函数的最值重 点考点 专项练-2026年高考数学一轮复习备考

函数的最值重点考点专题练

2026年高考数学一轮复习备考

一、单选题

1.函数/("=2'+石的值域为()

A.[0,1]B.[0,-R)C.(1,-HX))D.[1,+功

2.若函数y=II、的定义域为加,值域为N,则川口川=()

\l2x-x

A.。+8)B.(2,+oo)C.d,2]D.[1,2)

3.已知一3Vx<0,则尸工血-炉的最小值为()

993

A.--B.-C.--D.不存在

4.已知/*)是定义在R上的奇函数，g*)是定义在R上的偶函数，若函数g。)的值域为「3,2],

则函数/(3x)+g(3x)的最大值为()

A.2B.3C.6D.9

5.若函数小)=/―3：+2”"的值域为[0,+孙则实数〃的取值范围是()

-av+l,x<d

A.[0,1]B.[-1,0]C.[0,1)D.(-1,0]

6.已知函数/(x)的定义域为R,值域为(0，+e),且f(x+y)=/(x-y)f2(y),则下列结论不正确

的是()

A./(0)=1B.f(2x)=f\x)

C./(x)+/(-x)>2D./(力是增函数

7.对于复数z,假如复数z•同时满足以下两个条件：①3mwR,且,心0,使得半="，②忖•网=4,

则称z*为z的反演.已知复数z的实部等于z*为z的反演，则归的最小值为()

A.2B.3-V5C.V5-2D.2-72

8.下列函数中，值域为R且为奇函数的是()

v3

A.f(x)=A:3+1B.f(x)=xs\nxC.f(x)=—D./(x)=——x

e|A,x

二、多选题

9.函数。=称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是()

A.。(次2))=。(。(①)

B.。(幻的值域与函数/(»=乜手的值域相同

2x

C.D(x)D(-x)

D.对任意实数x,都有ZXx+l)=D(x)

10.设正实数，小〃满足〃叶〃=1,则下列说法中正确的是()

A.2…*B.而+血的最小值为日

C./〃〃的最大值为!D.的最小值为5

42

2x

II.已知函数/(力=下3，则正确的是()

A.A(x)的定义域为R

B.〃x)是非奇非偶函数

C.函数/(x+2024)的零点为0

D.当x>0时，/(x)的最大值为g

三、填空题

12.已知函数/(x)=2-/5+3,则/(幻的最大值是.

13.函数满足：①/⑴=:②Vx，"R,2，/()，)-2"(x)2(4-4')/(x)/(y).则/(x)的最大

值等于.

14.已知/(力是定义域为"|.忏0｝的格外数函数，若对定义域内的任意实数元)，均有

+则：①/⑴=2；②/(X)的值域为［2,+oo)；③小)=串)；

④/(可是奇函数，则上述结论正确的序号是.

15.已知不等式(x+l)2<4(f+l)(d—2x+5)对任意xeR恒成立，则实数丸的取值范围是.

16.已知。>0,bwR,若x>0时，关于x的不等式(如―2)(/+班—4"。恒成立，则力+：的最小

值为

四、解答题

17.已知2丁+)，2-2.D，—2X—1=0.

(1)若)，>x>l,求V的最大值，并求出此时工的值；

(2)若x>l且工>)，，求2.”)，的最大值.

18.若a,b,c>0,且/+从=。2,求左的最大值，使得/+.恒成立.

abc

19.已知首项为g的等比数列｛q｝的前〃项和为S“，且-S?,%3s3成等差数列.

⑴求数列｛凡｝的通项公式；

'、

(2)求数列'S"+］，的最大项.

参考答案

题号12345678910

答案DDABADCDABDACD

题号11

答案AD

1.D

【分析】求出函数定义域，再利用单调性求出值域.

【详解】函数/（力=2'+△的定义域为［0,共），

乂），二2、与），=&在［0,y）上均单调递增，

所以“力在［0,k）上单调递增，

.*./（x）>/（O）=l,故“X）的值域为［1,400）.

故选：D.

2.D

【分析】求函数I=J21—丁的定义域和值域，再求McN即可.

【详解】由y=/।，有意义可得2x—■?>（）,

\J2x-x'

所以小一2“<0,

所以0vx<2,

所以函数y二,的定义域M=（0,2）,

\J2x-x~

由0vx<2,可得丁=21-d=-（x-l）'+1e（0,l］,

所以函数y=J,的值域N=［l,y。）

\J2x-x~

所以McN=[l,2).

故选：D.

3.A

【分析】依据基本不等式，可得答案.

【详解】由于一3Vx<0,贝1」9一/>(),

故y=xM-2=-^X2(9-X2)>--———―=-T，

当且仅当炉=(9一/)，即工=—乎时取等号，

即y=x^9-xJ的最小值为

故选：A.

4.B

【分析】依据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值.

【详解】由函数/(刈一双步的直域为[-3,2],得—3C/(—x)—仪―x)V2,

由/(A)是定义在R上的奇函数，得/(-x)=-f(x),由g(x)是定义在R上的偶函数，得g(-妁=g(x),

则—3<-f(x)-g(x)<2,则-24f(x)+g(x)<3t而函数f(3x)+g(3x)与f(x)+g(x)的值域相同，

所以函数/(3x)+g(3x)的最大值为3.

故选：B

5.A

【分析】分别争辩/(x)在x不同取值时得单调性；当。<0时，/(x)->-co,不合题意；当。=0时,

争辩”X)的最小值即可；当。>0时，由分析可知要求/")的最小值为0,先确定。的范围，再依据

的范围确定工时函数的单调性，从而求得其最小值即为/(1)=。符合题意.

[详解]当/(X)=M_3X+2.贝iJr(x)=3J_3=3(x_l)(x+l),

此时/(力在(1,”)单调递增，在(-1,1)单调递减.

当av()时，若xva,/(x)=—u+l当x->7,/(x)^-co,不合题意；

当〃=0时，=-3：+/，让°,/(0)=2./(1)=0,则%)值域为[04)符合题意：

1,人、U

当〃〉0时，要使f(x)的值域是[0,m),则要求f(x)的最小值为0.

则必定先有-/+120，得T4aWl,即0<aWl,

此时〃x)=V-3x+2在[q+oo)上单调性为(a,l)上单调递减，(l,+oo)单调递增，

有最小值/⑴=0符合题意.ttae[0,l]

故选：A.

6.D

【分析】取x=y=O,代入计算,即可推断A,取尸工代入计算,即可推断B,取尸r代入计算,

结合基本不等即可推断C,举出反例，取/(力=^)即可推断D.

【详解】对于A,取x=y=O,则由已知等式得到/(0)=〃0)尸(0),即广(0)=/(0),

又由于值域为(0,+8),全部〃0)>0,故"0)=1,故A正确;

对于B,取寸三不则〃2x)=/(0)[/(x)丁，即/(2x)=[/(%)了,故B正确,

对于C,令y=T,则/(0)=〃2x)[/(r)T，即1=/(0)=/(2矶f(r)了=[/(必2[〃一切2,

留意到〃x)>0,所以〃一力=才铲0,

所以⑴+春网/⑺尢

=2,当"x)=l取得等号，故C正确:

对于D,UZ/(x)=e-v,贝iJ/"+y)=e-L,',/(x-)，)/2(),)=e〉f，e

符合题意，但此时/(x)是减函数，故D错误.

故选：D.

7.C

【分析】设z=l+〃i"R,则=户匹，利用判别式法可求归-i|的最小值.

【详解】设z=l+加/eR,则z*=〃?(l+Oi),

/i444b

所以Jl+//xmxJl+/=4,=^z*=——+——i,

}+b~\+b~\+b~

故=

前J、1+//

16-8/?

设/=—TT，则仍2+8〃+/—16=0,其中Z?eR,

若t=0,则b=2；

若［工()，则△=64-4/(/-16)之0即产一16—16W0,

故8-4逐W/K8+4逐八()，

故8-4石WY8+4。，故(牛等+0=9-4百,

故卜*一心=6-2，

故选：C.

8.D

【分析】利用奇函数排解AB：再求出函数值域即可推断.

【详解】对于A,〃此=.，+1是非奇非偶函数，A不是；

对于B,函数/(x)="inx值域为R,/(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x),是偶函数,B不是;

r—rY

对于C,函数/(%)=即的定义域为R,f(-x)=—=-=-f(x)t是奇函数，

当x>0时，f(x)=4，求导得广(幻==，当0<x<l时，fM>0；

ee

当x>l时，r(x)<0,函数/(幻在(0,1)上递增，在(1,+8)上递减，/(X)_=/(1)=-,

e

而当x«O时，fM<o,即函数/(©的值域不是R,C不是：

对于D,函数/(幻=三一X的定义域为(一8,())U((),+8),f(-X)=—+X=-f(X),是奇函数；

X-X

当x>0时，y=3,y=-x都递减，则函数/(.r)在(0,内)上单调递减，

函数/(X)在(。，1］上值域为［。，”)，在口，”)上值域为(y刈，因此函数/(X)在(0,+oo)上的值域是R,

同理函数/(X)在(-8,0)卜的值域是R.D是.

故选：D

9.ABD

【分析】由狄利克雷函数定义逐项推断即可；

【详解】对于A,依据狄利克雷函数定义可知。(/)⑵)=0⑴=1.0(。(啦))=。(0)=1,即A正确：

对于B，易知函数/(%)=/把的定义域为(-co,0)U(0,⑹，

2x

当xe(—,O)时，/(%)=/2=0；当X£(0,*o)时，/*)=14出=1；

2x2x

即函数/(、)=¥匹的值域为10』｝,所以B正确；

对于C,若xeQ,则一xwQ,则£>(x)=D(—x)=l,

若xwaQ,则-工£小。，则。(X)=ZXT)=0,综上可得：D(x)=D(-x)f故C错误；

对于D,当xcQ时，x+leQ,

此时D(.v+1)=D(x)=1；

当x任Q时，x+\^Q,此时ZXx+l)=O(x)=0,所以D正确.

故选；ABD

10.ACD

【分析】由题设得〃L〃=2〃L1W(-1,1),结合指数函数性质推断A；应用三角换元、帮助用公式及

正弦型函数性质求而+〃的范围推断B；应用基本不等式求最值推断C、D.

【详解】对于A,由于正实数〃?，〃满足=则m-n=m-(\-ni)=2m-\e(-\,\),

故2'i>2"=g,正确；

对于B,设V^i=sina,\fn=cosa>满足正实数加，〃的关系式〃?+〃=1,

所以V^+册=sina+cosa=V^sin(a+：)，

由于aw(0,]),所以等<sin(c+：)«l,所以1<J加+6《血，错误；

对于C,由基本不等式得〃〃三]等[=；,当且仅当〃?=〃=；时等号成立，正确；

对于D,由于2(〃[2+〃2)=(〃/+/2)+(，/+=+=1,可得〃?、/尸之g,当口

仅当加=〃=3时等号成立，正确.

故选：ACD

II.AD

【分析】利用函数的性质争辩.可以推断A、B、C选项，对于D选项，利用基本不等式来求最值即

可.

【详解】由/+9/0可得：函数〃灯二高3的定义域为R,故A正确：

—2v2x

由f(_"=(_()；+9==二""’结合定义域为R，可知/(力是奇函数，故B错误；

八/\2(x+2024)

由/(x+2024)=”"\2c=。解得,x=-2024,所以零点为-2024,故C错误；

(x+2024)+9

f(1二2、二2v2二1

当x>0时，x=3•八刃-，旃一二可一语一3,取等号条件为x=3,故D正确；

人T~~

X

故选：AD.

12.16

【分析】求出/=-£+2.r+3的范围，依据复合函数的单调性求解.

【详解】由/(6=2*+2川，Wr=-x2+2x+3=-(x-l)2+4<4,

由于y=2单调递增，所以)，=)«2“，则/。)的最大值是⑹

故答案为：16

13.-/0.5

2

【分析】设/(力2=，且/(间=，，代入得：2”-2摩(4少一4)令，令2Jp,则有关于〃的不等式

卬2-"+/K0有解，利用判别式求解即可.

【详解】解：设/(丹山=，且/(〃?)"，

令x=m,y=\,

则有2叫/(1)一2/(〃?)2(4'"-4)・/(〃?)・/(1),

即|.2"«_2r之(型_孙夕,

22

设2"=〃，贝〃一2f2(/—4卜玉，，

即2/p2-2p+2/<0,

所以.W0有解，A=1-4/20=-,

所以外力的最大值等于，

故答案为：g

【点睛】方法点睛：解答与抽象函数有关的题FI时，常用赋值法.

14.①③

【分析】利用赋值法推断①和③的正误；设/(x)=x+L,代入已知等式即可验证②的正误：取

.1

/(^)=A+-,验证④的正误会.

X

【详解】对于①，令可得/⑴/(力=2/(“，由于/(刈是格外数函数，所以/(刈不恒为0,

所以/(1)=2,故①正确.

对于③,令x=i,则/(y)f(i)=f(y)+f4,可得f(y)=fp

\y)\y

故③正确.

对于②，依据/(%)=个)，可取/(%)=X+L

可知“X)是定义域为例X。。｝的格外数函数,

旦/("(，)--

Iy

可知"x)=x+4符合题意，但/(-1)=-2<0,故②错误.

X

对于④，例如/(x)=x+g,可知/("是定义域为何户0｝的格外数函数,

且〃x)/(y)=xI1yI1=(A7I1I•IXI»留意到个，，,，工同号,

xyyxyjI)，AJqJx

可得/("()，)=,+/(泮)=孙+岁：+小/(孙)+/()

符合题意,但f(r)…+5=旧

可知/(x)=X+-=/(力，

A

即“X)为偶函数，故④错误.

故答案为；①③.

1

15.一,+8

2

(X+1)-八

【分析】参变分别可得卜2+/_24+5)%对任意xeR恒成立，换元令文+1=/，整理得

@+1)2_1

23

\+l)(x-2A-+5)-r+4_3Y+1，结合对勾函数性质分析求解.

【详解】由于0+1）2。，+2X+5）,KX2+1>0,X2-2X+5>0,

可得（炉+於1工+5产对任意I恒成立，

令x+l=1,则x=f-1,

U+I）2八

若X=T,则"0,可得M+I）『2X+5），

（x+1尸_/

若”工一1,则”。，可得［"而_2»5>］（一『川［（1.2（一）+5

_r1_1

-/4-6/3+18/2-24/+16"户」624-7""4""V,

i+产-61-7+18，+彳-3J+1

4

由对勾函数〃=/+—可知”24或“KT,

t

则/+；—3之1或/+；—3W—7,可得0+：一3）~21,

1

则df+5)=0+t3)1eIfor2」；

2

综上所述：(八1府(x+1-)2»5广「八'r外

(X+l)211

即/2,2~)八的最大值为5，则％之；，

(x+l)(x-2x+5)22

所以实数4的取值范围是g*).

-1、

故答案为：3,+8.

-L7

【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题

(1)分别参数法

第一步：将原不等式分别参数，转化为不含参数的函数的最值问题；

其次步：利用导数求该函数的最值：

第三步：依据要求得所求范围.

(2)函数思想法

第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；

其次步：利用导数求该函数的极值；

第三步：构建不等式求解.

16.4

【分析】分析得到人=2〃-±2,故8+4二=2〃+2士，利用基本不等式求出最小值.

aaa

【详解】若。>0,A>0,(以―2)任+法一4”0恒成立，

即+6:-4)A0恒成立，

所以二次式与一次式在()到正无穷有相同的解，

故f+a—4=(x-2](x+2。)才能满足要求(因式分解后二次项和常数项全都)，

XTA:--|(A-+2«)=X2+[2«--|X-4,故Z?=2q_2,

b+-=2a--+—=2a+—>2.12a--=4,当且仅当2。=2,即a=l时，等号成立，

aaaa\aa

4

故方H—的最小值为4.

a

故答案为：4

17.（1），的最大值为3,此时x=2；

（2）3

【分析】（1）设5=女€（。，1），故工=外，代入2/+），2—2冲—2入-1=0中，2）以2一（2丁2+2），伙+），2-1=0,

设/任）=2/公一（2），2+2），快+/_],依据二次函数根的分布得到不等式，求出lv），W3,进而得到），

的最大值为3,代入2丁+9-2孙-2x-l=0,求出x=2；

（2）设2x-y=f,由于x>l,工>>,故/=%+（3-#>1,将2x-r=y代入等式中得

2/_（2/+2）x+产-1=0,依据根的判别式得到1<Y3,验证当/=3时满足要求，从而得到最大值.

【详解】（I）设^=&£（（）/），故工="，

2JC+y2—2g，-2x-1=0n（2A,+1））尸一2心户一2心，一1=0,

即2y2k2-（2y2+2y）jt+/-1=0,

令以k）=2y2k2-（2/+2y）A+V一],开口向上，

贝4（。）=/一1>。，

要想/（攵）=2），％2—（2）尸+2），）女+），2—1在攵£（0,1）上有解,

则要〃1）<。或出二.

由川）二>2_2）,_]<0得]<）,<]+日

△>0即.(“厂+2)，)-8)厂()，--1"0,解得］+&«),«3,

由仇)NO

y2-2y-l>0

综上，l<yW3,故V的最大值为3,此时f_4_r+4=0,解得x=2.

(2)设2.r-y=l,由于x>l,x>y,故f=x+(x-y)>1,

将2x-t=y代入2x2+y2一2不，一2x-1=0中，得

2x2+(2x-/)2-2x(2x-r)-2x-l=0,即2x2-(2r+2)x+r2-1=0,

2/_(2z+2)x+/一1=0,A=(2r+2)2-8(/2-l)=-4/2+8/+12,

要想方程在xc(L田)上有解，需要△虫)，解得-1WY3,

乂f>l,故1<Y3,

当，=3时，2x2-(2r+2)x+r-l=0=>2x2-8.v+8=0,

解得x=2,此时y=l,符合要求，

故2x-y的最大值为3.

V

【点睛】关键点点睛：设一=女«0,1),故工=妙，转化为关于左的一元二次方程，结合根的分布与二

y

次函数图象，得到不等式，求出最值；设2x-y=f,转化为2/-⑵+2)x+5-l=0的解恒题，利用

根的判别式得到不等式，求出答案.

18.2+上

【分析】法一：接受特殊值探路，再证明结论即可；法二：利用三角换元，设〃=。85。,/2=原由。，

再设/=sina+cosa,求出，的范围，再将火以转化为关于f的式子，最终依据函数

12)abc

单调性即可求出最值.

【详解】法一：由题意知〃+/=,2,由。，人对称，不妨设」=〃="=&代入之k可得

abc

k<2+>f2,

hilE：f/，2+&.

abc

事实上由于乎C3+/+/23,手〃%为3=等4反①，当且仅当当等号成立,

f.42]

(42+方，22abc②,当且仅当。=〃时等号成立,

4

①+②得/+/+/>(2+向abc,即“+b+「之2+叵“,

abc

故&的最大值为2+&-

法二：由于/+匕2=。2,则设"=℃0§&,/?=0$111。,6({0,9，

/T.(乃1,-p/八；T、兀(万3乃)

Z=sinn<+cosry=x/2sinnr-i—由于a&|0.一|,n贝il—<=一,——,

k