河北张家口市2026届高三第二次模拟考试数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河北张家口市2026届高三第二次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合A=−1,0,1,2,3，B=−2,0,1,2,3,5，则A∪B=（A．0,1,2,3 B．−1,0,1,2,3C．−2,−1,0,1,2,3,5 D．−2,0,2,3,52．已知复数z=sinπ6+iA．1 B．2 C．3 D．23．在等差数列an中，若a1+a2A．4 B．3 C．2 D．14．圆柱与圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，则圆柱与圆锥的体积之比为（

）A．223 B．233 C．5．将函数y=cos2x−π3的图象向右平移φ（φ>0）个单位长度后得到函数y=sinA．π24 B．π12 C．π66．已知某种树苗在一个生长周期内生长的高度为随机变量ξ，且ξ∼Nμ,σ2，若Pξ<5=1A．910 B．45 C．11207．已知抛物线C:y2=2px（p>0）与双曲线E:x2−y2=p2的渐近线的交点分别为O，A，B，其中O为坐标原点，若△AOBA．15+65 B．17+85 C．17+658．已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为4，高为23，D，E分别为AC，A1B1的中点，球面O经过D，A．π3 B．π2 C．2π二、多选题9．已知一组数据x1，x2，…，x9的平均数、中位数、众数、极差、标准差分别为a，b，c，d，e．设yi=2xi+1（i=1，2，…，9），记新数据y1，y2，…，y9的平均数、中位数、众数、极差、标准差分别为AA．A=2a+1，B=2b+1 B．A=2a，C=cC．D=2d，E=2e D．D=2d+1，E=4e10．已知圆C:x2+y2+m−2x+2my+1−m=0，P为直线2x+y−8=0上一动点，PA，PB为圆A．圆心C的轨迹方程为2x−y−2=0B．圆C过定点1,0C．当m=2时，PA⋅D．当m=2时，四边形PACB的面积的最小值为511．已知函数fx=cosA．fB．函数fx的值域为C．方程fx=3有且仅有3个根x1，x2D．方程fx三、填空题12．已知函数fx是定义域为R的奇函数，当x∈−1,0时，f13．已知曲线y=ln2x在点12,0处的切线也是曲线14．某新能源汽车公司的电池由甲、乙两个厂家独立供货，汽车装配电池前，公司要对两个厂家所供电池进行严格检测，从甲厂家供货的100件电池中检测出不达标的有2件，从乙厂家供货的200件电池中检测出不达标的有3件．现从两个厂家等可能随机挑选一家，从所供货的电池中随机选择一件，检测结果不达标，则该件电池来自乙厂家的概率为________．四、解答题15．已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比均为12，a(1)求数列an和b(2)求数列2an⋅bn16．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0(1)求C的方程；(2)若以AB为直径的圆经过点2,0，证明：直线AB过定点．17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，D，E分别为边AB，(1)证明：a2(2)证明：ccos18．如图，在正四棱锥P−ABCD中，M，N分别为棱PA，PC的中点，点Q满足PQ=λPB，(1)证明：MN⊥DQ．(2)已知D，M，Q，N四点共面．（ⅰ）求λ的值；（ⅱ）若AB=2，PA与底面所成角的正切值为2，求平面BMN与平面QMN19．已知函数fx(1)若fx≥0，求实数(2)已知a=−1．（ⅰ）设数列1n+2的前n项和为Sn，证明：（ⅱ）若∃x1∃x1,x2答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河北张家口市2026届高三第二次模拟考试数学试题》参考答案题号12345678910答案CACDBDBCACBCD题号11答案BCD1．C【详解】由题可知，A=−1,0,1,2,3，B=因此A∪B=−2,−1,0,1,2,3,52．A【详解】因为z=sinπ6+i3．C【分析】首先由等差数列的性质得出a3，根据等差数列性质得出a【详解】由a1+a又a1+a4．D【详解】由题意得圆锥的高为22−1圆柱的体积为π×125．B【详解】解析：由题可知y=sin2x=cosπ26．D【分析】先利用对立事件求对称点的概率，再根据正态曲线关于x=μ对称的性质，均值为两对称点的中点，最后利用对称性求区间概率.【详解】因为随机变量ξ∼N(μ,σ2)由题：P(ξ<5)=120，则P(ξ>45)=1−P(ξ≤45)=1−19所以P(ξ<5)=P(ξ>45)，对称轴为：μ=5+45由正态分布的对称性得：P(ξ<25)=1所以P(25≤ξ≤45)=P(ξ≤45)−P(ξ<25)=197．B【详解】易知E的渐近线为y=±x，联立y=±xy2=2px，可得x=2p不妨设A2p,2p，B又△AOB的面积为16，则12×2p×4p=16，解得联立y2=4x,x解得x=2+5或x=2−所以y2=4x=8+45所以OP28．C【分析】根据正三棱柱的特征得到线面垂直，进而得到线线垂直，结合直角三角形的性质得到球心位置及球的直径，再结合球的截面性质求解即可.【详解】如图，连接BC1，BD，BE，C1E，C1D，易得BD⊥平面所以BD⊥C1D，C1E⊥BE所以BC1即为球O的直径，其长为2R=4过点O作OM⊥B1C1于点球O与上底面的交线即为以M为圆心，半径为72又底面△A1B1C1的边长为4，则交线为以9．AC【详解】因为yi则A=1中位数的位置不会改变，所以B=2b+1，因此A正确；众数和极差满足C=2c+1，D=2d，可得B错误；根据标准差定义可知E=210．BCD【分析】对于A，求出圆心C的坐标，即可判断选项；对于B，将圆C的方程化为x2+y对于C，由PA⃗⋅PC对于D，根据S四边形【详解】圆C的方程可化为x+m−222对于A选项，圆心C的坐标为2−m2,−m，则圆心C的轨迹方程为2x−y−2=0对于B选项，圆C的方程可化为x2+y解得x=1,y=0,所以圆C过定点1,0对于C选项，PA⃗当m=2时，x2+y+22=5圆心C0,−2到直线2x+y−8=0的距离d=所以PAmin对于D选项，S四边形11．BCD【分析】化简函数并画出图象，利用图象即可判断AB；利用对称性求值判断C；令fx【详解】当π2<x≤3π2时，−当3π2<x≤5π2时，则函数fx对于A选项，fπ对于B选项，由图可知函数fx的值域为0,9对于C选项，当fx=3时，不妨设x1<x所以x1对于D选项，令fx=t∈0,9当a<−2时，Δ>0，方程t2当a=−2时，方程t2−at+1=0的根为当−2<a<2时，Δ<0，知原方程无解；当a=2时，易得t=1，由图可知原方程有5个不等的根；当a>2时，方程t2−at+1=0有两个不同实根t1，t若2<a<103，函数gt=t2−at+1则0<t若a=103，若103<a<829时，函数gtg3=9−3a+1<0，0<t若a=829，t1当a>829时，函数gt=t2−at+1则0<t1<112．−14【详解】f−1213．1【分析】根据导数的几何意义先求得y=ln2x的切线方程，再设出该切线与【详解】由y=ln2x，则所以曲线y=ln2x在点12所以曲线y=ln2x在点12设直线y=2x−1与曲线y=ex−1+x−a相切的切点为x则ex0−114．3【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解即可.【详解】记事件M=“任取一件电池检测不达标”，A=“电池是从甲厂取出的”，B=“电池是从乙厂取出的”．依题意可知，PA=PB=1由全概率公式，得PM则PB|M15．(1)an=1(2)S【分析】（1）根据等量关系建立方程，求解出a1和b【详解】（1）依题意可知，a1=b所以an=1+1（2）由（1）可知，2aSn12两式作差得1=32+=48−=48−n+3所以Sn16．(1)x(2)证明见解析【分析】（1）根据长轴长及直线与椭圆的位置关系求解即可.（2）设出直线方程y=kx+t，与椭圆方程联立，根据圆的性质得到MA⋅【详解】（1）由题易知a=2，联立x24+Δ=令Δ=0，因为b>0，解得b=1所以C的方程为x2（2）证明：当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+t，Ax1,联立y=kx+tx2+4Δ=则x1+x所以y1因为以AB为直径的圆经过点M2,0，则MA⋅MB即x1则12k2+16kt+5t2当t=−2k时，Δ=64直线AB的方程为y=kx−2k=kx−2，此时直线AB过定点2,0当t=−65k直线AB的方程为y=kx−65k=kx−6当直线AB的斜率不存在时，直线方程为x=65，此时A，B两点为65,45，65综上所述，直线AB过定点6517．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)方法一：由余弦定理化简得a2−b方法二：结合正弦定理将问题转化为证明sin2（2）方法一：特殊情况先验证：当点D，E都位于点A时，θ=0，一般情况：由DE⋅方法二：展开右侧的和差角余弦，结合三角形中的射影定理与正弦定理，消去含sinθ【详解】（1）方法一：由余弦定理得a2=b所以a2即a2两边同乘c，得a2由正弦定理可得a2所以a2方法二：由正弦定理可知，要证a2只需证sin2又因为sin=2sin所以sin2（2）方法一：当点D，E都位于点A时，θ=0，等式显然成立．当点D，E不同时位于点A时，DE⋅DE⋅DE⃗DE⋅所以cDEcosθ=a即ccos方法二：展开等式右边，a=cos易知acosB+bcos所以cosθ即ccos18．(1)证明见解析(2)（ⅰ）λ=1【分析】（1）在△PAC中，MN//AC，再证明AC⊥平面PBD，根据传递性可得MN⊥平面PBD，进而证明（2）（ⅰ）由D，M，Q，N四点共面，利用空间向量共面定理，设出DQ=mDM+nDN，结合（ⅱ）先通过条件求出PO=2，建系，写坐标，求法向量，借助空间向量求平面BMN与平面QMN夹角的余弦值即可．【详解】（1）证明：设AC∩BD=O，则在正四棱锥P−ABCD中，PO⊥平面ABCD．因为M，N分别为棱PA，PC的中点，则MN//AC⊥BD，AC⊥PO，BD∩PO=O,BD,PO⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，MN⊥平面PBD，又DQ⊂平面PBD，所以MN⊥DQ．（2）（ⅰ）由题可知，DQ=λDB+因为M，N分别为棱PA，PC的中点，所以DM=12DQ=λ又因为D，M，Q，N四点共面，则有DQ=m于是可得λDA可得λ=解得λ=1（ⅱ）因为AB=2，PA所以tan∠PAO=POAO如图，以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B0,1,0，P0,0,BM=12,−1,1MQ=PQ−设平面BMN的法向量为u=则BM⋅u=12x−y+z=0,MN所以平面BMN的一个法向量为u=设平面QMN的法向量为v=则MQ⋅v=−12m+1所以平面QMN的一个法向量为v=设平面BMN与平面QMN的夹角为θ，则cosθ=u所以平面BMN与平面QMN夹角的余弦值为0．19．(1)a≥−1(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）通过分离参数并构造函数求导，利用导函数单调性与零点确定原函数最小值，进而解出参数范围；（2）（i）利用第(1)问结论对不等式变形，代入x=n（ii）利用函数单调性与极值点分布，通过分类讨论并构造差函数，结合导数判断单调性，利用单调性推出变量间大小关系.【详解】（1）函数fx的定义域为0,+∞，不等式令gx=x+x−2lnx，x∈令hx=1+lnx+1−2即函数g′x在区间又g′1=0，所以当x∈0,1时，当x∈1,+∞时，g′