平行四边形练习题

平行四边形练习题一、引言平行四边形作为平面几何中的基本图形之一，其性质与判定是初中阶段几何学习的重点与基石。熟练掌握平行四边形的相关知识，不仅能够有效提升逻辑推理能力与空间想象能力，更为后续学习更复杂的几何图形打下坚实基础。本文精心编排了一系列平行四边形练习题，旨在帮助读者巩固基础、深化理解、提升应用能力。题目由浅入深，涵盖概念辨析、性质应用、判定方法及综合探究等多个层面，希望能对各位读者的学习有所助益。二、知识回顾在着手练习之前，让我们简要回顾一下平行四边形的核心知识要点，这将有助于更高效地解决后续问题：1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2.性质：*对边平行且相等；*对角相等，邻角互补；*对角线互相平分；*是中心对称图形，对称中心为两条对角线的交点。3.判定：*两组对边分别平行的四边形是平行四边形；*两组对边分别相等的四边形是平行四边形；*一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；*两组对角分别相等的四边形是平行四边形；*对角线互相平分的四边形是平行四边形。三、练习题（一）基础巩固1.判断题（对的打“√”，错的打“×”）：*(1)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形。（）*(2)平行四边形的对角线相等。（）*(3)平行四边形的对角互补。（）*(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。（）2.填空题：*(1)在平行四边形ABCD中，∠A=50°，则∠B=______度，∠C=______度。*(2)已知平行四边形相邻两边的长分别为a和b，则它的周长为______。*在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO=3，则AC=______。3.选择题：*平行四边形具有而一般四边形不具有的性质是（）A.不稳定性B.内角和为360°C.对角线互相平分D.外角和为360°*在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=7，则其周长为（）A.12B.14C.24D.28（二）能力提升1.在平行四边形ABCD中，已知∠A比∠B小20°，求平行四边形各内角的度数。2.平行四边形ABCD的周长为28cm，AB与BC的长度之比为3:4，求这个平行四边形各边的长。3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，求AC+BD的长。（*此处假设读者能自行绘制简单示意图：一个平行四边形，两条对角线交于O点，连接AO、BO*）4.已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF。求证：BE=DF。（*示意图提示：平行四边形ABCD，AD、BC为上下对边，E在AD上，F在BC上，位置大致对应*）（三）拓展探究1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F。求证：OE=OF。2.小明说：“一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。”你认为他的说法正确吗？如果正确，请给出证明；如果不正确，请举出反例。3.在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，点E、F分别是AB、CD的中点。连接EF，探索EF与AD、BC之间的关系，并说明理由。四、解题思路与参考答案（一）基础巩固1.判断题：*(1)×（反例：等腰梯形）*(2)×（矩形的对角线才相等，一般平行四边形不一定）*(3)×（对角相等，邻角互补）*(4)√2.填空题：*(1)130°，50°（平行四边形邻角互补，∠A+∠B=180°，又∠B-∠A=20°，解得∠A=80°，∠B=100°？哦不，题目说∠A比∠B小20°，所以∠B=∠A+20°，∠A+(∠A+20°)=180°，2∠A=160°，∠A=80°，∠B=100°。那么∠C=∠A=80°，∠D=∠B=100°。嗯，前面题目(1)填空是“∠A=50°”，那∠B就是130°，∠C=50°，∠D=130°。对，我刚才看串了，是基础巩固的填空题(1)。）*(2)2(a+b)*(3)6（平行四边形对角线互相平分，AC=2AO=6）3.选择题：*C*C（周长=2(AB+BC)=2(5+7)=24）（二）能力提升1.思路：利用平行四边形邻角互补的性质，设∠A=x，则∠B=x+20°，x+(x+20°)=180°，解得x=80°。答案：∠A=∠C=80°，∠B=∠D=100°。2.思路：设AB=3k，BC=4k，根据周长公式2(AB+BC)=28，即2(3k+4k)=28，解得k=2。答案：AB=CD=6cm，BC=AD=8cm。3.思路：△AOB的周长=AO+BO+AB=15，AB=6，所以AO+BO=9。因为平行四边形对角线互相平分，AC=2AO，BD=2BO，所以AC+BD=2(AO+BO)=18。答案：AC+BD=18。4.思路：欲证BE=DF，可考虑证明△ABE≌△CDF，或证明四边形BEDF是平行四边形。*证法一（全等三角形）：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠A=∠C。又∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴BE=DF。*证法二（平行四边形的判定）：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC。∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF。又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴BE=DF。答案：BE=DF（证明过程如上）。（三）拓展探究1.思路：要证OE=OF，可通过证明△AOE≌△COF来实现。证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO（对角线互相平分），AD∥BC。∴∠OAE=∠OCF（两直线平行，内错角相等）。在△AOE和△COF中，∠OAE=∠OCF，AO=CO，∠AOE=∠COF（对顶角相等），∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE=OF。2.思路：此命题正确。可通过平行线的性质和同角的补角相等（或等角的补角相等）推导出另一组对边也平行，或证明另一组对边相等。答案：正确。证明：已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠C。求证：四边形ABCD是平行四边形。证明：∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。∵∠A=∠C，∴∠C+∠D=180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）。∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。3.思路：由AB=CD，AD=BC可判定四边形ABCD是平行四边形，从而AD∥BC。连接AC，利用三角形中位线定理可证得EF与AD、BC的关系。答案：EF∥AD∥BC，且EF=AD=BC。理由：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），∴AD∥BC，AD=BC。连接AC，在△ABC中，E是AB中点，F是CD中点，（*此处原表述为“点E、F分别是AB、CD的中点”，在平行四边形中AB=CD，所以AE=EB=CF=FD。连接AC后，取AC中点G，连接EG、FG，则EG是△ABC中位线，FG是△ADC中位线，可证E、G、F三点共线，从而EF=EG+FG=1/2BC+1/2AD=AD=BC，且EF∥BC∥AD。或者，直接连接AF并延长交BC延长线于G，可证△ADF≌△GCF，得AF=FG，AD=CG，再证EF是△ABG中位线，得EF∥BG且EF=1/2BG=1/2(BC+CG)=1/2(BC+AD)=AD=BC。*）（*简化证明：*）连接AF并延长，交BC的延长线于点G。∵AD∥BC，∴∠D=∠FCG。∵F是CD中点，∴DF=CF。又∵∠AFD=∠GFC，∴△ADF≌△GCF(AAS)，∴AF=FG，AD=CG。∴F是AG中点。在△ABG中，E是AB中点，F是AG中点，∴EF是△ABG的中位线，∴EF∥BG，EF=1/2BG。∵BG=BC+CG=BC+AD，且AD=BC，∴BG=2AD，∴EF=1/2×2AD=AD=BC。∵AD∥BC，EF∥BG，∴EF∥AD∥BC。综上，EF∥AD∥BC，且EF=AD=BC。五、总结与建议平行四边形的学习，关键在于对其