2026年山东省夏季高考《数学》概率统计专项练习及答案解析（全国I卷）

年山东省夏季高考《数学》概率统计专项练习（全国I卷）概率统计专项（新高考重点，必考，16-18分）高频考点（贴合近3年高考考情）概率基础：重点考查古典概型、互斥事件、对立事件的概率计算，多以小题形式考查，偶尔融入解答题第一问，难度基础。条件概率：单独考查小题或融入分布列问题，核心是理解“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率本质，难度中等。分布列与期望：新高考重点，必考解答题核心模块，重点考查二项分布、超几何分布，要求写出分布列、计算期望（方差偶尔考查），难度中等。统计图表与分析：高频小题+解答题辅助，考查频率分布直方图、茎叶图、折线图的读取与计算，结合古典概型或均值求解，难度基础。线性回归与独立性检验：交替考查（近3年山东高考均有涉及），线性回归侧重公式应用、样本中心点性质；独立性检验侧重卡方计算、关联性判断，难度中等。必背公式（精准对应高考高频应用）一、概率相关公式古典概型：P(A)=mn（其中n互斥事件：若A,B对立事件：若A,A对立，则P(条件概率：P(B|A)=P(二、分布列与期望、方差二项分布：若随机变量X∼B(n,概率公式：P(X=期望：E方差：D超几何分布：若随机变量X表示从N件产品（其中M件次品）中不放回抽取n件的次品数，则：概率公式：P(X=期望：E三、统计相关公式线性回归：回归直线方程y^=bx=1nb^=独立性检验（卡方检验）：χ2=n(ad核心易错点（近3年高考高频失分点）二项分布与超几何分布混淆：二项分布是“有放回抽样”或“独立重复试验”，超几何分布是“不放回抽样”，两者适用场景极易混淆，导致概率计算错误。条件概率公式误用：忽略“条件”，直接计算P(B)代替P分布列规范性错误：忘记标注随机变量的所有取值，或概率和不为1（计算失误），期望计算时漏乘对应概率。独立性检验判断错误：误将“卡方越大，关联性越强”记反；或未根据卡方值与临界值的大小，正确判断“是否有足够把握认为两个变量相关”。统计图表读取错误：频率分布直方图中，误将“纵轴频率/组距”当作“频率”；茎叶图中，误读数据位数或计算均值时出错。线性回归：忘记回归直线必过样本中心点，或计算b^专项练习（总分18分，贴合高考分值分布）一、单项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.从装有3个红球和2个白球的不透明袋子中，随机抽取2个球，记事件A为“抽取的2个球都是红球”，事件B为“抽取的2个球都是白球”，则下列说法正确的是（）A.A,B是对立事件B.P(A答案解析核心考点：古典概型、互斥事件、对立事件的判断与概率计算。步骤1：计算基本事件总数，从5个球中抽取2个，基本事件总数n=步骤2：计算P(A)事件A（2个都是红球）：包含的基本事件个数mA=C32=3，故P(A)=步骤3：判断选项：选项A：A,B互斥（不能同时发生），但对立事件要求“所有基本事件必发生其一”，抽取的2个球还可能是1红1白，故A,B不是对立事件，A错误；选项B：由步骤2知P(A)=310，B正确；选项C：A,B互斥，故P(A易错提醒：区分互斥事件与对立事件，对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立；计算古典概型时，准确计算基本事件总数和事件包含的个数，避免组合数计算错误。答案：B2.已知随机变量X∼B(4,12)（二项分布），则E(A.E(X)=2，D(X)=1B.E(X)=1，答案解析核心考点：二项分布的期望与方差公式应用。步骤1：明确二项分布参数，由X∼B(n,步骤2：代入二项分布期望、方差公式：期望：E(X)=易错提醒：牢记二项分布的期望、方差公式，切勿与超几何分布的期望公式混淆；计算方差时，不要遗漏(1-p)项，避免误算为D二、多项选择题（本大题共1小题，每小题5分，共5分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）3.关于线性回归与独立性检验，下列说法正确的是（）A.线性回归直线y^=B.若线性回归系数b^>0，则变量x与C.独立性检验中，χ2D.若χ2>6.635，则有答案解析核心考点：线性回归的性质、独立性检验的结论，贴合高考小题高频考法。逐一分析选项：选项A：线性回归直线的核心性质就是必过样本中心点(x,y)，可用于验证回归方程的正确性，A正确；选项B：回归系数b^的符号决定变量相关性：b^>0，正相关；b^<0，负相关，B正确；选项C：独立性检验中，χ2值越大，说明“两个变量无关”的概率越小，即两个变量的关联性越强，C正确；选项易错提醒：选项C是高频易错点，切勿记反“χ2值与关联性”的关系；选项D需牢记常见临界值（6.635对应99%，3.841对应95%），高考常直接考查。答案：三、解答题（本大题共1小题，每小题12分，共12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，为高考必考题型）4.某高中为了解学生每天的体育锻炼时间，随机抽取了100名学生进行调查，将调查结果整理成频率分布直方图（如图，组距为10分钟），其中体育锻炼时间在[40,50)的学生有20人，在[50,60]的学生有10人。（注：频率分布直方图纵轴为“频率/组距”，分组为[0,10)、[10,20)、[20,30)、[30,40)、[40,50)、[50,60]）（1）求频率分布直方图中[30,40)组的频率和纵轴对应的高度；（2）若从体育锻炼时间在[40,50)和[50,60]的学生中，随机抽取3人参加体育竞赛，记抽取的3人中，锻炼时间在[50,60]的人数为X，求X的分布列和数学期望E(X)答案解析核心考点：频率分布直方图的应用、超几何分布的分布列与期望，完全贴合高考概率统计解答题考法（统计图表+分布列）。（1）求[30,40)组的频率和纵轴高度：步骤1：明确频率分布直方图的性质（所有组的频率和为1）：（2分）已知样本容量n=100，各组频率=该组人数/样本容量，因此：[40,50)组的频率：20100=0.2；[50,60]步骤2：设[0,10)、[10,20)、[20,30)、[30,40)组的频率分别为f1,f2,f3f1+f补充说明：频率分布直方图中，各组频率=纵轴高度×组距，结合高考常考设定（前3组频率均等，贴合真题考法），可求得f1=f2=f3=0.15（推导：若前步骤3：计算[30,40)组的纵轴高度：（6分）纵轴高度=频率/组距=0.2510综上，[30,40)组的频率为0.25，纵轴对应的高度为0.025。（2）求X的分布列和数学期望E(步骤1：确定随机变量X的取值及分布类型：（7分）由题意，[40,50)有20人，[50,60]有10人，共30人；随机抽取3人，不放回抽样，故X服从超几何分布（核心：不放回，抽取次品数模型）；X的取值为0,1,2,3（抽取的3人中，[50,60]的人数可能为0、1、2、3）；超几何分布参数：N=30（总体个数），M=10（目标个数，即[50,60]人数），n=3（抽取个数），概率公式P步骤2：计算各取值的概率：（9分）P(X=0)=P(X=2)=步骤3：写出分布列：（10分）X0123P5795456步骤4：计算数学期望E(X)方法一：直接代入超几何分布期望公式E(E(方法二：用分布列计算验证：E(易错提醒：（1）频率分布直方图中，切勿将纵轴“频率/组距”当作频率，计算时需乘以组距；（2）判断分布类型时，注意“不放回抽样”对应超几何分布，避免误当作二项分布（二项分布需放回）；（3）分布列需标注所有取值，概率和需为1（可用于验证计算正确性）；（4）超几何分布期望可直接用公式，简化计算，避免繁琐的分布列求和。补充拓展题（贴合高考中档难度，可选练习）5.某工厂生产的一批产品中，有10件正品和5件次品，现采用不放回抽样的方式，从中抽取4件产品，记抽到的次品数为X。（1）求P(（2）若该工厂另一批产品采用放回抽样，每次抽取1件，抽取4次，每次抽到次品的概率为13，记抽到的次品数为Y，求Y答案解析解：（1）求P(由题意，不放回抽样，X服从超几何分布，其中N=15（总产品数），M=5（次品数），n=4概率公式：P(X=k)=P(X=2)=（2）求Y的期望和方差：由题意，放回抽样，每次抽取独立，故Y∼B(n,p)代入二项分布期望、方差公式：（5分）期望：E(Y)=np=4×易错提醒：核心区分超几何分布（不放回）与二项分布（放回/独立重复），本题两问分别对应两种分布，切勿混淆；计算组合数时，准确计算，避免失误。专项练习总结（贴合高考备考）本专项练习严格参照近3年山东省夏季高考数学（全国I卷）概率统计考情设计，分值（18分）、题型（单选+多选+解答）完全匹配高考，重点覆盖五大高频考点，所有题目均为原创，贴合高考基础题+中档题难度（高考中概率统计无难题，重点考查公式应用、图表读取和规范解题）。从高考命题规律来看，概率统计模块必考1道解答题（12分），侧重“统计图表+分布列与期望”（超几何分布、二项分布交替考查），1-2道小题（5-10分），侧重古典概型、条件概率、线性回归、独立性检验，偶尔考查方差计算。备考建议：1.牢记核心公式，尤其是古典概型、二项分布、超几何分布、卡方检验的公式，区分易混淆公式（如二项分布与超几何分布的期望公式）；2.重点突破易错点，尤其是两种分布的判断、条件概率的应用、统计图表的读取，每道错题标注对应易错点