2025-2026学年下学期福建省厦门一中高一数学4月期中试卷（含答案）

福建省厦门第一中学2025-2026学年度第二学期期中考试高一年数学试卷满分:150分考试时间:120分钟注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的多少倍A.9B.27C.81D.7292.如图所示，已知正方形O′A′BA.4B.8C.22D.3.已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.复数12+A.-1B.1C.-iD.i5.已知向量a=1,3,b=3，且向量a在向量bA.1B.2C.7D.19(第6题图)6.如图,O1和O分别为圆台上下底面中心,且O1O=3,在轴截面ABB1A1中,A.6πB.9πC.10πD.11π7.在△ABC中,AB=AC,D是AC中点,中线BD=A.3B.4C.6D.88.如图，点C在以AB为直径的圆上，其中AB=10，过A向点C处的切线作垂线，垂足为P,则AC(第8题图)A.9B.16C.25D.36二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.(第9题图)9.如图,正四棱台ABCD−AA.A1D和BC1异面B.BB1C.平面A1BD//平面CC1D1D.平面10.一货轮在A处,测得灯塔S在它的北偏东30∘方向,之后它以每小时24nmile的速度继续沿正北方向匀速航行,40分钟后到达B处,此时测得货轮与灯塔S相距82nmile,则灯塔S可能在A.北偏东15∘方向B.南偏东15∘C.北偏东75∘方向D.南偏东75∘11.满足下列条件的四面体存在的是A.1条棱长为3，其余5条棱长均为1B.1条棱长为1,其余5条棱长均为1C.2条棱长为3，其余4条棱长均为1D.2条棱长为1，其余4条棱长均为√3三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知i是虚数单位，3-2i是关于x的方程x2+ax+b=0(其中13.某校学生兴趣小组想要测量校内一座雕像的高度,他们选取与雕像底部O在同一平面内的三个在一条直线上的测量基点A,B,C，且在A,B,C处测得雕像顶点P的仰角分别为π6，π4，π3(第13题图)(第13题图)14.蜜蜂将巢造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性，小明作出它的部分平面图(三个全等的正六边形)，若AL=xAB+yAF，则x+y=四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在复平面内,复数z对应的点为Zm(1)若z为纯虚数，求m的值；(2)设O为坐标原点，A为虚轴负半轴上任意一点，若向量OA与OZ的夹角为锐角，求m的取值范围.16.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1(1)求证:C1E//平面(2)求点B到平面C1DE17.现有一几何体由上,下两部分组成,上部是正四棱锥P−A1B1C1D1,下部是正四棱柱ABCD(1)若AB=6(2)若正四棱锥的侧面是正三角形①求正四棱锥P−A②若Q,N分别是线段A1B1,18.在通用技术课上,老师给同学们提供了一个如图所示的木质四棱锥模型E−ABCD,△ABD为正三角形,BC=CD(1)求证:DM//平面BCE(2)过点M,D,C的平面α交EB于点N，沿平面α①在木料表面应该怎样画线?(在答题卡的图上画线要保留辅助线，并写出作图步骤)②在木质四棱锥模型中确定N点的位置，求BNBE19.在平面几何中,三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点,其定义如下:记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，三角形内一点K到三边BC,CA,AB的距离da,(1)若在△ABC中，a=5，b=3，c=(2)求证:AK=b(3)若AK⊥BC，试判断△厦门一中2025-2026学年第二学期高一年期中考试数学参考答案一、单项选择题:1.B2.B3.A4.A5.C6.D7.C8.C6.因为△A1B1O为正三角形，O1O=3，所以O1B1=1，又因为AB=4，所以OB=12AB7.解法1:令AB=2AD=2a，在△ABD内由余弦定理，可知BD2=AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cosA，化简得:9=5a2−4a解法2:如图,做AE⊥BC,垂足为E,交BC于G,则G是△ABC的重心,BG=23BD=2,设∠GBC=θ,所以GE=2解法3:如图,做AE⊥BC,垂足为E,以E为原点,BC为x轴建系.设B−2a,0,A8.解法1:如图所示,易知AC⊥过点A作AD⊥OC于点D,则四边形ADCP则AC⋅又OD∈0,5,AO=5所以AC⋅解法2:同解法1可知,AC⋅PB=PC2,设∠CAO=θ,则∠ACP=90∘−θ.在Rt二、多项选择题:9.ABD10.BC11.BCD11.选项A:设四面体有1条棱长为a,5如图1,四面体ABCD满足AB=取BC的中点E,连接AE,DE,则由三角形的三边关系知,AE−所以0<AD<3,即a图2选项B:与选项A同理可得，当四面体有1条棱长为a，5条棱长为3时，因为a∈0,3选项C:设四面体有2条棱长为a，4条棱长为1，分两种情况:①当长为a的两条棱为相对棱时，如图2,不妨设为BC=取BC的中点E,连接AE,DE,则由三角形的三边关系知,AE−DE<AD<AE+DE,所以图3②当长为a的两条棱有公共顶点时,如图3,不妨设BD取BC的中点E,连接AE,则DE=由三角形的三边关系知，AD−AE所以1−32<a综上可知,a∈因为3∈0,2+3，所以当四面体有2条棱长为a,4条棱长为3时,0<a<6+33,因为三、填空题:12.7 13.514.7-2观察图形可知，F,E,L三点共线，且EL=2且FL=3FE=3所以x=3,y=由正六边形的性质可得ID=IH所以AL=6AB2四、解答题15.(1)由已知得z=m∵z为纯虚数,∴m2−3m+(没有不等式,也没有检验的,扣1分)(2)设A0,tt<0，则OA由OA,OZ夹角为锐角得:OA⋅OZ>0，且OA与OZ解得1<m<3且m≠2,故m的取值范围为1,2∪2,3.13分16.(1)连接HE，因为四边形ABCD是正方形，且H，E分别为AD，BC的中点所以HE//CD且HE=CD,又C12分3分6分所以HE//C1D1且HE=所以C1又C1E⊄平面B1D所以C1E//平面(2)由题设S△BDE在△C1DE中得cos∠Csin∠S△C设点B到平面C1DE的距离为h，又VB−所以13⋅S△DCB⋅h=13(能运用等体积思想，计算错误的要酌情给分，最高不超过第2间的一半；用其他方法求解的亦可)17.(1)由条件可知，正四棱柱的高O1O2分5分所以正四棱柱的体积为6×三棱锥P−A1B1所以该几何体的体积为288+(2)①设A1B1=a,O1B1=22a，因为PO1所以正四棱锥的侧面积为4×1②将长方形ABB1A1，△PAPA记cosθ=A1B1当Q,N在B1时,AQ+所以AQ+QN+NC1(若未注意到展开后的角度超过180∘,则计算的结果为88+16618.(1)记F为AB的中点，连接DF，MF，如图，2分因为F,M分别为AB,AE的中点，所以MF为所以MF//EB，因为MF⊄平面EBC,EB⊂平面EBC，所以MF又因为△ADB为正三角形，所以∠DBA又F为AB中点，所以DF⊥AB又△BCD为等腰三角形，∠BCD=120∘所以∠ABC=∠DBA+∠DBC=所以DF//BC，又DF⊄平面EBC,BC⊂平面EBC，所以DF//又DM∩MF=F，DM⊂平面DMF，MF⊂故平面DMF//平面EBC，6又因为DM⊂平面EBC,故DM//平面BEC(2)①延长DC、AB相交于点P，连接PM交BE于点N，连接CN，②过点N作NQ//AE交AB于点Q10分12分因为DM//平面ECB,DM⊂平面PDM,平面PDM∩所以DM//CN，此时D由(1)可知:BC=CD得∠CPB=故PNPM=CPDP=46=23，又因为则有NQAE=NQ2AM=119.(1)因为a=5,b=3所以A=π连接KA,KB,KC,将△ABC根据“莱莫恩点”的定义，点K到三边的距离分别为da所以S=代入已知数据，得6=12k52(2)由(1)可知，点K到三边的距离分别为da=ka,d