导数的应用-公切线问题 高频考点 专项练-2026年高考数学一轮复习备考

导数的应用••公切线问题高频考点专题练

2026年高考数学一轮复习备考

一、单选题

1.函数〃x)=lnx和g(x)=ar2_x的图象有公共点尸，且在点尸处的切线相同，则这条切线的方程

为()

A.y=2x+\B.y=2x-\C.y=x+\D.y=x-\

2.曲线=与g(x)=ln=-l)的公切线的斜率为()

A.IB.-1C.eD.-e

3.已知直线)，=履+6是曲线y=的切线，也是曲线y=-e-x的切线，则%+2=()

A.—B.IC.eD.1+e

e

4.已知函数/(x)=e'—2〃?，g(x)=x2-侬,若过点(肛0)的直线与曲线y=/(x)和y=g㈤均相切,

则实数〃?的值为()

A.-2B.-1C.1D.2

5.已知/(x)=e'—l,g(x)=lnx+l,则〃幻与g*)的公切线有()

A.0条B.1条C.2条D.3条

6.若直线/与函数和g(x)=hu的图象分别相切于点A8,则|A8|=()

A.2B.2y/lC.垃D.2石

7.函数〃司=1+欣与函数g(x)=e-l公切线的纵截距为()

A.1或0B./或0C.1或eD.-1或e

X2+x+2a(x<0)

8.已知函数/("=\小的图象上存在不同的两点A8,使得曲线y=/(x)在这两点处

——((jr>0)

的切线重合，则实数。的取值范围是()

A.卜司B・卜5C.(I,”)D.(-84)U牛+8)

二、多选题

9.若两曲线)，=/一1与y=〃lar-1存在公切线，则正实数4的取值可能是()

A.1B.eC./D.2e

10.已知函数/⑺=ae%x＞0),g(%)=f(x＞0),力(内,凹)，是/(x)和g(x)的图象的两

个交点(NV9)，则下列说法正确的是()

若函数〃(工)=需,

A.则〃(刈在(0,2)上单调递增，在(2,也)上单调递减

4

B.实数。的取值范围是。＞二

e"

C.曲线/(x)与曲线g(x)始终有两条公切线

D.直线A8的斜率大于4

11.我国有名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂

分家万事休在数学的学习和争辩中，常用函数的图象来争辩函数的性质，解决相关的问题，己知

函数/(x)=ln(x+a)(aeR),g(K)=e",则下列说法正确的是()

A.当a42时,/(x)<g(x)

B.若函数)，=/*)-g(x)存在两个零点用,占，且总＜。＜%2，则。＞2

C.若/㈤[若%)-a]20恒成立,则。=1

D.当。=0时，/*)与g(x)存在两条公切线

三、填空题

12.与曲线/*)=ci和g(.r)=e*-1都相切的直线/的方程为.

13.已知函数/(x)=Mx,g(x)=ax\存在直线过点(。弓)与曲线)，=/(x)和)，=g(x)都相切，则

a=.

14.已知曲线〉，=/与曲线交于点乙直线/与曲线)，=/切于点A,与曲线)，=：切于点“，则

△PAB的面枳为.

15.曲线)，=lnx与曲线)，=2■/的公切线方程为_____.

2e

16.若直线)，="+〃是曲线/(司=。1的切线，也是曲线g(x)=e'-2的切线，则人

17.曲线y=e'与曲线y=反的公切线方程为.

四、解答题

18.已知函数g(x)=lnx-x+1.证明：/(x)和g(x)的图象有两条公切线.

19.已知函数〃x)=l+x-f,屋力=葭求证：直线y=x+l既是曲线y=/(x)的切线，也是曲线

y=g(x)的切线.

参考答案

题号12345678910

答案DACCCCBBABDACD

题号11

答案ACD

1.D

【分析】设切点尸的横坐标为/(/>0),先依据导数几何意义列方程组，可得21n/+/-l=0,再依

据导数求其单调性，依据单调性确定其解，最终依据点斜式求切线方程.

【详解】由/(x)=ln无，g(x)=a/-x,

则/'(x)=Lg'(x)=2or-l,

X

\nt=ar-t

设切点尸的横坐标为，(/>0),则依据题意可得1「

-=2at-\

得Int-----,即21n/+f—1=0,

2

设g(/)=21n，+/-l,;>0,

由于函数y=21n/,y="l在(0,+R)上单调递增，

所以函数g。)在(0,+功上单调递增,又g⑴=0,

所以方程2出/+/-1=0有唯•解1=1,

所以切点P坐标为(1,0),切线斜率k=l,

则切线方程为)，=xT.

故选：0.

2.A

【分析】依据导致的几何意义分别求/(x),g(x)的切线，结合题意列式求解即可.

【详解】由于〃x)=lnx-l,则r(x)=L

X

设切点坐标为(a』na-l),a>0,切线斜率为勺,

可得切线方程为y_(lna-l)=，(x-a),即y=，x-2+hw；

aa

由于ga)=ln(x-l),则g'(x)=」7,

x—1

设切点坐标为伍/n(〃-1)),〃>1,切线斜率为—占

可得切线方程为了一||】(〃-1)=厂工(工一〃)，即丁二二二工―3+lnS-l)；

.9-I/?-1b-l

\_1

a=\

由题意可得：，解得，

b=2

-2+In«=--y~+ln(Z?-l)

所以公切线的斜率为4.

故选：A.

3.C

【分析】设直线)，=阮+〃与曲线丁=6、的切点为(公炉)，与曲线y=-e7的切点为(w，-e』)，利用

导数求出曲线y=e、在x=内处的切线方程，以及曲线)，=-e”在x=&处的切线方程，依据两切线重

合可得出关于演、占的方程组，解出这两个量的值，可得出攵、〃的值，即可得解.

【详解】设直线)，二丘+〃与曲线丁=/的切点为(公炉)，与曲线,，=-尸的切点为(±,-e』),

对函数尸c，求导得V=)'=e"对函数y=-e：求导得/=(y-*)，=e-工，

r,t,x

则曲线kc'在工=玉处的切线方程为y-d=e'(x-X]),BPy=ex+e-x}e',

曲线)，=—er在x=9处的切线方程为V+e』

A

即y=c-x-x2e-e

所以:;/i)-寸解得『='，

Xl

[(l-A-,)e=(-l-^2)exz[&=T

故女二e』=e,Z?=(l-l)e=O,所以左+Z?=e.

故选：C.

4.C

【分析】设出切点，求导，依据点斜式求解切线的方程，即可依据公切线得峭=%+1,构造函数

〃(x)=e，-x—l,求导即可得解.

【详解】设直线与/(x)=e<2〃?图象相切的切点为(内，9-2〃?)，

由r("=e1则切线斜率为9,

A|v,x,V|

切线方程为,—e*+2rn=e(x-x1),即y=ex+e-ext-2m,

又g(/〃)=0,且g'(x)=2x-m,即/("?)=〃?，

所以过点(〃?，。)与曲线y=x2-nvc相切的直线方程为y=mx-nr,

x\

联立厂；"7。，解得加3+1,所以e』7+l,

设Az(x)=el-x-l,〃'(％)=ev-l

当工>O,〃'(x)>O,〃(x)单调递增，当x<O,/«x)<(),〃*)单调递减，所以〃(幻？〃(0)=0,故e，2x+l,当

且仅当x=0时取等号，

故由e"=内+1得6=0,所以〃?=1.

故选：C

5.C

【分析】函数已知，可设切点表达切线方程，公切线满足两函数的切线斜率和截距分别相等，则公切

线的数量可转化为满足条件的方程组的解的个数或者符合条件的切点个数的求解即可.

【详解】依据题意，设直线/与/(x)=e，-l相切于点(肛e,n-l),与g。)相切于点(〃/n〃+l),

对于fa)=e，-L有于(x)=e1则直线/的斜率Z=e%

则直线/的方程为y+1-”=e，”(…),即y=e'"x+(l-m)eM-l,

对于ga)=lnx+l,有g'(x)=1,则直线/的斜率Z=则直线/的方程为y-(ln〃+l)=L(x-〃)，

xnn

即>'=—x+lnz?,

n

第1

e=一,

则Jn

=ln/z+l,

可得-1)=0,即6=0或6=1,

则切线方程为y=1或丁=),故fM与g(x)的公切线有2条.

故选：c.

6.C

【分析】先设切点，再求导函数得出点斜式即切线方程，结合公切线列方程求解得出点，最终应用两

点间距离求解.

【详解】设仪々/吠)，

由于/'(x)=ci,/(x)=L

X

所以函数/("=j2的图象在点A处的切线方程为)，YL2=/T(XT3即好炉-2工+。-内)9-2,

函数g("=底的图象在点B史的切线方程为y-^2=，(%-8),即y=-x+\nx2-it

FX2

e1,-2二’①

由于直线/是两函数图象的公切线，所以J*2,

(1-司)炉-2=1鹏-1②

由□可得2_芭=1般2,代入匚得（1一N）e"2=［一百,

x=2

由于*>1,所以1J所以A（2』），8（1,0）,

所以|AB|二J（2-l）2+（l-0）2=VL

故选：C.

7.B

【分析】先设切点分别为（内，/（内）），（M常（勺）），并通过点斜式方程写出两条切线方程，依据公切线方

J__e.u

程得<三一5,最终计算阳值即可.

x：

Inxt=（l-x2）e-1

【详解】设切点分别为点，〃百）），（孙g（“2）），%>0,

且导数为r（x）=Lg'（x）=e\

x

所以切斜方程为既为5-（1+垢』）='*"）,

王

也为y-（e*2-1）=的（工一工2）,

所以・工二”，

Xt

lnx）=（l-x2）c-1

所以ln（一）=Ine的n-Inx,=x2,

王

Xz

所以一马=（1一/把町-1=（l-A2）（e-l）=0,

所以电=1或=0,

所以公切线的纵截距为（1-1）S-1=T或（l-0）e°-l=0.

故选:B.

【点睛】本题考管求公切线问题，解题关键是分别在函数/a）,g（x）上设不同切点并求切线方程，依

据两切线方程一样来求解公切线斜率.

8.B

【分析】先利用导数分段求导，设两点坐标结合导数的儿何意义求切线方程，分类争辩得出切线重合

的条件等式，消元转化为方程2a=；（r-2/-8/+1）有根问题，利用导数争辩单调性计算参数范围即

可.

【详解】当x<0时，=f+x+2a的导数为/'（x）=2x+l,

当x>（）时，/（工）=一，的导数为r（、）=e，

AX

设A（%J（xj）,3（弓J（占））为该函数图象上的两点，且不<%，

当凡〈/<0,或0<玉<々时，/'（公）=/'（毛），故再<o<w,

当为<。时，函数“X）在点4（百,/（'））处的切线方程为丁-（片+芭+2〃）=（25+l）（x-xj；

当今>。时，函数/（"在点以法/伍））处的切线方程为），+'=』（472）.

-^2

\9

两直线重合的充要条件是F=2$+1口，--=-x^2aj,

X）X?

由一及再<0</，得°<口~<1，

“2

I

由口口，令1=一,则

■I?

且一2/一8/+1）,记），=；（「一2/一劭+1）,

则其导数为y=pT-2=/（f+l）（"l）—2,易知在（0,1）恒成立，

则函数），=；（/-2/-8，+1）在（0.1）为减函数，

□-2<<—,-1<d<—.

48

LJ实数0的取值范围是

故选：B.

9.ABD

【分析】首先设出两个函数在两点处的切线，利用待定系数法将〃用士表示，再构造函数解决函数最

值即可.

【详解】设切线与两曲线y=『-i与丁=。山-1的切点分别为8(%%),

由得y=2x,由y=alnA•-1,得〈=色，

X

则两切线方程分别为丁一(父一1)=25(”一内)与)」3川2-1)=£~"72)，

X2

化简得y=2再彳_[_内2,y=-x-kalnx2-a-l

王

2=q

又两条切线为同一条，可得(X'F,得"=Y£(ln刍-1),

a\rvc2-a=-xf

令g(x)=-4?(lnm>0),得](x)=4x(l—21nx),

当xe(0,&)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

当xe(点+e)时，gf(x)<0,g(x)单调递减,

8(“心・8(6)=2e,口。«0,20

所以实数。的取值可能是1,。，2e.

故选：ABD.

10.ACD

【分析】首先推断。的取值范围.对于A先求〃(")即可求单调区间,进而推断,对于B由〃x)=g(x)

得。=二，令成x)==，利用导数争辩单调性即可推断，对于C设曲线/(x)和曲线g(x)的公切线

ee

与曲线/(X)相切于点c(玉,)”，与曲线g(x)相切于点。(七，乂)，利用公切线即可求解，对于D斜

,y,-y,仿炉\na+x.=21nv./、

率欠==x+x,由＜，得《ci，&|JAj-%)=2(lav—InX]),乂玉+%＞4得

12J2

x2-x,[fze=x；[Ino+x2=21ILV2

强-1

0+电＞2(电—3],即m上＞2x3—，令土="1,得]皿＞也二D,设屋/)=血一式土D(/＞1),

lar,-lav,).r,^_+1匹/+1''r+1

利用导数争辩单调性即可求解.

【详解】若〃40,则/(力，g(x)无交点，故a>0,

对于A：//(x)=—,/f(x)=^-^='V*2~V\(x>0)

'acl、7ae«aex

由"(x)>0=0<x<2；由力'(x)v0=x>2.

所以〃(K)在(0,2)上单调递增,在(2,招＞)上单调递减,故A正确;

对于B：由“x)=g(x)na=E，由上知q(x)=1在(0,2)上单调递增，在(2,E)上单调递减，

ee

q(2)=[,小)＞0,故〃{0弓)，故B错误；

对于C：设曲线/(x)和曲线g(x)的公切线与曲线/(X)相切于点。(与为)，与曲线g")相切于点

。(心必)，r(x)=ae'，g\x)=2xf

XyXy

故点C处的切线为y-ae^=优"(x-玉)=)，=aex+ae(l-x3),

故点。处的切线为-X=2%(x-%)=＞)，=2/4一石，则有

aeX3=2X合\\ae‘

*，(174,)=­：=2几。73)=-石=2(173)=-”

设〃(6=幺/，/3=幺驶，故〃(同在(0,2)上单调递增,在(2,位)上单调递减,又〃(2)=乡,

eee

故当ae(0f时，对应的七此时有两解，

即满足条件的公切线有两条，牧C正确;

对于D选项，斜率攵="二&=玉二^=E+石，

出一芯出一芭

Ina+X1=21nxi

由于《,==>x2-x}=2(lar2-]RTJ,

x；|Ina+x2=2111r2

.、J_

若百+.>40内+.>2%，om土>2x；S—,设土•=[>1,代入上式有]nf>2"一”,

【山2T叫J王强+iXr+1

演

即只需要证明当6时，9等成马上可，设M小-笔1(3),

4(r-1)

，(/)=；->0,

(1+1>/(/+1)2

故g(/)在(1，田)上单调递增，g«)>g⑴=0,证毕，即D正确.

故选：ACD

11.ACD

【分析】对于当。与2时，首先/(x)=ln(x+a)Wln(x+2),再利用指对的切线放缩可得；对于B,依

据函数丁=/。)-前幻的零点，结合图像分析可得人。)>8(0)，解不等式即可推断；对于C,由

之。恒成立，可得)，=ln(x+〃)与尸/-〃存在公共零点，然后可解〃的值；对于D,利

用公切线的求解方式，建立方程组，然后推断解得个数即可.

【详解】选项A：当时，/(x)=ln(x+tz)<ln(x+2)<x+2-1=1,当且仅当x=—1时取等号,

又•.•x+lVe=gCr),当且仅当x=0时取等号，・•./(x)<g(x),故A正确;

选项B：•・・y=/(x)-g(%)存在两个零点占,%2且苦<0<%2,

・•.V=/(x)与y=g(x)的图象有两个交点，

结合图象可知,/(0)>g(0),即lna>l,「.a>e,故B错误:

选项C：••,ln(x+/电-力20恒成立，

又y-ln(A+«)与y=eva在定义域内单调递增,

)，=ln*+a)与y=e'-〃存在公共零点，

.,.a>0且一a+l=lna,，a=l,故C正确；

选项D：设曲线g(x)=e'的切点为(x©)・.・/(x)=e*,则切线斜率为仁=”，

xxx

匚切线方程为)』e"=炉(汇-%)，y=e'x-e'xl+e'.

设曲线/(x)=Inx的切点为(9Jn%),

□切线斜率为卷=工,切线方程为y-ln%2=」(x72),

X工2*2

1

1e'v1=——，1

即y=—x-l+lnx?.由题意得〈声，解得用=丁，

x

2T|-e,

e"-erf=-l+lnr2

则9-9%[=一1+11】工2=-1+11】-^-=一1一芭，即(4-l)e*=x+1,

设5(A)=(A-l)ev-x-l,则s'(x)=xev-1,

设/(x)=s'(x)=xe*-1,则/'(x)=(x+l)er,

贝ij由，(x)>()得x>T/(x)<0得x<-l,

则t(x)=5(A)在(-oo,-l)上单调递减，在(-1,-KO)上单调递增，

v/(-l)=-e-,-l<0,/(I)=e-l>0,

则由零点存在性定理可知，叫使得《玉)=0,即/小=1,

又由于当XV0时，xe'<0,则心)<o,则由心)=s'(x)<。得

«x)=s'(x)>0得x>x°,则s(x)在(-力用)上单调递减，在(4,+8)上单调递增,

则s(x)min=s(x0)=(X。一l)eb-1=1-e^'-x0-l=-e^-x0=-e^---<0,

V5(-2)=-3e-2+l>0,5(2)=e2-3>0,

则由零点存在性定理可知，$（二）在（田,王））和（天）,”）上分别存在一个零点，

则方程G-l）eZ=X+l存在两个根，.・./（X）和g（x）存在两条公切线，故D正确；

故选：ACD.

12.产工

【分析】设出切点，依据点斜式求解直线方程，即可得=进而求解

er,-x^'1=e'2-A^e'2-1,

9=0.内=1,代入即可求解.

【详解】设直线八y="+〃与/@）的图象相切于点个（知凶），与g*）的图象相切于点鸟（.％%），

又/'（力=j，^（x）=ex,且到=炉上必=小一1.

曲线y=/（x）在点1（A，y）处的切线方程为）'-d-|=。丫«-5），

曲线.V=gM在点E（毛，％）处的切线方程为＞一。"+1=e'-（x-x2）.

ri-'=小

故4e..解得％-/=1,（x,-x,）=l,

rA32

[e'-'-^e^'=e-x2e^-1,'S”，

故W=0,X]=1

故*=J+」,故直线’的方程为〉，一匕

xt-x21

故答案为：丁=£

13-i

【分析】设直线与曲线y=/W相切于点尸（N，y）,与曲线j=g（x）相切于点。仇,必），利用导数的

几何意义表示出切线方程，依据切线过点（0,-3），求出即可求出切线方程，再得到方程组，即

可求出

【详解】设直线与曲线y=/(v)相切于点与曲线y=g")相切于点。(%,％)，

由〃")=lnx,则r(x)=L则r(xj=_l,则切线为y7n—=L(xF),

XX]x\

又切线过点(。，一；)，所以一；TnX]=g(o-xj,即lnX1=；,所以苔=1，

所以切线方程为了=%/一(，由8(汇)=奴2,则g'(x)=2aj

、1

2仁二

则,°「解得

[吟,邛1-512e

故答案为；—

2e

一27

14.—

4

【分析】联立方程可得尸(1,1)，设切点，求导，可依据点斜式求解"处的切线方程为)'=-RX+一，

飞“0

与二次函数联立，依据判别式为0可得4(-2,4),以及切线方程，即可依据点点距离以及

点到直线距离公式求解.

【详解】联立y=f与产：可得丁=1,故工=|,因此P(l,l),

设5%，l,对求导可得y'=T

x丫

1.1,、112

故Bx0,一处的切线方程为＞二一一r(x-x0)+—,g|Jy=一一f%+一,

11)J玉)玉＞/"%

12,12181

联立)，=/与,=--―可得---=0,由于相切，=—+—=0,解得.％=一彳，且

玉＞X。\)/X。XQ2

x2+4x+4=0=＞x=-2，

因此4(—2,4),切线的方程为》=-4%一4,

因此|4耳=，仁)’+62=半，点。(11)到直线丁二—¥一4的距离为1=京,

故△处△面积为:|4曲/=I3历927

—x------x=

22>T

故答案为：不

【分析】设公切线为，：丁="”，与曲线)，=/")相切于点A(,jy),与曲线)，=g(x)相切于点

川电,K),利用导数的几何意义得到1+2=1呻，b=-xl，结合x尸上，得到x；-2elni2=0,构

2e9

造函数=利用导数与函数单调性间的关系，得到w=血，即可求解.

【详解】设/(x)=lnx,g(x)=；f的公切线为/：),=依+〃,

且力y=H+力与曲线y=/(x)相切于点A(%,y),与曲线y=g(x)相切于点8(功必),

由./''6)=，，得2=，，则，，Xi+〃=lnN,gp1+/?=InX)□.

x演A

由g'(x)=Li,得左,则[舅+〃=，-X：,即力=-1京口.

ee~e2e2e

1]e

易得一二一々，即M=一□,将□□代入口，可得*-2eln工2=0,

内ex2

2

令/7(x)=x-2elnx,则h\x)=2x--=2卜冶，

当()<x<血时，//(x)<0,〃(x)在区间(0,6)上单调递减,

当五时，/Jf(x)>o,"(x)在区间,+8)上单调递增，

所以/?(x)2M6)=e-2elnx^=。，当且仅当犬=加时，等号成立，则/=△，

所以女二』/=匕=-《£=一：,

eVe2e2

故曲线V=lnx与曲线)，=1犬的公切线方程为),二；%一:，即2x-2人)，-人=0,

2e7e2

故答案为：2x-2Vey->/e=0(Siy=—x--)

'c2

【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设出公切线/：)，=履+。，与曲线y=/(x)相切于点A(N，X),

与曲线产g(x)相切于点3(王通)，利用导数的何意义得到1+〃=1呻，b=-xi,进则得到

2e

*-2eln&=0,构造函数〃(x)=d—2elnx,利用导数与函数的单调性间的关系，得到％=人，进

而可求出攵力，即可求解.

16.2

【分析】设出两切点A(M，U巧和点网％,9-2),求导，利用导数几何意义得到百=1-1,表达出

〃力=产上点A(/,e"T)处的切线方程，代入8点坐标，得到方程，联立得到e"T=2,x0=l+ln2,

求出k=e*M2T=2.

【详解】设/(力=产上点A&,e3)处的切线和g(x)=e-2在点3师「-2)处的切线相同,

r(x)=e。g'(x)=e\

故e"T=ei=4,故—1,

/(x)=ev-上点A国e&T)处的切线方程为y—e"=e"T(x-^),

明显可中炉一2)在切线上，故9-2-e"T=e,e(内-王)，

即e"T-2-e3=(%一1一%),即e"=2,

解得毛=l+ln2,

故一

故答案为：2

17.2y/ex-2y+Ve=0

铲=吝

J2er,

【分析】设两个函数的切点，求导，依据点斜式分别求解切线方程，进而得7-_，构

亨

造函数/(x)=(x-l)e2'+],求导得函数单调性，进而求解方程的根得解.

【详解】设公切线与曲线y=e'切于点4