2026中考数学第一轮复习（知识能力+解题思路+易错警示+试题演练）第4课时：数的开方与二次根式

2026年中考第一轮复习

（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）

第4课时数的开方与二次根式

一、核心知识

（-）数的开方

1.平方根：

定义：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，无作

_______________（a^0）o

性质：正数有两个平方根,它们互为相反数；0的平方根是

0:负数没有平方根。

开平方：求一个数平方根的运算，与平方互为逆运算。

2.算术平方根：

定义：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作根号

a（a20）,0的算术平方根是0<>

性质：算术平方根的结果一定是非负数，/Geo（a、。）o

3.立方根：

定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根，汜作

_______________（a为任意实数）。

性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是______鱼数

______,0的立方根是0；___=-Vao

开立方：求一个数立方根的运算，与立方互为逆运算

(-)二次根式

1.定义：

形如Va(aM)的式子叫做二次根式，其中a是_被

开方数，二次根号下的数必须是非负数

2.最简二次根式,

条件1：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

条件2：被开方数中不含分母；

条件3：分母中不含根号。

3.核心性质：

2

性质1：(«)=a(a20)；

(a(a>0)

性质2：____yJa7=|a|=<0(a=0)____；

[-a(a<0)

性质3：=(a》0,b20)

性质4：___¥(a00,b>0)o

4.运算法则：

加减法：先将二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相

同的二次根式;

乘法：F(a20,b20)；

除法：_得=JI(a20,b>0)；

混合运算：遵循先乘方，再乘除，后加减，有括号先兑括号内的

顺序，可运用整式运算公式(如平方差、完全平方公式)。

二、核心能力

题型1.平方根、算术平方根与立方根的计算

解题思路

紧扣定义和性质，注意平方根与算术平方根的区别（算术平方根为非负）,

立方根符号与原数一致，先化简再计算。

题型2.二次根式有意义的条件

解题思路

根据被开方数大于等于0,分母不等于0列不等式（组），求解字母取

值范围；若含零指数累，需同时满足底数不等于0。

题型3.二次根式的化简

解题思路

利用性质后=⑶化简含平方的根式，结合数轴或字母取值范围判断绝

对值内式子的符号；分母有理化时，利用平方差公式消除分母根号。

题型4.二次根式的混合运算

解题思路

先将所有根式化为最简二次根式，乘法运算可巧用公式简化，加减运算

只合并同类二次根式，避免非同类根式直接加减。

题型5.二次根式的估值

解题思路

找到被开方数相邻的两个完全平方数，确定根式的整数部分，再估算小

数部分；复杂估值可先化简再判断范围。

题型6.二次根式非负性的应用

解题思路：

多个非负数相加为0时，每个非负数均为0,列方程求解字母的值。

三、易锂堇/

混淆平方根与算术平方根

错误：认为的平方根是±4（忽略实际求4的平方根）；

提醒：先化简根式，再区分“平方根”（土«）和“算术平方根”（，万）,

算术平方根一定非负。

二次根式化简忽略符号

错误：化简J（x-3>时，直接得x-3（未考虑x<3的情况）；

提醒：后=|a|,需根据字母取值范围或数轴判断a的符号，再去掉绝对

值。

运算顺序或法则错误

错误：VT=V5（非同类二次根式直接相加）、J［（-3）X（-4）］=

7（^3）（违反乘法法则条件）；

提醒：非同类二次根式不能直接加减，二次根式乘法需保证被开方数非负。

分母有理化不彻底

错误：化简系时，只给分子乘。-1（未用平方差公式）；

VZ—1

提醒：分母含孤土L■时，分子分母同乘«工伤，消除分母根号。

四、真题演练

（-）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

1.（23-24♦云南模拟）下列等式正确的是（:)

A.±V9=3B.V6+V3=V9C.V（-3）2=3D.V9=±3

【答案】C

【解析】根据算术平方根，平方根，二次根式的加减计算选择即可，本题考查了

平方根，算术平方根，二次根式的加减，熟练掌握定义个性质是解题的关键.

【解答】A.±V9=±3,错误，不符合题意；

B.伤,75不是同类二次根式，无法计算，不符合题意；

C.止药=3,正确，符合题意；

D.V9=3,错误，不符合题意；

故选C.

2.（24-25•福建中考）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是

（）

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】D

【解析】本题考查了二次根式有意义的条件.根据二次根式有意义的条件，被开

方数必须非负，KPx-1>0,解不等式即可确定K的取值范围，进而选出正确选

项.

【解答】解：要使6』在实数范围内有意义，

需满足被开方数X—120,

解得xN1.

•••x=2符合.

故选：D.

3.（25-26•辽宁月考•）已知a=VXb=V5,用含a,b的代数式表示遥，这

个代数式是（）

A.a+bB.2aC.2bD.ab

【答案】D

【解析】根据题意可知VSjE好是应和V5的积，因此可得V5=应x=ab.

【解答】a=V2,b=V3,

V6=\/2x3=\[2xV3=ab,

故选：D.

4.（24-25•陕西模拟）一64的立方根是（）

A.8B.-8C.4D.-4

【答案】D

【解析】根据立方根进行求解即可.

【解答】一64的立方根是一4,

故选D.

5.（21-22•辽宁中考）下列计算正确的是（）

A.7^8=2B.V（-3）2=-3C.2V5+3V5=5V5D.（V2+I）2=3

【答案】C

【解析】分别化简二次根式判断即可.

【解答】A、g无解，故该项错误，不符合题意；

B、右可=3,故该项错误，不符合题意；

C、2而+3通=5而，故该项正确，符合题意；

D、（75+1）2=（75）2+275+1=3+275,故该项错误，不符合题意:

故选：c.

6.（24-25•江苏模拟）若a=^,则下列各式正确的是（）

A.3<a<4B.2<a<3C.1<a<2D.0<a<1

【答案】A

【解析】此题考查了二次根式的分母有理化和无理数的估算.先利用分母有理化

化简二次根式，再进行无理数估算即可.

【解答］解：a==2+V3；

2-V3（2-\/3）（2+V3）

V1<V3<2,

3V2+V5V4,

即3<aV4；

故选：A.

7.（24-25•江西模拟）若最简二次根式与能合并，贝张的值可以

是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】本题考查了最简二次根式及同类二次根式的定义，熟知定义是解题的关

键.

根据能合并的二次根式是同类二次根式，即化为最简二次根式后被开方数相同,

据此列方程求解即可.

【解答】解：••・最简二次根式倔二壬与V§=2&能合并，

••・8—3k=2,

解得：k=2.

故选：C

8.(24-25•湖南模拟)若a=&+V5,b=1+V6,c=V^,则关于a,b,c

的大小，以下说法正确的是()

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】本题考查了比较二次根式的大小，分别求出a?、b2.c2,进而即可判断

求解，掌握二次根式的大小比较方法是解题的关键.

22

【解答】解：a?=(&+V5)=5+2V6,b2=(1+V6)=7+2A/6,c2=

(V5)2=5,

:.b2>a2>c2,

b>a>c,

故选：B.

9.(24-25・四川中考)若(3x+2y—19)2+|2x+y—ll|=0,则x+y的

平方根是()

A.8B.±8C.±2V2D.272

【答案】C

【解析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根

式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于x,y的二元一次方程组，两个方程

相减后求出x+y的值，再根据平方根的定义，进行求解即可.熟练掌握非负性，

平方根的定义，是解题的关键.

【解答】解：•・•(3x+2y-19)2+|2x+y-ll|=0,

px+2y-19=0①

•I2x+y-11=0②'

①一②，得：x+y=8,

••・X+y的平方根是士展=±2V2；

故选：C.

10.(23-24•河北模拟)已知百一4百+13江=28.28,则a的平方根为

()

A.0.2828B.2.828C.±0.2828D.±2.828

【答案】D

【解析】本题考查了二次根式的加减，算术平方根，平方根；

根据二次根式的加减求出孤=2.828,然后根据算术平方根和平方根的关系得出

答案.

【解答】解：「正一4\^+13孤=10孤=28.28,

:.Va=2.828,

a的平方根为±2.828.

故选：D.

=(g-舟质其中a7,

11.(23-24•河北模拟)设Mb=-2,

则M的值为()

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】D

【解析】本题考查了二次根式乘法运算；先利用乘法分配律展开，再利用二

次根式乘法法则进行运算，代值运算即可求解；掌握声•Vb=FE(a>0,b>0)

是解题的关键.

【解答】解：M=•Vab-•Vab=J.,ab-J..ab

1-

=1一|a|,

当a=-3,b=-2时，

=1-1-21

=—1;

故选：D.

12.（24-25•广东模拟）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为

2和4,则阴影部分的面积为（）

A.24-V2B.2V2-2C.4-V2D.2—加

【答案】B

【解析】根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为VL大正方形的边

长为75=2,故阴影的面枳为大长方形的面枳减去两个正方形的面积即2x

（2+V2）-2-4,解答即可.

本题考查了算术平方根的应用，面积的计算，解题的关键在于能够准确根据正方

形的面积求出边长.

【解答】解：根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为或，大正方形的边

长为"=2,

故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即2x（2+V2）-2-

4=272-2,

故选B.

13.（23-24•河北模拟）若a=+l,b=^2-1,则+3ab+b2=

()

A.2B.V5C.V7D.3

【答案】D

【解析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式混合运算，熟练掌握完全平

方公式及化简求值是解题的关键.根据完全平方公式将M+2ah+卜2变形为Q+

b)2+ab,再代入a+b,ab的值求解即可.

【解答】解：,.・a=V5+l,b=V2—1,

a+b=V2+1+V2—1=2V2,

2

ab=(V2+1)(V2-1)=(V2)-1=1,

=:.Va2+3ab4-b2

=J(a+b)2+ab

=J(2/『+1

=A/8+1

=3,

故选：D.

14.(23-24•湖南模拟)已知鬻=一1,则化简J(a4T+J”/+4

的结果为()

A.-2aB.2aC.2a4--D.--

aa

【答案】A

【解析】本题考查二次根式的性质与化简，艰据绝对值的性质得a+l<0,

即av-l,所以a-工<0,a+i<0,再根据二次根式的性质化简即可.掌握二

aa

次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键.也考查了完全平方公式的应用.

【解答】解・•.鬻=T

a+1<0,

a<-1,

Aa-i<0,a+K。，

J(a+»4+J(a_J+4

=5+2+(于-4+5一2+(丁+4

aa

=-2a.

故选:A.

15.（25-26-四川月考）我国著名的数学家奏九韶在《数书九章》中提出了

一种求三角形面积的方法一一“三斜求积术”.即可以利用三角形的三条边长来

求三角形面积.若设三角形的三条边长分别为a,b,c,三角形的面积为S,贝JS=

J”2b2_J2+；2—C2）2.已知在△ABC中，AB=V10,AC=巫,BC=272,那

么△ABC的面积为（）

A.当B.V1TC.2711D.^

【答案】B

【解析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键;

由题意易得AB=VTU=c,AC=V6=b,BC=2V2=a,然后代入题中所给公

式即可求解.

【解答】解：由题意得：AB=-/10=c,AC=述=b,BC=2A/2=a,

s=用48一（三）［=Ji（48-4）=VIL

故选：B.

11.（23-24•河北模拟）设M=（，-•痴，其中a=-3,b=-2,

则M的值为（）

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】D

【解析】本题考查了二次根式乘法运算；先利用乘法分配律展开，再利用二

次根式乘法法则进行运算，代值运算即可求解；掌握«-Vb=网（a>0,b>0）

是解题的关键.

［解答］解：M=-Vab-J|-Vab=J..ab-J..ab

i-

=1一|a|,

当a=-3,b=—2时,

=1-1-21

=­1；

故选：D.

12.（24-25♦广东模拟）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分

别为2和4,则阴影部分的面积为（）

A.2+V2B.2V2-2C.4-V2D.2-V2

【答案】B

【解析】根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为VL大正方形的边

长为机=2,故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即2x

（24-72）-2-4,解答即可.

本题考查了算术平方根的应用，面积的计算，解题的关键在于能够准确根据正方

形的面积求出边长.

【解答】解：根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为近，大正方形的边

长为"=2,

故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即2x（2+V2）-2-

4=2V2-2,

故选B.

13.（23-24•河北模拟）若a=V5+l,b=d？-l,则匕2+3ab+b2=

（）

A.2B.V5C.V7D.3

【答案】D

【解析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式混合运算，熟练掌握完全平

方公式及化简求值是解题的关键.根据完全平方公式将a?+3ab+b?变形为（a+

b）2+ab,再代入a+b,ab的值求解即可.

【解答】解：a=&+1,b=>/2—1,

・•・a+b=V2+1+V2-1=2V2,

2

ab=(V2+1)(V2-1)=(V2)-1=1,

=Va2+3ab4-b2

=J（a+b）2+ab

=J（2甸2+1

=V8+1

=3,

故选：D.

14.（23-24砌南模拟）已知鬻二一1,则化简JjaS^4+&a刁

的结果为（）

A.-2aB.2aC.2a+-aD.--a

【答案】A

【解析】本题考查二次根式的性质与化简，艰据绝对值的性质得a+l<0,

即av—l,所以a—工<0,a+-<0,再根据二次根式的性质化简即可.掌握二

aa

次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键.也考查了完全平方公式的应用.

【解答】解•.•曳:=一1,

a+1

a+1<0,

a<-1,

=—aH------a—

aa

=-2a.

故选：A.

15.（25-26•四川月考）我国著名的数学家奏九韶在《数书九章》中提出了

一种求三角形面积的方法一一“三斜求积术”.即可以利用三角形的三条边长来

求三角形面积.若设三角形的三条边民分别为a,b,c,三角形的面积为S,贝JS=

J；a2b2-（M+；2-C）2.己知在ABC中，AB=710,AC=V6,BC=2&,那

么△ABC的面积为（）

A.—B.VTlC.2V1TD.—

24

【答案】B

【解析】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键;

由题意易得AB=JlU=c,AC=V6=b,BC=2V2=a,然后代入题中所给公

式即可求解.

【解答】解：由题意得：AB=V10=c,AC=V6=b,BC=2\[2=a,

工S=卡卜8_（^7]=4（48-4）=府；

故选：B.

（-）填空题（2023-2025年中考真题/模拟题）

16.（25-26•甘国模拟）48的平方根是—±473,后的立方根是

2.

【答案】±4V3,2

【解析】根据平方根及立方根的定义计算即可得到结果.

【解答】解：：（±475）2=48,

48的平方根为±475；

•・・V64=8,8的立方根为2,

则遍5的立方根为2.

故答案为：±4>/5；2.

17.（25-26•甘肃期中）若后=1有意义，则m能取的最小整数值是

1.

【答案】1

【解析】根据二次根式有意义的条件得到m-l之0,解不等式即可得到答案.

【解答】解：一—1有意义,

m-1>0,

m>1,

m能取得最小整数为

故答案为：1

18.（24-25•黑龙江中考・）若式子焉有意义，贝ijx的取值范围是x>

-1.

【答案】x>—1

【解析】本题主要考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零.分式有

意义的条件:分母不为零.根据二次根式以及分式有意义，得出关于X的不等式，

解出即可得出X的取值范围.

【解答】解：要使式子信有意义，

嘱:工

•••X>-1.

故答案为：x>—1.

19.（24-25•吉林中考）计算：V3+A/12=___373____.

【答案】3V3

【解析】本题考查的是二次根式的加减运算，先化箱，再合并同类二次根式即可.

【解答】解：V3+V12=V3+2V3=3V3,

故答案为：3\/3.

20.（24-25•四川模拟）若最简二次根式-后二1与可以合并，则

—ab=-16.

【答案】-16

【解析】根据最简二次根式-标忑与屈！可以合并，判定二式是同类二次

根式，得到b=2,a+1=2a-3,解答即可.

本题考查了最简二次根式，同类二次根式，求代数式的值，熟练掌握定义是解题

的关键.

【解答】解：・「最简二次根式一四口与屈丁可以合并

.•.最简二次根式-口与WT是同类二次根式，

•••b=2,a+1=2a—3,

解得b=2,a=4,

:.—ab=-42=-16.

故答案为：—16.

21.（25-26•全国模拟）已知x=b+2,则三丝匚=0.

X-2

【答案】0

【解析】本题考查二次根式的运算，分式的求值，将分式变形后，代值计算即可.

【解答】解：:xjx+4-3

x-2x-2

_(X-2)2-3

x-2

=X-c2---3-;

x-2

vx=V3+2,

x—2=V3,

原式=V3--^=V3-V3=0：

故答案为：0

22.(25-26•淅江模拟)已知216-乂2-』4-X2=2&.则"-M+

V4—x2=___3>/2

【答案】3V2

【解析】设原式中的4-x2=a,从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式

的相关运算法则化简变形即可求得a的值，使问题得到解决

【解答】设4—x?=a,则，16—X2——X?=2yh可化为：Va+12—Va=

2V2,

:.112+a=2V2+Va,

两边同时平方得：12+a=8+a+4岳，即：4=4x/2a,

32a=16,解得：a=I，

•••V16—x2+V4—x2=J12+J+=IV24-|V2=3V2.

故答案为3a.

23.（24-25•四川模拟）已知代数式A=（l+》+立产，其中x为b的小

数部分，则A的值为小.

【答案】y

【解析】本题考查分式的化简求值，无理数的估算，二次根式性质，熟练掌握分

式的混合运算法则是解题的关键.先化简分式，再估算夕求出X,再代入求值即

可.

【解答】解：A=(1+1)+立产

x+2.(X+2)2

-----：------

XX

_x+2x

x(x+2)2

1

=京,

v2<V7<3,x为近的小数部分，

：•x=V7—2,

•••A.=—1=--1---=―\7,

x+2V7-2+27

故答案为：y

24.(24-25•广东中考・)将1、&、W、在按如图所示方式排列，若规定

(m,n)表示第m排从左往右第n个数，则(7,6)表示的数是

_______V3___________

第1,■

3^V{

笫24-

4一

V2V3*-

鱼

笫

3I!〜«

T・

V6*・

第

鱼

石

・

4・

V3・

V3第5y-

V6V2V3Y

【答案】V3

【解析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数.第三排3个数，

第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+

3+4+―+（0!-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意

思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算.

【解答】解：（7,6）表示第7排从左向右第6个数，可以看出奇数排最中间的一个

数都

是1,

1+2+3+4+5+6+6=27,

27+4=6……3,

则（7,6）所表示的数是通，

故答案为百.

25.（24-25•湖南模拟）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》

一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形

的三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为S=2b2-（上亨）］.现

已知AABC的三边长分别为1,2,位,贝IJ△ABC的面积为9.

【答案】

【解析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的二边长分别为1,2,夕的

△ABC的面积，从而可以解答本题.

【解答】•••如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为S=

jig空广.

AABC的三边长分别为1,2,V7,

AABC的面积为：s=#[#"一产严）[=河旬=

沁4-1)=当

故答案为

（三）解答题（2023-2025年中考真题/模拟题）

26.（23-24•安徽模拟）计算：7^27x（tan360-V8）°-g）-1.

【答案】-5

【解析】原式利用立方根定义，零指数粗、负整数指数哥法则计算即可求出值.

【解答】解：7^27x（tan360-V8）°-

=-3x1-2

=—5.

27.（24-25•北京中考）计算：|-3|+何+0-'-2sin30°.

【答案】4+38

【解析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解

题的关键.

分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数累，代入特殊角的三角函数值

并进行乘法计算，再进行加减计算即可.

【解答】解：|一3|+同+Q)T-2sin30。

=3+375+2

2

=4+3V3.

28.(23-24•新疆模拟)计算：(-i)-1+tan60°-|2-V3|+(n-3)0-V12

【答案】-3

【解析】分别利用负整指数累，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数累，二次

根式的性质化简，再进行计算即可.

【解答】解：(-01+tan60°-|2-V3|+(n-3)0—g

=-2+V3—(2—V3)+1—2^3

——2+V3-2+V3+1—2A/3

=-3

29.(23-24•江苏中考)先化简再求值：。+卷)•墨，其中x=8+3.

【答案】-三，-

【解析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的通分，再利用平方差

公式展开，最后约分，然后再代入X的值代入计算，并利用二次根式的性质化简.

【解答】解：(1+三)•若

\x+1/xz-9

_x+l+2x+1

-x+1(x-3)(x+3)

x+3x+1

^3-----•--------------

x+1(x-3)(x+3)

1

x-3‘

当x=V5+3时，原式=A=+='.

V3+3—3v33

30.（24-25帙西模拟）先化简，再求值:（a-1一京）+击，其中a=2-^2.

【答案】a—2；—V2

【解析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题

的关键.先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化

简，最后把所给数值代入计算.

【解答】解：（a-l-高+誉

一（）（）

--a----l--a--+--l---3X--a-+-1-

a+1a+2

_（a-2）（a+2）a+1

—1z\'

a+1a+2

=d-2;

当a=2—加时,原式=2—y/2—2=—V2.

31.（24-25•江苏模拟）先化简，再求值：（号-1）+年产，其中a=6-1.

【答案】击，T

【解析】本题考查的是分式的化简求值及二次根式的化简，先根据分式混合运算

的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可.

【解答】解：原式=口出+好生

aa

_a+1a

a（a+1）2

=1，

a+1

当2=或一1时，

32.（24-25•福建模拟）定义：若二次根式a+2正可以表式成（布+布）2

的形式（其中a,b,m,n都是整数），则称a+2VH为完整根式，Vrn+是a+2VH

的完整平方根.例如：因为5+2述=（机+>/司,所以5+2n是一个完整根

式，通+夜是5+2通的完整平方根.

（1）判断：通+乃是否是完整根式8+2底的完整平方根，并说明理由；

（2）若完整根式a+2VE的完整平方根是后+6，请用含m,n的代数式

分别表示a,b；

（3）若a+2vB是完整根式，证明：a?-4b一定是完全平方数.

【答案】通+遍是8+2位的完整平方根，奸恶计息

a=m4-n,b=mn

见解答

【解析】（1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；

（2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；

（3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答；

【解答】（1）解：（1）述+6是8+2同的完整平方根，

理由如下：

（V5+V3）2=5+2代+3=8+2V15,

即8+2旧=（而+疡）.

・♦.V5+百是8+2同的完整平方根.

（2）•••a+2vB的完整平方根是标+«,

2

：・a+2VB=（Vm4-.

：♦a+2Vb=m+n+2Vmn.

va,b,m,n都是整数,

Aa=m+n,b=mn.

(3),•,a+2VU是完整根式，

不妨设a+2vB=(而+TH)?,其中m,n都是壑数.

由(2)得，a=m+n,b=mn.

・•・a2-4b=(m+n)2-4mn=(m-n)2.

vm,n都是整数，

(m-n)2为完全平方数.

・・,a2-4b一定是完全平方数.

33.(23-24•江苏中考)

小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠

萝的籽.

提出问题

销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？

图1

分析问题

某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那

么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开

图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两

籽的间距都为d(n,k均为正整数，n>k>3,d>0),如图1所示.

小明设计了如下三种铲籽方案.

方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为(n-l)d—,共铲

_2k____行，则铲除全

部籽的路径总长为―2(n-l)dk—；

方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为_2(k-l)dn；

方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长.

解决问题

在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操

作方法进行评价.

三壬三TITITITITI-7：.・0

手三黄卜而小…••••••

图1图2图3

【答案】分析问题：方案1：(n-l)d；2k；2(n-l)dk；方案2:2(k-l)dn；方

案3:}x(2k-l)nd；解决问题：方案3路径最短，理由见解析

【解析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列

出代数式即可求解：方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为由笋=

与，根据题意得一共有2n列，2k行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有2k-1

个，即可得出总路径长；

解决问题：利用作差法比较三种方案即可.

题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关

键.

【解答】解：方案L根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d,

每行铲的路径长为(n-l)d,

・•・每列有k个籽，呈交错规律排列，

.•.相当于有2k行，

铲除全部籽的路径总长为2(n-l)dk,

故答案为：(n-l)d；2k；2(n-l)dk；

方案2：根据题意每列ffk个籽，列上相邻两籽的间距为d,

・・.每列铲的路径长为(k-l)d,

•・•每行有n个籽，呈交错规律排列，，

.••相当于有2n列，

•••铲除全部籽的路径总长为2(k-l)dn,

故答案为：2(k-l)dn；

方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为四罗=苧，

根据题意得一共有2n列，2k行，

斜着铲相当于有n条线段长，同时有2k-1个，

铲除全部籽的路径总长为：x(2k—l)nd；

解决问题

由上得：2(n—l)dk—2(k—l)dn=2ndk-2dk—2ndk+2dn=2d(n—k)>0,

二方案1的路径总长大于方案2的路径总长；

2(k—l)dn~~x(2k—l)dn=[(2—V2)k—2+争dn,

vn>k>3,

当k=3时,

(2-V2)x3-2+y=4-^>0,

2(k—l)dn—X(2k—l)dn>0»

方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝

的损耗.

34.(24-25•山西模拟)阅读下列材料，并完成相应的任务

数形结合解决二次根式求和问题

求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根

式，若能则合并，若不能则直接写出结果.但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如

何进行求和运算？

下面我们讨论一种新的方法一一数形结合法

【例题】求夜7不3+J(7-x)2+16的最小值

【答案】两点之间线段最短

(2)7或

(3)5

【解析】本题考查了两点之间线段最短、矩形的判定与性质、勾股定理，二次根

式的运算；

熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

(1)根据两点之间线段最短即可得解；

(2)作DG1AC交AC的延长线于G,则四边形DGCE为矩形，得出CG=DE=4,DG=

CE,求

出AG=AC+CG=7,GD=CE=7,再由勾股定理计算即可得解；

(3)仿照材料给出的方法计算即可得解.

【解答】解：材料中的依据为：两点之间线段最回；

(2)解：如图：作DG1AC交AC的延长线于G,

.••四边形DGCE为矩形，

.・.CG=DE=4,DG=CE

EF=7—x»AC=3,BC=x,

AG=AC4-CG=7,GD=CE=7,

:.AD=VAG2+GD2=7V2；

(3)解：=75^22,将x和2分别作为内△ABC的两条直角边，如图1所

示，

AC=2,BC=x,AB=Vx2+4,

Vx2-6x+13=J(x-3)2+4=V(3-X)2+22,将3-x和2分别作为Rt△DEF

的两条

直角边，如图2所示，EF=3-x,DE=2,»DF=V(3-x)2+22,

将Rt△ABC与Rt△DEF如图3所示放置，使点B与点F重合，BC与EF在一条直线上,

则

AB+DF的最小值为线段AD的长,

A

作DG1AC交AC的延长线于G,

四边形DGCE为矩形，

:.CG=DE=2,DG=CEE

vEF=3—x,AC=2,BC=x,

AG=AC+CG=4,GD=CE=3,

.・.AD=VAG2+GD2=5；

:.7x274+Jx2—6x+13的最小值为5.

35.(24-25•四川模拟)阅读理解：对于任意正实数a