2025-2026学年高二数学上学期期末模拟试题含解析人教B版

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教B版2019选择性必修第一册+第二册

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1．已知向量a2,1,2,bx,2,4，且a∥b，那么b（）

A．4B．6C．8D．34

【答案】B

【详解】因为a∥b，

x24

所以，解得x4，

212

2

所以b422426,

故选：B

2．哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿

活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A．60种B．120种C．240种D．480种

【答案】C

【详解】根据题意，分2步进行：

2

①将5名教师志愿者分为4组，有C510种分组方法，

4

②将分好的4组安排4个地点参加志愿活动，有A424种情况，

则有1024240种分配方案.

故选：C

3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据

（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程为yˆ7.8x40.2．

零件数x（个）12345

加工时间y（min）50677179

表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（）

A．55B．55.8

C．59D．51

【答案】D

12345

【详解】回归直线必过样本点中心x,y，其中x3，

5

所以y7.8340.263.6，

所以不清楚的数值为63.655067717951.

故选：D

4．某奥运会期间，旅客人数（万人）为随机变量X，则X:N30,22．记一天中旅客人数不少于26万人

的概率为p0，则p0的值约为（）

（参考数据：若XN,2，则PX0.6827，P2X20.9545，

P3X30.9973）

A．0.977B．0.972C．0.954D．0.683

【答案】A

【详解】XN30,22，30，2，

P26X34P2X20.9545，

10.9545

PX34PX20.02275，

2

p0PX26P26X34PX340.95450.022750.977250.977.

故选：A.

5．如图，在棱长为6的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，AB的中点，则异面直线BE，CF所成

角的余弦值为（）

1115

A．B．C．D．

6329

【答案】A

【详解】作AO平面BCD，垂足为O，连接OC，则O为△BCD的中心，

以O为坐标原点，直线OC，OA分别为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A0,0,26，B3,3,0，C0,23,0，D3,3,0，

333393353

所以E,,6，F,,6，BE,,6，CF,,6，

22222222

9

BECF1

设BE，CF所成的角为，所以coscosBE,CF2.

BECF33336

故选：A.

2222

6．已知圆C1:xy40与圆C2:xyax2y30aR的公共弦所在的直线与直线

l:2xay10平行，则两平行线间的距离为（）

212

A．B．C．D．2

422

【答案】C

【详解】圆C1与圆C2的方程相减得ax2y10，即为圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程，

由直线ax2y10与直线l平行，得22a2，解得a2，

当a2时，两直线方程均为2x2y10，此时两直线重合，故舍去；

当a2时，公共弦所在直线方程为2x2y10，即2x2y10，

直线l:2x2y10，两直线平行，

2222

此时圆C2:xy2x2y30，即C2:x1y15，即圆心C2(1,1)，半径r25，

22

圆C1:xy4的圆心C1(0,0)，半径r12，|C1C2|2(52,52)，符合题意，

112

所以a的值为2，此时两直线距离为.

22222

故选：C

x2y2

7．已知双曲线E:1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线E的右支交

a2b2

于A，B两点，若ABAF1，且双曲线E的离心率为2，则cosBAF1（）

37311

A．B．C．D．

8488

【答案】D

【详解】因为双曲线E的离心率为2，所以c2a，因为ABAF1，

所以BF2ABAF2AF1AF22a，

由双曲线的定义可得BF1BF2BF12a2a，

所以BF14a2BF2，

在BF1F2中，

222222

BF2F1F2BF14a8a16a2

由余弦定理得cosBF2F1，

2BF2F1F222a22a4

2

在AF1F2中，cosFFAcosFFB，

12124

设AF2m，则AF1m2a，

222

由AF1F1F2AF22F1F2AF2cosF1F2A

222

得2am22am2222am，

4

28a

解得ma，所以AF，

313

64a264a2

22216a2

AFABBF1

所以cosBAF1199.

12AFAB8a8a8

12

33

故选：D.

8．为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得

到如下数据（单位：只）：

发病未发病合计

使用药物104050

未使用药物302050

合计4060100

从该动物种群中任取1只，记事件A表示此动物发病，事件B表示此动物使用药物，定义A的优势

P(A)P(A∣B)

R1，在B发生的条件下A的优势R，则（）

1P(A)21P(A∣B)

RP(B∣A)3RP(A∣B)3

A．2可化简为，估计其值为B．2可化简为，估计其值为

R1P(B∣A)8R1P(A∣B)8

RP(AB)1RP(AB)1

C．2可化简为，估计其值为D．2可化简为，估计其值为

R1P(AB)3R1P(AB)3

【答案】A

R

【详解】1.化简2.

R1

PAP(AB)

已知R,R，

11PA21P(AB)

P(AB)

R1P(AB)

则2，

R1PA

1PA

PABPAB

由条件概率公式PAB,PAB，

PBPB

P(AB)PAB

1PA

R1P(AB)PAB1PAPB

所以2

R1PAPA1PABPAPAB

1

1PA1PB

PAB

PAB

PABPAPB

PAPBPABPBPAB

PA

PB

PABPABPBA

，

PAPABPBA

2.根据列联表计算概率

10304020

由列联表可知PAB,PAB,PAB,PAB，

100100100100

1040

PAB1PAB2

PBA100,PBA100，

PA404PA603

100100

1

PBA3

所以4.

PBA28

3

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．下列命题中，正确的命题是（）

A．已知PBA0.35,PB0.75，则PBA0.4

1

B．设随机变量服从N0,1，若P(1)p，则P(11)p

2

1

C．已知随机变量服从XBn,p，若EX50,DX40，则p

5

D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到29.850.依据0.01的独立性检验

2

（0.016.635），可判断X与Y不独立

【答案】ACD

【详解】对于A：

PBAPBPBA0.750.350.4，所以A正确；

对于B：

1

因为变量~N0,1，所以P112P102P112p，

2

所以B错误；

对于C：

根据二项分布的期望和方差公式可得，EXnp50,DXnp1p40，

1

解得p，所以C正确；

5

对于D：

22

独立性检验中，若统计量大于临界值0.016.635，则在0.01的显著性水平下，

可判断分类变量X与Y不独立，本题中29.8506.635，所以D正确.

故选：ACD.

10．已知抛物线C：x22py（p0）的焦点F到准线的距离为4，过F的直线与抛物线交于A，B两点，

M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（）

A．抛物线C的准线方程为y2

B．若AB16，则点M到x轴的距离为6

C．当3AFFB，则直线AB的倾斜角为30

D．4AFBF18

【答案】ABD

【详解】对于A，由题意可得p4，所以抛物线C:x28y，

p

所以抛物线C的准线方程为：y2，故A正确；

2

对于B，设Ax1,y1,Bx2,y2,Mx0,y0，

yy

由AByypyy416yy12，所以y126，

12121202

所以点M到x轴的距离为6，故B正确；

对于C，过点A,B分别作准线y2的垂线，垂足分别为A1,B1，

过点A作BB1的垂线，垂足为点H，由3AFFB，

设AFt，则BF3t，所以AA1AFt,BB1BF3t，

所以BH2t，在Rt△ABH中，有BAH30，此时直线AB的倾斜角为30，

根据抛物线的对称性有直线AB的倾斜角为30或150，故C错误；

对于D，设直线AB:ykx2，Ax1,y1,Bx2,y2，

ykx22

所以2x8kx160，

x8y

2

x2x2xx

所以，所以1212，

x1x216y1y24

888

1111yy4yy41

所以1212，

AFBFy12y22y1y22y1y2482y1y22

114AFBF4AFBF

所以4AFBF24AFBF2525218，

AFBFBFAFBFAF

4AFBF

当且仅当=，即BF2AF6时，等号成立，故D正确；

BFAF

故选：ABD.

11．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBCAA11，F是棱CC1的中点，P在底面A1B1C1

内（包括边界），则下列说法正确的是（）

63

A．PAPF的最小值为

2

1

B．当APBF时，点P的轨迹长度为

12

C．存在唯一P，使PAPF

3

D．若PAPF，则三棱锥PABF外接球的半径为

4

【答案】BCD

【详解】选项A：作F关于平面A1B1C1的对称点F1，

2

2

则317，

PAPFPAPF1AF12

22

17

所以PAPF的最小值为，故A项错误；

2

选项B：过点P作PPB1C1于P，则PB为PA在平面B1C1CB上的射影，

若要APB1F，只要PBB1F即可，

因为四边形BCC1B1为正方形，F是棱CC1的中点，且PBB1F，

所以PBB1BB1F90,C1B1FBB1F90，

所以PBB1C1B1F，又BB1B1C1，

≌

所以RtPBB1RtFC1B1，

1

所以PB1FC1，即P为B1C1的中点，又PPB1C1，

2

1

所以点P的轨迹△ABC的中位线，长度为，故B项正确；

1112

选项C：以B为原点，以BC，BA，BB1所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

1

则A(0,1,0)，F1,0,，设P(x,y,1)，

2

1

则PA(x,1y,1),PF1x,y,，

2

22

22111

所以PAPFxxyyxy0，

222

1

所以xy，即P为AC的中点，故C项正确；

211

选项D：因为PAPF，ABBF，所以三棱锥PABF外接球的直径为AF，

33

又AF，所以外接球的半径为，故D项正确．

24

故选：BCD

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

51

12．1的展开式中的系数是（用数字作答）

3x113

xx

【答案】5

555

111

【详解】因为3x113x11，

xxx

55r

11rr

又展开式的通项为rrr5，rÎ{0,1,2,3,4,5}，

1Tr1C51C5x1

xx

5

112

所以1的展开式中含的项为14233，

3x1133xC5x1C5x15x

xx

1

所以展开式中的系数是5.

x3

故答案为：5

13．有3个分别标有数字1,2,3的小球，从中有放回地随机取4次，每次取1个球．记X为这3个球中至少

被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)．

65

【答案】

27

【详解】依题意，X的可能取值为1,2,3，总的选取可能数为3481，

3

其中X1：即４次抽取同一球，选择球的编号有3种方式，故P(X1)；

81

X2：恰好两种不同球被取出；

21

情况一：一种球出现1次、另一种球出现３次，可能情况有A3A424种，

22

情况二：一种球出现2次、另一种球出现２次，可能情况有C3C418种，

241842

故P(X2)；

8181

X3：三种不同球被取出，则一种球出现1次、另一种球出现1次、第三种球出现２次，

A2A336

可能情况有4336种，故P(X3)；

281

3423665

所以E(X)1P(X1)2P(X2)3P(X3)123.

81818127

65

故答案为：

27

14．数学家笛卡尔通过研究一簇花瓣和叶形曲线特征，得到了一簇花瓣曲线的一般方程为：x3y33xy，

2

该方程表示的曲线C就是优美的“笛卡尔叶形线”，若某种花瓣曲线特征满足（如图），该花瓣曲线

3

上任意一点Pm，n，则mn的范围为．

2

【答案】,2

3

3

【详解】设mnt，则nmt，代入曲线方程得m3tm2mtm0，

232

即3t2mt3t2mt0，当3t20，即t时，得t30，矛盾；

3

2

当3t20即t时，

3

2

Δt23t243t2t3t23t22t0，

222

可得t2，又t，故t2，

333

2

所以mn2.

3

2

故答案为：,2

3

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

n2n

15．（13分）已知(3x2)a0a1xa2xanx，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大.

(1)求(3x2)n展开式的所有二项式系数之和；

aaa

(2)求12n的值；

3323n

(3)判断(3x2)n的展开式中第几项系数的绝对值最大.

【详解】（1）因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以n10，......................................................2分

所以展开式的所有二项式系数之和为2101024...........................................................................................4分

10

（2）令x0，得a0(02)1024............................................................................................................6分

10

1aaa1

令，得1210，

xa0321

33323103

aaa

所以12101023..........................................................................................................................8分

332310

10r10rr10r

（3）(3x2)展开式的通项Tr1C1032x.

Cr310r2rCr139r2r1,1722

由1010得.11分

r10rrr111rr1r............................................................................................

C1032C1032,55

因为r为整数，所以r4，所以(3x2)10的展开式中第5项系数的绝对值最大.................................13分

16．（15分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC2，AA122，BAC90，B1A平面ABC.

(1)求证：平面ACC1A1平面ABB1A1；

(2)求直线BC1与平面ACC1A1所成角的余弦值.

【详解】（1）因为BAC90，所以ACAB，

因为B1A平面ABC，AC在平面ABC内，

所以B1AAC，

因为BAB1AA，又都在平面ABB1A1内，

所以AC平面ABB1A1，..................................................................................................................................3分

又因为AC平面ACC1A1，

所以平面ACC1A1平面ABB1A1......................................................................................................................5分

（2）因为B1A平面ABC，平面ABC//平面A1B1C1，

所以B1A平面A1B1C1，A1B1在平面A1B1C1内，

所以B1AA1B1，

因为A1B1AB2，AA122，

所以AB12.

又由（1）知AB，AC，AB1两两垂直，.......................................................................................................6分

所以以A为坐标原点，AB，AC，AB1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

则A0,0,0，B2,0,0，C0,2,0，B10,0,2，

所以AA1BB12,0,2，AC0,2,0，BC2,2,0.........................................................................8分

nAA2x2z0

设平面的法向量为，则1，

ACC1A1nx,y,z

nAC2y0

令x1，则y0，z1，

所以n1,0,1为平面ACC1A1的一个法向量，............................................................................................10分

而BC1BB1B1C1BB1BC4,2,2.

设BC1与平面ACC1A1所成角为，

23

则sincosBC1,n，.......................................................................................................13分

2266

π

因为0,，

2

33

所以cos1sin2.........................................................................................................................15分

6

17．（15分）某兴趣小组为宣传传统非遗文化制定了两种宣传方法，为了解两种宣传方法的宣传效果，该小

组在人群中随机对84人进行了宣传（宣传前所有人均未了解过），其中42人采用宣传方法一，其余采用宣

传方法二，宣传后的人群对传统非遗文化的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现，采用

宣传方法一宣传后的人中有30人是“比较了解”，采用宣传方法二宣传后的人中有18人是“比较了解”.

(1)以频率估计概率，现给2人采用宣传方法一宣传传统非遗文化（宣传前均未了解过），记宣传后“比较

了解”的人数为X，求X的分布列和数学期望；

(2)列出22列联表，并依据0.01的独立性检验，是否可以认为宣传效果与宣传方法有关?

(3)若按照宣传方法进行分层抽样，从这84人中随机抽取14人，再从这14人中等可能依次抽取2人，求

在第一次抽到“有点了解”的人的情况下，第二次抽到采用宣传方法二宣传且了解程度为“有点了解”的

人的概率.

2

nadbc

附：2，nabcd.

abcdacbd

0.050.010.0050.001

xa3.8416.6357.87910.828

305

【详解】（1）依题意可得，采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率为，

427

5

所以XB2,，

7

225202

则24，1，525，3分

PX0PX1C2PX2....................................

7497749749

所以X的分布列为

X012

42025

P

494949

..............................................................................................................................................................................5分

510

则EX2..........................................................................................................................................6分

77

（2）由题意，22列联表如下：

了解程度

宣传方法合计

有点了解比较了解

方法一123042

方法二241842

合计364884

..............................................................................................................................................................................8分

零假设H0：宣传效果与宣传方法无关.

2

8412183024

经计算得276.635x，

424236480.01

所以依据0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，

即可以认为宣传效果与宣传方法有关，此推断犯错误的概率不超过0.01.............................................11分

12

（3）14人中，采用宣传方法一宣传且了解程度为“有点了解”的有72人，

42

24

采用宣传方法二宣传且了解程度为“有点了解”的有74人，

42

记事件A表示“第一次抽到‘有点了解’的人”，

事件B表示“第二次抽到采用宣传方法二宣传且了解程度为‘有点了解’的人”，

1111

243C2C4C4C310

则PA，PAB2，....................................................................................13分

147A1491

10

PAB10

所以PB|A91..................................................................................................................15分

PA339

7

18．（17分）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育

平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学

生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：40,50，50,60，60,70，…，90,100，统

计结果如下面的频数分布表所示．

组别40,5050,6060,7070,8080,9090,100

频数203040603020

(1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，

设这4人中来自前2组的人数为X，求X的分布列和期望．

2

(2)高一学生的这次化学成绩Z近似服从正态分布N,，其中近似为样本平均数x，近似为样本的

标准差s，并已求得s14.31．

（ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间56.19,99.12内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为

代表）．

（ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下：

方案1：每人均赠送25小时学习视频．

方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在56.19,84.81内

的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该

平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明．

参考数据：若XN,2，则PX0.6826，P2X20.9544．

91

【详解】（1）因为抽样比为，

20304010

11

所以从40,50中抽取202（人），从50,60中抽取303（人），

1010

1

从60,70中抽取404（人）．...............................................................................................................3分

10

则X的所有可能取值为0，1，2，3，4，

4031

C4C51C4C52010

PX04，PX14，

C9126C912663

C2C26010C1C34020

4545

PX24，PX34，

C912621C912663

04

C4C55

PX44，

C9126

故X的分布列为：

X01234

110205

P10

126632163126

..............................................................................................................................................................................6分

1101020520

∴EX01234．............................................................................8分

1266321631269

203040603020

（2）（ⅰ）x45556575859570.5，s14.31，10分

200200200200200200

所以56.19，84.81，299.12，241.88．

所以

1

P(56.19Z99.12)P(Z2)P(2Z2)

2

10.95440.6826

P(Z)0.8185．...............................................................................12分

222

（ⅱ）对于方案2：设每位学生所获赠学习视频小时数为Y，则可取40,30,10．

1

PY40PZ56.19PZ1