提公因式法2025-2026学年北师大版八年级数学下册

4.2提公因式法（第一课时）第四章

因式分解大单元结构因式分解注意事项方法概念平方差公式公式法提公因式法完全平方公式几个整式的乘积多项式整式的乘法单项式✖单项式单项式✖多项式多项式✖多项式乘法公式平方差公式完全平方公式1.经历探索多项式各项公因式的过程，能确定多项式各项的公因式，了解多项式公因式的意义;2.能简单运用提公因式法进行因式分解;3.在探索提公因式法分解因式中理解逆向思维，渗透化归的思想方法问题1什么是因式分解？几个整式的乘积多项式因式分解问题2因式分解和整式乘法的关系几个整式的乘积多项式因式分解整式乘法如下图，三个长和宽分别是a和m，b和m，c和m的长方形，合并成一个较大的长方形，则这个较大的长方形的面积是多少？abcm方法一：ma+mb+mc如下图，三个长和宽分别是a和m，b和m，c和m的长方形，合并成一个较大的长方形，则这个较大的长方形的面积是多少？abcm方法一：ma+mb+mc方法二：m(a+b+c)ma+mb+mc=m(a+b+c)（因式分解）问题1：多项式ma+mb+mc有哪几项？问题2：每一项的因式都分别有哪些？问题3：这些项中有没有公共的因式，若有，公共的因式是什么？ma

mb

mc依次为m,a和m,b和m,c有，为mma+mb+mc相同因式m这个多项式有什么特点？ma+mb+mc

我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.尝试·交流多项式2x2+6x3

中各项的公因式是什么？2·x·x2·3·x·x·x2x·x

2x2+6x3系数：最大公约数2字母：相同的字母x

指数：相同字母的最低次幂2所以公因式是2x2.尝试·交流你能尝试将多项式2x2+6x3

因式分解吗？与同伴交流。2x2+6x3=2x2·1+2x2·3x将公因式“2x2”提出来2x2+6x3=2x2·（1+3x）提公因式法找公因式2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.

1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.

归纳提公因式法如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫作提公因式法.例1

把下列各式因式分解：(1)2mn+4m2；(2)7p2-21p；(3)8a3b2-12ab3c+ab；(4)-24x3+12x2-28x.解：(1)2mn+4m2=2m·n+2m·2m=2m(n+2m)；(2)7p2-21p=7p·p-7p·3=7p(p-3)；例1

把下列各式因式分解：(1)2mn+4m2；(2)7p2-21p；(3)8a3b2-12ab3c+ab；(4)-24x3+12x2-28x.(3)8a3b2-12ab3c+ab=ab·8a2b-

ab·12b2c+ab·1=ab(8a2b-12b2c+1);当多项式中的某项和公因式相同或互为相反数时，提取公因式后，该项保留的因式是1或-1.例1

把下列各式因式分解：(1)2mn+4m2；(2)7p2-21p；(3)8a3b2-12ab3c+ab；(4)-24x3+12x2-28x.(4)-24x3+12x2-28x=-(24x3-12x2+28x)=-(4x·6x2-4x·3x+4x·7)=-4x(6x2-3x+7).当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号.提公因式法因式分解的一般步骤归纳①确定公因式：先确定系数的最大公因数，再确定字母和字母的指数；②提公因式；③写成乘积的形式.注意1.分解因式是一种恒等变形；2.公因式要提尽；3.不要漏项；4.提负号，要注意变号.思考提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？2m(n+2m)2mn+4m2因式分解单项式乘多项式提公因式法因式分解与单项式乘多项式互为逆运算.1.把下列各式因式分解：(1)ma+mb；(2)5y3+20y2；(3)6x-9xy；(4)a2b-5ab；解：

(1)ma+mb=m(a+b)；

(2)5y3+20y2=5y2(y+4)；(3)6x-9xy=3x(2-3y)；(4)a2b-5ab=ab(a-5).3.把下列各式因式分解：(5)4m3-6m2；(6)a2b-5ab+9b；(7)-a2+ab-ac

；

(8)-2x3+4x2-6x.解：

(5)4m3-6m2=2m2(2m-3)；(6)a2b-5ab+9b=b(a2-5a+9)；(7)-a2+ab-ac=-a(a-b+c)；(8)-2x3+4x2-6x=-2x(x2-2x+3).步骤：第一步找公因式；第二步提公因式.确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫作提公因式法