高考数学复习二轮复习：集合（讲义）解析版

第一讲：集合

【考点梳理】

1.集合及其关系

（1）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.

（2）集合间的基本关系

表示

文字语言记法

关系

了集集合A的元素都是集合B的元素A或Z?"

集合A是集合B的子集，但集合B中至少

基本关系真子集AqB或8=A

有一个元素不属于A

相等集合A,8的元素完全相同A=B

不含任何元素的集合.空集是任何集合A

空集0

的子集

注意：（I）空集是任何集合的子集；（2）空集是任何非空莫合的真子集；（3）若有限集A中有〃个元

素，则集合A的子集个数为2”,其子集的个数为2"-1.

2.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

符号AUBAQB

表示

图形

表示

意义A必w同{x\xeAhjceB}{x\xA}

性质AU0=A,AUA=4ADO=。.anA=AAUQAnUMnqA：。

AU8=4<=>8qA

【典型题型讲解】

考点一：集合的概念：集合表示，元素的性质

【典例例题】

Q'

例I.集合,用列举法可以表示为4=________.

3-x

【答案】",2}##{2,1}

【详解】

Q

因为—wNL所以3-x=l,2,4,8,可得工=2,1,-1,一5,因为xwN,所以4=1,2,集合A={1,2}.

3-x

故答案为：”,2}

例2、已知集合4=卜了"},集合8={小e“比一1"},则3=（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】C

【详解】

2

•/A=|x|xK4}=[-2,2],4=卜卜GN*fix-1€,

.•.5={1,2,3},

故选:C

例3、设集合4={x|3x-l<〃"，若kA且2纪A,则实数〃，的取值范围是（）

A.2<m<5B.2<m<5C.2<m<5D.2<ni<5

【答案】C

【详解】

因为集合A={x|3xT<M,而IwA且2史A,

...3x1-1<，〃且3x2-1>m,解得2<〃1W5.

故选：C.

【方法技巧与总结】

1.列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.

2.描述法，注意代表元素.

3.研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。

【变式训练】

1、已知集合八={0,1,2},4=则集合B中元素个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【详解】

解：因为A={0,l,2},CIGA,bGA,所以。〃=0或曲=1或〃力=2或必=4,

故B={羽々",匹4}={0」24},即集合3中含有4个元素；

故选:C

2、设集合4=卜|/7_6<0,XGZ},B={yly=ln(x2+1),,则集合8中元素个数为()

A.2B.3C.4D.无数个

【答案】B

【详解】

由金一工一6<0,解得一2Vx<3,故A={-l,0,l,2},In[(-l)2+l]=ln(12+l)=ln2,ln(()2+i)=o,in(22+l)=ln5,

故8=仙2,0,12},集合3中元素个数为3.

故选:B.

2

3、定义集合A8的一种运算：A^B={x\x=a-b.aeA,beB}t若人={-1,0},4={1,2},则4合3中的

元素个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】

因为A®B={x|x=[2w4力g阴,A={-1,0},8={1,2},

所以4®8={0,-l,-2},

故集合A€)8中的元素个数为3,

故逐C.

4、已知集合4={1,2},8={2,4},C={z\z=x\xeA,yeB},则C中元素的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【详解】

由题意，当4=1时，z=xy=1»当x=2,)，=2时，z=xy=4,

y

当二=2,y=4时，z=x=16,

即C中有三个元素，

故选：C

5、设集合A={-2,7,123},8={)，|y=log2lxl，xeA},则集合3元素的个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【详解】

当工=±2时，)，=1：

当工=±1时，)，=0；

当工=3时，y=log23.

故集合8共有3个元素.

考点二：集合与集合之间的关系

【典例例题】

例I、(2022•广东潮州•高三期末)己知集合人={04,2},8={I，M.若B=A,则〃?等于()

A.0B,0或1C.0或2D.1或2

【答案】C

【详解】因为A={01,2},8={1,叫，月.8UA,

所以，〃=()或2.

故选：C.

例题2、(2022•四川•高三阶段练习)集合A=卜了一4工-5<0}的一个真子集可以为()

A.{x[T<x<5}B.{x|-5<x<1}C.{x|-l<x<4}D.{x|-5<x<())

【答案】C

【详解】

解：由X2-4X-5V0,BP(X-5)(X+1)<0,解得一l<x<5,

所以A={x\x2-4x-5<()}={41<x<5},所以A的一个真子集可以为{x\-\<x<4}.

故选：C

例题3.(2022•全国•高三专题练习)设集合A={xeZ|(x-l)(x-5)<0},则集合A的子集个数为()

A.16B.32C.15D.31

【答案】B

【详解】

因为集合A={x€Zh-l)(x-5)40}={123,4,5},

所以集合A的子集个数为2,=32,

故选：B

【方法技巧与总结】

1.注意子集和真子集的联系与区别.

2.判断集合之间关系的两大技巧：

(1)定义法进行判断

(2)数形结合法进行判断：数轴、韦恩图

【变式训练】

1、设集合A=k|x>a},B=^|(x-l)(x-2)>0},若则实数。的取值范围是().

A.(y,l)B.(-0),1]

C.(2,-KO)D.[2,400)

【答案】D

【详解】

B={x[(x-l)(x-2)>0}={小〉2或x<1},

因为人口8,故可得即实数〃的取值范围是[2,”).

故选：D.

2、已知集合人=卜62k2<4},8={1,〃},8口八，则实数〃的取值集合为()

A.{-2,—1,0}B.{-2,—1}C.1,0}D.{—1}

【答案】C

【详解】

由题意得，A={.reZ|-2<x<2}={-l,0,l},=BQA,

•••实数〃的取值集合为{TO},

故选:C.

3、(多选)已知集合人=卜€1<k2-3%一]8<0},3=[£1<卜2+火+42-27<0},则下列命题中正确的是()

A.若A=8,则。=一3B.若A±,则a=-3

C.若8=0,则。工-6或。26D.若时，则-6<。4一3或。26

【答案】ABC

【详解】

A={xeR|-3<x<6),若A=B,则a=-3,H.«2-27=-18,放A正确.

。=一3时，A=8‘故D不正确.

若A=B,则(-3)'+止(-3)+/_27《0且62+64+/_2740，解得〃=-3,故B正确.

当8=0时,a2-4(a2-27)<0,解得a«-6或aN6,故C正确.

故迄ABC.

考点三：集合的运算：交集、并集、补集运算

【典例例题】

例1.(2022.广东.金山中学高三期末)已知集合4={小，=1*工-1)},集合8=巾=(小，3>-2卜则加8=

()

A.0B.[1,4)C.(1,4)D.(4,+cc)

【答案】C

[详解】集合4={My=ln(x_l)}={Mx〉l},

集合Bhy\y=[^，x>-2«={y|0<y<4},

43(1,4)

故选:C

例2.(2022・全国•高三专题练习(理))已知集合人={小2一2工一8工。},B=则ADB=()

A.{x|-4<x<2}B.{x|-44xW2,xw-3}

C.{x|3<.r<4}D.{x|-3<.r<4}

【答案】D

【详解】

因为A=Hf-2.r—8K0}={M_2WxK4},=^<o[={x|-3<x<2),所以474={乂-3<犬44}.

x+3

故选:D.

例3.(2022・广东•铁一中学高三期末)设集合人={小0<1}]=卜上2-412训，则AU(，8)=()

A.(-co,6)B.(-2,6)C.(0,6)D.(0,e)

【答案】B

【详解】由Inxvl得0<x<e,则集合A={x[0<x<e},

由/一4工一12<0得-2<x<6,则集合Q3={中2—4X-]2<0}={H_2<X<6},

所以AkJ@8)={X()<xve}<j{x|-2<x<6}=何-2<工<6}.

故选：B.

【方法技巧与总结】

1.会用数形结合求集合的交集与并集运算

2.全集和补集是不可分离的两个概念

【变式训练】

1.(2022•广东中山•高三期末)设全集U与集合M,N的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是()

A.McNB.MuNC.D.N

【答案】D

【详解】解：由图，元素属于N但不属于M，

即阳影部分对应的集合为@w)nN,

故选：D.

2.已知集合4=7+三.,°»，8=卜卜2_(〃+])2工+2《/+])<0卜若AnB=0,则实数。的取值范围是()

4

A.(2,+oo)B.{1}D(2,+8)

C.{l}U[2,+oo)D.[2,+a))

【答案】C

【详解】

由题意Ax^y..O=(-l,4],8={耳寸-3+1)2工+勿(/+1)<0}={工(工一%)[1一(/+1)]<0},

当6=0时，2〃=/+[,即。=1,符合题意；当即亦1时，8=(2么/+1),则有勿..4或/+1.-1,

即久.2.

综上，实数”的取值范围为{l}H[2,T8).

故选：C.

3.已知集合A=­：<1卜8={珅呜]41}，全集U=R，则(。/)口8=()

A.{x|lWx43}B.{x|0<x<l}C.1x|0<x<1JD.{x|l<x<3}

【答案】C

【详解】

1_1

解：由上<1,即r二」>0,等价于(x—l)x>0,解得X>1或x<0,

XX

•、

所以A=«x|-=或x<0},由log/K1,解得0<xW3,

x

所以B={x|log3K<1}={X|0<X<3},

所以务A={x|0#x1},所以(Q/)c4={4)<xKl}；

故选：C

4.设集合A、8均为U的子集，如图，An&8)表示区域()

C.IllD.IV

【答案】B

由题意可知,An(es)表示区域n.

故选:B.

5.建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》

票房收人已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取

了100人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有6()人，观看了《革命者》

的有50人，数据如图，则图中；b=；c=.

28+4+8+6=51卜=9

由题意得：•35+a+c+6=60,解得：7=8.

26+〃+c+6=50c=10

故答案为：9；8；10.

【巩固练习】

一、单选题

1.已知全集/={1,2,3,4,5),{2,3},N={3,4,5},则加1_］仅2)=()

A.{1,2}B.{123}C.{1,2,3,5)D.{2,3,4,5}

【答案】B

【详解】

由题意知:[N={1,2},碗(则={123}.

故选：B.

2.已知集合4=同丁=。+1,)>2},集合8="怜=x+l,x>21则Afi低B)=()

A.(1,3]B.(-oo,3]

C.(l,+oo)D.(1,3)

【答案】A

【详解】

由y=a+l>2得：a>\,即A=(l,+oo)；

由〃=x+l,x>2得：Z?>3,即B=(3,+oo),

故选：A.

3.已知集合U={x|lvx〈6,xeN},A={2,3},8={2,4,5},则;()

A.{4,5}B.{2,3,4,5}C.{2}D.{2,4,5}

【答案】A

【详解】

由题意得，U={2345},又A={2,3}则务A={4,5},

因为8={2,4,5},所以(电4卜口={4,5},

故选：A.

4.若全集U=R,集合A={x|)，=5/^7,xeN},8={x[%W3},则图中阴影部分表示的集合为()

A.{4,5}B.{0,1,2)C.{0,1,2,3)D.{3,4,5}

【答案】A

【详解】

由题图,阴影部分为An(43),而Q8={x|x>3},4={0,1,2,3,4,5},

所以Ac&3)={4,5}.

故迄A

5.已知集合A={H_1CV5},B={xeZ|lvxv8},则AflB的子集个数为()

【答案】C

【详解】

因为人={x|-l<xv5},^={XGZ|1<X<8),

所以AA8={2,3,4},因此A口3中有三个元素，

所以Af)3的子集个数为2、=8,

故迄C

6.已知全集。=1<,集合A={y|y=x2+3,xwR},B={x|-2<x<4},则图中阴影部分表示的集合为()

A.[-2,3]B.(-2,3)C.(-2,3]D.[-2,3)

【答案】B

【详解】

依题意，A={)，|y=f+3,x€R}={x|xN3},则«诲="|工<3},而B={x|-2<x<4},

而图中阴影部分对应的集合为©A)nB,于是得(QA)c8=(-2.3),

所以阴影部分表示的集合为(-2,3).

故选:B

2

7.已知集合A={X|f-3x-4=。},B={x\a<x<a}t若AD8=0,则实数a的取值范围是()

A.(f，TB.[4,-K»)C.(^X),-1)U(2,4)D.[-1,2]O[4,-KO)

【答案】D

【详解】

解:由题知A={x|f—3X—4=0}={_1,4},

因为4口8=0，

所以，当8=卜|4<工</}=0时，a>a\解得OWaWl,

d"心4

当8=卜|〃〈工〈/}=0时.，或1I,解得〃«—l,0)U(l，2]U[4,”)，

a2>a

综上，实数a的取值范围是卜1,2]=[4,位).

故选:D

8.设集合A=kk>〃},八卜卜2_31+2>0},若AqA,则实数a的取值范围是().

A.(—/)B.(71]

C.(2,田)D.[2,+cc)

【答案】D

【详