北师大版八年级下册数学复习知识点及例题相结合

一、几何图形的性质与判定1.平行四边形核心知识点：平行四边形的定义为两组对边分别平行的四边形。其性质主要包括：对边平行且相等；对角相等、邻角互补；对角线互相平分。判定方法则有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。典型例题：已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形。解答：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC（平行四边形对边平行且相等）。∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF。又∵DE∥BF（由AD∥BC可得），∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。点评：本题主要考查平行四边形的性质及判定定理的综合应用，关键在于利用已知条件推导出判定平行四边形所需的条件。2.特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）核心知识点：矩形：有一个角是直角的平行四边形。性质：四个角都是直角；对角线相等。判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。菱形：有一组邻边相等的平行四边形。性质：四条边都相等；对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形。正方形：既是矩形又是菱形的四边形。它具有矩形和菱形的所有性质。判定方法可结合矩形和菱形的判定得出。典型例题：已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8cm，BD=6cm，求菱形ABCD的边长和面积。解答：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC=AC/2=4cm，OB=OD=BD/2=3cm（菱形对角线互相垂直且平分）。在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=√(OA²+OB²)=√(4²+3²)=5cm。∴菱形ABCD的边长为5cm。菱形面积=(AC×BD)/2=(8×6)/2=24cm²。点评：菱形的对角线性质是解决本题的关键，菱形面积也可通过底乘以高计算，但对角线乘积的一半是菱形面积计算的常用公式，需牢记。二、一次函数的探索与应用1.一次函数的概念与表达式核心知识点：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，即y=kx（k≠0），叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。确定一次函数的表达式，通常需要两个独立的条件，利用待定系数法求解k和b的值。典型例题：已知一次函数的图像经过点A(1,3)和点B(-1,-1)，求这个一次函数的表达式。解答：设这个一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0）。∵函数图像经过点A(1,3)和点B(-1,-1)，∴将点A、B的坐标分别代入表达式可得：{k+b=3{-k+b=-1解这个方程组：两式相加得：2b=2，解得b=1。将b=1代入k+b=3，得k=2。∴这个一次函数的表达式为y=2x+1。点评：待定系数法是求函数表达式的基本方法，关键是根据已知条件列出关于k、b的方程组并求解。2.一次函数的图像与性质核心知识点：一次函数y=kx+b的图像是一条直线。k决定直线的倾斜方向和坡度：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而增大而减小。b是直线与y轴交点的纵坐标，即直线与y轴交于点(0,b)。典型例题：已知一次函数y=(m-1)x+m²-1。（1）若函数图像经过原点，求m的值；（2）若函数图像y随x的增大而减小，求m的取值范围。解答：（1）∵函数图像经过原点(0,0)，∴将(0,0)代入y=(m-1)x+m²-1得：0=(m-1)×0+m²-1，即m²-1=0，解得m=±1。又∵一次函数中k=m-1≠0，即m≠1，∴m=-1。（2）∵函数图像y随x的增大而减小，∴k=m-1<0，解得m<1。点评：本题综合考查了一次函数的定义（k≠0）及性质（k的符号与函数增减性的关系），解题时需注意对隐含条件的挖掘。3.一次函数与方程、不等式的关系核心知识点：一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0的解。一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解集，可以看作是函数y=kx+b的图像在x轴上方（或下方）部分所有点的横坐标的集合。典型例题：如图，是一次函数y=kx+b的图像，根据图像回答下列问题：（1）方程kx+b=0的解是；（2）不等式kx+b>0的解集是。（此处假设图像经过点(2,0)和(0,3)，且y随x的增大而减小）解答：（1）由图像可知，一次函数y=kx+b与x轴交于点(2,0)，∴方程kx+b=0的解是x=2。（2）∵函数y随x的增大而减小，且与x轴交于点(2,0)，∴当x<2时，函数图像在x轴上方，即kx+b>0，∴不等式kx+b>0的解集是x<2。点评：理解一次函数图像上点的坐标意义，以及函数图像与方程、不等式解集之间的对应关系，是解决此类问题的关键。三、数据的分析与描述1.数据的集中趋势核心知识点：平均数：一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。它能反映数据的平均水平，但易受极端值影响。中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。它不受极端值影响。众数：一组数据中出现次数最多的数据。一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数。典型例题：某班部分学生的数学成绩如下（单位：分）：85，90，90，80，85，95，85，90。求这组数据的平均数、中位数和众数。解答：将数据从小到大排列：80，85，85，85，90，90，90，95。平均数=(80+85+85+85+90+90+90+95)÷8=(80+85×3+90×3+95)÷8=(80+255+270+95)÷8=700÷8=87.5（分）。数据个数为8，是偶数，中位数是中间两个数的平均数，即第4个数和第5个数的平均数：(85+90)÷2=87.5（分）。85出现了3次，90也出现了3次，出现的次数最多，∴众数是85分和90分。点评：计算平均数时要注意数据的总和及个数；求中位数前必须将数据排序；众数是看出现次数最多的数据。2.数据的离散程度核心知识点：方差：各个数据与平均数差的平方的平均数，记作s²。方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，越稳定。计算公式：s²=[(x₁-x̄)²+(x₂-x̄)²+...+(xₙ-x̄)²]/n，其中x̄是这组数据的平均数。标准差：方差的算术平方根，记作s。典型例题：甲、乙两名运动员在相同条件下各射击10次，他们的射击成绩（单位：环）如下：甲：9，10，8，9，8，6，10，7，9，8乙：8，9，9，8，10，9，8，8，10，10分别计算甲、乙两人射击成绩的方差，并判断谁的成绩更稳定。解答：先计算甲的平均数x̄甲：x̄甲=(9+10+8+9+8+6+10+7+9+8)÷10=(9×3+10×2+8×3+6+7)÷10=(27+20+24+6+7)÷10=84÷10=8.4（环）。甲的方差s甲²：[(9-8.4)²+(10-8.4)²+(8-8.4)²+(9-8.4)²+(8-8.4)²+(6-8.4)²+(10-8.4)²+(7-8.4)²+(9-8.4)²+(8-8.4)²]÷10=[0.6²×3+1.6²×2+(-0.4)²×3+(-2.4)²+(-1.4)²]÷10=[0.36×3+2.56×2+0.16×3+5.76+1.96]÷10=[1.08+5.12+0.48+5.76+1.96]÷10=14.4÷10=1.44。乙的平均数x̄乙：x̄乙=(8+9+9+8+10+9+8+8+10+10)÷10=(8×4+9×3+10×3)÷10=(32+27+30)÷10=89÷10=8.9（环）。乙的方差s乙²：[(8-8.9)²×4+(9-8.9)²×3+(10-8.9)²×3]÷10=[(-0.9)²×4+0.1²×3+1.1²×3]÷10=[0.81×4+0.01×3+1.21×3]÷10=[3.24+0.03+3.63]÷10=6.9÷10=0.69。∵s甲²=1.44，s乙²=0.69，且1.44>0.69，∴乙的方差较小，乙的成绩更稳定。点评：计算方差的步骤较多，先求平均数，再求每个数据与平均数的差的平方，然后求这些平方数的平均数。方差越小，数据越稳定。复习建议八年级下册的数学知识是初中数学体系中的重要组成部分，几何部分注重逻辑推理和空间想象能力的培养，一次函数则是数形结合思想的初步应用，数据的分析则与实际生活紧密相关。在复习过