第六章　第30课时　功能关系　能量守恒定律-2026版一轮复习

第30课时功能关系能量守恒定律目标要求1.熟练掌握几种常见的功能关系，并会用于解决实际问题。2.掌握一对摩擦力做功与能量转化的关系。3.会应用能量守恒观点解决综合问题。考点一功能关系的理解和应用1.对功能关系的理解(1)力做功的过程就是能量转化的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。2.常见的功能关系力做功能的变化定量关系合力做的功动能变化W＝Ek2－Ek1＝ΔEk重力做的功重力势能变化(1)重力做正功，重力势能减少(2)重力做负功，重力势能增加(3)WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2弹簧弹力做的功弹性势能变化(1)弹力做正功，弹性势能减少(2)弹力做负功，弹性势能增加(3)W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2只有重力、弹簧弹力做功机械能不变化机械能守恒，ΔE＝0除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功机械能变化(1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少(2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少(3)W其他＝ΔE一对相互作用的滑动摩擦力做的功机械能减少，内能增加(1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加(2)摩擦生热Q＝Ffx相对安培力做功电能变化(1)克服安培力做的功等于电能增加量(2)W克安＝ΔE电1.一个物体的能量增加，必定有其他物体的能量减少。(√)2.合力做的功等于物体机械能的改变量。(×)3.克服与势能有关的力(重力、弹簧弹力、静电力等)做的功等于对应势能的增加量。(√)4.滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化。(√)例1(多选)滑沙运动是继滑冰、滑水、滑雪和滑草之后又一新兴运动，它使户外运动爱好者在运动的同时又能领略到沙漠的绮丽风光。如图所示，质量为50kg的人坐在滑沙板上从沙坡的顶端由静止沿直线匀加速下滑，经过10s到达坡底，速度大小为20m/s。已知沙坡的倾角为30°，重力加速度g取10m/s2，下列关于此过程的说法中正确的是()A.人的重力势能减少5.0×104JB.人的动能增加1.0×104JC.人的机械能减少1.5×104JD.人克服阻力做功4.0×104J答案BC解析人沿沙坡下滑的距离l＝12vt＝100m，重力势能减少ΔEp＝mglsin30°＝2.5×104J，故A错误；人的动能增加ΔEk＝12mv2＝1.0×104J，故B正确；人的机械能减少ΔE＝ΔEp－ΔEk＝1.5×104J，故C正确；人克服阻力做功W克f＝ΔE＝1.5×104J，故例2(多选)(2024·山东聊城市检测)一物块在高3.0m、长5.0m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10m/s2，则()A.物块下滑过程中机械能不守恒B.物块与斜面间的动摩擦因数为0.5C.物块下滑时加速度的大小为6.0m/s2我用夸克网盘分享了「与您分享-国家、地方、行业、团体标准」，点击链接即可保存。打开「夸克APP」，无需下载在线播放视频，畅享原画5倍速，支持电视投屏。链接：/s/45a9f612fe59提取码：t9EX联系qq:1328313560我的道客巴巴：/634cd7bd0a3f5a7311db139533c20794

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D.当物块下滑2.0m时机械能损失了12J答案AB解析由E－s图像知，物块动能与重力势能的和减小，则物块下滑过程中机械能不守恒，故A正确；由E－s图像知，整个下滑过程中，物块机械能的减少量为ΔE＝30J－10J＝20J，重力势能的减少量ΔEp＝mgh＝30J，又ΔE＝μmgcosα·s，其中cosα＝s2-h2s＝0.8，h＝3.0m，g＝10m/s2，则可得m＝1kg，μ＝0.5，故B正确；物块下滑时加速度的大小a＝gsinα－μgcosα＝2.0m/s2，故C错误；物块下滑2.0m时损失的机械能为ΔE'＝μmgcosα·s'＝8考点二摩擦力做功与能量转化两种摩擦力做功特点的比较类型比较静摩擦力做功滑动摩擦力做功不同点能量的转化只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能(1)一部分机械能从一个物体转移到另一个物体(2)一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量一对摩擦力做的总功一对静摩擦力所做功的代数和总等于零一对滑动摩擦力做功的代数和总是负值，总功W＝－Ffx相对，即发生相对滑动时产生的热量相同点做功情况两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功例3(多选)如图所示，一个长为L、质量为M的木板，静止在光滑水平面上，一个质量为m的物块(可视为质点)以水平初速度v0从木板的左端滑向另一端，设物块与木板间的动摩擦因数为μ，当物块与木板相对静止时，物块仍在长木板上，物块相对木板的位移为d，木板相对地面的位移为s，重力加速度为g。则在此过程中()A.摩擦力对物块做的功为－μmg(s＋d)B.摩擦力对木板做的功为μmgsC.木板动能的增量为μmgdD.由于摩擦而产生的热量为μmgs答案AB解析根据功的定义W＝Flcosα，其中l指物体的位移，而α指力与位移之间的夹角，可知摩擦力对物块做的功W1＝－μmg(s＋d)，摩擦力对木板做的功W2＝μmgs，A、B正确；根据动能定理可知木板动能的增量ΔEk＝W2＝μmgs，C错误；由于摩擦而产生的热量Q＝Ff·Δx＝μmgd，D错误。用功能关系分析光滑水平面上“滑块—木板”问题时要注意区分三个位移：(1)求摩擦力对滑块做功时用滑块对地的位移x滑；(2)求摩擦力对木板做功时用木板对地的位移x板；(3)求摩擦生热时用相对位移Δx。例4(多选)如图所示，与水平面成θ角的传送带，在电动机的带动下以恒定的速率v顺时针运行。现将质量为m的小物块从传送带下端A点无初速度地放到传送带上，经时间t1物块与传送带达到共同速度，再经时间t2物块到达传送带的上端B点，已知A、B间的距离为L，重力加速度为g，则在物块从A运动到B的过程中，以下说法正确的是()A.在t1时间内摩擦力对物块做的功等于12mvB.在t1时间内物块和传送带间因摩擦而产生的内能等于物块机械能的增加量C.在t1＋t2时间内传送带对物块做的功等于mgLsinθ＋12mvD.在t1＋t2时间内因运送物块，电动机至少多消耗mgLsinθ＋mv2的电能答案BC解析由动能定理可知，在t1时间内摩擦力和重力对物块做的功之和等于12mv2，选项A错误；在t1时间内，物块相对传送带的位移Δx＝vt1－v2t1＝v2t1，则物块和传送带间因摩擦而产生的内能为Q＝FfΔx＝12Ffvt1；物块机械能的增加量等于摩擦力做的功，即ΔE＝Ff·v2t1＝12Ffvt1，即在t1时间内物块和传送带间因摩擦而产生的内能等于物块机械能的增加量，选项B正确；由功能关系可知，在t1＋t2时间内传送带对物块做的功等于物块机械能的增加量，即mgLsinθ＋12mv2，选项C正确；在t1时间内因运送物块，电动机至少多消耗的电能为mgL1sinθ＋12mv2＋Q，由选项B可知mgL1sinθ＋12mv2＝Q，则在t1时间内因运送物块电动机至少多消耗的电能为2mgL1sinθ＋mv2；在t2时间内因运送物块电动机至少多消耗的电能为mgL2sinθ；则在t1＋t2时间内因运送物块，电动机至少多消耗2mgL1sinθ＋mv2＋mgL2sinθ＝mg(L＋L1)sin考点三能量守恒定律的理解和应用1.内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。2.表达式：(1)E初＝E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。(2)ΔE增＝ΔE减，增加的能量总和等于减少的能量总和。3.理解(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。现在市场上有一种手表叫自动机械手表，只要每天有一定时间把表戴在手上，不用手动上发条，表针便可走动计时，自动手表的工作运行，是否违背能量守恒定律？答案不违背能量守恒定律。自动手表的运行是把人运动的机械能转化为发条的弹性势能，然后再转化为表针的动能，同样遵守能量守恒定律。例5如图所示，将原长为L的轻质弹簧放置在倾角为37°的轨道AB上，弹簧的一端固定在A点，另一端与质量为m的滑块接触但不连接(滑块可视为质点)。AB长为2L，B端与半径为L的光滑圆轨道BCD相切，D点在圆心O的正上方，C点与O点等高。滑块与AB间的动摩擦因数μ＝0.5。用外力推动滑块至P点，使得AP＝L2，然后放开，滑块由静止开始沿轨道AB运动，之后刚好能到达圆轨道的最高点D。已知重力加速度大小为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。(1)求滑块初始位于P点时，弹簧的弹性势能Ep；(2)若更换另一个质量为m1的滑块，仍将滑块从P点由静止释放，滑块能滑上圆轨道且能沿着圆轨道滑下，求m1的可能取值范围。答案(1)3.8mgL(2)3823m≤m1<38解析(1)对滑块在D点，由牛顿第二定律得mg＝m对滑块从P点到D点，由能量守恒得Ep＝μmgcos37°×3L2＋mg3L2sin37°＋mgL(1＋cos37°)＋解得v＝gL，Ep＝3.8mgL(2)若滑块质量较大，恰好运动到B点，由能量守恒得Ep＝μm2gcos37°×3L2＋m2g3L若滑块质量较小，恰好运动到C点，由能量守恒得Ep＝μm3gcos37°×3L2＋m3g3L2sin37°＋m3解得m2＝3815m，m3＝38所以m1的可能取值范围为3823m≤m1<3815(1)首先确定初、末状态，分清有几种形式的能在变化，如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、内能等。(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。课时精练(分值：100分)1~7题每小题8分，共56分1.(2024·浙江1月选考·3)如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，重力加速度为g，则足球()A.从1到2动能减少mghB.从1到2重力势能增加mghC.从2到3动能增加mghD.从2到3机械能不变答案B解析由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从1到2重力势能增加mgh，从1到2动能减少量大于mgh，故A错误，B正确；从2到3由于空气阻力作用，机械能减小，重力势能减小mgh，则动能增加小于mgh，故C、D错误。2.足够长的水平传送带始终以恒定速度v匀速运动，某时刻一个质量为m的小物块静止放到传送带上，在小物块与传送带间发生相对运动的过程中，滑动摩擦力对小物块做的功为W，小物块与传送带间因摩擦产生的热量为Q，则()A.Q＝12mv2 B.Q＝14mC.W＝14mv2 D.W＝mv答案A解析对小物块进行分析可知，小物块先在滑动摩擦力作用下做匀加速直线运动，速度增大至与传送带速度相等时，与传送带保持相对静止做匀速直线运动，此后，小物块不再受到摩擦力作用，根据动能定理可知，滑动摩擦力对小物块做的功为W＝12mv2－0＝12mv2，故C、D错误；设小物块加速到与传送带速度相等历时为t，则此过程的相对位移为x＝vt－vt2＝v2t，则小物块与传送带间因摩擦产生的热量为Q＝μmgx，根据上述有μmgx＝12mv2，解得Q＝123.(2024·山东青岛市期末)如图所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连。弹簧处于自然长度时物块位于O点(图中未标出)。物块的质量为m，AB=a，物块与桌面间的动摩擦因数为μ。用水平向右的力将物块从O点拉至A点，拉力做的功为W。撤去拉力后物块由静止向左运动，经O点到达B点时速度为零。重力加速度为g。则上述过程中()A.物块在A点时，弹簧的弹性势能等于W-12μB.物块在B点时，弹簧的弹性势能大于W-32μC.经O点时，物块的动能小于W-μmgaD.物块动能最大时弹簧的弹性势能小于物块在B点时弹簧的弹性势能答案C解析物块从A到B过程中，内能增加，所以弹簧和物块组成的系统机械能减小，由于在A、B两点物块速度均为零，则物块在A点时弹簧的伸长量大于在B点时弹簧的压缩量，所以OA>a2，用水平向右的力将物块从O点拉至A点的过程，由功能关系可知，物块在A点时弹簧的弹性势能EpA=W-μmg·OA<W-12μmga，故A错误；物块从O点由静止开始运动到B点的过程，路程为s=OA+AB>3a2，由功能关系可知，物块在B点时弹簧的弹性势能EpB=W-μmgs<W-32μmga，故B错误；物块从O点由静止开始到再次到达O点，由功能关系可知物块的动能EkO=W-μmg·2OA<W-μmga，故C正确；物块动能最大时，弹力大小等于滑动摩擦力大小，而物块在B4.(多选)(2024·山东济宁市期中)如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A点的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P点运动到B点的过程中()A.重力做功2mgR B.机械能减少mgRC.合外力做功12mgR D.克服摩擦力做功1答案CD解析小球从P点运动到B点的过程中，重力做的功WG＝mg(2R－R)＝mgR，故A错误；小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力，则有mg＝mvB2R，解得vB＝gR，则此过程中机械能的减少量为ΔE＝mgR－12mvB2＝12mgR，故B错误；根据动能定理可知，合外力做功W合＝12mvB2－0＝12mgR，故C5.(多选)如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab与水平面的夹角为60°，光滑斜面bc与水平面的夹角为30°，顶角b处安装一定滑轮。质量分别为M、m(M>m)的两滑块A和B，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行。两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动，A、B不会与定滑轮碰撞。若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中()A.轻绳对滑轮作用力的方向竖直向下B.拉力和重力对A做功之和大于A动能的增加量C.拉力对A做的功等于A机械能的增加量D.两滑块组成系统的机械能损失等于A克服摩擦力做的功答案BD解析根据题意可知，两段轻绳的夹角为90°，轻绳拉力的大小相等，根据平行四边形定则可知，合力方向与轻绳方向的夹角为45°，所以轻绳对滑轮作用力的方向不是竖直向下的，故A错误；对A受力分析，受到重力、斜面的支持力、轻绳的拉力以及滑动摩擦力作用，根据动能定理可知，A动能的增加量等于拉力、重力以及摩擦力做功之和，而摩擦力做负功，则拉力和重力对A做功之和大于A动能的增加量，故B正确；由除重力和弹力之外的力对物体做的功等于物体机械能的变化量可知，拉力和摩擦力对A做的功之和等于A机械能的增加量，故C错误；对两滑块组成的系统受力分析可知，除了重力之外只有摩擦力对A做功，所以两滑块组成的系统的机械能损失等于A克服摩擦力做的功，故D正确。6.(2025·山东德州市质检)如图所示，质量m1＝1kg的木板Q静止在水平地面上，质量m2＝3kg的物块P在木板左端，P与Q之间的动摩擦因数μ1＝0.2，地面与Q之间的动摩擦因数μ2＝0.1，现给物块Pv0＝4m/s的初速度使其在木板上向右滑动，最终P和Q都静止且P没有滑离木板Q，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是()A.P与Q刚达到相对静止时的速度是2.5m/sB.长木板Q长度至少为3mC.P与Q之间摩擦产生的热量和地面与Q之间摩擦产生的热量之比为1∶1D.P与Q之间摩擦产生的热量和地面与Q之间摩擦产生的热量之比为2∶1答案C解析P的加速度为aP＝－μ1m2gm2＝－2m/s2，Q的加速度为aQ＝μ1m2g-μ2(m1＋m2)gm1＝2m/s2，两者共速时有v共＝v0＋aPt＝aQt，解得t＝1s，v共＝2m/s，选项A错误；P、Q从开始到共速时的相对位移为Δx＝v0＋v共2t－0＋v共2t＝2m，之后不发生相对滑动，故长木板Q长度至少为2m，选项B错误；P与Q之间摩擦产生的热量为Q1＝μ1m2gΔx＝12J7.(2024·山东泰安市质检)如图所示，平直木板AB倾斜放置，小物块与木板间的动摩擦因数由A到B均匀增大，小物块从A点由静止释放，恰好可以到达B点，小物块的加速度a、动能Ek、重力势能Ep和机械能E(取地面为零势能面)随下滑位移x变化的图像可能正确的是()答案B解析根据题意，小物块从A向B是先加速后减速运动，加速度先向下后向上，方向发生了变化，所以A错误；设斜面的长度为L，则小物块的重力势能可以表示为Ep＝mg(L－x)sinθ，B正确；下滑过程中，小物块的动能先增大后减小，但是其图线的斜率表示其所受的合力，根据题意可以判断合力是变力，与图像不符，所以C错误；根据功能关系，机械能的减少量等于小物块克服摩擦力所做的功，图像的斜率大小表示摩擦力大小，根据题意摩擦力逐渐增大，与图像不符，所以D错误。8、9题每小题9分，10题16分，共34分8.(2024·安徽卷·7)在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H。出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距离约为l。假设抽水过程中H保持不变，水泵输出能量的η倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密度为ρ，水管内径的横截面积为S，重力加速度大小为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约为()A.ρgSl2gh2ηh(H＋B.ρgSl2gh2ηh(H＋C.ρgSl2gh2ηh(D.ρgSl2gh2ηh(答案B解析设水从出水口射出的初速度为v0，取t时间内的水为研究对象，该部分水的质量为m＝v0tSρ根据平抛运动规律v0t'＝lh＝12gt'解得v0＝lg根据功能关系得Ptη＝12mv02＋mg(H联立解得水泵的输出功率为P＝ρgSl2gh2ηh(H＋故选B。9.(2024·山东卷·7)如图所示，质量均为m的甲、乙两同学，分别坐在水平放置的轻木板上，木板通过一根原长为l的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为d(d<l)。两木板与地面间动摩擦因数均为μ，弹性绳劲度系数为k，被拉伸时弹性势能E＝12kx2(x为绳的伸长量)。现用水平力F缓慢拉动乙所坐木板，直至甲所坐木板刚要离开原位置，此过程中两人与所坐木板保持相对静止，k保持不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则F所做的功等于(A.(μmg)22k＋μmgB.3(μmg)22k＋μmgC.3(μmg)22k＋2μmgD.(μmg)22k＋2μmg答案B解析解法一：当甲所坐木板刚要离开原位置时，对甲及其所坐木板整体有kx0＝μmg解得弹性绳的伸长量x0＝μmg则此时弹性绳的弹性势能为E0＝12k从开始拉动乙所坐木板到甲所坐木板刚要离开原位置的过程，乙所坐木板的位移为x1＝x0＋l－d，此过程中由于摩擦产生的热量Q＝μmgx1，则由功能关系可知该过程F所做的功W＝E0＋μmgx1＝3(μmg)22k＋μmg解法二：画出外力F与乙所坐的木板的位移x的关系图像如图所示，则外力F做的功W＝μmg(l－d)＋μmg＋2又kx0＝μmg联立解得W＝3(μmg)22k＋μmg故选B。10.(16分)某同学设计了一个游戏装置，如图所示，ABCD为四分之三圆弧轨道，A端通过竖直过渡轨道PA与弹簧装置相连，D端通过水平过渡轨道DE与水平轨道EG相连，两过渡轨道稍微错开。管径很小的圆形细管OFO'与轨道EG相切于O点，细管底部进出口O、O'稍微错开，整个轨道固定于同一竖直平面内，各段轨道间均平滑连接。现有一压缩轻弹簧的小滑块(可视为质点)被从P点弹起，离开弹簧后沿轨道运动。已知滑块质量m=0.2kg，轨道ABCD的半径r=0.2m，细管OFO'的半径R=0.3m，P、A两点间的距离差h=0.5m，O、E两点间的距离L=1.5m，O、G两点间的