人教版九年级数学下册相似三角形专项讲义：图形研究

图形研究1直角三角形与相似

方法技巧：注意直角二角形中的直角相等为证明相似创造条件.

类型一射影型相似

1.如图在△ABC中,NACB=90o,CD_LAB于点D,E,F分别为AC,BC上的一点，且DE±DF$=：.

⑴求器的值；⑵求黜值

2.如图，在RSABC+，ZACB=9C'°,AC=BC,E为BC边上一点,CF_LAE于点F,连接BF,若NBFE=45。.求证:E

为BC的中点.

类型二作垂直构造相似

3.如图.在RSABC中.NBAC=90o,ADJ_BC于点D,0是AC边上一点，连接B0交AD于点F,OE±OB交B

C于点E.

(1)求证:NAFO=NDEO;

⑵若OA=OC=AB,求芸的值.

图形研究2等腰三角形与相似

方法技巧：借助等腰三角形的性质及45,60等特殊角寻求相似解决问题.

类型——线三等角型相似

1.如图，口/CB为等腰直角三角形，O是斜边AB的中点,E,F分别为AC,BC上的一点，目UEOF=45.

⑴求证:△AOE^ABFO;

⑵若AB=4,求AEBF的值.

类型二利用等边三角形的性质得相似

2.如图.等边△ABC的边长为6.在ACBC上各取一点E,F,使AE=CF,,连接AF,BE相交于点P.

(1球证：UAPE=60

⑵若AE=2,求APAF的值

类型三利用等腰构相似

3.如图.在△ABC中点D.E分别在功BC.AC上月.力。=4斤「改求证：会=空.

类型四利用三线合一构相似

4.如图，在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,.过点C作C。匚BC,AC,BD相交于点O.若/ADB=2NCBD,求CD的长.

A

D

O

B

图形研究3平行四边形与相似

方法技巧：从平行或等角寻找相似三角形求解.

类型一直接找平行相似

1.如图，在口4次力中，AB=BC=6QABC=60过点D作DEDBC,,交BC的延长线于点E.连接AE分别交

BD,CD于点F,G.求FG的长.

类型二利用平行四边形的性质导角寻找相似

2.如图，在中，AMBCWNDCD,,垂足分别为M,N.

(1球证：［AMBJLAND-

(2球证:答=要

BM

类型三利用平行四边形的平行条件构造A,X型相似

3.如图，在口力8。中,E是AB的中点,F为AD上一点，且DF=2AF,EF交AC于点G.求学勺值.

AEB

图形研究4特殊四边形与相似

方法技巧r利用矩形、正方形的性质结合基本图形构造三角形相似解决问题;

1.如图.在矩形ABCD中点E,F分别在边AD,BC上将四边形ABFE沿EF翻折使点A的对称点P落在CD

上点B的对称点为G,PG交BC于点H.

(1)求证：UEDPULPCH\

(2诺P为CD的中点且AB=2,BC=3,求GH的长.

2.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图"，它是由四个全等的直角三角形和中间

的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正方形ABCD的两边于点E,F,记正方形ABCD的

面积为a,正方形MNPQ的面积为a•若BE=kAE(k>l).求3的值•(用含k的式子表示)

3.如图,在菱形ABCD中.对角线AC和BD相交于点O,AD=5,AC=8,延长BC至点E,连接0E交CD于点

F.若［七=；口/CR求义的值

2EF

BE

图形研究5圆与相似(一)角角相似

方法技巧：利用圆的性质证角度用等，进而构造相似三角形解题.

类型一构射影相似

1.如图，AB为半圆0的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点C,与OF的延

长线相交于点D,AC与OF相交于点E,且DC=DE.

(1成证：ODAB\

(2)若OA=2OE,DF=2.求PB的长.

类型二构子母相似

2.如图,AB,BC为。O的弦，口力BC=45/。口0,交BC的延长线于点D.

⑴求证人口是。O的切线；

(2)AB交OC于点E.若AE=10,BE=6.求。0的半径.

类型三构仿A相似

3.(2025齐齐哈尔中考)如图，口加C内接于OO,AB为。O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD,且

口4CO一过点B作.BEQAD^CD于点E.

C

(1)求证:CD是OO的切线;E

(2)若B是AD的中点，且BE=3,求。O的半径.

图形研究6圆与相似(二)A型相似

方法技巧：构造平行条件，迸而得到A型相似解决问题.

类型一连半径一平行

1.(2025东营中考)如图,AB是。0的直径C是。O上异于A,B的一点，连接AC,BC,点D在BA的延长线上，

且0a点E在DC的延长线上，且.BECDC.

(1)求证:DC是。O的切线;

(2)若累=|/E=10,求AD的长.

类型二作垂线一平行

2如图,AR为GO的直径C为G。上的一点，连接ACRC,过点C作⑷。的切线交AR的延长线于点D

⑴求证:□BCQ=：M；

⑵若BC=6,AB=10,求BD的长.

类型三连垂弦T平行

3.如图，在用EM8C中，匚8=90,AE平分LBAC^BC于点E,圆心O在AC上经过点A,E的。O分别交A

B.AC于点D.F.

⑴求证:BC是。O的切线：

(2诺BD=I，AC=6,求00的转.

图形研究7圆与相似(三)X型相似

方法技巧：构造平行条件，进而得到X型相似解决问题.

类型一连半径一平行

1.如图,AB为。。的直径,AC为弦.匚8片际平分线交。O于点D,过点D作。O的切线交AC的延长线于

点E,OE交AD于点F.

(1)求证・DEQAF;

⑵若.惠求海值.

类型二作切线一平行

2.如图,在□/&、中，AB=AC,G>0是□力4C0勺外接圆，BO的延长线交边AC于点D.

(I)求证：3BAC=23ABD\

⑵当AD=2,CD=3时，求BC的长.

类型三构直角-平行

3.如图.AB是。O的直径，点C,D在OO上,OD平分.U/OC,延长DO交。O于点E、连接CE交OB于点F,

过点B作。0的切线交DE的延长线于点P.若竽=QE=1,求。0的半径

图形研究8双曲线与相似

方法技巧：作垂线构造直角三角形相似，得线段关系，进而转化为坐标关系，再通过方程求解.

类型一构A型

1.（2025宜宾中考改编）如图，O是坐标原点，双曲线尸T”0归直线y=-2x交于点A,点B在产4刖的

图象上，直线AB与y轴交于点C,连接OB,若AB=3AC求OB的长.

类型二构K型

2.如图.在矩形AOBC中.B(4,0),A(0,3),反比例函数,旧的X))的图象分别与边AC,BC交于E,F两点，将DCEF

沿EF折叠，点C恰好落在边0B上的点G处，求此时反比例函数的解析式.

类型三构射影型

3.如图.已知点A(8,l),B(0,-3),反比例函数产沁期的图象经过点A,动直线.x=t(0<t<8)与反比例函数的图象交

于点M.

⑴直接写出k的值；

⑵若48,求t的值

A

图形研究9抛物线与相似(一)角度问题

方法技巧：利用已知角度(关系)发现或构造相似三角形，得到线段关系，再用方程求解.

类型一等角构

1.如图，抛物线片《?+力x+c与X轴负半轴交于点A,与y轴交于点C,顶点为D.其中A(-3,()),D(-l,-4).

⑴直接写出该抛物线的解析式；

(2)在第三象限内的抛物线上找点E,使匚。"=口。力。,求点E的坐标.

类型二直角构

2.如图，抛物线产-12+厂1的顶点为A,与y轴的交点为B,C为抛物线上一点,且口。8=9()，求点C的

坐标.

3.如图，抛物线尸-『+2x+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,P为抛物线上一点，且"4C是以AC

为直角边的直角三角形，求点P的坐标.

图形研究10抛物线与相似(二)线段比

方法技巧：利用已知线段(关系)构造相似三角形，得到铅直或水平线段关系，再用方程求解.

类型一构A(X)型

1.(2025宜宾中考)如图,抛物线产-好+上4c•与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,其中A(3,O),C(O,3).

⑴求b,c的值;

(2)D为抛物线上第一象限内一点，连接BD,与直线AC交于点E,若隼=；，求点D的坐标.

类型二构仿射影型

2.如图，抛物线尸2-3"2与坐标轴交于A,B,C三点，P为抛物线上一点，于点M,且得=；，求点

P的坐标.

类型三构位似形

3.如图，抛物线y=\分别交x轴,y轴的正半轴于A,B两点，且0A=20B.

⑴求抛物线的解析式；

(2浮移直线AB交第二象限的抛物线于点M,交x轴于点N,且.MN=4AB.求匚的面积.

图形研究1直角三角形与相似

1>:(I)VZACB=90°,CD1AB,□□/)+□5=90=UB+UBCD

.\ZA=ZBCD,

/.△ACD^ACBD,

BD_CD

-CD~7D'

设BD=x,AD=4x,

ACD=2x,

5C=BD=£.

AC-CD_2y

(2)VDE±DF,CD±AB,

/.ZEDF=ZADC=90°,

AZCDF=ZADE,

XVZA=ZBCD,

AADFC^ADEA,

lDEDC1

—=1=―

DEDA2*

2.证明:丁ZACB=90°,AC=BC,

匚□44E=45,

匚匚BFE=45,

AZABE=ZBFE,

AAABE^ABFE,

rBE=EA

罚一而，

[BE^=EF匚EA.

VZACB=9O°,CF1AE,

AACEF^AAEC,

CE=EA^

EF~CEy

LCE^=EF^EAy

[BE2=CE2,

ABE=CE,

・・・E为BC的中点.

3.解:(1)•・•NFDE+ZFOE=180°,，ZDFO+ZDEO=360°-180°=180°,

又•・・NAFO+NDFO=180°,

AZAFO=ZDEO;

(2)过点O作OH_LAC交BC于点H.

VAB=AO,ZBAO=90°,

匚口408=45=U8。〃，

CDBOE=90,

AZHOE=45°,

.*.ZAOF=ZHOE,

又•.•/AFONDEO,

.,.△AOF<^AHOE,

OF=OA=OC

~OE~~OH~~OH'

VOH^AB,

/.△HOC^ABAC,

r-=—=9

OH-AB-'

图形研究2等腰三角形与相似

1>:(1)VCA=CB,ZC=9O°,

，NB=NA=45。,

VZEOB=ZA+ZAEO,

且/EOF=NA,

AZFOB=ZAEO.

AAAOE^ABFO;

(2)由(1)得4AOE^ABFO,

A£=OA

~OB~~BFy

/.AEBF=OAOB,

AAEBF=4.

2.解:⑴•・,AABC为等边三角形，,AB=AC,NBAC=NC,又＜AE=CF,

/.△AFC^ABEA,

AZFAC=ZEBA,

AZAPE=ZEBA+ZFAB=ZBAC=60°;

(2)VZAPE=ZC=60°,ZPAE=ZCAF,

/.△AEP^AAFC,

AP_AE

花一加

.,.APAF=AEAC=2x6=12.

3.证明:过点C作CH〃AD.交DE的延长线于点H,

则NADE=NH=NB.

VAD=AE,

・•・ZH=ZADE=ZAED=ZCEH,

ACE=CH,

VZADC=ZADE+ZHDC=ZB+ZBAD,

AZHDC=ZBAD,

AABAD^AHDC,

r—=—

一CD~AD，

CE_BD

CD~~AE'

4.解:过点A作AH±BC于点H，延长AD.BC交于点E,则NAHC=/AHB=90。.

VAB=AC=5,BC=6,

LBH=HC=；BC=3,

lAH«d-CH2=4,

ZADB=ZCBD+ZCED,ZADB=2ZCBD,

AZCBD-ZCED,

・・・DB=DE.

VDC1BE,

ACE=BC=6,

.*.EH=CE+CH=9,

VDC±BE,AH±BC,

/.CD/7AH,

.,.△ECD<^AEHA,

2=延即?坐

AHHE，49'

CZ)=g.

图形研究3平行四边形与相似

1解:在oABCDcp,AB=BC=6,AAD=BC=CD=6,ZDCE=ZABC=60°,

VDE±BC,

匚CE=；CZ>3,

EDE7cbi-C®=3瓜

匚AE=4D片+AD?=35.

VAD/7BE,

/.△AFD^AEFB.AAGD^AEGC,

竺—也

港-直一§一§，

AF="E)G/AE,

bG=AG-Ab=-^AE=氏.

2.证明:⑴•••四边形ABCD是平行四边形，

/.ZB=ZD,

VZAMB=ZAND=90°,

AAAMB^AAND;

⑵由⑴得喘=喘，

ZBAM=ZDAN,

又•・・AD=BC,

AM_AB

不一证,

AM_AN

~AB~'BC'

VZB+ZBCD=NMAN+ZBCD=l8(r,

AZB=ZMAN,

•••△AMNs/XBAC,

.AM_MN

~AB~'AC'

3.解:延长FE,CB交于点H.

设AF=x.则DF=2x,

V四边形ABCD是平行四边形，

/.BC=AD=3x,BC/7AD.

VE是AB的中点，

BH-BE~'

ABH=AF=x,

.*.CH=4x,

f-A-=G--A=F—1

-GCCH4'

图形研究4特殊四边形与相似

1.解:(1)=NEPH=ZA=90°,/.Z1+Z2=90°,

在无巨形ABCD中,/1+/3=90。,・二/3=/2,

•••△EDPs^PCH：

(2)V四边形ABCD是矩形.

ACD=AB=2,AD=BC=3.

VP为CD的中点.

/.DP=CP=1.

设EP=AE=x,则ED=3-x,

匚E*ED?+D*

“=(3-X)2+1,解得x=1,

rEZ)=3-x=j.

V/XEDP^APCH,

竺=竺

~pc~~pir

二产七,解得pg,

[GH=PG-PH=~.

4

2.解:过点A作AG〃BP,交FE的延长线于点G.

VAG/7BP,

.••△AGEs^BPE,

AG_AE_I

BP~BE~ky

设AG=1,则BP=k.

VZNMP=ZAMG=45°,

AAM=AG=I.

VAN=BP=k,

.\MN=k-l,

匚S〕AN-一必+1,

52=叱=01)2,

一一一+1

&(1)2•

3解:取CD的中点G.连接0G,

・・・0G是^ACD的中位线，

cOG=\AD=^

•・•西边形ABCD是菱形，

CO=^AC=4,

，NACD=NACB,

又丁匚E=；(J4CD,

匚□£=；1/C8,

又〈NACB二NE+NCOE,

/.ZE=ZCOE,

/.CE=C0=4,

VOG是4ACD的中位线，

・・・OG〃AD〃BE,

AAOGF^AECF,

OF=OG

~EF~~CEy

又•・•DOG=|,CE=4,

r-I5

OF■=4=―

EF48*

图形研究5圆与相似(一)角角相似

1解:⑴连接0C.

•••PC与半圆相切于点C,

.\ZDCE+ZACO=90°,

VOA=OC,DC=DE,

,NA=NACO.ZDCE=ZDEC,

VZDCE=ZDEC=ZAEO,

/.ZA+ZAEO=90°,

/.OD±AB;

(2股OE=x，则AO=2x,EF=OF-OE=x,

ADE=DC=x+2,OD=2x+2,

[OACAPD2,

匚(2X)2+(X+2)2=(2X+2)2,

%]=432=0(舍去),

VZD+ZDOC=ZDOC+ZCOP=903,

AZD=ZCOP,

/.△CDO^ACOP,

OD=CD

~OP~OC^

_10_6

。代表

BP=OP-OB=*

2.解:⑴连接OA.

VAD/7OC,

.,.ZAOC+ZOAD=180°,

VZAOC=2ZABC=90°,

AZOAD=90°,

AOA1AD,

AAD是。O的切线；

⑵连接AC.

VAO=COSZAOC=90°,

AZACO=ZCAO=45°,

/.ZABC=ZACE.

AAAEC^AACB,

AE_AC

AC~ABy

AAC2=AEAB=10x(10+6)=160,

匚力C=4回

LAO=CO=4^5,

即00的半径为4遍

3.解:⑴连接OC.

VAB是。。的直径，

AZA+ZABC=90o.

VOB=OC.

AZABC=ZOCB.

VZBCD=ZA,

AZBCD+ZOCB=90°,

/.OC±CD,

VOC为。。的半径，

ACD是。O的切线；

⑵•・*是AD的中点.

ABD=AB=2OC=2OB,

AOD=OB+BD=3OC,

VBE±AD,ZOCD=90°,

/.△DBE^ADCO,

^£=OC=1

；・DE=3BE=9,

[BD=>JDE2-BE2=6>/2,

[OC=3衣，即。0半径为3V2

图形研究6圆与相似(二)A型相似

1解⑴连接0C.

VOC=OB.

/.ZOBC=ZOCB.

VZDCA=ZABC,

/.ZDCA=ZOCB.

XVAB是。。的直径，

/.ZACO+ZOCB=90°,

・•・ZDCA+ZACO=ZDCO=90°,

A0C1DC,

VOC是半径，

ADC是。。的切线；

I"OD3'

J可设OA=OB=OC=2xQD=3x.

XVOC±DC,BE±DC,

AOC/7BE,

/.△DCO^ADEB,

PC_OD_3

匚OO2=6,

/.2x=6,

x=3,

/.AD=OD-OA=x=3.

2.解:⑴连接OC.

VCD是。O的切线.

AZOCD=90°,

/.ZOCB+ZBCD=90°,

VAB为。。的直径，

AZACB=90°,

ZOCB+ZACO=9O0,

，NBCD=NACO.

•・・OC=OA,

•••NACO=NA,

/.ZBCD=ZA;

⑵过点B作BH±CD于点H.

由U)彳导NBCH二NCAB.

又丁ZBHC=ZACB=90°,

/.△BHC^ABCA,

BH_BC

BC-ABf

VOC±CD,BH1CD,

・・・BH〃OC,

/.△BDH^AODC,

BHBD

OCOD

3.解:⑴连接OE.

VAE平分/BAC,

AZBAC=2ZOAE,

VZFOE=2ZOAE,

AZFOE=ZBAC,

・・・OE〃AB.

VZB=90°,

AOE±BC,

ABC是。。的切线；

(2涟接DF交OE于点G.

设30的半径为R,

VAF是。O的直径,OE_LBC,

・•・西边形BDGE是矩形、

.*.EG=BD=l,ZDGE=90°,

AFG/7CE,

AAOGF^AOEC,

rOG=OF

OE-OC>

二A券解得R-2或g

・・・。0的半径为2或g

图形研究7圆与相似（三）X型相似

1.解:⑴连接0D.

VAD平分/BAC,

AZCAD=ZOAD.

VOD=OA,

；・ZODA=ZOAD=ZCAD,

AODZ/AE,

VDE与0O相切，

ADE±OD,

ADE1AE;

⑵连接BC交OD于点G.

VAB为直径，

□JC5-90TECBHCEO—NODE,

••・西边形DECG是矩形，

ADE=CG=BG,

设AC=6x,则AB=10x,

OGQ/^AC,

OG=3x,

，DG=2x=CE,

AAE=8x,

VOD//AE,

/.△ODF^AEAF,

DF_OD_5x_5

一方一五一£一§•

2.解:⑴连接OA.

VAB=AC,

/.OA1BC,

/.ZBAO=ZCAO,

VOA=OB,

.\ZABD=ZBAO,

Z.ZBAC=2ZABD;

(2乂乍AE〃BC交BD的延长线于点E,延长AO交BC于点H,

贝[J△AEDs△CBD,△AOE^AHOB,

r—=—=3

BC~DC_31

l-A=O----A=E—4

OHBH3'

设OB=OA=4a,则OH=3a,

[BH2=AB2-AH2=OB2-OH2,

[25-49^72=16a2-9a2,

BH=y/7a=—4,

L4c=28//=券.

3.解:连接BC.AC,设AC交OD于点H.

VAB是。O的直径，

AACIBC,

VOD平分NAOC,AO=CO,

AOD±AC,/.ODZ/BC,

/.△OEF^ABCF,

lOEOb'5

BCBF6'

设OE=5x厕BC=6x,

[0H=\BC=3x.

2

VPB是。。的切线，

/.ZPBO=ZAHO=90°,

/.△AOH^APOB,

PO_OB

~AO~'oil'

匚等解得尸3

5x3x310

OE£,

ASO的半径为|

图形研究8双曲线与相似

1.解:过点B作BE_Ly轴于点E过点A作AD〃CE,交BE于点D.

由一9一比

解得尸v5（-v5舍去）,

[DE=xA=y/2.

VAD/7CE,

LBD=A—B=c'

DEAC'

[BD=3DE=3C、

JB=BE=DE+BD=4五,

・,•将x=4v5代入尸-二得

X

4V2

旷一发一了，

0*,

OB-4OEL^BE~=的

2.解:过点E作EMJLOB于点M,则EM=OA=3,AMEGS^BGF,

EM_EG

~GB~7iF'

•・•点E(g,3),F(4,1),

EG=EC=，W

GF=CF=3-^

高T，解得G*,

在RtAGBF中，G产=6炉+8户,

8)Y)2+(工

解得k=3,

・••反比例函数的解析式为产子.

O.V

3解:(l)k=8;

(2过点A作AQ_Ly轴于点Q,延长AM交y轴于点P.

VMA1AB,

AAABQ^APAQ,

•丝=”即工丝

BQ40'即48，

解得PQ=16.

AP(0,17).

XVA(8,1),

・•・可求得直线AP的解析式为

y=-2x+17.

・••由-2x+17=-,

X

解得币=-2=8,

图形研究9抛物线与相似（一）角度问题

I.解：（1）尸炉十2L3;

⑵过点D作DS_Lx轴于点S,延长CE交x轴于点G.

,/ZCOG-ZASD-90°,ZOCE-ZOAD,

•••△CGOSAADS,

匚也=生即竺」

DSAS,W42'

・・・OG=6,

/.G（-6,0）,

・•・可求得直线CG的解析式为产-；L3,

由X2+2L3=-23,解得修=0（舍去）与=-1••点E的坐标为沁,

2解易知A（2,0）,B（0