初中数学专题《网格中的正弦》含答案

初中专题14网格中的正弦【小题热身】1．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（） B．C． D．2．如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值等于（） B．C． D．3．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠BAC的值为（） B．C．2 D．4．如图，的三个顶点都在边长为1的格点图上，则的值为（） B．C． D．5．如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，格点A、B、C、D都在同一个圆上，则的值为（） B．C． D．6．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在网格的交点处，则的正弦值为（） B．C． D．7．如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则的值为（） B．C． D．无法求得8．如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（） B．C． D．9．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为（） B．C． D．【磨刀霍霍】10．在正方形网格中，每个小正方形网格边长为1，格点A、B、C的位置如图所示，则sin∠ABC的值是_______．11．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点处，则的正弦值为______．12．如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则sinA的值为_______．13．如图是由六个全等的菱形组成的网格图，菱形的顶点称为格点，A、O、B、C均在格点上，当菱形的边长为1且时，则有______；_______．14．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正弦值是__．15．如图，的顶点都在正方形网格纸的格点上，则__________．16．如图，是由10个小正三角形构造成的网格图（每个小正三角形的边长均为1），则sin（α+β）＝__．17．在每个小正方形的边长为的网格中，有等腰三角形，点都在格点上，点为线段上的动点.(Ⅰ)的长度等于_____；(Ⅱ)当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的(不要求证明)___________.18．如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为6，△ABC的顶点都在格点．（1）求每个小矩形的长与宽；（2）在矩形网格中找一格点E，使△ABE为直角三角形，求出所有满足条件的线段AE的长度．（3）求sin∠BAC的值．初中专题14网格中的正弦【小题热身】1．如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据勾股定理列式求出，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．【详解】解：由勾股定理得，，所以，．故选：．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2．如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据网格的特点求得的长，根据勾股定理的逆定理判断是，进而根据正弦的定义求得sin∠ABC的值．【详解】∵AB＝，BC＝，AC＝，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°．∴sin∠ABC＝．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，正弦的定义，求得为是解题的关键．3．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠BAC的值为（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理分别求出AC、AB，根据三角形的面积公式求出CD，根据正弦的定义计算即可．【详解】解：作CD⊥AB于D，

由图形可知BC=2，

由勾股定理得，AC=，AB=，

由三角形的面积公式可得，×2×3=××CD，

解得，CD=，

∴sin∠BAC==，

故选：D．【点睛】本题考查的是解直角三角形、勾股定理，掌握正弦的定义、灵活运用三角形的面积公式是解题的关键．4．如图，的三个顶点都在边长为1的格点图上，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据网格的特点，找到点所在网格的顶点，连接，通过勾股定理的逆定理判断是直角三角形，进而根据正弦的定义求得的值．【详解】如图，连接，根据网格的特点可知：，，是直角三角形，，，故选B【点睛】本题考查了求一角的正弦，网格中证明三角形是直角三角形，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，证明是是直角三角形解题的关键．5．如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，格点A、B、C、D都在同一个圆上，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据圆周角的推论得出，再利用勾股定理计算AC即可得出结果【详解】连接AD、DC、AC由题意可知：∠ADC=90°∵∠AED=∠DCA∴在Rt△ADC中，∵故选：C【点睛】本题考查正弦值的计算、勾股定理、同弧所对的圆周角相等、熟练掌握圆周角的推论是关键6．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在网格的交点处，则的正弦值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据表格可知，连接AD，则，利用正弦的定义即可求解．【详解】解：根据表格可知，连接AD，则，∴，故选：D．【点睛】本题考查勾股定理、求角的正弦值，从网格图中找出直角三角形是解题的关键．7．如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则的值为（）A． B． C． D．无法求得【答案】B【分析】过A作AD⊥BC于D，利用面积法可求得BC边上的高，从而在Rt△ADC中，根据正弦的定义即可求得结果．【详解】如图，过A作AD⊥BC于D点在Rt△BCE中，∴AC=BC=∴CH⊥AB，且CH=3∵∴在Rt△ADC中，故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，关键是利用面积相等求出边BC上的高．8．如图，的顶点在正方形网格的格点上，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，先利用图中格点，求出AC、AB的长及△ABC的面积，再利用三角形的面积求出BD的长，最后在直角三角形ABD中求出∠A的正弦值．【详解】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D．则：AB，AC．∵S△ABC＝4×52×31×53×4．又∵S△ABCAC×BD，∴BD．∴sinA．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积及直角三角形的边角间关系，利用三角形的面积求出AC边上的高是解决本题的关键．9．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造平行线,把∠APC迁移到∠FAB位置上,计算AB,AF，证明△ABF是直角三角形，根据三角函数计算即可【详解】如图，取点F，则AF=，AB=5，BF=∵tan∠FAC=2，tan∠DCM=2，∴∠FAC=∠DCM,∴AF∥DC，∴∠FAB=∠APC,∵∴,∴△ABF是直角三角形，∴sin∠FAB==,∴sin∠APC=,故选：D.【点睛】本题考查了网格上三角函数的计算，灵活选择计算方式，巧用勾股定理的逆定理，准确选择三角函数是解题的关键．【磨刀霍霍】10．在正方形网格中，每个小正方形网格边长为1，格点A、B、C的位置如图所示，则sin∠ABC的值是_______．【答案】【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，利用勾股定理求出AB、BC长度，利用三角形面积公式求出CD，再根据正弦函数的定义即可求解．【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据勾股定理可得：，，，解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的知识；熟练掌握锐角三角函数的概念和勾股定理是解题的关键．11．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点处，则的正弦值为______．【答案】##【分析】根据网格的特点先计算的长度，进而可得是等腰三角形，找到的中点，连接，在中即可求得的值，即的正弦值．【详解】如图，在中．故答案为：【点睛】本题考查了网格与勾股定理，等腰三角形的性质，正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．12．如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则sinA的值为_______．【答案】．【分析】过点C作CD⊥AB交于点D，构造出Rt△ACD，利用△ABC面积相等计算出CD的值，即可在Rt△ACD求出sinA的值．【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥AB交于点D，设每个小正方形的边长为1，则：BC＝4，AE＝3，AB＝＝，AC＝，∵，∴CD＝4×3＝12，∴CD＝，在Rt△ADC中，sinA＝＝＝，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，根据题意结合图形合理作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．13．如图是由六个全等的菱形组成的网格图，菱形的顶点称为格点，A、O、B、C均在格点上，当菱形的边长为1且时，则有______；_______．【答案】【分析】过点A作于点D，在中，，利用勾股定理，三角函数定义求解即可.【详解】解：如图，过点A作于点D，由题意可知，，在中，，∴，，∴，∴在中，．由题意可知，菱形对边平行，所以，∴，故答案为：；．【点睛】本题考查了直角三角形的构造，勾股定理的应用，三角函数的应用，菱形的性质应用，求解三角函数正余弦值，掌握三角函数的定义是解题的关键.14．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正弦值是__．【答案】【分析】如图，连接BE，过点E作EF⊥AB于点F，证明再利用勾股定理及等面积法求解从而可得答案．【详解】解：如图，连接BE，过点E作EF⊥AB于点F．∵BD∥CE．BD＝CE．∴四边形DBEC是平行四边形．∴BE∥DC．∴∠ABE＝∠AOC．∵，．∴．在Rt△BEF中，∵，∴sin∠AOC＝．故答案为：．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，求解锐角的正弦，掌握构造直角三角形求解锐角的正弦是解题的关键．15．如图，的顶点都在正方形网格纸的格点上，则__________．【答案】【分析】在网格中找到格点M，证明CM平分∠ACB，再求∠ACM的正弦值即可．【详解】解：如图：连接格点MA，由图可知，∠MAC=90°，作MN⊥BC，垂足为N，连接BM，，，，，∵，∴，∴MN=，∴MN=AM，∴∠ACM=，；故答案为：【点睛】本题考查了求锐角的三角函数值，勾股定理，解题关键是找到恰当的网格点，平分∠ACB，并且能够构建直角三角形，求三角函数值．16．如图，是由10个小正三角形构造成的网格图（每个小正三角形的边长均为1），则sin（α+β）＝__．【答案】．【分析】连接BC,构造直角三角形ABC,由正三角形及菱形的对角线平分对角的性质,得出∠BCD=α=30°,∠ABC=90°,从而α+β=∠ACB,分别求出△ABC的边长，【详解】如图,连接BC,∵上图是由10个小正三角形构造成的网格图,∴任意相邻两个小正三角形都组成一个菱形,∴∠BCD＝α＝30°,∠ABC＝90°,∴α+β＝∠ACB,∵每个小正三角形的边长均为1,∴AB＝2,在Rt△DBC中,,∴BC＝,∴在Rt△ABC中,AC＝,∴sin（α+β）＝sin∠ACB＝,故答案为:．【点睛】本题考查了构造直角三角形求三角函数值,解决本题的关键是要正确作出辅助线,明确正弦函数的定义.17．在每个小正方形的边长为的网格中，有等腰三角形，点都在格点上，点为线段上的动点.(Ⅰ)的长度等于_____；(Ⅱ)当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的(不要求证明)___________.【答案】取格点，连接交于点.【解析】【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求出AC的长即可；（Ⅱ）由网格可知sin∠ACB=，在网格中可找出点A关于BC的对称点E，取格点G，连接CG可得CG⊥AC，取格点F，连接EF，使EF//CG，交AC于H，交BC于D，可得EH⊥AC，DH=DC，根据轴对称性质可知DE=AD，即可得出AD+DC=EH为最小值，点D即为所求.【详解】(Ⅰ)AC==5，故答案为5.(Ⅱ)如图，由网格可知sin∠ACB=，根据网格取格点E为点A关于BC的对称点，取格点G，连接CG，可得CG⊥AC，取格点F，连接EF，使EF//CG，交AC于H，交BC于D，∴EH⊥AC，∴DH=DC，∵点E为点A关于BC的对称点，∴AD=DE，∴AD+DC=DE+DH=EH，为最小值.∴点D即为所求.故答案为取格点，连接交于点.【点睛】本题考查网格的性质、轴对称——最短路径及锐角三角函数的定义，根据网格得出sin∠ACB=是解题关键.三、解答题18．如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为6，△ABC的顶