21.3《特殊的平行四边形》复习题-最值模型之逆等线模型（含答案）八年级数学下册人教版

21.3《特殊的平行四边形》复习题--最值模型之逆等线模型一、单选题1．如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为（

）A．4 B． C． D．62．如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是BC，CD边上的动点，并且满足，则的最小值为（

）A．6 B． C． D．二、填空题3．如图，在边长为5的菱形中，，，分别是，上的动点，，连接，，则的最小值为．4．如图，正方形边长为3，点，分别是边，上的动点且，作于点，则的最小值是．5．如图，正方形的边长为6，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为．6．如图，在边长为8的菱形中，点为边上的动点，且，连接，若菱形面积为，则的最小值为．7．如图，在平面直角坐标系中，是矩形的顶点，点在边上、点在边上，且，当最小时，点坐标为_______．8．如图，矩形中，，，点F是矩形内部一个动点，E在上，且，当时，则的最小值为．9．如图，在矩形中，，点、分别是、上的动点，，连接、，则的最小值为．10．在边长为的正方形中，点分别是上的动点，且，则的最小值为．11．菱形中、，，、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为．12．如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线BD上一动点，且，则的最小值为．13．如图，已知正方形的边长为6，O为对角线的交点，，分别是边，上的动点，且，连接，．（1）若射线，则；（2）的最小值为．三、解答题14．菱形中，F是对角线上一动点，E为射线上一动点，．(1)如图1，点E在点D右边，当时，与的大小关系为________；________度．(2)如图2，若点B，E，F三点共线，且于E，四边形和∆BCF面积分别记为，，，求．(3)如图3，若，求当________度时，的最小，最小值是________．15．【问题探究】(1)如图，在矩形中，点分别在边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长；(2)如图，在菱形中，连接，点分别是边上的动点，连接，点分别是的中点，若，，求的最小值；(3)【问题解决】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，为菜地内一动点，且，为的中点，点分别为边上的动点，在改造的过程中始终要满足，为的中点，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值．16．问题提出（1）如图1，在矩形中，，点P是矩形内一动点，且，则的最小值为______；问题探究（2）如图2，在菱形中，，E，F分别是边上的两个动点，且，连接，求证：；问题解决（3）如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园，其中米，，．根据要求，现计划给该花园修建两条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为点D，出口E、F分别设在边和边上，且，为了节省成本，要求绿色长廊之和最短，试求的最小值．（长廊宽度忽略不计）17.【问题呈现】小明在做一道数学题时遇到了一个问题：如图①，在等腰直角∆ABC中，，，分别是边上的两个动点，，连结，试探究的最小值．【问题分析】小明通过构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题，利用三点共线，将上述问题解决．【问题解决】如图②，过点作，且，连结；在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：（1）证明：；（2）的最小值为____________．【方法运用】如图③，在菱形中，，分别是边上的两个动点，．连结，则的最小值为__________．【拓展迁移】如图④，在等边∆ABC中，是高，点在线段上，点在边上，，连结，若，则的最小值为__________．参考答案一、单选题1．A解：连接，作点A关于的对称点H，连接，交于N，连接，如图所示：∵四边形为菱形，∴，，∴，∵，∴∴，∴∆ABC是等边三角形，∵点A，点H关于对称，∴，，∴，又∵∆ABC是等边三角形，∴，，∴，∵，，∴，又∵∴，∴，∴，∴当点F，点D，点H三点共线时，的最小值为的长，∵，∴，∵，∴，∴，即的最小值为4．故选：A．2．C解：连接DE，根据正方形的性质及BE=CF，∴DF=CE，AD=CD，∴△DCE≌△ADF（SAS），∴DE=AF，∴AE+AF=AE+DE，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，则AE=A′E，即AE+AF=AE+DE=A'E+DE，当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，AA′=2AB=4，此时，在Rt△ADA′中，DA′=，故AE+AF的最小值为．故选：C．二、填空题3．解：如图，过点作，使，连接，，则，．∵菱形的边长为5，∴．∵，∴．∴．∴．∴．在和中，，∴．∴．∴．即．∴的最小值为．故答案为：．4．解：如图，延长交的延长线于，连接，∵正方形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，当三点共线时最短，∵正方形边长为3，∴，而，∴的最小值为：；故答案为：5．解：延长，使得，连接，，，过点O作于点H，如图所示：∵四边形为正方形，∴，，，∴，∵O为的中点，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴垂直平分，∴，∴，∴当、E、G三点共线时，最小，即最小，∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴最小值为．故答案为：．6．解：作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，，，则，，，∵，∴，∵，，∴，解得：，∴，，在和中，∴（），∴，∴，∴当点E在线段上时，取得最小值．故答案为：．7．解：连接，取点关于对称点，连接，，与交于D/，∵矩形中，∴，，又∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵点是点关于对称点，∴，，点，∴，∴当、、三点在同一直线上时，最小，即与重合，∵，，∴直线解析式为，当时，，即当最小时，点坐标为．故答案为．8．解：如图，在上截取，连接，，在和中，，∴，∴，∴，当且仅当C、F、G三点共线时取等号，∵，，∴，∵，∴，∵四边形是矩形，，∴，，在中，，∴的最小值为，故答案为：．9．17解：在的延长线上取一点，是，连接，，如图所示：四边形是矩形，且，，，，，，在和中，，，，，当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得：，的最小值为线段的长，当点，，共线时，的值为最小，最小值为线段的长，在中，，，由勾股定理得：，的最小值是17．故答案为：17．10．解：如图，延长至，使得，连接，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴当三点共线时，最小，即有最小值为长，如图，∴，∴最小值为，故答案为：．11．解：在的下方作，使，连接，如图所示：∵四边形是菱形，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∵，即，∴的最小值为,故答案为：．12．解：延长到，使，连接，，四边形是矩形，∴，，，．．，，．，，当点、、共线时，最小，最小值为的长．最小值为．∵∠BAD=90∘，．在Rt∆GDC中，，，．最小值为．故答案为：．13．解：（1）延长交于点，作于点，∵正方形，∴，，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵正方形，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴；（2）解：延长交于点，延长，使得，连接，，，过点O作于点H，如图所示：由（1）得，∴，，∵，∴，∵四边形为正方形，∴，，，∴，∵O为的中点，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴垂直平分，∴，∴，∴当、F、G三点共线时，最小，即最小，∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴最小值为．故答案为：．三、解答题14．（1）解：∵菱形，∴∆BCF和∆CDF关于对称，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，即．∴．故答案为：=；116．（2）解：在中，，如图：连接，由对称性可知：，设，则：，在中，由勾股定理，得：，解得：，∴，由（1）可知，．∴．（3）解：如图：过点D作，截取，连接．∵菱形，∴，∵，∴为等边三角形，即，∵菱形，∴垂直平分，∴，∵，∴．在和中，，∴．∴．由于B、G两点为定点，E为动点，当点E在线段上时，最小，即最小．∵，∴，又∵，∴为等腰直角三角形，∴，当最小时，．故答案为：75；．15．（1）解：如图，∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴的长为；（2）解：如图，连接，连接，与交于点，∵点分别是的中点，∴是中位线，∴，∴当时，最小，从而最小，如图，∵四边形是菱形，∴，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即最小值为，∴的最小值为；（3）解：如图，取的中点，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，，∵四边形是正方形，∴，，米，∵，，∴，，∴，四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴，米，∴，，∴，即，∵，∴，∴（米），∵，，，∴，∴，∴，∴三点共线，且时，最小，即长，如图，∴，∵，∴，∴，由勾股定理得：，∴，∴，∵为的中点，米，∴米，∴米，∴米，∴（米），∴（米），∴灌溉水渠总长度的最小值为米．16．（1）解：连接，∵四边形是矩形，∴，，∴，∵，∴点P到的距离相等，∴点P在线段的垂直平分线上，∴∴，当点共线时取得最小值，此时，即的最小值为；故答案为：（2）∵四边形是菱形，∴，，∵，∴∆ABC是等边三角形，∠BCD=180∘-∠B=120∘，∴，，∴∠ACF=∠B=60∘，又∵，∴，∴；（3）∵，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，连接，

∵，∴，∵，∴，∴，∴，延长到点G，使得，连接，，∵，∴点D和点G关于成轴对称，∴，∴，∵，当点C、E、G三点共线时，取得最小值，即是的长，在中，，∴，即的最小值为，∴的最小值为．17.（1）证明：∵过点作，使，连接．∴．∵，∴