【中考数学冲刺】2026届内蒙古中考模拟数学试卷1 附解析

/【备考2026】内蒙古中考模拟数学试卷1一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）把向东运动记作“+”，向西运动记作“﹣”，下列说法正确的是（）A．﹣3m表示向东运动3m B．+3m表示向西运动3m C．向西运动3m表示向东运动﹣3m D．向西运动3m也可以记作向西运动﹣3m2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上正确的是（）A． B． C． D．4．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△AOB扩大到原来的2倍，得到△OA'B'，若点A的坐标是（1，2），则点A'的坐标是（）A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（4，2） D．（﹣4，﹣2）5．（3分）如图，BD为矩形ABCD的对角线，点E、F分别为边AB、BC的中点，连接EF，若BD＝6，则EF的长为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（3分）下列关于画图的语言叙述正确的是（）A．画直线AB＝10cm B．画射线OB＝10cm C．延长线段AB到点C D．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线7．（3分）如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，则下列结论正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＞0，b＜0，c＞08．（3分）若点A（﹣1，y1），B（3，y2），C（5，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）9．（3分）一个不透明的袋子中有1个红球、3个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为．10．（3分）某水果店销售某种凤梨每千克m元，每周二会员日打7.9折出售，王老师周二购买了10千克这种凤梨共花费元．11．（3分）如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，tanα＝3，无人机沿水平线AF方向继续飞行80m至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为30°．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，若MC＝100m，则河流的宽度CD为m．12．（3分）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC延长线上，OE与CD相交于点F．若∠ACD＝2∠OEC，，则菱形ABCD的面积为．三．解答题（共6小题，满分64分）13．（10分）（1）计算：；（2）化简：．14．（7分）每年的6月6日为“全国爱眼日”．某初中学校为了解本校学生视力健康状况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动．（1）确定调查对象，有以下三种调查方案：方案一：从七年级学生中随机抽取100名学生，进行视力状况调查；方案二：从八年级女生中随机抽取100名学生，进行视力状况调查；方案三：从全校1500名学生中随机抽取300名学生，进行视力状况调查．其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是；（2）收集整理数据：按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．某数学兴趣小组随机抽取本校300名学生进行调查，绘制成了学生视力状况统计表．抽取的学生视力状况频数统计表：类别ABCD视力视力≥5.04.94.6≤视力≤4.8视力≤4.5健康状况视力正常轻度视力不良中度视力不良重度视力不良人数741069030根据以上信息，回答下列问题：①调查视力数据的中位数所在类别为类；②该校共有学生1500人，请估计该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数；③为更好保护视力，结合上述统计数据分析，请你提出一条合理化的建议．15．（10分）某农场实行机械化种植，为了更好更快地收割庄稼，农场主张致富决定购买8台收割机．现有久保田和春雨两种品牌的收割机，其中久保田牌收割机每天收割24亩，春雨牌收割机每天收割18亩．销售商又宣传说，购买一台久保田收割机比购买一台春雨收割机多8万元，购买2台久保田收割机比购买3台春雨收割机多4万元．（1）求两种收割机的价格；（2）如果张致富购买收割机的资金不超过125万元，那么有哪几种购买方案？16．（12分）如图，AB是⊙O的直径，且长为10，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点E，连接CE．（1）若∠ADC＝30°，求的长；（2）求证：△DAC≌△ECP；（3）在点P运动过程中，tan∠DCE，求AD的长．17．（12分）如1图，已知抛物线L：y＝a（x﹣2）2﹣1与y轴交于点A（0，1），顶点为C，对称轴与x轴相交于点F，点A关于对称轴的对称点为B，AC，BC与x轴分别交于点D，E，△DCE绕点C逆时针旋转得到△D'CE'，连接BE'，AD'（1）求抛物线L的解析式；（2）在整个变化过程中，线段BE'，AD'的数量和位置存在一种关系始终保持不变．①试猜想并直接写出线段BE'，AD'的数量和位置关系；②请以旋转角小于90°（如1图）为例证明你的猜想；（3）如2图，当点E'恰好落在AC上时，E'D'与抛物线L的交点为H，连接HF，HC．证明△HFC是等腰三角形．18．（13分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE＝DF．请结合图1（设EC、DF交于点G），写出完整的证明过程．【结论应用】（1）如图2，在正方形ABCD中，CE⊥DF，连结DE、EF，若正方形的边长为3，四边形CDEF的面积为8，则CF的长为．（2）如图3，在正方形ABCD中，CE⊥DF．①四边形BEGF与△CDG的面积关系为：S四边形BEGFS△CDG．（填“＞”“＜”或“＝”）②若AB＝3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△DCG的面积为，CG+DG的长为．

答案一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．【考点】正数和负数【分析】根据正数和负数的概念进行解答即可．解：A、∵向东运动记作“+”，向西运动记作“﹣”，∴﹣3表示向西运动了3米，故本选项不符合题意；B、+3表示向东运动了3米，故本选项不符合题意；C、向西运动了3米表示向东运动3米，故本选项符合题意；D、向西运动了3米表示向东运动﹣3米，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．2．【考点】中心对称图形【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．解：A．不是中心对称图形，故A错误；B．不是中心对称图形，故B错误；C．是中心对称图形，故C正确；D．不是中心对称图形，故D错误．故选：C．【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．3．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、小小无解了确定不等式组的解集．解：由x﹣3≤﹣1得：x≤2，由﹣x+7＜8得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，故选：A．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；小小找不到”的原则是解答此题的关键．4．【考点】位似变换；坐标与图形性质【分析】由题意得，△OAB∽△OA'B'，相似比为1：2，可得.过点A作AC⊥x轴于点C，过点A'作A'C'⊥x轴于点C'，即可得.根据题意可得OC＝1，AC＝2，即可得OC'，A'C'的值，进而可得答案．解：由题意得，△OAB∽△OA'B'，相似比为1：2，∴．过点A作AC⊥x轴于点C，过点A'作A'C'⊥x轴于点C'，∴△AOC∽△A'OC'，∴．∵点A的坐标是（1，2），∴OC＝1，AC＝2，∴OC'＝2，A'C'＝4，∴点A'的坐标为（﹣2，﹣4）．故选：B．【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．5．【考点】三角形中位线定理；矩形的性质【分析】连接AC，由矩形的性质求得AC的长，再根据三角形中位线定理求解即可．解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝6，∵点E、F分别为边AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题关键．6．【考点】作图—尺规作图的定义；直线、射线、线段；直线的性质：两点确定一条直线【分析】直接利用直线、射线、线段的定义结合尺规作图分别分析得出答案．解：A．画直线AB可以，直线没有长度，故此选项不合题意；B．画射线AB可以，射线没有长度，故此选项不合题意；C．延长线段AB到点C，正确，故此选项符合题意；D．已知A、B、C三点，过这三点画一条直线或三条直线，故此选项不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了直线、射线的定义，正确把握相关定义是解题关键．7．【考点】正比例函数的图象【分析】根据正比例函数的性质进行分析判断即可．解：③y＝cx图象走第二、四象限，所以c＜0，①y＝ax，②y＝bx，图象走第一、三象限，a＞0，b＞0，故选：C．【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是关键．8．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限函数的增减性解答．解：由条件可知反比例函数的图象在一、三象限，在每一象限内，y的值随着x的值增大而减小，∴点A（﹣1，y1）在第三象限，∴y1＜0，∵5＞3＞0，∴y2＞y3＞0，∴y1，y2，y3的大小关系为y1＜y3＜y2．故选：B．【点评】此题考查的是反比例函数的性质和象限内点坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）9．【考点】概率公式【分析】直接利用概率公式计算即可．解：根据题意，从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是黄球的概率为．故．【点评】本题考查了概率公式．熟练掌握该知识点是关键．10．【考点】列代数式【分析】先用含m的代数式表示出凤梨的售价，再乘以10即可解决问题．解：由题知，凤梨打7.9折后的销售单价为0.79m元/千克，所以10千克这种凤梨的费用为：10×0.79m＝7.9m（元）．故7.9m．【点评】本题考查列代数式，用含m的代数式表示出凤梨的销售单价是解题的关键．11．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【分析】根据题意，作BE⊥MD于点E，然后根据锐角三角函数，可以得到AM，DE的长，然后即可计算出CD的长．解：作BE⊥MD于点E，如图所示，则四边形ABEM是矩形，∴ME＝AB，AM＝BE由已知可得：∠BAC＝α，tanα＝3，AB＝80米，∠BDE＝30°，MC＝100米，AM⊥MD，AB∥MD，∴ME＝AB＝80米，∠ACM＝∠BAC＝α，∵tanα＝3，∴3，∴AM＝300米，∴BE＝300米，∵tan∠BDE，∴tan30°，解得DE＝300米，∴CD＝MD﹣MC＝ME+DE﹣MC＝80+300100＝（30020）（米），故（30020）．【点评】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．【考点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理【分析】作OH∥BC交CD于点H，则△DOH∽△DBC，由菱形的性质得OD＝OB，OA＝OC，AC⊥BD，则，求得OHBC＝5，再证明△OFH∽△EFC，得，则ECOH＝6，再证明∠OEC＝∠COE，则OC＝EC＝6，求得OB8，则BD＝16，AC＝12，所以S菱形ABCDBD•AC＝96，于是得到问题的答案．解：作OH∥BC交CD于点H，则△DOH∽△DBC，∵四边形ABCD是边长为10的菱形，对角线AC，BD相交于点O，∴BC＝10，OD＝OBBD，OA＝OC，AC⊥BD，∴，∠BOC＝90°，∴OHBC＝5，∵OH∥EC，，∴△OFH∽△EFC，∴，∴ECOH5＝6，∵BC＝DC，AC⊥BD，∠ACD＝2∠OEC，∴∠ACB＝∠ACD＝2∠OEC＝∠COE+∠OEC，∴∠OEC＝∠COE，∴OC＝EC＝6，∴OB8，∴BD＝2OB＝16，AC＝2OC＝12，∴S菱形ABCDBD•AC16×12＝96，故96．【点评】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．三．解答题（共6小题，满分64分）13．【考点】分式的乘除法；实数的运算【分析】（1）利用零指数幂，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质，负整数指数幂计算后再算加减即可；（2）将除法化为乘法，然后约分即可．解：（1）原式＝13+2＝1+1﹣3+2＝1；（2）原式．【点评】本题考查分式的乘除法，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．14．【考点】中位数；抽样调查的可靠性；用样本估计总体；频数（率）分布表【分析】（1）根据抽样调查应具有代表性和广泛性可知方案三最符合题意；（2）①根据中位数的定义解答即可；②利用样本估计总体即可求出中度视力不良和重度视力不良的总人数；③根据数据提出一条合理建议即可．解：（1）根据抽样调查应具有代表性和广泛性可知方案三最符合题意，故方案三；（2）①根据中位数的定义可知，中位数应是第150、151个数据的平均数，而74+106＞151，所以调查视力数据的中位数所在类别为B类；故B；②由题意得：n＝400﹣160﹣64﹣56＝120（人），所以1500600（人），答：该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数为600人；③该校学生近视程度为中度及以上约占44%，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园以及使用时间的管控．【点评】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数以及用样本估计总体的知识，关键是从统计图表得出信息解决问题．15．【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用【分析】（1）设每台春雨收割机的价格是x万元，则每台久保田收割机的价格是（x+8）万元，根据购买2台久保田收割机比购买3台春雨收割机多4万元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即每台春雨收割机的价格），再将其代入（x+8）中，即可求出每台久保田收割机的价格；（2）设购买m台久保田收割机，则购买（8﹣m）台春雨收割机，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过125万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合m为非负整数，即可得出各购买方案．解：（1）设每台春雨收割机的价格是x万元，则每台久保田收割机的价格是（x+8）万元，根据题意得：2（x+8）﹣3x＝4，解得：x＝12，∴x+8＝12+8＝20（万元）．答：每台久保田收割机的价格是20万元，每台春雨收割机的价格是12万元；（2）设购买m台久保田收割机，则购买（8﹣m）台春雨收割机，根据题意得：20m+12（8﹣m）≤125，解得：m，又∵m为非负整数，∴m可以为0，1，2，3，∴共有4种购买方案，方案1：购买8台春雨收割机；方案2：购买1台久保田收割机，7台春雨收割机；方案3：购买2台久保田收割机，6台春雨收割机；方案4：购买3台久保田收割机，5台春雨收割机．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．16．【考点】切线的性质；弧长的计算；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；圆周角定理【分析】（1）由弧长计算公式即可计算；（2）由切线的性质，圆周角定理，三角形中位线定理，推出四边形DCPE是矩形，得到DC＝PE，于是由SAS即可证明△DAC≌△ECP；（3）由∠ADC＝∠DCE，得到tan∠ADC＝tan∠DCE，得到，令AC＝x，（x＞0）由勾股定理列出关于x的方程，求出x，即可解决问题．（1）解：∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ADC＝30°，∴∠BOD＝∠OAD+∠ADC＝60°，∵圆的直径是10，∴的长π；（2）证明：∵C是AP中点，O是AB中点，∴OC是△APB的中位线，∴CD∥PE，∵AB是圆的直径，∴∠APB＝90°，∵∠ACO＝∠APB＝90°，∴∠DCP＝180°﹣∠ACO＝90°，∵DE切圆于D，∴半径OD⊥DE，∴∠CDE＝90°，∴四边形DCFE是矩形，∴DC＝EP，∵∠ACD＝∠CPE＝90°，AC＝PC，∴△ACD≌△CPE（SAS）；（3）解：∵△ACD≌△CPE，∴∠ECP＝∠DAC，∴AD∥CE，∴∠ADC＝∠DCE，∴tan∠ADC＝tan∠DCE，∴，令AC＝x，则CD＝2x（x＞0）∴OC＝CD﹣OD＝2x﹣5，∵AO2＝OC2+AC2，∴52＝（2x﹣5）2+x2，∴x＝4，∵ADx，∴AD＝4．【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定，弧长的计算，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．17．【考点】二次函数综合题【分析】（1）将点A坐标代入抛物线的解析式，求得a的值，进而得出结果；（2）①根据图形直观猜想；②设直线BE′与AC交于点G，交AD′于H，可证得△ABC和△CDE是等腰直角三角形，进而证明△ACD≌△BCE′，从而BE′＝AD′，∠CBE′＝∠CAD′，进一步得出结论（3）可得出点E′和点D重合，进而将x＝1代入抛物线的解析式求得H点坐标，进一步得出结论．（1）解：由题意得，a•（0﹣2）2﹣1＝1，∴a，∴y；（2）解：①BE′＝AD′，BE′⊥AD′；②如图1，BE′＝AD′，BE′⊥AD′，理由如下：设直线BE′与AC交于点G，交AD′于H，∵A（0，1），C（2，﹣1），B（4，1），∴AC＝BC＝2，AB＝4，OA＝CF＝1，OF＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵∠AOD＝∠CFD＝90°，∠ADO＝∠CDF，∴△AOD≌△CFD（AAS），∴OD＝DFOF＝1，∴△CDF＝45°，同理可得，∠CEF＝45°，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∵△DCE绕点C逆时针旋转得到△D'CE'，∴CD′＝CD，CE′＝CE，∠D′CE′＝∠DCE＝90°，∴∠D′CE′＝∠ACB＝90°，∴∠D′CE′﹣∠ACE′＝∠ACB﹣∠ACE′，∴∠ACD′＝∠BCE′，∴△ACD≌△BCE′（SAS），∴BE′＝AD′，∠CBE′＝∠CAD′，∵∠BGC＝∠AGH，∴∠AHD＝∠ACB＝90°，∴BE′⊥AD′；（3）证明：∵CE′＝CE＝CD，点D在AC上，点E′在AC上，∴点E′和点D重合，∵∠ADO＝∠CE′D′＝45°，∴∠D′E′O＝90°，即∠ODD′＝90°，∵D（1，0），∴y（1﹣2）2﹣1，∴H（1，），∵F（2，0），C（2，﹣1），∴HF＝HC，∴△HFC是等腰三角形．【点评】本题考查了求二