2026年高考数学复习：平面向量（高频考点专练）原卷版

专题05平面向量

目录

高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）

〔核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）

，聚焦题型楷旗解密（4大题型精讲+变式拔高训练）

题型一平面向量共线问题（♦♦♦）

题型二平面向量数量积问题（f）

题型三平面向量垂直、模、夹角问题（♦♦♦）

题型四平面向量投影向量问题（★★★）

题型五利用向量解决平面几何最值问题（★★•）

|实战演练裔致提分（高考仿真模拟+限时训练提升）

有关平面向量的北京高考试题，平面向量问题以基础性为土，突出向量的线性运算和坐标运算,特别是

线性运算、夹角计算、数量积考查较多，模的计算、向量的垂直与平行也经常出现,向量的综合问题间隔考查.

平面向量重点突出其工具功能.向量备考应重视基础知识，要求考生熟练掌握基本技能。

基础知识必备：熟练掌握向量的线性运算和坐标运算;

2026高考预测：平面向量主要以选择题形式出现，也有可能会将其渗透在填空题的表达之中.具体评估为:

以选择题或填空题形式出现，考查学生基础知识，熟练掌握向量基本技能.

核心考点J梳理

重难知识汇总:

1、向量数量积的性质

设。与人为两个非零向量，e是与〃同向的单位向量.

①e•a=a•e=cicos0

@a±b<=>ah=O

③当〃与/?同向时，。•8=卜'0；当〃与人反向时，ab=-ab.特别的c，a=o或〃卜Ja.a

④cos0="卜

\a\-\b\

⑤小冰琲

2、向量数量积的坐标表示

①已知两个非零向量a=(X，y),b=(x2,y2),ab=xtx2+yty2

②设。=(x,y),则|〃『二犬+)3或

③如果表示向量。的有向线段的起点和终点的坐标分别为(3,y)、5,乃)，那么

\a\=7(-^i-^)2+(>i-^)2(平面内两点间的距离公式)•

3、向量加法与减法的法则：

平行四边形法则：以同一点O为起点的两个一知向量mb为邻边作口O4C3,则以O为起点的对角线历就

是Q与方的和.

Bc

图形表示：

字母表示：OA+OB=OCOA-OB=BA

坐标表示：记OA=(士,y),OB=(x2,%)则OA+OB=(xl+y,再+y2)

OB-OA=(X2-X],y2-),)

三角形法则：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量

的终点为终点的向晟.

B

图形表示：^^7

字母表示：OA+AB=08

坐标表示：记。4=(曷，y),OB=(X2,y2)则OA+OB=(xi+)\,x2+y2)

OB-OA=[xi-x1,y2-)i)

4、向量数乘的定义

实数4与向最刁的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作加

才

图形表示：

A'~

字母表示：AB=ma(inGR)

坐标表示：记a=G,_y),则ma=(nix,tny)

5、两个向量的数量积

图形表示:

字母表示：«-/?=|O|-|/J|COS^,M

坐标表示：记4=（玉，y），人=区，%），则a^=XlX2+>\了2

注意：

1、向量B与非季何拿之共线的充要条件是有且只有一个实数几，使得5=布.

2、设2=（%，），|）,〃=（々，%）&〃〃，=>x1y2-x2yl=0,

a_hoa•〃=0o七必+=。.

3、两个向量a,B的夹角公式：cos。=,司々+?’2

&+）广百+才

常用技巧方法：

1、向量在几何中的应用

①线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件

aI比=a=Ab（b工0）。（x,,y1）=2（x2,y2）

②垂直问题，常用垂直的充要条件

04力=0oxix2+y\y2=0

③求夹角问题，利用cose=q-='乎2=）户

旧+y；•收+£

④求线段的长度，可以利用|〃|=或.鸟卜TN+出-yf

2、极化恒等式

向量方法证明：平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

证明：不妨说赢=反而则念二2+B,~DB=a-b

■♦2・♦2（——\212——I—12

AC=AC=\ci+b）=a+2tz-Z?+/?（1）

收=亩=1-引荆-二£+用⑵

（1）（2）两式相加得：AC.+同=帆+用）=2（国+研

结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

将上面（1）（2）两式相减，4力=；[（4+〃）2-（4一]极化恒等式

即：«./.=^[M2-|DB|2]（立行四边形模式）

在三角形ABC中（M为8C的中点），恒等式：

因为8c=2BM,所以A"AC=|4W「-忸（三角形模式）

极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”，

因此，当两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化.

常见的解决的题型:有中点或能构造中点的积的向最题。

易错避坑提效:

1.忽视平面向量基本定理的使用条件

平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，且不能含有零向量.

2.对向量数量积的定义理解不深刻导致出错

（1）解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，•定要注意向量的夹角与已知角之间的关系是互

补还是相等.（2）向量的数量积。/与代数中。，。的乘积写法不同，不能漏掉其中的

聚焦题型，解密

V.▼

题型一平面向量共线问题

【例1】（2025•北京海淀•二模）已知向量。=（1,2）力=（工-1）.若。与〃共线，则户（）

A.——B.—2C.yD.2

【变式1-1]（2023•北京•三模）已知向量。=（1,2）匕=（3/）,〃与共线，则,―%（）

A.6B.20C.2石D.5

【变式1-2]（2025・北京•二模）设平面向量〃与。不共线,上swR,则Z+心与sa+2A共线”是“求=2”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式1-3]（2023•北京门头沟•一模）已知非零向量〃，人则，与力共线''是"1〃-力目|4-班’的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

题型二平面向量数量积问题

【例2】（2025•北京昌平•二模）已知向量。力,c在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边

长为1，则〃•/?=;（2a+byc=.

【变式2-1］（2023•北京朝阳•一模）如图，圆E1为VA8C的外接圆，AB=4,AC=6,。为边8C的中点,

则皿AE=（）

【变式2-2］（2023•北京•模拟预测）已知式是VA3C的外心,外接圆半径为2,且满足2Ao=A8+4C，

3ULK

若BA在8c上的投影向量为则A。.BC=（）

4

A.-4B.-2C.0D.2

【变式2-3］（2023•北京通州•三模）已知等边三角形/4C的边长为2,□/1的半径为1,PQ为口力的任意一

条直径，则I3PCQ-APCB=

题型三平面向量垂直、模、夹角问题

【例3】（2025・北京大兴•三模）已知平面向量.=（1,2）,b=（2,m）,若〃），则实数加=（）

A.-1B.1C.-1或1D.4

【变式3-1］（2025•北京•三模）已知单位向量满足，-方卜1,贝iJa—2b的模为.

【变式3-2］（2025•北京门头沟•一模）已知向量〃，8满足忖=5,8=（3,4）,且力的夹角为?，则口」=

（）

A.5近B.5>/3C.5D.10

【变式3-3]（2025•北京丰台•二模）已知向量满足闷=明=2,且必../,,则“与〃的夹角为（）

n-兀〃2兀仁5冗

A.-B.-C.——D.—

6336

题型四平面向量投影向量问题

【例4】（2024•北京•模拟预测）己知向量。=（1,一6）,“在〃上的投影向量为gb,卜+q=5，则

I*-------------------------

【变式4-1]（2024•黑龙江•二模）已知忖=5,八（-1,2）,〃在力上的投影向量为〃?=（—2,4）,则向量〃与〃

夹角余弦值为（）

A.迈B.好C.-D.-好

5555

【变式4-2】（2023・北京•模拟预测）在平面直角坐标系Qy中，单位圆上三点48,C满足：A点坐标为（1,0）

（\utlUIK1

并且A8=8C,08在。4上的投影向最为可，。，贝lJOAg9C=_

【变式4-3]（25-26高三上•北京顺义•月考）在平面直角坐标X。中，已知三点4（l,l）,3（m,3）,C（3,〃）,若向

量。及OC在上的投影向量相同，则"】-〃的值为（）

A.-3B.0C.3D.6

题型五利用向量解决平面几何最值问题

【例5】（2025•北京西城•模拟预测）在RIZSA8C中，AC=BC=4,。为"的中点，P为线段CD上的一

个动点，则（PA+P/3）・PC的最小，直为.

【变式5-1]（2025•北京海淀•三模）已知VA8C中，A8=4,疝】C=§,则AB-AC的取值范围是（）

A.[-20,4]B.[-10,2]C,[-2,10]D.[-4,20]

【变式5-2]（2。25•北京海淀•二模）已知VA3C'为等腰直角三角形，/C'为直角，直角边长为2,点户在三

角形所在平面上，向量AP为单位向量，点。满足。。=。2，则8C8。的最大值为（）

A.4B.3夜C.5D.6

【变式5-3]（2024•北京•三模）已知点N在边长为2的正八边形…,4的边上，点M在边AA2上，则

AM•AN的取值范围是（）

A

A.[-4-B,[-4,4+272]

C.[-2夜,4+2&]D.[-2x/2,4]

藤分\-

（限时训练：15分钟）

1.（2025•北京•三模）已知向量日、力满足〃+〃=（3,5）,4—人=（一1,1）,则卜1―（）

A.2B.-2C.0D.6

2.（2025•北京•三模）设。也c是非零平面向量，则“（。。"=伍七）・4”是“4=/?=。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2025•河南•二模）已知向量〃=（1,3）,^=（1,-1）,c=（-2,4）,则6（〃+c）=（）

A.-8B.8C.-4D.4

4.（2025•北京东城•二模）已知单位向量的夹角为0,若卜+则0的取值范围为（）

5.（2025•北京房山一模）已知向量a=（x」）,b=（l,2）,若则卜-司=（）

A.2B.75C.空D.VlO

2

6.（2025•北京•二模）设圆/+）?+4x-6y+5=0的圆心为M,直线丁=一式+[与该圆相交于两点若

MAMB=Y，则实数/二（）

A.1B.3或IC.3D.3或一1

7.（2025・北京•模拟预测）如图，OM〃"，点尸在由射线OM、线段08及A6的延K线围成的阴影区域

内（不含边界）运动，月.。。=-：。4+义。8,则/1的取值范围是（）

O

8.（2025•北京朝阳•二模）在矩形/仍C7）中，A81AD,AD=2,AB=VL点E为线段AO的中点，BE与AC

交于点厂.设AE=4G+&S（K，%£R）,其中q/分别是与A8,AO方向相同的单位向量，则（）

A,2,及n.V2,2

A.^=-^2=—B.k.=——,k,=-

13-3

,1,V2

Lr.k]=一，心=--D.4=2,仁=：

3-33—3

9.（2025•北