对数函数的图象和性质（同步练习）含解析-2025-2026学年人教A版高一数学上册必修第一册

4.4.2对数函数的图象和性质

一.选择题(共6小题)

1.设q=k)go,5O.2,d=logo.20.5,c=logs1.5,则°,b,c的大小关系为(

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

2.已知函数/（x）,甲同学将/（x）的图象向左平移I个单位长度，得到图象乙同学将/（X）的

图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到图象C2.若G与。2恰好重合，则下

列给出的/（X）中符合题意的是（）

A./（x）=logixB.f（x）=logir

C./（x）=（1）xD.f（x）=2X

3.已知（xi，y\）,（X2,”）是函数y=k）g”图像上的两个不同的点，则（）

A.y\yi>x\X2

B.y])^2<x\X2

C.

D.-p^rL<^p.

4.若实数x,y,z满足2+log2X=3+log3y=5+log5Z,则x,y,z的大小关系不可能是()

A.x>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x

5.函数y-l。囱（x+3）-1<a>0,且的图象恒过定点儿若点/在直线g+〃产1一0上，其中

12

mn>0,则一+一的最小值为（）

mn

l3

A.6B.8C.2x/2D.-

6.已知女R,“2峥2”是“函数y=log△•在（0,+8）上为减函数”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

二.多选题（共3小题）

(多选)8.若OVaVl,则函数y=lo劭(x+5)的图象经过()

A.第一•象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

(多选)9.已知函数/"(%)=，0卬(%2-2。%+2),则以下说法正确的是()

7

A.3f/GR,使得/(x)为偶函数

B.若/(x)的定义域为R,则Q€(—VLV2)

C.若/(X)在区间(-8,1)上单调递增，则。的取值取值范围是[1,+8)

D.若/(x)的值域是(-8,2],则ae{—星，孝}

三.填空题(共4小题)

10.若对任意的托(0,1)U(1,+8),函数歹=]o囱(x-1)+2的图像均经过定点P,则点P的坐

标是•

11.若函数/(x)=2log«(3-x)+l(a>(),且的图象过定点P,则点Q的坐标是.

12.已知指数函数歹="(a>0,且aWI)与对数函数y=k)gax(。>0,且互为反函数，它们的

定义域和值域正好互换.若方程e'+x=2与历x+x=2的解分别为xi，必则xi+x2=.

13.若函数/(x)=log2(-/+2。》+3)在区间[1,2]内单调递减，则”的取值范围

是.

四.解答题(共2小题)

1

14.已知a£R,函数/(X)=log2(-+«).

(1)当。=1时，求不等式/(2D>1的解集：

YX

(2)若。=1,当x€[2,3]时，F(x)=/(2)+log2(2+1),求函数丁=尸(x)的最小值；

(3)当aW3且时，关于x的方程/(x)-k)g2[(。-4)x+2a-5]=0的解集中恰好有一个元

素，求a的取值范围.

15.已知函数f(%)=，002(4"+1)+依为偶函数.

(1)求实数〃的值；

(2)解关于m的不等式/(2阳+1)>f(//J-1).

4.4.2对数函数的图象和性质

参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题）

1.设a=logo.50.2,6=logo.20.5,c=logs1.5,则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.h>c>a

【考点】对数值大小的比较.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】先根据对数的运算性质，将4与力、。与C化为同底的对数形式，再结合对数函数的单调性,

即可比较大小.

【解答】解:因为a=logo.5（）.2>1ogo.5（）.5=1,6=logo.20.5<logo,20.2=1,

故a>b.

又因为b=logo.20.5=k）g=log52>log51.5,B|Jb>c,

综上所述：

故选：A.

【点评】本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.

2.已知函数/(、)，甲同学将/(x)的图象向左平移1个单位长度，得到图象a；乙同学将/(x)的

图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，得到图象。2.若。与。2恰好重合，则下

列给出的/(X)中符合题意的是()

A./(x)=log\xB.f(x)=logzx

C./(%)=(1)xD./(x)=2X

【考点】对数函数的图象.

【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用：运算求解.

【答案】。

【分析】通过图象变换得到G和C2的函数表达式，再根据重:合条件逐一验证选项.

【解答】解：根据图象变换规则，甲得到的a对应的函数为/(x+i),乙得到的C2对应的函数为

2f(x),

因为。与Q重合，故/(x+1)=2f(X),

选项/(.r)=logix,贝ijf(x+1)=logi(x+1),2/(r)=2loggc=log1x2,两者不相等，排除：

2222

2

选项8,/(x)=log2X,则/(x+1)=他。2(%+1)，2f(x)=2log2x=log2xt两者不相等,排除；

选项c,/(无)=(4)'，wiw+i)=(1r+1=r(1)x*2/ix)=2-(1y,两者小相等，排除;

选项。，/(x)=2X,则/(x+1)=2"1=2・212f3=2・2",两者相等,符合条件.

故选：D.

【点评】本题考查了指数函数和对数函数的运算，属于中档题.

3.已知（xi，y\）,（X2，歹2）是函数y=log2A,图像上的两个不同的点，则（）

A.y\y2>xix2

B.y\）n<x\X2

c.

D.

【考点】对数函数图象与性质的综合应用：对■数函数图象特征与底数的关系.

【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】根据题意，设出力、〃的坐标，设/为的中点，过点M作与x轴平行，与函数y

=log〃图象交于点N,表示A/、N的坐标，由于点〃在点工的右侧，分析可得答案.

【解答】解：根据题意，如图所示，力、〃是函数y=logzr图象上两个不同的点，M为月8的中点，

过点M作MN与x轴平行，与函数j，=log”图象交于点N,

则M的坐标为（皂产，然^）,易得N的坐标为（2空”，虫产），

乙乙乙

+xyf

点M在点N的右侧，则有fX1二?>22,。错误，。正确；

同时,3="，koB=詈，而koA*koB=察乌的值无法确定，即y\y2和x【x2的大小不定，4、B错误.

【点评】本题考查对数函数的图象和性质的应用，属于中档题.

4.若实数x,y,n满足2+log2r=3+log3y=5+log5Z,则x,y,z的大小关系不可能是（）

A.x>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x

【考点】对数值大小的比较.

【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】B

【分析】利用特殊值验证法，求解判断即可.

【解答】解：令x=2,则3=2+log22=3+log3y=5+log5z,

1

可得y=l,z=25，

所以x>y>z.力可能正确：

当z=l时，y=9,x=8,所以y>x>z,所以。可能正确；

z=125时，y=243,此时x=64,满足y>z>x,所以。可能正确.

故选：B.

【点评】本题考查对数值的大小比较，特殊值方法的应用，是中档题.

5.函数y=loga（x+3）-1（^>0,且。#1）的图象恒过定点.4,若点力在直线机x+〃y+l=0上，其中

12

mn>0,则一+一的最小值为1）

mn

l3

A.6B.8C.2y/2D.-

【考点】对数函数的单调性与最值.

【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用.

【答案】B

【分析】由题意可得定点力（-2,-1）,2〃汁〃=1,把要求的式子化为4+S+等，利用基本不等

式求得结果.

【解答】解：..•函数y=loga[%+3）-1（«>0,且a#l）的图象恒过定点力，令x+3=l,求得x=

-2,y=-1,可得力（-2,-1）.

■1点A在直线mx+ny+l=0上,:.-2m-n+l=0»即2m+n=1.

,122m+n4m+2n4mfZ_ZZ,„,,,

nui>0,则—+-=-----+-------=4+—n+—>4+2—•—=8,当且仅当n=2rn时，取等号，

mnmnrnnyjmn

故工+2的最小值为8,

mn

故选：B.

【点评】本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为4+强+粤，是解

题的关键，属于基础题.

6.已知托R,“2"22”是“函数y=logd在（0,+-）上为减函数”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】对数函数图象特征与底数的关系；充分不必要条件的判断：指数函数图象特征与底数的关

系.

【专题】转化思想：综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】D

【分析】根据指数函数与对数函数的性质，即可求解.

【解答】解：若2"92,则可知充分性不成立；

若函数y=logaX在（（），+8）上为减函数，则OVqVl,所以2哮2不成立，必要性不成立.

故选：D.

【点评】本题考查指数函数与对数函数的性质，属基础题.

二.多选题（共3小题）

（多选）7.已知帅=1,。>0,且“W1,函数y=Io囱（-x）与歹=〃的图象可能是（）

【考点】对数函数图象特征与底数的关系；指数函数图象特征与底数的关系.

【专题】转化思想：转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】BC

【分析】讨论底数。，根据函数的单调性进行判断

【解答】解：由a〃=l,a>0,且a#l,则。="，所以丫一（《）”，

若则OVaVl,曲线y=(；)x函数图象卜降，即为减函数，

且y=k)g尔单调递增，又函数y=log”(-x)与y=log«x关于y轴对称，

所以函数y=k)&(-x)的图象下降，即为减函数，选项。符合条件，

若OVaVl时，则工＞1,所以曲线y=(〈尸函数图象上升，即为增函数，

且y=log«x单调递减，又函数y=log0(-x)与y=log«.K关于y轴对称，

所以曲线y=lo眼(-x)为增函数，选项8符合条件.

故选：BC.

【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的图象与性质，属于中档题.

(多选)8.若则函数p=log«(x+5)的图象经过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考点】对数函数的图象.

【专题】整体思想：综合法：函数的性质及应川：运算求解.

【答案】BCD

【分析】利用对数函数性质得出其大致图象.

【解答】解：因为OVqV1,

令x+5=1,则x=-4,此时y=O,

结合函数的图象可知，图象经过第二、三、四象限.

故选：BCD.

【点评】本题主要考查了对数函数图象的应用，属于基础题.

(多选)9.已知函数/"(x)=Mgi(%2-2Qx+2),则以下说法正确的是()

7

A.九WR,使得/(x)为偶函数

B.若/(x)的定义域为R，则QW(-e，V2)

C.若/(X)在区间(-8,1)上单调递增，则。的取值取值范围是［1,+8)

D.若/(x)的值域是(-8,2]»则aE,辱]

【考点】由对数函数的单调性求解参数；由定义域求解函数或参数；由值域求解函数或参数.

【专题】整体思想：综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】ABD

【分析】利用特殊值代入判断力即得；由函数定义域为R等价转化为对数真数恒大于零，即对应的

一元二次不等式的判别式恒小于0判断8：令g(x)=x2-2ax+2,则依题需使g(x)在(-8,i)

上递减且恒大于0,求出。的范围即可判断C由9。)而“=/求出。的值，即可判断。.

【解答】解：对于N,在f(%)=logi(，-2以+2)中,取。=0,则/'(%)=1ogi(%2+2),

22

此时函数的定义域为R，且/'(一x)=+2)=/(%),即/(%)=+2)为偶函数，故4正

22

确；

对于8,因/«)的定义域为R,则F-2办+2>0恒成立，

即4=(-2a)2-8V0,解得一6VQVJL故夕正确；

对于C,令g(x)=f-2or+2,因y=Zogix在定义域上单调递减，

2

故要使函数/(x)在区间(-8,1)上单调递增，则需使g(x)=f-2Qx+2在(-8,1)上单调

递减且恒大于0,

故有｛g⑴13^20N(T解得1*。*宗故。错误：

对于。，因/(、)的值域是(・8,2],即/(x)max=2,

由复合函数的单调性可知，此时=(抄="，

由g(x)=x2-2ax+2=(x-«)2+2-a2知g(x)mE=9(。)=2-a2=i,

解得a=±争即aw｛-字，孝｝,故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题主要考查了复合函数性质的综合应用，属于中档题.

三.填空题(共4小题)

10.若对任意的花(0,1)U(1,+8),函数y=k)耿(丫-1)+2的图像均经过定点P,则点尸的坐

标是(2,2).

【考点】对数函数图象特征与底数的关系.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】(2,2).

【分析】由胭意可得x-1=1,即x=2时，y=2怛成立，口J得出数过的定点的坐标.

【解答】解：对任意的花(0,1)U(1,+8),函数产log.1)+2的图像均经过定点P,

即当X-1=1时，即x=2时，y=2恒成立，

则点尸的坐标是(2,2).

故答案为：(2,2).

【点评】本题考查对数型函数恒过的定点坐标的求法，属于基础题.

11.若函数/(x)=2loga(3-x)+l(a>0,且的图象过定点尸，则点P的坐标是(2,1).

【考点】对数函数图象特征与底数的关系.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】(2,1).

【分析】根据对数函数的性质和图象进行求解即可.

【解答】解：由对数函数/(x)=21oga(3-x)+1,令3-K=l,得X=2,

且/(2)=21ogJ+l=l,所以/(x)的图象过定点P(2,1).

故答案为：(2,1).

【点评】本题考瓷了对数函数的图象过定点问题，是基础题.

12.已知指数函数》="(4>0,且。工1)与对数函数y=log"(。>0,且。声1)互为反函数，它们的

定义域和值域正好互换.若方程F+x=2与/〃x+x=2的解分别为xi，处则xi+x2=2.

【考点】反函数.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】2.

【分析】根据己知条件，结合反函数的定义，以及函数的对称性，即可求解.

【解答】解：方程P+x=2,即产=2・x,

XI看作y=e*与y=2-X函数图象的交点，

btx+x=2,URlnx=2-x,

X2看作与P=2-X函数图象的交点，

函数为反函数，二者图象关于直线y=x对称，

联立”,解得x=l,y=\,

由对称性可知，XI+X2=2X1=2.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查反函数的应用，属于基础题.

13.若函数/⑴=log2(-F+2G+3)在区间［1,2］内单调递减，则♦的取值范围是百11.

【考点】由对数函数的单调性求解参数.

【专题】函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】若函数/(x)=log2：-，+2“工+3)在区间［1,2］内单调递减，则函数/=-/+24戈+3在区间

［1，2］内单调递减，且恒为正，即{_；+4Q+3>O,解得。的取值范围.

2

【解答】解：•・•函数/(x)=log2(-x+2ax+3)在区间［1,2］内单调递减,

故函数/=-/+26+3在区间［1,2］内单调递减，且恒为正，

即1"1

叫一4+4a+3>0'

解得：t/G(}1］，

故答案为：弓，1］

【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，二次函数的图象和性质，难度中档.

四,解答题(共2小题)

14.已知aWR,函数/(%)=log2(-+«).

(1)当。=1时，求不等式/(2D>1的解集；

X

(2)若〃=1,当.虻［2,3］时，F(x)=/(2D+log2(2+1),求函数)，=尸Cv)的最小值；

(3)当。工3且aW4时，关于x的方程/(x)-log2［(〃-4)x+2〃-5］=0的解集中恰好有一个元

素,求a的取值范围.

【考点】求对数函数及对数型复合函数的最值；函数的最值.

【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】⑴(-8,0)；(2)log2~(3)(1,2］.

【分析】(1)由指数函数与对数函数性质可解；

(2)由指数函数与对数函数的单调性可解；

(3)根据题意得，Q-q皿=-1，川=戈2,结合对数函数性质，从而可解.

【解答】解：(1)由/(2D>1可得，002(与+1)>1，则/+1A2,则会>1，贝UxVO,

则不等式/(2D>1的解集为(-8,0)：

(2)由题意可知尸(x)=/(2V)+log2(2Y+I)=/。02((1%)2)=log2(2、+春+2),

V.rG［2,3］,A2ve［4,8］,

工2”+击E百，等卜

•••2。92(2,十［十2)W［Sg2寻，。92蜀，

则最小值为亍；

1

(3)-+Q=(a-4)x+2Q—5,(a-4)/+(a-5)x-I=0,

当a