二次根式单元复习（7大知识点+ 12大分层题型+易错重难点+巩固练习）解析版-2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

二次根式单元复习

（7大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）

【题型1】二次根式有意义的条件判断与求解

【题型2】利用二次根式的双重非负性求值

基础必考题型

【题型3】最简二次根式的判断与化简

【题型4】同类二次根式的识别与简单合并

第

19【题型5】结合数轴化筒二次根式

^3^

【迎6】二欠，的混合运算

培优高频题型【题型7】分母有理化的灵活应用

次

根【题型8】二次根式的化简求值

式【题型9】利用二次根式的运算解决实际问题

|【题雪0】二次根式的比较大小

压轴素养题型【题型11】二次根式的规律探究题

【题型12】二次根式的所定义运算独

知识点1:二次根式的概念

1.定义：形如,（a>0）的式子叫做二次根式，为二次根号，a为被开方数。

2.有意义的条件：被开方数再为非负数；若二次根式在分母上，还需满足被开方数大于0。

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知识点2：二次根式的双重非负性

L被开方数非负：a>0；

2.二次根式本身非负：Va>0(a>0)0

3.常见非负性结合形式：若|m|+而+p?=0,则m=n=p=0。

知识点3：二次根式的性质

性质表达式适用条件结论说明

(Va)2=aa>0非负数的算术平方根的平方等于本身

r-7..fa(a>0)

,序二|a|=J伯vo)a为任意实数任意实数平方的算术平方根等于其绝对值

Vab=Va-Vba>0,b>0积的算术平方根等于算术平方根的积

faVa

£=无a>0,b>0商的算术平方根等于算术平方根的商

知识点4：最简二次根式

1.定义：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足这两个条件的二次根式为最简

二次根式。

2.化简步骤：①去分母(分母有理化)：②开尽方内的因数/因式；③整理成最简形式。

知识点5：同类二次根式

L定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

2.核心特征：最简后被开方数一致，与根号外的系数无关。

知识点6：二次根式的运算

(1)加减法

1.步骤：先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式(系数相加减，被开方数不变)：

2.注意：非同类二次根式不能合并。

(2)乘除法

乘法：Va-Vb=Vab(a>0,b>0),系数相乘作为积的系数；

除法：/I<a>0,b>0),系数相除作为商的系数。

Vb

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(3)混合运算

1.运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的：

2.运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律均适用；

3.乘法公式：平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b?对二次根式同样

适用。

知识点7：分母有理化

1.定义：通过分子、分母同乘一个式子，化去分母中根号的过程叫做分母有理化；

2.常见有理化因式：石的有理化因式为内：返士伤的有理化因式为石下后。

【基础必考题型】

【题型1】二次根式有意义的条件判断与求解

1.核心知识点：

二次根式的概念；分式有意义的条件；不等式(组)的求解

2.解题方法技巧：

单二次根式：直接列被开方数N0求解；

二次根式在分母：列被开方数>0求解；

多个条件结合：列不等式组，取各解集的公共部分。

【例题1】.(25-26八年级上•湖南长沙•期末)若二次根式疡7有意义，则》的取值范围是()

A.x>0B.x>6C.0<x<6D.“为一切实数

【答案】B

【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数这一性质，列不等式求解x

的取值范围即可.

【详解】解：•.•二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.

•••对于6,有％-6>0.

，解得%>6.

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故选:B.

【变式题1-11（25-26八年级上•安徽合肥・期末）若乒石在实数范围内有意义，则”的取值范围是.

【答案】％转

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件.根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，

据此建立不等式求解，即可解题.

【详解】解：•••VI=五在实数范围内有意义，

.-.3-2x>0,

••・X<

故答案为％W

【变式题1-2】,（25-26八年级上湖北黄冈•期末）若式子弟在实数范围内有意义，则”的取值范围

x-2

是.

【答案】1且XH2

【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件，即可

求解.

【详解】解：••・式子否在实数范围内有意义，

•••有意义，即X-1N0,解得XZ1，

且又—2W0,解得工工2.

故答案为：1且

【变式题1-3】•（25-26八年级上湖南湘潭•期末）代数式含有意义，则实数x的取值范围是（）

vx+5

A.%>5B.x>5C.x>—5D.%>—5

【答案】C

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数

为非负数、分式的分母不等于零是解题的关键.

根据二次根式有意义的条件（被升方数为非负数）和分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式组求解即

可.

【详解】解：•・•代数式焉有意义.

rx+5>0

*o，

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解得：x>-5.

故选C.

【题型2】利用二次根式的双重非负性求值

1.核心知识点：

二次根式的双重非负性；绝对值、平方的非负性；非负数和为0的性质

2.解题方法技巧：

识别题目中的非负式（百、|叫、p2等）；

根据“非负数的和为0,则每个非负数均为0”列方程（组）求解字母值：

将字母值代入代数式计算最终结果。

【例题2].（25-26八年级上•四川成都・期末）若m为实数，且满足=0,则血的值为.

【答案】4

【分析】本题考查平方根的定义，根据平方根的定义，若平方根等于零，则被开方数必须为零.

【详解】由17n—4=0,根据平方根的性质，得m-4=0,解得m=4.

故答案为：4.

【变式题2-1].（25-26七年级上北京•期末）若|a+1|+V1-2027=0,则a+b的值为.

【答案】2026

【分析】本题考查非负数的性质，即绝对值和算术平方根的非负性，准确的计算是解决本题的关键.

根据等式成立的条件，每个非负数部分都为零，据此求解即可.

【详解】解：1|N。且J（b-2027）N0,且|a+1|+Vb-2027=0,

1|=0且J（1-2027）=0.

解得Q=-1,b=2027.

.,-a+b=—1+2027=2026.

故答案为：2026.

【变式题2-2].（25-26八年级上•四川达州•期末）已知实数a,匕满足（Q+1尸与（b—2025互为用反数,则戒

的值为.

【答案】-1

【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值.

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根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求出。

和b的值，进而代入成计算即可.

【详解】解：Ma+I/与Vb一2025互为相反数,

•••(G+I)2+Vb-2025=0,

•••(a+I)2>0且办一2025>0,

.-.(a+I)2=0且Vb-2025=0,

=-1,b=2025,

.•.次=(—1)2025二一1

故答案为：一1.

【变式题2-3】•(2025九年级下费州•专题练习)若佃一1|+1方+(。-3)2=0,求abc的值.

【答案】6

【分析】本题主要考查绝对值、算术平方根、偶次方的非负性.已知,一1|+4口+8—3)2=0,得到

a—1=0,b—2=0,c—3=0,由此求出a,b,c即可求解.

【详解】解：•••|a-l|+VK^I+(c-3)2=0,|a-i|NO,>0,(c-3)2>0,

.•.a-1=0,b—2=0,c—3=0,

解得：a=l,b=2,c=3,

：.abc=1x2x3=6.

【题型3】最简二次根式的判断与化简

1.核心知识点：

最简二次根式的定义；二次根式的性质

2.解题方法技巧：

判断：紧扣“无分母、无开得尽方的因数/因式”两个条件；

化简：①被开方数有分母，利用商的性质去分母：

②被开方数有开得尽力的因数，利用积的性质拆分开方。

【例题3].(25-26八年级上•广东惠州•期末)下列式子中，属于最简二次根式的是()

A.B.V5C.V12D.V25

【答案】B

【分析】本题考查了最简一次根式，根据最简一次根式的定义(被开刀数不含分母，且被开刀数中不含能

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开得尽方的因数或因式），逐一判断选项即可.

【详解】解：A、电=¥，故电不属于最简二次根式，不符合题意；

B、遮属于最简二次根式，符合题意；

C、g=2百，故旧不属于最简二次根式，不符合题意；

D>V25=5,故加^不属于最简二次根式，不符合题意；

故选：B.

【变式题3-1].（25-26八年级上浙江杭州•期末）将质化简，正确的结果是（）

A.3V3B.±373C.3炳D.±3亦

【答案】A

【分析】本题考查二次根式的化简，需利用二次根式的性质将被开方数分解出完全平方数，同时注意算术

平方根的非负性.

【详解】解：V27=V9x3=V9xV3=3V3；

故选：A.

【变式题3-2].（25-26八年级上浙江•假期作业）化简：

（1）、0

唯

⑶房

（唯

⑸布次（其中血>0,n<0）

（6）后（其中Q>0,c>0）

【答案】（1）6近

喈

⑶等

⑷手

（5）-n4m

⑹-亲口F

【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的运算、分母有理化等知识点，掌握二次根式的性质

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化简即可.

（1）先逆用二次根式乘法法则，再利用二次根式的性质化简即可；

（2）先逆用二次根式除法法则，再利用二次根式的性质化简即可；

（3）先将被开方数化成分数，再用二次根式除法法则化简以及二次根式的性质化简即可;

（4）利用二次根式除法法则化简以及二次根式的性质化简即可：

（5）先利用二次根式乘法法则变形，再利用二次根式的性质化简即可；

（6）先说明bVO,利用二次根式的性质化简即可.

【详解】（1）解：V72=V36x2=672.

⑵解:白电=冬

⑶解:闻=拒唇挈.

⑷解：电=唇喳

2

（5）解：y/mn=\!mxVn2=|n|x=-n\[m.

（6）解：>0,且c>0,

.b<0,

【变式题3-3].（25-26八年级下全国•课后作业）若71是正整数，历是最简二次根式，则m可以是

（写出一种情况即可）.

【答案】1（答案不唯一）

【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因

式的二次根式，叫做最简二次根式.

根据最简二次根式的概念解答即可.

（详解】解：当"=1时，V2n=V2,

企是最简二次根式，符合题意，

故答案为：1（答案不唯一）.

【题型4】同类二次根式的识别与简单合并

1.核心知识点:

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同类二次根式的定义；二次根式的加减法法则

2.解题方法技巧：

识别：先将所有二次根式化为最简，再比较被开方数是否相同：

合并：同类二次根式合并时，根号部分不变，系数相加减，结果化为最简。

【例题4】.（25-26九年级上•福建泉州•期末）下列各式中，与也是同类二次根式的是（）

A.石B.V27C.V8D.V4

【答案】C

【分析】本题考查同类二次根式的判断，先将各选项中的代数式化为最简二次根式，再依据"化成最简二次

根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式''进行判断.解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几

个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式.

【详解】解：A.e是最简二次根式，被开方数为6,与打的被开方数2不同，不是同类二次根式，故此选

项不符合题意：

B.x/27=V9V3=3V3,被开方数为3,与鱼的被开方数2不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意；

C.V8=V4V2=2V2,被开方数为2,与或的被开方数相同，是同类二次根式，故此选项符合题意；

D.V4=2,不是二次根式，与或不是同类二次根式，故此选项不符合题意.

故选：C.

【变式题4-1】,（25-26八年级上福建厦门•期末）下列二次根式，能与无合并的是（）

A."B.V6C.D.V20

【答案】C

【分析】本题考查同类二次根式的概念，能合并的二次根式必须是同类二次根式，即化简后被开方数相同

的二次根式，因此需将各选项的二次根式化为最简形式，再判断其被开方数是否与鱼的被开方数一致.

【详解】解：A.74=2,它是整数，与企不是同类二次根式，不能合并；

B、乃是最简二次根式，被开方数为6,与四的被开方数2不同，不能合并；

C、\/8=V4x2=272,化简后被开方数为2,与遮是同类二次根式，能合并；

D.V20=V4V5=275,化简后被开方数为5,与鱼的被开方数2不同，不能合并；

故选:C.

【变式题4-2].（25-26九年级上•四川资阳•期末）若最简二次根式与聪是同类二次根式，则m=—.

【答案】6

【分析】本题考查了同类二次根式的定义，在最简二次根式的条件下，被开方数相同即为同类二次根式.

根据同类二次根式的定义，被开方数必须相同得到租一1=5,据此即可求解.

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【详解】解：•••最简二次根式标二！与遍是同类二次根式，

：.m—1=5,解得m=6,

故答案为：6.

【变式题4-3】,（25-26九年级上重庆•期末）已知最简二次根式Jx+y+1与J6—x+2y是同类二次根式,

最简二次根式J6%—y—7与1X—3y+1是同类二次根式,则的值为.

【答案】，0.5

【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，熟知把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果

被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键.

根据同类二次根式的定义，被开方数相等，列出方程组并求解，得到x和y的值，再计算炉.

【详解】解：由Jx+y+1与J6-x+2y是同类二次根式,得到x+y+1=6—％+2y,

整理得2x-y=5.

由—y—7与Jx—3y+1是同类二次根式,得到6x-y-7=x—3y+1,

整理得5x+2y=8

（2x-y=5

-I5x+2y=8

解方程组得｛,

因此炉=2T=I，

故答案为：

【培优高频题型】

【题型5】结合数轴化简二次根式

1.核心知识点：

而=|a|；数轴上数的大小关系；绝对值的化简

2.解题方法技巧：

根据数轴确定字母的正负及字母间的大小关系：

判断根号内平方式的底数的正负，将二次根式转化为绝对伯：

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按绝对值的性质去绝对值符号，再合并同类项化简。

【例题5].(25-26九年级上•福建泉州・期末)实数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简J(c-6)2—|a+c|

的结果为—.

【答案】-b—a/—a—b

【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，数轴，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握后=|Q|.

由数轴可得a<0vb<c,|c|>|a|,则c-b>0,a+c>0,再把J(c—b)2—|a+c|化为|c-b|一

|a+c|,然后去绝对值，进行整式的加减运算即可.

【详解】解：由数轴可得Q<0<6<c,|c|>\a\

：.c-b>0,a+c>0

7(c-by.\a+c\

=\c-b\—\a+c\

=c-b—(a+c)

=c—b—a—c

=—b—a,

故答案为：-b—a.

【变式题5-1].(25-26九年级上•河南新乡•期末)实数”，〃在数轴上的位置如图所示，则而+J(a+b)2

—.

―1----1-------------------L—►

a0厂

【答案】b

【分析】本题考查二次根式的性质、数轴，熟练掌握二次根式的性质必=同是解答的关键.

先由数轴得到a<0,a+b>Q,再根据二次根式的性质化筒并代值求解即可.

【详解】解：由数轴得Q<0,b>0,\a\<\b\,

.•.a+b>0,

+7(a+b)2=|a|+\a+b\=—a+a+b=b,

故答案为：b.

【变式题5-2].(25-26八年级上河北张家口•期末)实数a,6在数轴上的对应点的位置如图所示，则化

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简闻+J(b-a)2的结果是.

-•--------•------•-----A

b0a

【答案】a-2b/-2b+a

【分析】本题考查化简绝对值，化简二次根式，先根据数轴的定义得出。>0,b-a<0,bvO再根据绝

对值的意义，二次根式的性质进行化简，然后计算整式的加减即可得.

【洋解】解：由数轴可得：a>0,b-a<Otb<0,

故网+J(b-a)2=-b+(a-b>)=a-2b.

故答案为:a—2b.

【变式题5-3].(25-26八年级下全国•单元测试)实数a在数轴上对应的点的位置如图所示.化简：而一

H-al-

-La♦/--1-1--1->

•2-1012

【答案】-1

【分析】本题考查数轴的运用和二次根式的化简，掌握好二次根式的性质是关键.

根据数轴判断a的大小，并化简代数式.

【详解】解：由数轴可得，QV0,

—|1-a\=—a—(1—a)=—a—1+a=—1.

【题型6】二次根式的混合运算

1.核心知识点：

二次根式的四则运算；运算顺序；乘法公式的应用

2.解题方法技巧：

严格遵循“先乘方开方，再乘除，最后加减”的运算顺序；

遇到乘法公式结构(如平方差、完全平方)，优先用公式简化计算：

每一步运算后，及时将结果亿为最简，方便后续计算。

【例题6].(2025九年级卜・辽宁,专题练习)V12+(-3——3)°+|V3—3|:

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【答案】V3

【分析】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

原式先计算g=2V3,(-0-1=-2,(兀-3)。=1,|V3-3|=3-73,然后再进行加减运算即可.

【详解】解：值+(-91(兀-3)0+|3|

=273-2-1+(3-73)

=273-2-1+3-73

=V3.

【变式题6-1】,(25-26八年级上广东河源•期末)计算：

⑴历+\/11-3企

(2)(V5->/3)(V5+N/3)+^

【答案】(1)2百一四：

(2)2+76

【分析】本题考查二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式的化简方法、同类二次根式的合并规则以及

平方差公式的应用.

(1)需先将所有二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式得到结果；

(2)先利用平方差公式计算乘法项，再根据二次根式的除法法则计算除法项，最后将两部分结果相加即可.

【详解】(1)解；V8+V12-342

=2V2+2V3-3V2

=2V3—V2：

(2)解：(V5-V3)(V5+V3)+^

=(代L+g

=5-3+x/6

=2+V6.

【变式题6-2].(25-26八年级上广东梅州•期末)计算：

⑴仃XV6-(-1)2024_|i_四

(2)(73+2)2+(V3+2)(73-2)-4

【答案】(1)2四

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（2）2+4V3

【分析】本题主要考查了实数的运算、二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式等知识点，掌握

相关运算法则是解题的关键.

（1）先计算二次根式乘法、再用有理数乘方、绝对值化简，最后计算加减法即可；

（2）先运用完全平方公式、平方差公式化简，然后再合并同类二次根式即可.

【详解】（1）解：旧乂乃一（一1/。24一口一企|

=^18-1-5/2+1

=3A/2-1-V2+1

=2V2.

（2）解：（百+2）2+（旧+2）（百一2）-4

=3+4>/3+44-3-4-4

=2+473.

【变式题6-3】•（25-26九年级上四川资阳•期末）计算：

（1）712-720-V02

（2）724-；-V3-JjxV18+（V2-1）2

【答案】（1坪一半

（2）0

【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键.

（1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式；

（2）先计算二次根式的乘除，再进行加减运算.

【详解】（1）解：原式=2VJ—2西—?+?

_55/39V5

35~'

（2）解：原式=弼一眄+（2—2鱼+1）

=272-3+2-272+1

=0.

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【题型71分母有理化的灵活应用

1.核心知识点：

分母有理化的定义；有理化因式的确定；分式的基本性质

2.解题方法技巧：

单根号分母：分子分母同乘该根号，消去分母根号；

含和/差的根号分母：分子分母同乘其有理化因式，利用平方差公式消去分母根号：

化简后注意约分，保证结果最简。

【例题7】.（25-26八年级上•上海・周测）计算：（1一百V—总+（W）°.

【答案】一百+3

【分析】本题考查了二次根式的混合运算、零指数鼎，熟练计算是解题的关键.

先按照完全平方公式，分母有理亿，零指数基计算，再计算加减即可.

【详解】解：（1-国）2-焉+（高丫

=-26+3-扁篇石+1,

=1-2^3+3-（—V3+2）+1

=1-2疗+3+逐一2+1

=-V3+3.

【变式题7・1】・（25-26八年级上河北承德•期末）（1）计算：历一房十2遍

⑵分母有理化：上

【答案】（1）0：（2）V2+1

【分析】此题考查二次根式的加减混合运算，分母有理化，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序.

（1）首先化简二次根式，然后合并即可：

（2）分子分母同时乘以（遮+1）,然后分母利用平方差公式求解即可.

【详解】解：（1）V27-V75+2V3

=3V3-5V3+2V3

=0；

V2+1

"(V2+1)(V2-1)

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=6+1.

【变式题7-21（25-26八年级上•上海・期末）a力为有理数，且〃为无理数,a+2a的一个有理化因式是

【答案】a-2y［b

【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，

就说这两个非零代数式互为有理化因式.

根据有理化因式的定义，两个根式的积不含有根号时互为有理化因式.

【详解】解：Ma+2VK）（a—2孤）=小—（2夕）2=小一4万，G6为有理数，

.••〃一铀为有理数，Q+2距的有理化因式是。一2伤.

故答案为：a—2x/b.

【变式题7-3】.（25-26九年级上福建限门•期末）先化简，再求值：（1一高）+啜祟，其中m=g

+3.

［答案］1+V3

【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则.

先计算括号内分式的计算，然后将除法化为乘法计算:，直至化为最简分式，最后代入并分母有理化即可.

【详解】解：（一言.哼鬻

/m—12\m（rn—1）

\m-1tn—1/（m—3）2

m—3m（m—1）

=------X----------

m—1（m—3）2

m

=''

当n=8+3时，原式=祟与=餐=¥=1+遮.

V3+3-3V33

【题型8】二次根式的化简求值

L核心知识点:

二次根式的化简与运算；乘法公式；整体思想

2.解题方法技巧:

直接代入：先化简已知条件和所求代数式，再将字母值直接代入计算，结果化为最简:

整体代入：分析已知与所求的结构，构造a+b、a—b、ab等整体并求其值，将所求代数式变形为含整

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体的形式，代入计算简化运算。

【例题8】.（25-26八年级上•云南昆明・期末）已知丫=疡与+百=+2,则必=.

【答案】8

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确解出羽y的值是解答本题的关键.根据二次根式的定义,

被开方数必须为非负数，从而确定工的值，再代入求y的值，最后计算必即可.

【详解】解：由题意，得％—320且3—xZO,

•••x=3.

当K=3时，y=V3^3+V3^3+2=0+04-2=2,

:.=23=8.

故答案为：8.

【变式题8-1】,（25-26八年级下全国•单元测试）已知％+y=—5,盯=4,求笔+的值.

【答案】，

【分析】本题考查了二次根式的亿简求值，以及分母有理化.

根据题意可得x<ofy<0,然后根据二次根式的性质化简，再代入计算即可。

【详解】解：+y=-5V0,xy=4>0,

.,.x<0,y<0,

Vxyy[xy

~一"V

y\[xy+xy/xy

=

再(X+y)

-

V4x(-5)

4

5

=—

2-

【变式题8-2].（25-26八年级下•全国・周测）已知y=+VI=7+4,求_2孙+y2+

—4xy+y2的值.

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【答案】3

【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，熟知二次根式有意义的条件是被开

方数为非负数是解题的关键.

根据二次根式有意义的条件可得关于工的不等式组，解不等式组求得工的值，将工的值代回等式求得y的值，

继而可得％—八2%-y的正负，最后化简二次根式，代入求值即可.

【详解】解：由题意，得4—320,3—x>0,

•••x=3,

...y=73^3+V3^3+4=4,

x—y<0,2x—y>Q.

故原式=y/(x—y)2+J(2x—y)2

=y-x+2x—y

=x.

当x=3时，原式=3.

【变式题8-3】,(25-26八年级上江苏扬州•月考)已知对x+y=-6,xy=4,求里+E的值.

【答案】

3

【分析】根据异分母分式的加减先化简，再代入求值即可.

本题考查了二次根式的加减法和分式运算，掌握％y的取值范围是解题关键.

(详解】解：,.•X+y=-6,xy=4

.,.x<O,y<0

TP_6_

/+士考+备曙一回~2~

【题型9】利用二次根式的运算解决实际问题

1.核心知识点：

二次根式的运算；长方形、正方形的周长/面积公式

2.解题方法技巧：

根据几何图形的公式列出含二次根式的算式；

按照二次根式的运算规则计算；

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结果结合实际问题保留合适的形式（如最简二次根式）。

【例题9】.（25-26八年级上•河北张家口•期中）如图（单位：cm）,三张大小不同的正方形纸片叠放在一

起，中间正方形纸片的面积为40cm2,设最大正方形纸片和最小正方形纸片的边长分别为小儿

⑴直接写出mb；

（2）求。2—82

【答案】（1）2VIU+1,2V10-1

（2）8710

【分析】本题考查二次根式的运算以及平方差公式的应用，解题的关键是根据正方形的边长关系求出以b

的值，并灵活运用平方差公式进行计算.

（1）先根据中间正方形的面积求出其边长，再结合图形边长关系求出a、

（2）利用平方差公式十一炉=（0+5）（0-5）计算02一82

【详解】（1）解：因为中间正方形纸片的面积为40cm2,

所以中间正方形的边长为函=2V10cm,

由图可知，最大正方形的边长a=24U+l,

最小正方形的边长b=2VTo—1；

（2）解:根据平方差公式02-b2=（a+b）（Q-b）,

将a=2V10+11=2V10-1代入，可得a+b=（2V10+1）+（2V10-1）=4V10,a-b=（2710+1）-（2

V10-1）=2,

所以一/=4V10x2=8-/10.

【变式题9-1】.（25-26八年级上•辽宁沈阳・月考）如图,从一个大正方形木板上裁出面积为18cm2和12cm2

的两个小正方形木料.

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⑴裁去的两块正方形木料的边长分别为cm和cm；

⑵求剩余木料的面积；

⑶如果木工想从其中一块剩余木料中裁出长为4cm,宽为1cm的长方形木条，最多可以裁出块这样的

木条.

【答案】⑴3vL2V3

(2)12V6cm2

(3)3

【分析】本题中要考杳了二次根式的计算.开方，

对于(1),根据正方形的面积开方求出边长；

对于(2),根据二次根式的乘法求出解；

对于(3),根据&=1.414,75=1.732计算比较可得答案.

【详解】(1)解：V18=372,^/12=2V3,

所以裁去的两个正方形木料的边长分别为3&cm,2V3cm.

故答案为：3>/2,2^3；

(2)解：3鱼X2百=6后，2x676=1276.

所以剩余木料的面积是126cm2；

(3)解：3V2«3x1.414«4.2,2百《2x1.732«3.4,

♦.•4.2>4,1X3<3.4,

.••最多可以裁出3块这样的木条.

故答案：3.

【变式题9-2].(25-26八年级上广西来宾•期中)如图，用三张边长不同的正方形纸片甲、乙、丙和一张

面积为2您的长方形纸片「紧密拼接形成一个大长方形，已知丙纸片的面枳为2.

甲

⑴则甲纸片的边长为

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（2）求正方形乙的边长；

⑶求正方形甲的面积；

⑷求正方形甲的面枳是长方形丁的面积的多少倍.

【答案】⑴2+26

（2）2+72,

（3）12+872

（4）（372+4）倍

【分析】本题考查了二次根式四则运算的应用，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键.（1）先根据

正方形丙的面积求出边长，再结合丁的面积表示出长，则可以达•步表示出乙的边长和甲的边长，即可求

解：（2）通过（1）中的求解过程乙的边长则已求解；（3）知道甲的边长，根据正方形的面积公式甲的面

积即可获解；（4）用甲的面积除以丁的面积计算求解即可.

【详解】（1）解：如图.

•.♦正方形丙纸片的面积为2,

二丙纸片的边长85=近，即长方形丁纸片的宽/尸=遮，

•••长方形丁纸片的面积为2vL

•••长方形丁纸片的长/H=2&+a=2,

•••正方形乙纸片的边长为=GF=IH+BH=2+>/2,

•••正方形甲纸片的边长为/G=/F+FG=V2+2+V2=2+272.

故答案为：2+2V2：

（2）解：由（1）中的解答过程可知正方形乙纸片的边长为EF=G/=/H+B”=2+«；

（3）解：•.•正方形甲纸片的边长为2+2近，

二正方形甲的面积为（2+2V2）2=4+872+8=12+8或；

（4）解：（12+8&）+2&=12+2企+8企+2&=3及+4,

・••正方形甲的面积是长方形丁的面积的（3企+4）倍.

【变式题9-3】・（24-25七年级下瑚北武汉•期中）如图1,长方形内两正方形力和从它们的面积分别为acm2

^bcm2.

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(1)当a=81,b=30时.

①则长方形的宽为cm,长为cm,图中两块阴影部分的面积和为

cm2；

②若在正方形力内沿边的方向裁剪一块长宽比为3:2的长方形，其面积为60cm2,请问，能否裁出符合要求

的长方形？试说明理由：

(2)先在长方形内分别裁剪出正方形4和8,再按图2的方式把正方形力裁剪成四个相同的直角三角形，它们

恰好与止方形8拼接成一个大止方形，请直接写出a与b的数量关系.

【答案】(1)①9,(9+V30),(9V30-30)：②不能，理由见解析

(2)a=4b

【分析】(1)①根据题意，由两个正方形的面积，得到两正方形的边长，从而得到长方形的长和宽，即可

得到面积：

②根据题意，设长方形的长为3Xcm,宽为2xcm,根据面积，到出等式，求出x的值，得到长方形的长和

宽，与原长方形相比较，即可：

(2)根据左右两个图形的面积相等，构成等量关系，化简得到结果.

【详解】(1)解：(1)①设正方形A的边长为血，正方形8的力长为n,

•••两正方形4和5,它们的面积分别为acm?和bcm?,且a=81,b=30,

=9(cm),n=V30(cm),

.•.长方形的宽为m=9(cm),长方形的长为m+"=9+(cm),

.••长方形的面积为9x(9+V30)=81+9V30(cm2),

・•・阴影部分面积为：81+9同一81—30=9同一30(cm2),

故答案为：9，9+V30,9^30—30；

②不能裁出符合要求的长方形，理由如下：

设长方形的长为3%cm,宽为2xcm,

,••长方形的面积为60cm2,

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.,.3x-2x=60,解得：x=±V10»

•：x>0,

•,x=V10,

长方形的长为宽为2国,

•••VTo>3,

,3画>9,

答：不能裁出符合要求的长方形；

（2）如图2,

,"两正方形力和8面积分别为acm?和匕cm?,

大正方形的边长为气，小正方形边长为VF,

...GF=警EG若+瓜

:.F.F2=GF2+EG2=（乎）2+（乎+Vh）2=+人+房,

・••图2中右边的正方形的面积为5+力+而，

•••图2中左边图形面积=右边正方形面积，

：.a+b=]+b+y/ab,

.-.a=4b.

【点睛】本题考查了整式运算，二次根式运算，涉及到正方形、长方形的面积，熟练掌握二次根式运算是

解题的关键.

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【压轴素养题型】

【题型10］二次根式的比较大小

1.核心知识点：

二次根式的性质；实数的大小比较；倒数法、平方法

2.解题方法技巧：

平方法：对于正的二次根式，平方后比较有理数的大小，平方大的原数大；

倒数法：对于形如万大一、6的式子，先求倒数，倒数大的原数小；

作差法：两式相减，判断差的正负，差正则被减数大，差负则减数大。

【例题10】.（25-26八年级上•广东梅州•期末）比较大小：7—2V3.（选填",〃或"V"）

【答案】>

【分析】本题主要考查了比较二次根式的大小，通过平方将无理数比较转化为有理数比较是新题的关键.

根据平方后的结果判断原数大小即可.

【详解】解：“AO,2V3>0,

•••比较它们的平方：72=49,（2V3）=4x3=12,

•••49>12,

.--7>2技

故答案为：>.

【变式题10-1】•（2025八年级上•全国•专题练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会

取得很好的效果.例如：比较Q=2於和b=3企的大小，我们可以把Q和匕分别平方，因为。2=12〃=18,

所以次<b2,所以QVb.

请利用“平方法”解决下面问题：

⑴比较大小：4企2V7（填“>〃"<"或.

（2）猜想根=275+n瓢=273+g之间的大小，并说明你的猜想.

【答案】⑴〉

（2）?n<n,见解析

【分析】（1）利用“平方法〃比较二次根式的大小即可：

（2）利用"平方法”进行比较即可.

【详解】（1）解：根据平方法，分别计算4企与2位的平方，

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(4方=16x2=32

(2x7)=4x7=28

v32>28,且4e>0,2V7>0

些两个正数的平方大时，数本身也大，

故答案为：>.

(2)解：m<n

••,m=2后+V6,n=2V3+V14

.-.m2=(2\<5+V6)=20+6+4频=26+4同

2

n2=(2V3+\/14)=12+14+4V42=26+4\/42

•­•V42>V30

.-.m2<n2,

又•••zn>0,n>0,

:.m<n

【点睛】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是

解题的关键，

【变式题10-2】・(24-25八年级下•青海海东•月考)综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个

正数a,b,若a>b,则依>网.随后讲解了一道例题：试比较2百与3企的大小.

2O

解：•••(2巡)=12,(3V2)=18,

而12<18,

•••2西<3V2.

参考上面例题的解法，回答下列问题：

⑴试比较-3面与-5百的大小；

⑵试比较距+1与2+鱼的大小.

【答案】⑴一3代>一58

(2)西+1<2+V2

【分析】本题考查了实数的大小匕较，熟练的利用平方的方法比大小是解题的关键，

(1)先分别求出两个数的平方，再根据平方的大小进行比较即可；

(2)先分别求出两个数的平方，然后根据平方的大小进行比较，再利用不等式两边同时加上一个数，不等

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号方向不变，即可得到答案.

【详解】（1）解：（3V5）2=45,（5百f=75,

♦.•45<75,

••.3而<5VL

-3V5>一5技

（2）解：（遥+以=6+2心（2+伪2=6+4。

（2、%）2=20,（4x^）2=32,

v20<32,

.--2V5<4vL

.-.6+2>/5<6+4衣，

.•.赤+1<2+V2.

【变式题10-3】・（24-25八年级下•四川泸州•期中）按要求进行二次根式的有关计算：

222

（1）阅读：（&-1）=（V2）-2xV2X1+I2=2-2>/2+1=3-272,反之，3-2A/2=（V2-1）；

（V5+V7）2=（V5）2+2x后x近+（V7）2=5+2735+7=12+2735,反之，12+2735=（V5+5.

应用：V5_2V6=.

,rA网;*____6乂4^_6710_3710_2____2（3+际_2（3+«2）_6+272

（2）园侯：=—=—»菽=（3->（3+@=32-（际2=^―；

应用：方程2（无一2）=6（X—8）的解是.

（3）阅读：已知工二四+V7,y=a+通,试比较x,y的大小；不好直接比较，可用如下方法：

%2=（四+0）2=9+y2=（国+通）2=9+因％2<y2,且x,y都是正数，故％Vy.

应用：比较大小：V5+V6V3+V10.2+V73+/2.

【答案】（1）国一企；（2）2+V3：（3）<,>

【分析】本题考查二次根式的运用，熟练掌握二次根式的计算和完全平方公式是解题的关键，

（1）利用完全平方公式展开，再利用二次根式计算即可得到答案：

（2）利用分母有理化计算即可得到答案；

（3）先计算各个数的平方，再利用平方比较大小即可得到答案.

【详解】解：（1）由题可得：V5-2V6=V3-2\/6+2=J（v3）2-276+（V2）2=J（V3-=V3-

V2；

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故答案为：V3—V2；

(2)由题可得：2(x-2)=V3(x-V3),

整理得：2x-4=V3X-3,

移项得：(2—V3)x=1,

解得：*=鼻=(2/♦场二22=-)2二2+6,

故答案为：2+遍；

(3)由题可得：令汇=再+6，y=V3+V10,

.-.X2=(Vs+V6)2=5+2V30+6=11+2x/30,y2=(V3+V10)2=3+2同+10=13+2730,

.-.y2>x2,

AV5+V6<V3+V10；

令X=2+V7,y=34-V2>

.-.X2=(2+V7)=4+477+7=11+4夕，y2=(34-V2)=9+672+2=11+6vL

.-.x2>y2,

.-.2+V7>3+V2.

故答案为：<»>.

【题型11］二次根式的新定义运算题

1.核心知识点：

新定义运算；二次根式的运算；阅读理解能力

2.解题方法技巧：

认真阅读新定义的运算规则，明确运算符号的含义；

将新定义运算转化为常规的二次根式运算：

严格按照新规则的条件和步骤计算，注