2026年春季高一数学下学期第一次月考02（人教A版范围：必修第二册第六~七章）解析版

2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷02

参考答案与试题解析

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

I.（5分）已知向量d=（1,0）,3=（%2）,若日1（3一3日），则工=（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】D

【解题思路】求出3-3d的坐标，根据向量垂直的坐标表示可解.

【解答过程】因为2=（1,0）石=0,2）,所以4-3五=（%2）-3（1,0）=（%—3,2）,

因为五1（1—3d）,所以五•（B—3@）=%—3=0,解得％=3.

故选：D.

2.（5分）复数z=/（其中i是虚数单位）的实部是（）

A.VB.VC.1D.9

【答案】C

【解题思路】利用任数的除法求出z,进而求出其实部.

【解答过程】复数z==所以z的实部为士

+1J555

故选：C.

3.（5分）耳葭是平面内不共线的两个向量，已知通二百一上与，丽=2瓦+筱，丽=3瓦•一或，若A,

B,。三点共线，则攵的值是（）

A.3B.-3

C.—2D.2

【答案】D

【解题思路】先由向量的加法求出前，再利用向最共线的充要条件列方程组求解即可.

【解答过程】由己知而=而一瓦=瓦一2瓦，

由A,B,。三点共线，故存在实数3使而=4前，

即可一呵=震耳-2瓦），即｛_j二,22解得1=2.

1/14

故选：D.

4.（5分）已知复数2满足（1+2。，=4+3「则复数2在复平面对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解题思路】先利用复数除法和共血复数的概念求出z,再根据复数对应复平面内点的坐标判断象限即可.

【解答过程】由题意可得五=粤=黑器1驾=2-i,

所以z=2+i在复平面对应点（2,1）,在第一象限，

故选：A.

5.（5分）在△力BC中，若c-acosB=（2a-b）cosA,则△ABC的形状一定是（）

A.等腰三角形B.等腰或直角三角形

C.等腰直角三角形D.不含60。的直角三角形

【答案】B

【解题思路】利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换可求得cos4=0或sin8-sia4=0,分类讨论可得结

论.

（解答过程】由c-acosB=（2a-b）cos4和正弦定理,可得sinC-sinAcosB=2sin4cosA-sinBcosA,

因sinC=sin（/I+8）=sinAcosB+cosAsinB,代入上式，化简得:2sinBcosA=2sirh4cos4,

即（sinB-sin/l）cosi4=0,故得cos4=0或sinB—sinA=0,

当cos力=0时，0cAVIT,所以A=］此时△ABC是直角三角形；

当sinB-sirM=0时，sinB=sin,4,又0<A<TT,0VBVTT,

则<=B或B=-（舍去），此时△ABC为等腰三角形.

综上：可得△/IBC的形状一定是等腰或直角三角形.

故选：B.

6.（5分）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的在地出发，向河对岸航行.已

知船在静水中的航行速度说的大小为同|=6km/h,水流速度可的大小为|国=2km/h,船的速度与水流速

度的合速度为济那么当航程最短时，下列说法正确的是（）

2/14

A'

A

A.船头方向与水流方向垂直B.cos（刀,可）=-；

C.|v|=4V2km/hD.该船到达对岸所需时间为3分钟

【答案】C

【解题思路】先根据航程最短的条件确定船头方向，再利用向量关系求cosei，户2）、合速度|叫以及渡河时间.

【解答过程】当航程最短时，船的实际航线应垂直河岸，此时船在静水中的速度力应斜向上游，船头方向与

水流方向不垂直，所以A选项错误.

设船在静水中的速度正与水流速度灰的夹角为6,因为船的实际航:线垂直河岸，所以心、为与合速度讲勾成

直角三角形,根据三角函数关系可得同|=两8s（180°-8）.

已知同|=6km/h,|户2I=2km/h,M2=6cos（180°-0）,即cos（180°-。）=*根据诱导公式，可得

-cosJ=；,所以cos。=-：,即cos〈di，方2）=一；H—-，B选项错误.

•5，•

由可、方2与合速度讲勾成直角三角形，根据勾股定理可得用=J历一历2匕

将扬il=6km/h,口2|=2km/h代入，可得用=<62-22=、36-4=促=4&km/h,C选项正确.

河宽d=400米=0.4千米，合速度|训=4/km/h,可得亡=芸=五磊人

将施h换算为分钟，所以亡=急乂60=3四分钟工3分钟，D选项错误.

故选:C.

7.（5分）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花

隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2,若正八边形ABCD-EFG”的边长为2,2是正

八边形/WC7J-E/GH八条边上的动点，则布•松的最小值为（）

3/14

A.V2B.0C.-2V2D.-4\/2

【答案】C

【解题思路】根据P的位置进行分类讨论，根据向量数量积运算求得正确答案.

【解答过程】设(而，而>=e,

当P与A重合时，丽•丽=0；

当P在线段43(除力)、线段BC、线段CD,线段线段EF(除广)点上运动时，

0<0<-cos0>0,所以而•万二|^P|•\AB\­cosO>0,

2f

当P与尸重合时，8=]所以而"力=|彳户卜|力矶•cosOnO,

以｛为原点，AB.A尸分别为无,y轴建》.平面直角坐标系，

根据正八边形的性质可知力尸=2+(2xsin；)x2=2+2VL2cos^=企，

则广(0,2+2j2),G(—d2,2+V2),W(-V2,V2),^(2,0),

直线GF的方程为y=x+2+2四，直线GH的方程为％=-衣，直线AH的方程为丫=一％,

当P在线段G尸(除尸)上运动时，设P(x,x+2+2&)(-aW%<0),

所以而.AB=(x,x+2+2a)•[2,0)=xG[-72,0),

当P在线段GH上运动时，设P(一夜,。(企<t<V24-2),

所以而AB=(-\/2,t)-(2,0)=-2V2,

当P在线段4H(除4)上运动时，设P(x,r)(-V0),

所以而=(%,-%)-(2,0)=2xE[-2V2,0).

综上所述，而•希的最小值为-2亚

故选：C.

4/14

8.（5分）在△?18C中，a,>c分别为内角4,8,。所对的边，已知acosf+WasinC,一匕-c=0.设。为边8C

上一点，若AD=由,且黑=等，则△48C面积的最小值为（）

CDb

A.2V3B.3V3C.4遮D.66

【答案】A

【解题思路】根据已知条件恒等式，求得力然后设乙区4。=火0V。V》则4以0=?一仇利用面积

<3<5O

关系>些=整=，可以得到Zsine=VHcos”，从而求得tand；可利用面积关系5&谢=S^ABD+力"。可以

S^ACDCDb

得到儿=2c+b,再利用基本不等式求出儿的取值范围，再根据面积公式计算可得.

（解答过程】由正弦定理可得sinAcosC+V3sin/lsinC—sinB—sinC=0,

又sinB=sin（n—A—C）=sin（A+C）

所以sinAcosC+VJsinAsinC-sinQ4+C）—sinC=0,

由两角和正弦公式可得,V5sinAsinC-cosAsinC—sinC=0,

又CW（0,n）,所以sinC>0,所以V5sinH-cosA-1=0,

即sin（4-如土

又WW（0,n）,所以4_旨（_^所以4W即4=或

设/B力0=8（0<8<），则zT4D=g一仇

\'AD=V7,BD.DC=2c:b,

.SMBD_池山Dsin幺D8_BD_2c

•“S&ACDi/lDCDsinzjlDCCDb'

即i=华，化简得2sin。=V3cos0»即tan。=—»

“门bsing-O）b2

又「an"翳=当，解得s.=亨或sin”-亨（舍去），

（siM。+COS20=1

所以sinG-6）=1sin0=等,

5/14

又S^ABC—^^ABD+S»ACD，

所以gbcsin~=~AD.csin®+^AD-bsin(g-O'),

即《be=V7x•c+夕x凶b,即be=2c+bN2\2cb,

2714

所以加之8,当且仅当2c=b=4时取等号,

所以8c=3cs吗=^-bc>2瓜即448c面积的最小值为26

故选:A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.(6分)已知平面向量五=(2,1),益一I=(4,-3),则下列说法正确的是()

A.a1bB.|a+S|=25

c.向量五+加与a的夹角的余弦值为管D.向量d-B在五上的投影向量为d

【答案】AD

【解题思路】利用向量坐标运算求出3的坐标，再利用向量坐标运算逐项判断.

［解答过程】依题意，6=a-(4,-3)=(2,1)—(4,-3)=(-2,4),

对于A,d-5=o,因此d1丸A正确；

对于B,G+B=(0,5),因此|G+瓦=5,B错误:

对于C,cos<d+£&)=U：*=鼻=去C错误：

|a+b||a|5V55

对于D,(a-b)a=5,向量G-»在d上的投影向量为更薛益=G,D正确.

同2

故选：AD.

10.(6分)已知复数z=On?-1》2一(旭2-5m-6)i3(mER),i为虚数单位，2为z的共扼复数，则下列

说法正确的是()

A.若z是纯虚数，则租=±1B.若z<0,则m=6

C.若m=0,则因=历D.若m=-2,则彳在复平面内对应点位于第三象限

【答案】BCD

【解题思路】应用复数乘法运算得2=(1-血2)+(血2-57九-6乩结合各项的描述和复数的性质、几何意

义判断各项的正误.

【解答过程】A选项，由z=(m2-l)i2-(m2-5m-6)i3=(1-m2)+(m2-5m—6)i»

6/14

2

若z是纯虚数，贝Wl-m=0可得7n=1,A错；

B选项，若z<0,即f!-^2<°可得m=6,B对；

C选项，若租=0,则z=l-6i,z=1+6i,故|引=后，C对；

D选项，若m=-2,则z=-3+8i,故2=-3-8i,对应点坐标为（一3,-8）,

Z在复平面内对应点在第三象限，D对.

故选：BCD.

11.（6分）在锐角△4BC中，角4,8,C的对边分别为a,b,c,已知6in受=as\nBtbcosC+ccosB=V3,则下

列结论正确的是（）

A.A=-B.a=V3

6

C.△4BC面积的最小值为乎D.b+c的取值范围为（3,2g]

【答案】BD

【解题思路】由三角形内角和，根据正弦定理以及二倍角公式，可得A的正误；利用余弦定理整理等式，可

得B的正误：由正弦定理可得角与边的等量关系，三角形面积与b+c的函数解析式，利用整体思想，结合

正弦函数的单调性，可得CD的正误.

【解答过程】由bsing装=asinB,且B+C=ir-力，则bsin-当=asinB,即一夫=匚二，

2\22/COS-SinB

由正弦定理可得sinA=cos*则2singcos?=cos*由0V4<1,则0V?<

即cos^HO,可得sin?=5解得A=或故A错误；

rtlfecosC+ccosB=V3,根据余弦定理，则b"一'+：一'=V3,解得a=痘,故B正确；

2ab2ac

由号=1=三，则b=4sinB=2sin8,c=-^sinf=2sinC,

sinxlsinBsmCsin-sin-

所以△4BC的面积S=^bcsinA=VSsinFsinC,由C=ir-4-B=与一B,

则5=V5sinBsin（g-B)=V3sin5(singcosB—cosgsinB)

=gsinBcosB+—sin25=-sin2B+—（1—cos28）,

2244'7

=y（ysin2F-|cos2F）+y=ysin（28-J+?，

7/14

0<C<-62666

2

易知当28-合用寸，S取得最大值，为哼,故C错误；

b+c=2sinB+2cosc=2sin8+2sin(g-B），

=2sin8+2（singcosB—cosgsinB）=75cos8+3sinB,

=2V5偿sinB+1cos8）=2VSsin（B+J,

由V8<；,则；<B+?V即sin2<b+cWsing

6236332

可得Q+86（3,2网，故D正确.

故选：BD.

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）如果向量&,3满足冏=3』川=4,0+»•（&+3H=81,则4与3的夹角是一

【答案】g

【解题思路】根据向量数量积的定义及运算律求解即可.

【解答过程】因为闷=3/同=4,设a与坂的夹角为。，

则（d+B）•（五+3b）=a2+4a-fc+3b2

=9+41dll同cos。+3xl6=9+4x3x4cos0+48=81,

得cosO=；,因为6W[0,ir],所以6=%

即号与B的夹角是T

故答案为：泉

13.（5分）若复数z=l+3i是关于x的方程一-2%+。=0（。€咫的一个根，则a的值为

【答案】10

【解题思路】根据复数根的性质和韦达定理进行求解即可.

【解答过程】因为复数z=l+3i是方程/-2%+。=0的一个根，

根据复数根共规成对定理，另一个根为5=1-3i.

由韦达定理，(l+3i)(l-3i)=10=:

8/14

所以a=10.

故答案为：10.

14.(5分)如图，为了测量河对岸48两点之间的距离，在河岸这边取点C,D,测得=90°,z5DC=60°,

LACD=45°,/-BCD=75°,CD=100m,设4B,C,。在同一个平面内，试求4B两点之间的距离为

D------

【答案】50V2m

【解题思路】在△ADC中，求得AD,在△BDC中，根据正弦定理求出BD,在△48C中，由余弦定理得出答

案.

【解答过程】在^BDC中,Z.BDC=60°,乙BCD=75。，则NCBD=45°,

其中sin75。=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°

=^x更+五x2=一,

由正弦定理，得加=事=*=5。(6+l)m,

在△ADC中，Z,ADC=90°,乙4CD=45°,则4=45。,

又DC=100m,则力。=100m,

又ZADB=^.ADC-乙BDC=90°-60°=30°,

在△力8。中，由余弦定理，^AB2=AD24-BD2-2AD-BDCOSLADB

2

=1002+[50(V34-1)]-2x10Dx50(6+l)cos300=5000,

所以A8=50V2m.

故答案为：50V2m.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)平面内给定两个向量G=(3,4)5=(-1,2).

(1)求G与B夹角的余弦值；

(2)若左石一3和G垂直，求Z的值.

9/14

【答案】⑴g

屈

【解题思路】(1)由向量的坐标，利用模长公式以及数量积公式，结合夹角余弦值公式，即可求解;

(2)利用向量垂直的坐标公式计算即可求解.

【解答过程】(1)由向量五=(3,4)工=(-1,2),则々♦1=3x(-l)+4x2=5,

又由同=可可=遍,所以85。=箫|=品=当

所以d与做角的余弦值为,

(2)由题意可得k1-6=(3k+L4k-2),3=(3,4),

因为AG-B和d垂直，所以(五一。)7=0,

即(3k+1,4k—2)•(3,4)=0,化简得9k+3+16k—8=0,解得：k=3

所以若k五一6和五垂直，A的值为:

16.(15分)已知复数z=(tn2+血一2)+(4-mGR,i是虚数单位.

(1)若复数z是纯虚数，求m的值；

(2)当771=一1时，亚数z是关于X的方程32+px+q=。的一个根，求实数p,q的值.

【答案】(l)TH=1

(2)4,13

【解题思路】(1)根据纯虚数的概念，建立不等式以及方程，可得答案：

(2)将复数代入方程，利用复数相等，建立方程，可得答案.

【解答过程】(1)由题可得，m2+m-2=0,且4一加2工0,

由仇2+m-2=0得m=1或m=—2,由4—m20,得m0±2,

故n=1.

(2)当m=-l时,z=-2+3i,

代人关于x的方程/+p%+q=0,得(-2+3i)2+p(-2+3i)+q=0,

整理得，(-5-2p+q)+(3pT2)i=0,

因为p,q为实数，所以

IOUJL/U

解得p=4,q=13,故实数p,q的值分别为4,13.

10/14

17.(15分)在△力8C中，AB=c,AC=h,点M、N分别是48MC上的点，且满足丽=2己丽=CM与

8N的交点为P.

(I)若2=：,〃=；,求力产；

34

(2)若△48C为正三角形，且a=；,〃=：,求族•丽.

«5

【答案】(1片加+畜

(2而-CP=O

【解题思路】(1)利用平面向量基本定理，结合共线定理的推论联立方程组即可得出结论;

(2)结合(1)中结论，再由向量数量积的运算律计算可得结果.

【解答过程】(1)由8,P,N三点共线和4=/〃=%

在^A8N中可得而=mAB+(1-m)AN=mc+—b

4

由C,P,M三点共线，在^ACM中可知彳？=nAC4-(1-n)AM=nh+—c.

•J

'1-n

771=---co

由平面向量基本定理知3,解得n=5，m=L.

----=n

4

所以而=

(2)由8",/7三点共线和/1=1〃.

可知而=xAB+(1-x)ANxc+^b

由C,P,M三点共线知而=yAC+(l-y)AM=yb+犯也己

3

•X=2(l_y)

由平面向量基本定理知)1T3,解得y=[x=%

­=y

因此可得存=转+家，

11/14

则而=而一彳？=;1一

o2

又因为是正三角形，所以同=Ic|5-c=|S||c|cos60=^|d|;

因此3?-CP=(-b+-c}-(-c--b}=—b-c——52+—c2——S-c=—\b\Z——b-c=0：

\77J\7?J49494949491149

即可得而•而=0.

18.(17分)如图，在梯形ABCD中，AB//CD,W.AB=2CD,设而=落BC=b.

（2）若点P满足方+入木且8,。，P三点共线，求实数人的值.

⑶若AD=2,AB=4,4n4B=60°,且点E是线段AC上的动点，求尻•箱的最小值.

【答案】（1）照=一行+2五

⑵2=1

（3）-7

【解题思路】（1）利用向量三角形法则可得：DC=AC-AD,AB=CB-CA,而=2觉，亿简整理即可

得出；

（2）8,D,P三点共线，可得存在实数k使得方=%近+（1-A）而，又觉=近一而，AB=2DC,可得

AC=AD+^AB,又而=：而+4正=：而+4（正一说），可得而=一/标+（：+入）；而，再利用向量

基本定理即可得出.

（3）由向量的线性运算得屁=Q-1）而+g彳瓦BE=tAD+^-l^AB,然后结合数量积的运算律得

DEBE=12（t-^）2-^,利用二次函数性质即可求解最值.

【解答过程】（I）因为沆=公-同，AB=CB-CA,AB=2DC,

所以而一25=2（前一彳5）,化简为彳？=一说+2同=一3+2五.

（2）因为8,D,P三点共线，所以而=/c诟+（1-A）而，

因为反=彳？一而，AB=2DC,所以正=而+^

12/14

又/=於+高=酒+痂=^AD+A（AC-AB）,

所以族=3而+入（而一[而）=一[荏+（；+入）前,

I-+1=1-k'-2，

14

(3)因为点E是线段AC上的动点，设荏=t；??(OWtWl),因为前=而+沅=而+^而，

所以荏=tAD+^AB,

所以而=AE-AD=(t-1)而+:而，BE=AE-AB=tAD+-l^AB,

所以历•FF=［(t-1)AD+g而］•\tAD+(g—1)而］=(t2-t)AD2+(t2-|t+1)7S；4D+

(^t2AB2=(t2-t)x4+ft2-11+