勾股定理逆定理（同步练习）试题版-2024人教版八年级下册

专题20.3勾股定理逆定理

勾股定理逆定理

1.掌握勾股定理的逆定理内容，能够熟练地运用它来判断直角三角形以及在相关问题

教学目标中运用；

2.掌握勾股数并能够判断勾股数并能够熟练应用勾股数。

1.重点

(1)勾股定理逆定理；

(2)勾股数;

教学重难点

2.难点

(1)勾股定理逆定理的相关运用；

(2)勾股数的证明。

知识清单

知识点01勾股定理逆定理

1.勾股定理逆定理内容：

在AABC中，如果三角形的三边分别是a,bt。且满足,则该三角形一定是有一个

直角三角形且NC是直角。

勾股定理的逆定理用十判断一个三角形是小是直角三角形。

2.直角三角形的判定

①勾股定理逆定理

②三角形中有一个角是90°,

③三角形中有两个角之和为90°。

【即学即练1】

1.以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（）

A.V5,V4,V5B.2,3,4C.5,12,13D.8,13,17

【即学即练2】

2.若△A8C的三边分别是a,b,c,则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）

A.ZA=ZB+ZCB.NA：ZB：ZC=3：4：5

C.a=5,b=\2,c=13D.a=1,b=V2,c=V3

【即学即练3】

3.己知a,〃，c是二角形的二边，如果满足（《3）2+Vb^4+\c5|=0,则三角形的形状是（）

A.底与腰部相等的等腰三角形

B.等边三角形

C.钝角三角形

D.宜角三角形

【即学即练4】

4.如图，AB±BC,AB=4,BC=3,DC=\2,AO=13,连接AC.

（1）判断△AC。的形状并说明理由；A

（2）计算四边形ABC。的面积.

B

D

【即学即练5】

5.如图，某小区有两个喷泉4,B,两个喷泉的距离48的长为250m.现要为喷泉铺设供水管道4M,BM,

供水点M在小路AC供供水点M到AB的距离MN的长为120m,BM的长为150/n.

（I）求供水点M到喷泉A需要铺设管道MA的长；

（2）8M的长是喷泉8到小路AC上各处的最短距离吗？请说明理由.

知识点03勾股数

1.勾股数的定义：

满足勾股定理（即+//=〃）的三个称为勾股数。

注意：①一定要满足勾股定理；②一定要是正整数。

2.常见的勾股数类型：

基本勾股数：（3,4,5）（6,8,10）

①倍数型勾股数：4〃，5〃（〃为正整黝

“2_]11

②奇数规律：满足〃,-----,------的三个正整数。（〃为奇数）

22

/、2/\2

In\（n\

③偶数规律：满足〃，--1,-+1的三个正整数。（"为偶数）

【即学即练1】

6.下列各组数中，属于勾股数的是（）

A.32,42,52B.5,12,13C.V3,V4,V5D.-,-

345

【即学即练2】

7.一个直角三角形的两边长分别是3和4,且三边长构成一组勾股数，则第三边长为（）

A.5B.V7C.5或夕D.12

【即学即练3】

8.如果满足等式/+臣=。2的a,b,c是三个正整数，我们称a,b,c为勾股数.

2

（1）已知〃?，〃，及是正整数且〃?>〃，证明:a=2mnfb=n?-n,。=序+〃2是勾股数.

（2）请写出任意一组含有68fl勺“勾股数”：.

题型精讲

题型01判断构成直角三角形的线段

【典例1］以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）

A.V3,2,V5B.I,、氏2C.3,6,7D.6,9,12

【变式1】以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（

A.5,12,13B.1,2,y/5C.1,V3,2D.4,5,6

【变式2】以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）

111

A.3,4,5B.V5,〃，V5C.32,42,52D.

3'4'5

题型02判定直角三角形

【典例1］已知小b,c为△ABC的三边长，下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（）

A.NA+N8=NCB.N4ZB：ZC=I：2：3

C.a：bic=i：2：3D.a2-b2=（r

【变式1】满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（）

A.NA：ZB：ZC=3：4：5

B.AB：BC：AC=\：1：y/2

C.AB=（）.5cm,BC=T.2cm,AC=\.3cm

D.NA=38°,ZC=52°

【变式2】在△ABC中，分别给出下列条件，不能判定是直角三角形的是（）【提示：在△ABC中，Z

A、NB、NC的对边分别是b.c］

A.在8c中，ZA：ZB：ZC=3：4：5

B.在△48C中，NA+N8=/C

C.在aABC中，(a・b)Ca+b)=c2

D.在AA4c中，a=3,b=4,c=5

题型03判断三角形的形状

【典例1】已知4、力、c是△A8C的三边长，它们满足（Q—10）2+VF=^+|c—26|=0,则这个三角形

的形状是（）

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【变式1］已知实数a,b,。满足（°一夕）2+7^忑+匕一3夜|=0.

（1）求实数a,b,c的值.

（2）以小4c为边能否构成直角三角形？请说明理由.

【变式2］已知。+6的算术平方根是3或，。-4的平方根是±3,-27的立方根是2-c.

（1）求。，b,c的值.

（2）判断以a,b,。为边长的三角形的形状，并说明理由.

题型04判断勾股数及其求值或证明

【典例1】下列各组数是勾股数的是（）

A.7,24,25B.0.3,().4,0.5

C.1.5,2,2.5D.5,II,12

【变式1】下列各组数中，是勾股数的一组是（)

A.7,8,9B.1,1,2C.9,12,15D.2,3,4

【变式2】若〃、8、10是一组勾股数,则n的值是（)

A.2B.6C.8D.10

【变式3】若5,12是一组勾股数,则a的值为（)

A.13B.V119C.或13D.II

【变式4】（1）我们知道像3,4,5这样三个整数是一组勾股数,那么弘，4匕5k（A是正整数）是一组勾

股数吗？请说明理由；

（2）如果a,b,c是一组勾股数，那么Hr,bk,以（k是正整数）也是一组勾股数吗？请说明理由.

（3）如果加表示大于1的整数,a=2〃?，c=m2+b请说明小b,。为勾股数.

题型05勾股定理逆定理的应用

【典例1】如图，在四边形A8CD中，ZB=90°,AB=BC=®CD=®DA=\.连接AC.

（1）求AC的长度；

（2）求NO/W的度数.

B

【变式1】如图，四边形A8C。的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1.

（1）求四边形ABC。的周长;

（2）求N8AQ的度数.

C

【变式2】如图，一架无人机旋停在空中点A处，点4与地面上点8之间的距离A8=20米，点A与地面

上点。（点8,C处于同一水平面上）的距离AC=25米，且8。=15米.

（1）求NA/3C的度数；

（2）现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点。处，若点。恰好在边AC的垂直平分线上，连接CD,

求这架无人机向下飞行的距离（A。的长）.

B

强化训练

1.以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（)

A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.4,5,6

2.下列各组数中，是勾股数的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.10,15,18

111

C.一,一，―D.6,8,10

345

3.下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（)

A./A+NB=NCB.N4：ZB：ZC=1：2：3

C.cr-D.a：h：c=3：4：6

4.如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B,然后把中点C垂直向上拉升3c〃?至点D,

则橡皮筋被拉长了（）

C.4cmD.6c7〃

5.如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意

思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折

断处离地面的高度.设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（）

B.(10-x)2+()2=x2

C./+62=(10-x)2D.(10-x)2+?=62

6.平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺.一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜•，其顶端恰好接

触到岸边的水面.止匕时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺.由此可知水池的深度是（）

15L17

B.号尺C.8尺D.号尺

7.已知△ABC三边长分别为小儿c,且满足不^+|匕一&|+（。-75）2=0,则448。是（

A.以c为斜边长的直角三角形

B.以力为斜边长的直角三角形

C.以〃为斜边长的直角三角形

D.等腰三角形

8.如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳04与地面垂直，摆绳长2小，向前荡起到最高点B

处时距地面高度13〃，摆动水平距离为1.6〃?，然后向后摆到最高点。处.若前后摆动过程中绳始终

拉直，且。8与0C成90°角，则小丽在。处时距离地面的高度是（）

9.小惠同学用25个等距离的结把一根绳子分成等长的24段，她同时握住第I个结和第25个结，小淇同

学握住第7个结，这时小婷同学应该握住第（）个结，拉紧绳子后才会得到一个以第7个结为直角

顶点的直角三角形.

A.13B.14C.15D.16

10.在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格

中：

a681()1214♦♦♦

b815243548•••

c1017263750•••

则当4=18时，"C的值为（）

A.242B.200C.128D.162

11.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门

的边AB和BC的长分别为2.4阳和又测得点A与点C间的距离为2.6〃?，则小红家的木门（填

“已变形”或“没有变形"）.

12.如图，Rtz^A6c中，ZC-90°,=8c=4,AC=3,点/为Riz2\A6C三条角平分线的交点，则

点/到边AB的距离为

13.勾股定理。2+/=。2本身就是一个关于“，b,c的方程，满足这个方程的正整数解(a,h,c)通常叫

做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组:

(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),….分析上面勾股数组可以发现,4=IX(3+1),I2=2X(5+1),

24=3X(7+1),…分析上面规律，第4个勾股数组为

14.如图，△ABC是边长为的等边三角形，动点已。同时从A,4两点出发，分别在3c边上匀

速移动，它们的速度分别为2aMs和lcm/s,当点P到达点8时，P,Q两点停止运动，设点P的运动时

s时，△PBQ为直角三角形.

15.在△A8C中，AB=5,AC=\2,8c=13,过点A的直线把△ABC分成两个三角形，若其中仅有一个是

等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是,

16.若实数人的立方根为2,且实数a,b,c满足V^F+b+(a-c+2)2=8.

(1)求勿-3什c的值;

(2)若“，Ac•是△4BC的三边，试判断三角形的形状，并说明理由.

17.如图，在四边形A8C。中，/5=90。，AC为四边形A4CO的对角线，己知A8=8,BC=6,CD=2a5,

AD=2m.

(1)请判断△ACO的形状，并说明理由；

(2)过点。作/)E_LAC于点E,求线段CE的长.

18.当直角三角形的三边长都是止整数时，我们祢这三个止整数为勾股数.

(1)若〃，〃为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a,b,c为勾股数，且a=〃+7,c=〃+8,

〃为正整数，求/，的值(用含〃的式子表示)，并直接写出符合题意的最小的〃值.

(2)当〃是大于1的整数时，判断2〃，〃2-1,/+［是否是勾股数，并说明理由.

19.已知用、x、v均为正整数，且xWy,当〃?=f+