2026年中考数学一轮复习：相交线与平行线（知识梳理+专项训练）

【中考数学一轮复习】相交线与平行线（知识梳理+专题训练）

专题22相交线与平行线

知识梳理

一、相交线

1.邻补角

（1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补

角.

（2）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角.

2.对顶角

（1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这

种关系的两个角，互为对顶角.

（2）性质：对顶角相等.但相等的角不一定是对顶角.

3.垂线与垂线段

（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有•个角为90。时，这两条直线互相垂直，其中的

一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.符号：如AB_LCD.

（2）垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在夹角为90°.垂线是一条直线，不可度量长度.

（3）线段与线段、线段与射线、射线与射线、射线与直线垂直都是指它们所在的直线互相垂直，因此，

垂足不一定在线段或射线上，也可能在它们的延长线（或反向延长线）上.

（4）垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（基本事实）.“有且只有”

说明了垂线的存在性和唯一性，“过一点”中的这一点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外.

（5）垂线的画法

一落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；

二移：沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点

三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线.

（6）垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

（7）点到直线的距离的定义

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

4.同位角、内错角、同旁内角

（1）同位角

定义：两个角分别在两条被截线同一方，并且都在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.

位置特征：在截线同侧，在两条被截线同一方，形如字母“F”.

（2）内错角

定义：两个角都在两条被截线之间，并且分别在截线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做内错角.

位置特征：在截线两侧，在两条被截线之间，形如字母“Z”.

（3）同旁内角

定义：两个角都在两条被截线之间，并且在截线的同一旁，具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.

位置特征：在截线同侧，在两条被截线之间，形如字母“U”.

二、平行线

1.平行线的定义和画法

（1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，记作a〃民读作a平行于6.

（2）平行线没有公共点；在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行，应特别注

意“在同一平面内”这一条件，重合的直线视为一条直线.

（3）平行线定义满足三个条件：一是在同一平面内，二是两条直线，三是不相交，三者缺一不可.

（4）平行线的画法

一落：把三角尺一边落在已知直线上；

二靠：用直尺紧靠三角尺的另一边；

三推：沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过三知点；

四画：沿三角尺过已知点的边画直线.

2.平行线的基本事实及其推论

（1）平行线的基本事实（平行公理）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

3.平行线的判定

（1）判定方法1

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线

平行.

（2）判定方法2

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线

平行.

（3）判定方法3

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两

直线平行.

4.平行线的性质

（1）两条平行线被第三条直线所载，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.

符号语言为：如果a〃从那么N1=N2,示意图如图：

1

（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.

符号语言为：如果a〃儿那么N2=N4,示意图如图:

（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

符号语言为：如果a〃A那么N2+N3=180°.示意图如图：

三、命题、定理、证明

1.命题

（1）定义：判断一件事情的语句，叫做命题，如：对顶角相等.

（2）组成.：命题由题设和结论两部分组成，题设是己知事项，结论是由已知事项推出的事项，通常写成:

“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.

（3）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题.

（4）假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题.

2.定理与证明

（1）定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理也可以作为继续推理的依据.

（2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明.

四、平移

1.平移的定义

（1）定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移.

（2）要素：一是平移的方向，二是平移的距离.

2.平移的性质

性质：平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同，即平移前后的两个图形的对应边平行（或在同

一条直线上）且相等，对应角相等；连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等.

【注意】（1）连接对应点的线段的长度就是平移的距离.

（2）从原图形上一点到其对应点的方向即为平移的方向.

专题训练

一、选择题（共8小题）

1.如图，/JCLMV于点C,射线。在N/1CM内，CFICD,下列说法正确的是（）

B.ZNCF=^ACFC.4ACD=/NCFD.4MCD=4NCF

2.如图，把三角尺的直角顶点放在直线。上，a//b,若/1=42",则N2的度数是（）

C.48°D.58°

,Z2=95°,则N3=()

30°C.40°D.45°

4.下列说法正确是（）

A.对顶角相等B.两点之间,直线最短

C.同位角相等D.同旁内角互补

5.如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若=75°,则

-Za=()

6.如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图.已知AB〃CD,AF//DE,Zl=90°,Z2=11O0,NC=135°,

则/鹿的度数是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

7.如图是可调节台灯及其示意图.固定支撑杆/I。垂直底座MV于点0,现调节台灯使外侧光线〃朗V,CE

//BA,若/劭值158°,则/9=()

D.22°

8.如图，在数学活动课上，小明同学将块含有30°角的直角三角板的两个顶点放置在矩形的两条对边上,

A.Z2-Zl=30°B.Zl+Z2=90°C.Z2=2Z1D.Zl+Z2=60°

二、填空题（共8小题）

9.如图，Ixl/lz,口△力回的直角顶点8在直线上上，若Nl=35°,则N2的度数是

10.小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题如图，已知AB〃CD,N8//=87°,

/从方=121°,则.的度数是

,Z2=40°,则N3=

12.如图，某条公路可视为直线/,从公路外一点夕向公路前进，阳垂直于直线）,三条路线以，PB,W中

最短的是,依据是

13.将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若Nl=37°,则/2=

若=,则N2=度.

A

15.如图，直线a〃4Zl=75°,Z2=35°,则N3的度数是

16.图①是用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知AB〃CD,。表示吸管.若Nl=76°,则

Z2=_________

三、解答题（共5小题）

17.已知如图1,线段18〃徽在月8、切间取一点尸（点尸不在直线力C上），连接诩、PC,

图1图2图3图4

(1)请探索N4〃。与/月、NC之间的关系，并说明理由.

(2)若点夕在图2的位置时，请探索与乙人NC之间的关系，并说明理由.

若点夕的位置如图3和图4,请分别写出图3和图4中乙"T与/4NC之间的关系.

18.如图，直线相、5相交于点0,彼,平分/伙M,0F10D,若N/:W=54°,求/力比、的度数.

B

0

D

19.如图，一条直线分别与直线AE.直线DE、直线AF.直线始相交于点B,G,H,C,N1=N2,AH//CD.求

证：

(1)AF/ZEDx

(2)ZA=ZD.

20.已知4?〃⑦，点£在切连线的右侧，/力宏与N0定的角平分线相交于点色

(1)如图1,若Nl=65。，Z2=75°,求N尸的度数.

求证：N62NP=360°.

(3)如图2,若//:、=〃『，4PBF=n/ABP,PDF=nCDP,求的度数(用依〃的代数式表示).

E

图2

21.如图，直线〃劭被直线比所截,连接/区CD,BA平分4CBD,且与线段⑦相交于点反产是线段

・依上一点，连接就若NA=4ABC,N/1/泞/。加9=180°.求证：EF//BC.

AC

参考答案与解析

一、选择题（共8小题）

题号12345678

答案CCBAABBA

一、选择题（共8小题）

1.【答案】C

【分析】对于选项4依题意得/力CJUN/O-90°,/DCF=90：由于〃'不一定是/4少的平分线得

N/1切与N/16F不一定相等，据此可对该选项进行判断；

对于选项员由于）不一定是/4CV的平分线得乙优F与/不一定相等，据此可对该选项进行判断;

对于选项C,根据/力a^N/lg90°,ZA5SRZJ6F=9O°得N〃7?=NA彷据此可对该选项进行判断：

对于选项〃，根据/M"N.Vg90°,NAgND=90°得NMCD=NACF,由于）不一定是的

平分线得NAM与4”不一定相等，进而得NJ£9与N.M⑦不一定相等，据此可对该选项进行判断综上

所述即可得出答案.

【解答】解：对于选项人

•・"CLMV于点。，CFVCD,

••・/力以，=/力。"90°,/麻=90°,

由于时加?不一定是/〃b的平分线.

N4⑶与N力”不一定相等，

・••该选项不正确，不符合题意；

对于选项B,

O不一定是N力CM的平分线，

・•・NAU与N/16F不一定相等，

・••该选项不正确，不符合题意；

对于选项C,

V^ACD^ACF=ZJ6；V=90o,/NCR/ACF=4DCF=W0,

・•・NACD=/NCF,

・•・该选项正确，符合题意；

对于选项〃，

":乙DCF=90",

:,/MCIR4NCF=180°-/〃6F=90°,

又,：4NCR/ACF=/DCF=90’,

・•・AMCD=ZACF,

由于b不一定是N/10V的平分线，

・•・NA）与N/1Q7不一定相等，

・•・/业勿与/般万不一定相等，

・••该选项不正确，不符合题意，

故选：C.

2.【答案】C

【分析】利用平行线的性质得出N3=/2,再利用N1与N3互余即可.

【解答】解：如图：

；・Z2=Z3,

VZ1+Z3=9O°,

AZ1+Z2=9O°,

VZ1=42°,

AZ2=90°-Zl=90°-42°=48°.

故选：C.

3.【答案】B

【分析】作〃〃/,根据平行线的性质求出N*再根据角的和差得Z5=N2・N4=95°-65。=30°,

再根据平行线的性质即可求解.

m

VZ1=115°,

Z4=180°-Zl=180°-115°=65°（两直线平行,同旁内角互补）,

AZ5=Z2-Z4=95°-65°=30°,

又•・•/〃/,

:.n//m,

・・./3=N5=30°（两直线平行，内错角相等），

故选：B.

4.【答案】A

【分析】根据对顶角相等以及平行线的性质逐项进行判断即可.

【解答】解：A.对顶角相等，因此选项力符合题意；

旦两点之间线段最短，因此选项8不符合题意；

C.两直线平行，同位角相等，若两直线不平行，同位角也不相等，因此选项。不符合题意：

D.两百线平行，同旁内角互补，若两直线不平行，同旁内角也不互补，因此诜项〃不符合撅竟：

故选：A.

5.【答案】A

【分析】先求解Nl=180°-75°-60°=45°,再结合平行线的性质求解NB=135°,再进一步求解

即可.

【解答】解：如图所示，

VZa=75°,

r.Zl=180°-75°-60°=45°,

•・•直尺的两条对边平行，

・・・NB+N1=18O°（两直线平行，同旁内角互补）,

AZ3=135°,

・・・NB-Za=135°-75°=60°,

则/B-Na的度数为60°,

故选:A.

6.【答案】B

【分析】根据题意，延长/应交庞于6点，利用力内〃龙及N2,求出/曲V的度数，再根据/伊〃口，求

出/⑦V的度数，从而得到结果.

【解答】解：如图，延长月8交小于尸点，

DME

'：AF"DE,Zl=90°,

，/9=90°,

•・・N2是△/“伤的外角，

：・/2=/BME+/EBM,

VZ2=110°,

AZW=20°,

•：AB//CD.

・•・/©•/砌=180°,

VZ6"=135°,

••・NCHQ450,

:・/CBE=/CB业/EBM=65°.

故选：B.

7.【答案】B

【分析】如图所示，过点1作“〃就V,过点8作皮/〃⑦，於AG"MN〃BH〃CD,由以L"得到N%；=

90°,则/胡G=N%0-NM;=68°,进而得到//!〃〃=/例G=68°,再根据平行线的性质得到/力心

N伙％'=180°=4CB小乙BCD,由此即可得到/〃。'=/力为/=68°.

【解答】解：过点A作AG"VN,过点8作BH//CD,

CD

图2

•；CD//

：,AG//MN//HH//CD,

•・•OAJLM

：.AGLOA,

•・•/胡0=158°,

:/BAG=/BAO-/OAG=68°,

:・/ABII=NBAG=68°,

由题意可得：NABC+NBCE=18G0=4CBM/BCD,

:・/AB卅4CB出/BCE=1800=/CB出/BCE+/DCE,

：・/DCE=/ABH=68°.

故选：B.

8.【答案】A

【分析】根据三角形外角的性质可得N3=30°+Z1,然后利用平行线的性质可得答案.

・•・N2=N3,

VZ3=300+Z1,

AZ2=300+N1,

・・・N2-Zl=30°,

故选：A.

二、填空题（共8小题）

9.【答案】55°.

【分析】根据平行线的性质进行计算即可.

【解答】解：如图所示，

A

VZ1=35°,N/1肥=90°,

・・.N3=55°.

V卜〃h,

AZ2=Z3=55°.

故答案为:55°.

10.【答案】34°.

【分析】延长交4,于E根据两直线平行，同位角相等，可得/CFE=/BAE=87°,再根据三角形

外角的性质得/谓NE=N〃区即可求解.

【解答】解：如图，延长⑦交用于凡

•：AB//CD,NBAE=87。,

・・・/。斐=/胡£=87°（两直线平行，同位角相等），

♦：4CF及乙E=4DCE,

：・4E=4DCE-4CFE=\2\°-87°=34°,

故答案为：34°.

11.【答案】70.

【分析】根据平行线的性质及三角形的外角性质即可解答.

【解答】解：

・・・Nl=NH=30°,

r.Z3=Z/f+Z2=Zl+Z2=30°+40°=70°,

故答案为：70.

12.【答案】PB,垂线段最短.

【分析】由垂线段最短，即可得到答案.

【解答】解：三条路线处，PB,ZT中最短的是能依据是垂线段最短.

故答案为：PB,垂线段最短.

13.【答案】53°.

【分析】由平行线的性质可得/1=N3,Z2=Z4,求得Nl+N2=N3+N4=90°,再求解即可.

【解答】解：如图，

由平行线的性质可得N1=N3,Z2=Z4（两直线平行，同位角相等），

VZ3+Z4+Z5=180°,Z5=90°,

.,.Zl+Z2=Z3+Z4=90°,

VZ1=37°,

AZ2=90°-Zl=900-Zl=53°.

故答案为：53°.

14.【答案】70.

【分析】根据两直线平行，同位角相等得到NC=N1=UO°,再根据两直线平行，同旁内角互补得到/

2=180°-NC,据此求解即可.

【解答】解：•・•"'〃"£Zl=110°,

/.Z6^Z1=11O°（两直线平行，同位角相等），

•:DF"AC,

AZ2=180°-Zl=180°-110°=70°（两直线平行，同旁内角互补），

故答案为：70.

15.【答案】40°

【分析】根据两直线平行，同位角相等可得/4=/1,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个

内角的和列式计算即可得解.

【解答】解：如图，•・•直线

・・.N4=N1=75°,

由三角形的外角性质得，Z3=Z4-Z2=750・35°=40°.

【分析】依据题意，由已知条件可得N1=N3=76°,又由于N2与N3是邻补角，则可得N2

的度数.

【解答】解：如图所不，

r.Zl=Z3=76°.

•・・N2与N3是邻补角，

AZ2+Z3=180°.

AZ2=180°-Z3=180°-76°=104°.

故答案为：104.

三、解答题(共5小题)

17.【答案】(1)N/14NR+NG

(2)/APG(Z/1+ZO=360°；

(3)图3中：ZAP&ZA-ZC=18Q°，图4中：ZAPC-(Z/l-ZO=180°.

【分析】(1)过点、P作PE//A&根据平行线的性质，即可求解；

(2)过点尸作比〃力8,根据平行线的性质，即可求解：

(3)图3中，过点U作/〃优，图4中，过点P作作?〃然，分别利用平行线的性质,以及角的和差

关系进行计算即可求解.

【解答】解：(1)如图：过点尸作分〃/区

工/仁/APE,

'：AB//CD,

:.PE"CD,

，/。=/叱(两直线平行，内错角相等),

•・•4APC=4APE+/EPC,

：.4APC=/A'/a

(2)如图：过点、P作PE〃AB,

AB

CD

.*.Z/1+Z/l^=180°,

-：AB//CD

：,PE//CD,

：.ZaZEPC=180°（两直线平行，同旁内角互补），

・•・/1+/力阳N3N=360°,

••・N4mN4+NC=360°,

AZAPC+（/月+NC）=360°；

（3）图3中：ZAPOZA-Z0=180°，图4中：4APC-（Z/1-ZO=180°,

理由如下：过点尸作尾'〃或，

'：AB//CD,

・•・/%〃/]4

.,.ZJ+Z/l^=180o（两直线平行，同旁内角互补）,

：.ZA+ZAPC-^EPC=[^°,

・•・//+/力产C-NU1800,

：,AAPaZA-Z6^180°；

如图：过点、P焊PE〃AB,

:.NA=/APE,

'：AB//CD,

:、PE"CD,

・・・/3/"”180°（两直线平行，同旁内角互补），

・・・/力/力e'-N/1必'=180°,

：.ZaZAPC-Z/l=180°,

AAAPC-（ZJ-ZD=180°.

18.【答案】720.

【分析】依据。/」勿，NEOF=54：可得Na应=90°-54°=36°,再根据应'平分N8M,即可得出

N4"=2/〃在'=72°,依据对顶角相等得到/月利.

【解答】解：・・・。工必，ZW=54°,

・•・/〃%=90°-54°=36°,

又•・•庞1平分N时,

：.ABOD=2ADOE=72°,

AZAOC=72°.

19.【答案】（1）'：N\=/CGD,Z1=Z2,

，/2=/皈，

：.AF//E!\

（2）'：AF//ED,

:・/A=/BED.

■:AB//CD,

・•・/BED=/〃,

【分析】（1）根据平行线的判定进行证明即可;

（2）根据平行线的性质进行证明即可.

【解答】证明：（1）.:A=£CGD,Z1=Z2,

・・・N2=NC切，

：.AF//EDx

（2）'：AF//ED,

:・/A=