提优点2 奔驰定理与三角形四心

提优点2奔驰定理与三角形四心

【知识拓展】

1.奔驰定理

如图，已知P为△ABC内一点，则有苏+S2•丽+8・无=0（其中S,S2,S3分

别为△P6C,AMC,△E6的面积）.

证明：设NAP8=a,4APC=〔S,|画=-

|两=），，\PC\=z.

根据三角形正弦定理面积公式得

Si/+S2而+S3正=%zsin[2兀-3+如•该+%zsin4而+&ysinaPC

=-gyzsin（a+6）成+^rzsinflPB-\-^xysinaPC,①

把①式两边与向量方作数量积得

⑸成+S2访+S3反）或

=—^yzsinCa+/?）+^ryzsin£cosa

+gpyzsinacosp

=；『yz[-sin（a+4）+sin4cos<z+sinacos例=0.

同理；①式两边与向量用，无作数量积都得0.

但是S成+S2而+S3无不可能同时与两，丽，无三个向量垂直，而两，PB,PC

也不可能都为0,所以S成+S2而+S3无=0.

该例对应的图形特别像奔驰汽车的标志，所以我们把上述结论称为奔驰定理，该

定理对于推导出三角形的四心的向量结论有直接的作用.

2.三角形四心的向量表示及结论（利用奔驰定理自行完成证明）

(1)点O是△PlP2P3的重心<=>OPl+OP2+OP3=0=SzsP2OP3=SaPIOP3=S#IOP2

1

3sZiPIP2P3；

⑵点。是APiP2P3的垂心Q/1•存2=办2•存3=仍3•办I=tanPl•(9P1+

tanP2•办2+tanP30P3=Q=S么p20P3:SAWOPI:S"io/>2=tanPi:

tan尸2:tan尸3(Z\P尸2P3不是直角三角形)；

⑶点。是丛P\P2P3的内心QC/OPl+OOPz+cORnOQS/mO臼:S△门OPT:S^P]OP2

=a：h：c(其中a,b,c是2P3的三边，分别对应角Pi,P?,P3);

(4)点。是APiP2P3的外心=|存i|=|办2|=|办3g办isin2Pi+存2Sin2P2+亦3

sin2P3=0oS△尸2。尸3:Sdp30Pl:S^piop2=sin2Pl:sin2P2:sin2P3.

【类型突破】

类型一利用奔驰定理解决与三角形面积比有关的问题

例1(1)已知。是△ABC内部一点，满足次+2励+〃7反=0,且会”=白，则实

5MBe•

数〃7=()

A.2B.3

C.4D.5

(2)已知点A,B,C,P在同一平面内，咒=；两，QR=^QB,RP=^RC,则

S^ABC:S.PBC=()

A.14：3B.19：4

C.24：5D.29：6

答案(1)C(2)B

解析(1))4—延长CO到点M(图略),

使得丽=_?元，

因为为+2为+m（无=0,

所以_£历=；昂+］砺,

f1—>2f

即OM=^OA+）访，

所以A,B,M三点共线，

又因为反与而反向共线,

\OM\_m

所以

|说「加+3

S“O3\OM\ni4

所以

SMBC血一加+3-7

解得"7=4.

法二（奔驰定理法）由奔驰定理得

SABOC-OA+SMOCOB+SMOBOC=0,

又为+2加+/加元=0,

所以SABOC:S"oc:SMOB=1:2：m.

所以2=；=/解得机=4.

SMBC1十2十加/

(2)法_・・@=g西

・••以PQ为底的△PQR与△PQ8的高之比为1:3,

S^PQB=3S^PQR,艮口S^PRB=2SDQR,

•・•以BR为底的4PBR与ABCR的高之比为1:3,:.5.=35即=65心,

••S4PBC=2SaPBR=4S4PQR,

同理可得S^ACP=S/\ABQ=6S^PQR1

.S.A8C-△BCR+SA^CP+SMBQ+S”。/?19s19

••S^PBCS^PBCAS»QR4,

法二(奔驰定理法)由痂=g/,

得PR—PQ=1（P8—P。），

i2_i9—

整理得丽=可两+彳用=可而+K两，

JJJV

由即=蛆?，得沛斗正_/），

整理得曲=一］无，

乙

.*.—^PC=\PB,

整理得4或+6彷+9近=0,

：.SMBC：SZ^8C=（4+6+9）：4=19：4.

规律方法已知尸为△ABC内一点，且x庆+y两+z前t=0（工，j,z£R,冲zWO,

x+y+zrO）,则有

（I）SAPBC：S^PAC:S△用8=|x|：|y|：|z|；

SNBC、S^PACy

（2）SA4BC-x+）'+z'S^ABC~x+y+z'

S△阳8z

S^ABC~x+y+z•

训练1设O在△ABC的内部，。为43的中点，且31+油+2沆=0,则AABC

的面积与△/1OC的面积的比值为.

答案4

解析法一,・•。为AB的中点，

则历=；（近+丽），又苏+协+2沆=0,

：.OD=-OCy・・・0为CD的中点、.

又・・.。为AB的中点，二S“oc=»*=aSm，则黑=4.

法二（奔驰定理法）：/+加+2近=0,

.1+1+2

根据奔驰定理,-i-=4

类型二奔驰定理和三角形的四心（四心在三角形内部）

考向1奔驰定理与重心

例2己知在△43C中，G是重心，内角A,B,C的对边分别为mb,c,且56CQX

+40/?GB+35cGC=0,贝U角B=.

答案3

解析依题意，可得56。：40b：35c=1：1：1,

上…78

所以〃=§〃，

22

每

2+_

a-_

8-2

?

因为0<3（兀，所以8=1.

考向2奔驰定理与外心

2九

例3已知点。是△ABC的外心，且戌+两+2反=0,C=y,则Z=.

答案一1

解析依题意得，

sin2A：sin2B：sin2C=1：1：2,

Asin2A=sin2B,

・・・2A=25或24+28=兀（舍），：.A=B.

又C=勺，/.A=B=^,

3o

sin251

Xsin2C=P

,4K

・^S1I1H

・sin2C_____3____

・・2=sin2B=.TT=T

s,n3

考向3奔驰定理与内心

例4（2024•开封调研）在△A6CU」，A6=2,AC=3,6c=4,O为△ABC的内心,

若AO=Z48+〃BC,则32+6〃的值为()

A.lB.2

C.3D.4

答案C

解析矗+〃肚可化为

O4+；.OB-2OA+//OC-//OB=0,

整理得(1一2)万1+(2—4)仍+〃浣=0，

所以(1—A)：:"=4：3：2,

52

---

夕9

52

所以32+6〃=3义$+6乂5=3.

考向4奔驰定理与垂心

例5(2024・重庆质检)已知”是△ABC的垂心，若两+2崩+3证=0,则隹A=

答案i

解析依题意，

可得tanA：tanB：tanC=112*3,

代入tanA+tan8+lanC=tanAtanBtanC,

可得6tani4=6tan3A,

因为tanAWO,所以tanA=±l.

又因为0<tanA<tanB<tanC,

所以tan4=1,所以A=去

易错提醒涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和

垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要

注意观察题目有无这一条件.

训练2(1)设/为△A8C的内心，且2立+3花+小后t=(),则角C=.

(2)设点尸在AABC内部且为△ABC的外心，如图.若△P8C,APC/1,

△以8的面积分别为全x,)，，则叶)，的最大值是

答案(l)f(2停

解析⑴由2芯+3而+巾7d=0,

可得a：b：c=2：3：巾，

令a=2k,b=3k,c=、［ik,

4F+9——7A21

3cosC=­Z2k.3k—=2f

又C£((),兀)，所以C=?

(2)法一据奔驰定理得，

辆+x而+y无=0,

即办=2质+2)，危，

平方得◎=4/而2+4),2斤2+g刈两卮|.cosN8PC,

又•・,点/是△ABC的外心,

・・・|的=|而|=|正|,

7F

且N8PC=2N84C=?

・・（X+y）max=3,

法二Septic:S^PCA:S△附8=sin2A:sin2B:sin2C=g-x-y9

又NBAC=1，・•・sin2A=2,

*.'x=^sin25,y=^sin2C,

，x+y=^(sin23+sin2C)

=^^sin28+sin停-28)]

=咏3司,

o,坐],・・・(x+y)max_乎.

【精准强化练】

一、单选题

1.点O为AABC内一点，若S^AOR：S80c:S^AOC=4：3：2,设灰）=/1筋+〃恁,

则实数2和〃的值分别为（）

24「42

A.g，gB.g，9

-12-21

c.g，9D.g,g

答案A

解析根据奔驰定理，得3醇+2仍+4庆=0,

即3刃+2(%+丽)+4(况+沅)=0,

24

--

99

2.点P在△ABC内部，满足％+2而+3PC=0,则S“5C：SMPC=()

A.2：1B.3：2

C.3：1D.5：3

答案C

解析根据奔驰定理得，SAPRC:Sec：S△.8=1：2：3.

所以SMBC:SAAPC=（1+2+3）:2=3：1.

3.已知△48C和点M满足麻+瓶+疝7=0,若存在实数〃?,使得超+危=〃认拓

则m等于（）

A.2B.3

C.4D.5

答案B

解析•・•麻+证+证=0,・・.M为△ABC的重心,

A

BDC

连接AM并延长交8c于。，则。为8c的中点,

.'.AM=|A£）,

又病=不病+危),

-*1-।-

：.AM=^(AB+AOt

即初+危=3痴

••/〃=3.

4.已知O是△A8C内一点，以+协+不7=0,而病=2且N8AC=60。，则△O3C

的面积为（）

A近

A.3B#

C近D.|

2

答案A

解析,・・为+丽+充=0,

工。是△A8C的重心，，S\OBC=；S/MBC,

•・•福•危=2,A|AB||AC|COSZB/4C=2,

VZB4C=60°,A|AB||AC|=4,

又8丽=本画通lsinNBAC=d§,

•••△OBC的面积为坐

5.△ABC内一点。满足关系式S^OBC-0A+OB+S^OABOC=0,即称为经典

的“奔驰定理”，若△4BC的三边为小b,c,现有〃•殖+。・M+c•沆=0,则

O为△ABC的（）

A.外心B.内心

C.重心D.垂心

答案B

解析记点。到AB,BC,C4的距离分别为例，①，公，

S&oBc=*h2,S^oAc=gbJn,

S^OAB=~^C'h\,

因为S^OBC-OA+SOAC'OB4-S^OAB-OC=0,

则%•五醇+》・例9+%•加庆=0,

乙L乙

即•殖+万加•丽+C•团庆=0,

又因为aOA-]-bOB-\-cOC=Or

所以小=比=/?3,所以点。是△A3C的内心.

S,PHCS^PAC.

6.设P是△ABC内任意一点'S”8c表示AABC的面积‘为=；'A2—,A3

ScMBC

=f~詈，定义."）=（为＜2,后），若G是△ABC的重心,."）=&/3,则（）

A.点。在△GA8内B.点。在aGBC内

C.点夕在△GAC内D.点。与点G重合

答案A

解析不妨设5“5c=1,根据奔驰定理重心公式可知J（G）=g,

即SdGAB,S^GAC,SaGBC相等,

A

E

题干要求Sc=*所以点P必然在过G且平行于AC的直线上，如图.

而S"BC>S△用B,所以点P必然在线段EG上，且不包括端点，

即点P在△G4B内，故选A.

7.如图，已知。是△ABC的垂心，且醇+2丽+3历=0,则

tanZ.BAC'tanZABC:tanZACB等于（）

A.l：2：3

C.2：3：4D.2：3：6

答案A

解析。是△48。的垂心,

延长C。，BO,A。分别交边AB,AC,BC于点、P,M,N,如图,

贝4cBM1AC,AN1BC,NBOP=NBAC,ZAOP=AABC.

ajOCBP

e乂80。2BDPD

因此lt，7；-----=-；------

3c-AP

OPtanZBOPtanZBAC

"OPtanZ/4OP=tanZABC

SABOCtanZBAC

同理TBJ7-----=：---

S^AOBtanZ.ACB

于是得tan/BAC:tanZ.ABCItanNACB=S»BOC:S^AOC:S^AOB,

又为+2肪+3沆=0,

由“奔驰定理”有+•勘+S^O8•沆=0,

即S^BOC:S^AOC:SAOB=1*213,

所以tanABAC：tanNABC:tanZACB

=1：2：3.

二、多选题

8.如图，设尸,Q为△ABC内的两点，且解=*方+/心血=2+）乙则（

)

S^ABP1SaABQ1

A.SAABC5S.^ABC3

SMBP4S4ABp3

'S^ABQ5S^ABQ4

答案AC

—►2f1一

解析由办=5部十次\

JJ

7O11_

可得该+5访一例+:无一例=0,

no1

整理得5成+5丽+^FC=0,

所以2成+2而+反：=0,

SdABP____1____

SMBC2+2+15'

由液=,B+%7,

一2f2一1一1一

可QA^QB-jQA-\-^QC--^QA=0,

整理得3+83+3沆=0,

SAABQ31S4ABp4

所以

SMBC1+8+34'SaABQ5’

9.已知O是△ABC内一点，△8OC,AAOC,/\AOB的面积分别为S“oc,S»oc,

S“O8,贝|JS^BOCOA+5A4OC-OB+SAAOB^OC=0,NBAC,ZABC,Z1ACB分别是

△ABC的三个内角，以下命题正确的有()

A.若2dX+3崩+4无=0,则S//oc:SMOC：SAOB=4：3：2

B.若|出|=|仍|=2,ZAO5=y,且2次+3仍+4历=0,贝U5”的=乎

C.若以•丽=份•沆=虎•醇，则。为△A8C的垂心

D.若。为△A3C的内心，且5晶+12彷+13沆=0,贝|JN4CB=]

答案BCD

解析对于A,2宓+3丽+4反=0,

则S^BOC：SMOC:S^AOB=2：3：4,故A错误；

1O

对于B,S“O8=5><2X2Xsin?=小，

又2殖+3宿+4沆=0,

故S^BOC:S^AOC:SAAO8=2：3：4,

99x6

所以S/\ABC=~^S^AOB=4，故B正确；

对于C,OAOB=OBOC,

ep(OA-(9C).OB=CAOB=0,

故以，加

同理可得份JL万，ABLOC,

所以。为△ABC的垂心，故C正确；

对于D,5)1+12历+13反=0,

故S丛BOC:S^AOC:SMOB=5：12：13,

设内切圆半径为小S,MOC=*BC

SAIAOC=/八AC,SsoB=y，AB,

即BC\AC\AB=5：12：13,

jr

即A82=AC2+8C