x0.2=0.6.

考点2超几何分布

【例2】某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中

装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出

3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄

球，则需要表演一个节目.

(1)求一学生既分得月阱又要表演节目的概率；

(2)求每位学生分得月阱数的概率分布列和数学期望.

【解】(1)记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A,

可知有两种可能：“2个红球，1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”,

“~,、，cl+clc!G15

所以P(A)=厘=56-

(2)由题意可知X的可能取值为()，1,2,3,则

或C?5cgcSi

P(X=O)=

Cl-28,P(X-\)~0-28，P(X=2)==拓，P(X=3)=56'

可得X的分布列为

X0123

515151

P

28285656

所以E(X)=Ox^+I4|+2X||+3X^=|.

」规律总结

1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分

布的特征是①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类

个体数X的分布列.

2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.

【对点训练2】(2D24•陕西西安三模)每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018

年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对'‘延迟退休”的态度，现

从某地市民中随机选取100人进行调查，调杳情况如下表：

[15,[25,[35,[45,[55,[65,

年龄段/岁

25)35)45)55)65)75]

被调查的

101520m255

人数

赞成的人

612n20122

数

(1)从赞成"延迟退休''的人中任选1人,此人年龄在［35,45)的概率为/求出表格中加,

〃的值；

(2)若从年龄在［45,55)的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行比例分配的分

层随机抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，

记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X,求X的分布列及数学期望.

解：⑴因为总共抽取100人进行调查，所以加=100—10—15—20—25—5=25.

因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在［35,45)的概率为百上=看所以〃

=13.

(2)从年龄在［45,55)的参与调查的市民中按比例分配的分层随机抽样抽取10人，赞成

的抽取10x||=8(人)，不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量X的

可能取值为2,3,4,

GC2

则P(X=2)=

Cto一⑸

8

(

PX-3)-C4o百

Gidi

P(X=4)=

3,

所以X的分布列为

X234

281

P

?5*153

)O11Z

所以E(X)=2XY^4-3X—+4x-=—

考点4正态分布

【例3】(1)(多选)设X〜N(",后)，Y〜N(〃，层)，这两个正态密度曲线如图，则

卜列说法正确的是(AC)

A.(71<(72

B.(71=(T2

C.对任意实数/心〃，P(X<m)>P(Y<rn)

D.若—“41WX?+&16)>P(〃一女2。2&丫0，+左2。2)，ki，22£N+，则％1<22

【解析】因为<7越小图象越疫高，所以故A正确，B错误；由题图可知，当

时，P(X>/n)<P(Y>/n),所以P(X3〃)=l-P(X：>〃?)：>P(yWm)=l-P(E>〃?)，故C正确：当

ki=2时，尸仪一2⑦夕臼,+25户0.9545,当k2=\时,尸(〃一。£丫%+。2户0.6827,故D错误.故

选AC.

(2)(多选)(2024•新课标【卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并

举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，

得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1,样本方差$2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X

服从正态分布ML8,0.I2),假设推动出口后的亩收入丫服从正态分布N(x,/)，则(若

随机变量Z服从正态分布M〃，(T),则P(Z<"+o户0.8413)(BC)

A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5

C.P(Y>2)>0.5D.P(r>2)<0.8

【解析】依题意，X〜ML8,0.12),丫〜NQ.1,0.|2).对于X〜M1.8,0.12),由于2=

1.8+2x0.1=〃+2/则P(X>2)=P(X>/i+2a)<P(X>//+a)=1-0.8413=0.1587,A错误；

P(X>2)vP(X>l.8)=0.5,B正确；对于丫〜M2.1,0.12),由于2=2.1—0.1=〃一%则

P(E>2)>P(E>2.1)=0.5,C正确；P(y>2)=P(y>"-#=P(y</+0户0.8413>0.8,D错误.故选

BC.

规律总结

解决正态分布问题的三个关键点

（1）对称轴为直线X=".

（2）标准差为a

（3）分布区间.

由〃，〃利用对称性可求指定范围内的概率值，使分布区间转化为3。特殊区间，从而求

出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为直线x=0.

【对点训练3】（1）（多选）甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩（百分制）分别服

从正杰分布N（m,拉），N（箧，石），其正态密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是

（ACD）

附：若随机变量X服从正态分布M〃，『），则PQ—cr<X<〃+（7）u0.6826.

A.乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩

B.甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩

C.甲同学的成绩比乙同学的成绩更集中于平均值附近

D.若6=5,则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587

解析：由题中图象可知，甲的图象关于直线x=75对称，乙的图象关于直线x=85对称，

所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分，故A正确，B错误；因为甲的

图象比乙的图象更“高瘦”，所以甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小，甲同学的成绩比

乙同学的成绩更集中于平均值附近，故C正确；若内=5,则甲同学成绩高于80分的概率约

,1—0.6826..

为---------=0.1587,,Z故D正确.w故选ACD.

（2）（多选）（2025•山东聊城一模）在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成

绩X〜NQ,『），且风X）=80,D（X）=400,规定测试成绩不低于60分者为及格,不低于120

分者为优秀，令P（|X—4|%）=〃2,P（|X—川W2<7）=〃，则（BCD）

A."=80,<7=400

B.从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为空

C.从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测

试成绩优秀的概率为宁

D.从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该

生测试成绩优秀的概率为记

解析:由E（解=80,D（X）=400,得〃=80,m=40（）,故A错误；由〃=80,M=400,

得X〜M80,202）,则〃一）=80—20=60,〃+。=80+20=100,*—2。=80—2'20=40,4

n-m

+2*7=80+2x20=120,故有。（60三*工100）=，〃，P（40<X<120）=H,»'JP（100<X<l20）=^—,

n—m〃?+〃

则P（60WXW120）=F-+〃尸—5一，即从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试

m+n1-n

成绩及格但不优秀的概率为三一，故B正确；P（疮120）=下一，则从该市高一全体学生中（数

I—n/

量很大）依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为P=2x—xl1

1-〃\1-〃2ym1一，i

一方~=下一，故C正确；P（X>60）=2+T,又P（右120）=下一，故从该市高一全体学生

1m1—n

中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格的概率为5+5,该生测试成绮优秀的概率为亍，

1-〃

2I—fi

则在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为「面=TTM，故D正确.故

选BCD.

课时作业74

/冢基础巩固4

1.（5分）（2024•湖南益阳三模）某生产线正常生产下生产的产品4的一项质量指标X

近似服从正态分布M5,/），若尸（X%）=P（空1+2〃），则实数。的值为（B）

A.1B.3

C.4D.9

解析：因为X〜M5,/），且P（X区）=P（空1+2。），所以〃+（1+20=2x5,解得4=3.

故选B.

2.（5分）（2024•安徽合肥二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4

胜制（先胜4局者胜，比赛结束）.已知每局比赛甲获胜的概率均为次则甲以4：2获胜的概

率为（C）

B.专

D-£

C—

J32

解析：根据题意，甲运动员前5场内需要嬴3场，第6场甲胜，则甲以4：2获胜的概率

为(g乂/二(.故选C.

3.(5分)(2024.广东江门二模)一箱苹果共有12个，其中有〃(2<〃<7)个是烂果，从这

箱苹果中随机抽取3个，恰有2个烂果的概率为相，则〃=(B)

JJ

A.3B.4

C.5D.6

〃(〃一1)(12—〃)

解析：依题意可得逢廿=寒，即I2xl，xio=送，整理得/一13〃+36=0,解得〃

6

=4或〃=9,因为2v〃v7,所以〃=4.故选B.

4.(5分)(2024.天津南开区一模)已知随机变量X〜N(〃，/)，V〜8(6,〃)，且代股4)

=斗E(X)=E(Y),则p=(D)

A.\B.(

C.D.g

i2

解析：由X〜N(〃，/)，以及「(疮4)=5可得"=4,由于E(X)=E(K),故6〃=4,

故选D.

5.(5分)(2024•湖北荆州三模)上周联考的数学成绩X服从正态分布M90,/),且P(X<70)

=0.2,负责命题的王老师考后随机抽取了10个学生的数学成绩，设这10个学生中得分在［70,

110］的人数为匕则随机变量y的方差为(C)

A.2B.2.1

C.2.4D.3

解析：由正态分布知，学生得分在［70,110］的概率为l-0.2x2=0.6,抽取的10个学生

中得分在［70,110］的人数y服从二项分布8(10,0.6),zxr)=10x66x(1—0.6)=2.4.故选C.

6.(5分)如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走对误差(分别用X甲、X乙、X丙表示)

分布的正态密度曲线，则下列说法不正确的是(B)

A.三种品牌的手表日走时误差的均值相等

B.P(-l<Xz<0)<P(0<X,*j<2)

C.三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙

D.三种品牌手表中甲品牌的质量最好

解析：根据正态密度由线的性质可得，三种品牌的手表日走时误差对应的正态密度曲线

的对称轴都是），轴，所以三种品牌的手表日走时误差的均值相等，故A正确；乙品牌手表日

走时误差对应的正态密度由线在区间［-1,0］之间与x轴围成的面积与丙品牌手表日走时误

差对应的正态密度曲线在区间［0,2］之间与X轴围成的面积相等，故B不正确；由正态密度

曲线的形状，可得b"〃乙＜。而，所以三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、

乙、丙，故C正确；由三种品牌手表日走时的误差的均值都是0,。平＜。乙＜。声,可得甲种品

牌的手表走时准且最稳定，质量最好，故D正确.故选B.

7.（6分）（多选）（2024•沏南长沙三模）某校在运动会期间进行了一场“不服来战''对抗

赛，由篮球专业的I名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对

抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和

乙组3名同学的命中率依次分别为自*,I则（BCD）

J/JU

A.乙组同学恰好命中2次的概率为苏13

B.甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率

C.甲组同学命中次教的方差为与2

D,乙组同学命中次数的数学期望为相

解析:设“乙组同学恰好命中2次”为事件M则P（M）=gx|x（l-得|）x得+0-；）

x|x|=4,所以A错误；设“甲组同学恰好命中2次”为事件N,则2（7）=《箱＜出，因

949

为赤〉所以B正确；因为甲组同学每次命中的概率都为不设甲组同学命中次数为X,则X〜

43,⑥，可得D（X）=3xjx；=,,所以C正确；设乙组同学命中次数为随机变量匕则丫的

所有可能取值为o,1,2,3,则尸（y=o）=（i—；乂1一„。一焉）=4,p（y=i）=1x^i—D

x（1-6）+0-SvO-6）+0-2）x0-5）x6=rP（y=2）=P（M）=4,尸（『）斗|x於

I，故£（n=0++层+2X4+3＞＜|=得所以D正确.故选BCD.

8.（6分）（多选）袋中有8个大小相同的球，其中5个黑球，3个白球，现从中任取3

个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量y为其中黑球的个数，若取出一个白球得

2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出3个球的总得分，则下列结论中正确的是

（BCD）

A.P（|Z—5区1）君

B.E(X)<E(Y)

C.D(X)=D(Y)

33

D.E(Z)=~^

c0c牡

解析：x,y均服从超几何分布，且x+y=3,z=2x+y=3+x,p(x=k)=-^-tk=

CW2339

0,I,2,3,P(|Z-5|<J)=P(|X-2|<1)=I-P(X=0)=1-C|=28,A错误；E(X)=3x-=-,

[qQa

，正确；正确；E(Z)=3+E(X)=3+T7=V，

E(F)=3-E(X)=ovBD(Y)=D(3~X)=D(X),CooD

正确.故选BCD.

9.(5分)(2024•广东梅州二模)某中学I500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成

绩X近似服从正态分布MI50,/)，已知成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟

跳绳成绩X在130〜150次之间的人数约为血.

3()()

解析：由题意可知，P(X>170)=yr^=0.2,又因为X〜M150,/)，所以P(13gX£15O)

=P(15O<X<17O)=O.5-P(X>I7O)=O.5-O.2=O.3,所以跳绳成绩X在130〜150次之间的人

数约为I500x0.3=450.

10.(5分)(2024•安徽六安模拟)一质子从原点处已发，每次等可能地向左、向右、向

上或向下移动一个单位长度，则移动6次后质子回到原点处的概率是念.

/JU

解析：因为移动6次仍回到原点，故质子水平方向移动偶数次，竖直方向移动偶数次，

若质子水平方向移动。次，则回到原点的概率为若质子水平方向移动2次，

则回到原点的概率为闻&(；)6=需不若质子水平方向移动4次，则回到原点的概率为CN

人/(；)6=需^若质子水平方向移动6次，则回到原点的概率为C*6)6=『念，故移动6

54545525

次仍回到原点的概率为]024+]024+]024+]024=定。

11.(15分)(2025•黑龙江大庆一模)2024年7月12日，国家疾控局会同教育部、国家

卫生健康委和体育总局制定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中

一级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准

备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料

的统计结果如下：学校有上勺学生每天饮用含糖饮料不低于500亳升，这些学生的肥胖率为今

而每天饮用含糖饮料低于500亳升的学生的肥胖率为自

(1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率；

(2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的

分布列和数学期望.

1—3

解：(1)设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件A,则尸(4)=不尸(A)=不

1—2

设“学生肥胖”为事件B,则P(阴A)=?P(B|A)=§,

由全概率公式可得P(8)=P(8|A)P(A)+P(B|A)P(A)=|xj+^x1=|,

所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为泰

由题意可知〜

(2)X03,1),且X的可能取值为()，1,2,3,则

27

P(X=O)=64'

P(X=l)=Cjx；x(lT)=磊

P(X=2)=cMJ~x(T)=t

P(X=3)=Q)3=小

所以X的分布列为

X0123

272791

P

64646464

13

X的期望2%)=3*彳=不

12.(15分)(2024•湖南常德一模)某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修学

习情况，评选研修先进个人，现随机抽取了1。名教师利用“学习APP”学习的时长数据(单位：

小时)：35,43,90,83,50,45,82,75,62,35.学习时长不低于80小时的教师评为“研

修先进个人

(1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有1名教师是研修先

进个人的概率.

(2)若该市所有教师的学习时长X近似地服从正态分布N(/,,/)，其中〃=1(),〃为抽取

的10名教师学习时长数据的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：

①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数(结果四舍五入到整数)；

②若从该市随机抽取的〃名教师中恰有。名教师的学习时长在［50,70］内，则当的均

值不小于32时，〃的最小值为多少？

附：若随机变量X服从正态分布M/1,『)，则?(〃一目四+亦0.6827,P(/i-2c<X</i

+2。户0.9545,加一3把心+3。户0.9973.

解：(1)由于这1()名教师中恰有3名是研修先进个人，故随机抽取的3名教师中恰有1

名教师是研修先进个人的概率为玮9=*察=磊.

Clo12U4U

(2)①直接计算可得〃$x(35+43+90+83+50+45+82+75+62+35)=60.

所以P(X>50)=P(X>^i-a)-o<X<^+(7>=0.84135.

故可以估计学习时长不低于50小时的教师的人数为1000x0.84135^841.

②由于P(50<X<70)=P(/z-(j<X<^t+<7)-0.6827,故£(4)=0.682In.

当E©232时，有0.6B27论32,得尼46.8727,

所以〃的最小值是47

星素养提升4

13.(6分)(多选)(2024•辽宁沈阳三模)下列说法正确的是(BCD)

A.连续抛•枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛硬币，设随机变量X表

3

示停止时抛硬币的次数，则P(X=3)=*

B.从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中，随