云南省楚雄州2025-2026学年高二数学上学期期末教育学业质量监测试题含解析

2025-2026学年高二数学上学期期末教育学业质量监测试题

一、单选题

1．在空间直角坐标系Oxyz中，点P3,4,6到平面Oxy的距离为（）

A．5B．6C．7D．26

5

2．（）

43i

5

A．1B．5C．5D．

5

3．数列an满足a12,an1an6，则a77（）

A．1B．2C．3D．6

1

4．若椭圆x2my21的一个焦点坐标为0,，则m（）

2

3544

A．B．C．D．

4435

5．已知Aa,b，直线l:axby20，圆O:x2y22，则“点A在圆O外”是“直线l与圆O相交”的

（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6．已知A(1,-1),B为直线l:2xy50上的动点，C为AB的中点，记C的轨迹为E，则E的方程为

（）

A．2xy10B．2xy30

C．2xy20D．2xy10

logax1010a,x10,*

7．已知函数fx2数列an满足anfn,nN，若an为递增数列，则a的取

x2ax20,x10,

值范围为（）

19

A．1,10B．(1,12)C．,12D．10,12

2

2π

8．在长方形ABCD中，AB2,AD1，将△ABD沿BD所在直线进行翻折，二面角ABDC为，则AC

3

（）

4595105

A．B．35C．D．

555

二、多选题

9．下列说法正确的有（）

A．命题p：对任意，都有2，则p的否定：存在，使得2

xRx1xx0Rx01x0

B．函数fxax11(a0且a1)的图象恒过定点1,0

C．集合x∣x3x0的子集有4个

1

D．“a1”是“a≥2”的充分不必要条件

a

S

10．已知数列a的前n项和为S,n是以2为公差，13为首项的等差数列，则（）

nnn

A．S444

B．a815

C．an是公差为2的等差数列

D．SnS4

2

11．设P是抛物线C:y8xy0上的动点，F是C的焦点，A4,4,B2,0，则（）

A．tanPBFsinPFB

π

B．PBF的最大值为

3

C．APPF的最小值为6

PF

D．的最小值为2

PB2

三、填空题

1

12．甲､乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是，甲队获胜的概率是1，则乙队两场

62

友谊赛只获胜一场的概率为.

13．A1,1,1是直线l上一点，a1,1,0是直线l的一个方向向量，则点P2,1,1到直线l的距离

是.

x2y2

14．已知O为坐标原点，F1,F2分别为双曲线C:1a0,b0的左､右焦点，以OF2为直径的圆在

a2b2

第一象限与C交于点P，延长F2P与C的另一个交点为Q，若P为QF2的中点，则双曲线C的离心率

为.

四、解答题

15．ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知bsin2CcsinB.

(1)求C；

(2)若ABC的面积为23,ab3c，求ABC的周长.

16．已知圆C经过A1,1,B1,5两点，且圆心C在直线2xy10上.

(1)求圆C的方程；

(2)已知圆D:(x3)2(y1)28，判断圆C与圆D的位置关系，并写出一条圆C与圆D的公切线方程.

17．记Sn为等差数列an的前n项和，已知a28,S110.

(1)求数列an和Sn的通项公式；

(2)求数列an的前n项和Tn.

18．如图，在五棱锥PABCDE中，平面PAE平面ABCDE,EABAED90.

(1)证明：ABPE.

(2)已知AE33,DE13,BC2AB4,ABC120,PAAE,PA2，且点P,B,C,D均在球O的球面

上.

（i）证明：点O在平面ABCDE内.

（ii）求直线AC与PO所成角的余弦值.

19．在平面直角坐标系xOy中，过点A2,0,B2,0的两条直线SA与直线SB的斜率分别为k1,k2，且

1

kk，记动点S的轨迹为曲线C.

124

(1)求C的方程.

(2)已知D是线段AB上一点（异于A,B），过点D的直线l与C交于M,N两点，直线BM,BN分别交直线

x3于E,F两点.

（i）若点D在x轴的正半轴上，则是否存在直线l，使得BMN的面积是△BEF面积的4倍？说明理由.

（ii）是否存在点D，使得MENF为定值？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

题号12345678910

答案BABDCDCDABDBD

题号11

答案ACD

1．B

【详解】因为P3,4,6，所以点P到平面Oxy的距离为6.

故选：B.

2．A

22

5543i4343

【详解】i1，

43i43i43i5555

故选：A.

3．B

【详解】由a12,an1an6，所以an2an16，两个式子相除得an2an，

所以数列an是以2为周期的周期数列，且773821，所以a77a12.

故选：B

4．D

111

【详解】因为椭圆x2my21的一个焦点坐标为0,，所以a2,b21,c，

2m2

114

则c2a2b21，解得m.

m45

故选：D.

5．C

【详解】圆O:x2y22的圆心为0,0，半径为2.

点A在圆O外等价于a2b22；

2

直线l与圆O相交等价于2，即a2b22.

a2b2

故“点A在圆O外”是“直线l与圆O相交”的充要条件.

故选：C

6．D

ìx+1

ï=0

xì=-

ï2ïx02x1

【详解】设Cx,y，Bx0,y0，因为C为AB的中点，所以í，所以í

ïy-1îïy=2y+1

ïy=00

î2

所以B(2x-1,2y+1)，由点B在直线l:2xy50上，得2(2x-1)-(2y+1)+5=0，

化简得2xy10，故E的方程为2xy10.

故选：D

7．C

*2

【详解】由题意得nN，则有n10时，anf(n)n2an20，

当n11时，anf(n)loga(n10)10a，

因为{an}为递增数列，

设g(n)n22an20，

当n{1,2,,10}时，数列an单调递增，

则有g(n1)g(n)0，且1n10,1n110,

2

即n12an120(n22an20)0，1≤n≤9，

119

整理得an，因为1≤n≤9，所以a，

22

设h(n)loga(n10)10a，易得a1时h(n)单调递增，

2

且有a11a10，即h(11)g(10)，1020a20loga(1110)10a，解得a12，

19

综上，a的取值范围是,12，

2

故选：C.

8．D

【详解】由题意得：

过点A作AFBD，垂足为F，过点C作CGBD，垂足为G，如下图：

2ππ

因为二面角ABDC为，则异面直线AF与CG的夹角为，

33

π252535

即AF与GC的夹角为，易得AF,GC,FG，

3555

因为ACAFFGGC，且AFFG0,GCFG0，

2222

则AC(AFFGGC)2AFFGGC2AFGC，

24942525121105

即AC2，解得AC，

55555255

故选：D.

9．ABD

【详解】p的否定：存在，使得2，A正确；

x0Rx01x0

当x1时，f10，函数fxax11(a0且a1)的图象恒过定点1,0，B正确；

3

集合x∣xx01,0,1有三个元素，故有238个子集，C错误；

11

当a1时，a2a2，当且仅当a1取等号，即充分性满足，

aa

11

当a≥2时，取a，即必要性不满足，

a2

1

所以“a1”是“a≥2”的充分不必要条件，D正确.

a

故选：ABD.

10．BD

SS

【详解】因为n是以2为公差，13为首项的等差数列，所以n132n1152n，

nn

2

则Sn2n15n，故S4326028，所以A错误；

22

当n1时，a113，当n2时，anSnSn12n15n[2(n1)15(n1)]4n17，

因为a113也满足上式，且an4n17,an1an4，所以an是公差为4的等差数列，

且a8481715，所以B正确，C错误.

17

令an0，即4n170，解得n，即数列an的前4项为正数，自第5项以后都是负数，所以SS，

4n4

故D正确.

故选：BD.

11．ACD

【详解】对于A：由题可知C的焦点F的坐标为2,0，准线为直线x2，

设Px,yy0，则PFx2.

过点P作PNx轴，垂足为N，

PNyPNy

则tanPBF，sinPFBtanPBF，

BNx2PFx2

故A正确.

对于B：因为y28xy0，所以y22x，

y22x22

tanPBF

所以2，

x2x2x

x

222

因为x2x22，当且仅当x，即x2时，等号成立，

xxx

22

tanPBF1π

所以2，所以0PBF，故B错误.

x4

x

对于C：过点P作准线的垂线PM，垂足为M，所以PFPM，

所以APPFAPPM426，当且仅当A、P、M三点共线时取等号，

所以APPF的最小值为6，故C正确.

对于D：由tanPBFsinPFB，可得PFBN，

PFBNπ

所以cosPBN，且0PBF，

PBPB4

PFπ2

所以cosPBNcos，故D正确.

PB42

故选：ACD

4

12．

9

111

【详解】因为乙队每场比赛获胜的概率为1，

263

12214

所以乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为.

33339

4

故答案为：.

9

13．2

2

【详解】因为AP21,11,111,2,0，

AP1222025，

222

a1,1,01102，

AP·a1121003，

22

2APa232

所以点P2,1,1到直线的距离是.

lAP5

a22

故答案为：2.

2

14．13

【详解】因为点P是以OF2为直径的圆在第一象限与C的交点，则有OPPF2，

因为OP是F1QF2的中位线，所以OP//F1Q，又OPPF2，所以QF1QF2.

由题意得点P在双曲线C的右支上.由PF1PF22a，令PF2m，则PF1m2a，

又P为QF2的中点，则点Q在双曲线C的左支上.

因为QF2F1Q2a，且P是QF2的中点，

所以QF22PF22m，所以QF12m2a.

222

在Rt△QF1P中，由勾股定理可得PF1F1Q|PQ|，

即(m2a)2(2m2a)2m2，整理可得m3a.

222

在RtQF1F2，由勾股定理可得F1F2F1QQF2，

即(2c)2(2m2a)2(2m)2，化简得c22m22maa2，

c

又m3a，所以c13a，则e13.

a

故答案为：13.

π

15．(1)C

3

(2)236

【详解】（1）因为bsin2CcsinB，

sinBsin2CsinCsinB，

故2sinBsinCcosCsinCsinB，

因为0Cπ,0Bπ，所以sinB0,sinC0，

1

所以cosC，

2

π

故C.

3

1

（2）因为ABC的面积为absinC23，所以ab8.

2

又c2a2b22abcosC，所以c2(ab)22ab2abcosC，

(ab)2

则(ab)2168，解得ab6，

3

ab

所以c23，

3

所以ABC的周长为236.

16．(1)(x1)2(y3)28

(2)圆C与圆D外切，yx.

【详解】（1）由题可知直线AB的方程为x1，

AB中点的坐标为1,3，

线段AB的中垂线方程为y=3，所以圆心C在直线y=3上，

又圆心C在直线2xy10上，所以直线y=3与直线2xy10的交点就是圆心C.

y3,x1,

由得即C1,3.

2xy10,y3,

又AC(11)2(31)222，

所以圆C的方程为(x1)2(y3)28.

（2）由题可知C1,3,D3,1，

所以CD(13)2(31)242，

两个圆的半径之和为222242，

所以圆C与圆D外切，

所以圆C与圆D有三条公切线，设其中有斜率的公切线方程为ykxb，

k3b3k1b

由圆心到切线的距离等于半径，得22，

1k21k2

k1,k1,k1,

解得或或

b0b2b6,

所以公切线的方程为yx或yx2或yx6，

故其中一条公切线方程为：yx.（也可答另外两条中的其中一条）

2

17．(1)an2n12，Snn11n

n211n,n6

(2)T

n2

n11n60,n6

【详解】（1）设等差数列an的公差为d，

由题意得S1111a155d0，a2a1d8，

11a155d0a10

联立，解得1，

a1d8d2

则an10(n1)22n12，故an2n12，

n(aa)n(102n12)

且S1nn211n，故Sn211n.

n22n

（2）由（1）得an2n12，

**

当n6且nN时，an0，当n6且nN时，an0，

*2

当n6且nN时，Tn(a1a2an)Snn11n，

*

当n6且nN时，Tn(a1a2a6)(a7a8an)，

2

即Tn(a1a2an)2(a1a2a6)n11n60，

n211n,n6

综上，T.

n2

n11n60,n6

18．(1)证明见解析

(2)（i）证明见解析；（ii）37

14

【详解】（1）证明：因为平面PAE平面ABCDE，平面PAE平面ABCDEAE，

且ABAE，AB平面ABCDE，所以AB平面PAE.

又PE平面PAE，所以ABPE.

（2）（i）证明：以A为坐标原点，AB,AE,AP所在直线分别为x轴､y轴､z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，过点C作CGx轴，垂足为G.

因为ABC120，所以CBG60，

又BC4，所以BG2,CG23，则A0,0,0,B2,0,0，

D13,33,0,P0,0,2,C4,23,0.

设Ox,y,z，球O的半径为r，

2

OPx2y2(z2)2r2,

22222

OB(x2)yzr,

则

2

OC(x4)2(y23)2z2r2,

22222

OD(x13)(y33)zr,

解得x0,y23,z0,r4.

故点O0,23,0在平面ABCDE内.

（ii）解：由（i）可知AC4,23,0,PO0,23,2，

ACPO1237

cosAC,PO，

ACPO27414

37

所以直线AC与PO所成角的余弦值为.

14

x2

19．(1)y21且x2

4

6

(2)（i）不存在，理由见解析（ii）存在，点D的坐标为,0或35,0

5

yy1

【详解】（1）由题意，设Sx,y，则kk，

12x2x24

x2

化简得y21且x2，

4

x2

所以C的方程为y21且x2.

4

（2）

（i）设Mx1,y1,Nx2,y2,Dt,0，直线l:xmyt.

xmyt

由2，得22，

x2(myt)4y40

y1

4

2

2222mtt4

即m4y2mtyt40，则y1y22,y1y22，

m4m4

22

8t4tm

xxmytmyt,xxmytmyt，

1212m241212m24

1

SBMBNsinMBNBMBN2x2x

BMN2