小学三年级数学下册《排列问题》深度学习导学案

小学三年级数学下册《排列问题》深度学习导学案

一、教学背景分析

（一）课程标准对应分析

1.内容定位

（1）《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第二学段“数与代数”领域明确提出：探索简单情境下的排列与组合问题，形成初步的模型意识和应用意识。本课时属于“综合与实践”领域的拓展内容，旨在通过现实情境帮助学生感悟分类思想与有序思想，为后续的概率统计学习建立直观经验。【非常重要】

（2）课标强调在真实问题解决中发展学生的推理意识。本课通过摆数字卡片、设计拍照站位等活动，引导学生经历从具体操作到抽象符号化的全过程，实现从“无序列举”到“有序列举”的思维跃升。【重要】

（二）教材分析

1.教材编排体系

（1）人教版三年级下册数学广角单元是学生首次系统接触排列问题。教材以“搭配”作为单元起始，但本课时严格聚焦“排列”——即顺序不同结果不同的计数问题。教材例题呈现了“用1、2、3组成两位数”这一经典任务，其本质是3个元素的全排列。【非常重要】

（2）教材通过“交换位置”“固定十位”“固定个位”三种典型策略的对比，暗含了乘法原理的雏形。本课时将在教材基础上，增设“0、1、2、3组成三位数”的变式，强化对特殊元素（0不能为首）的敏感性，并自然渗透排列数计算公式的直观意义。【热点】

（3）本课处于“组合”概念的前置位置，虽然教材未正式区分排列与组合，但教师必须通过对比练习（如搭配衣服、握手问题）为学生埋下“顺序是否重要”的认知冲突种子，这是后续学习概率的根本前提。【难点】

（三）学情分析

1.知识基础

（1）学生已经能够熟练进行20以内数的读写，理解数位的意义，并能通过画图、列表等方式解决简单的计数问题。但是，绝大多数学生处于“随意枚举”阶段，缺乏系统思考的意识，容易产生重复或遗漏。【重要】

（2）前测数据显示，约65%的三年级学生面对“用1、2、3能组成几个两位数”时，只能写出4个或5个，仅有20%的学生能自觉使用固定十位法或交换位置法得到全部6个。这表明有序策略需要显性化教学。【非常重要】

2.认知特点

（1）三年级学生处于皮亚杰认知发展阶段中的具体运算阶段，思维仍需要实物或图形的支撑才能完成抽象建模。因此本课必须保留“动手摆卡片”环节，让手指的操作顺序引导大脑的思维顺序。【非常重要】

（2）学生对于“顺序”概念的生活经验丰富（排队、比赛名次），但尚未将生活经验转化为数学化的计数模型。本课的关键是将“顺序不同结果不同”这一朴素认识提升为“有序枚举是计数准确性保障”的方法论。【热点】

（四）跨学科联结设计

1.与美术学科联结：通过服装色彩搭配、地图涂色等任务，让学生感受到排列规律在视觉艺术中的表现形式，将数学排列与美学构图建立关联。【一般】

2.与信息科技联结：教师使用电子表格实时生成排列组合列表，学生观察计算机如何通过循环嵌套实现快速枚举，初步感知算法思维。【一般】

3.与语文学科联结：以“数字王国开大会”“动物排队拍照”为情境，鼓励学生创编数学故事，并用本课学习的排列知识解决故事中的冲突，实现语言表达与逻辑推理的双重训练。【重要】

二、教学目标设定

（一）核心素养指向

1.会用枚举法、图示法找出简单事物的排列数，并能用符号或算式记录过程，发展抽象能力与模型意识。【非常重要】

2.在观察、比较、归纳中提炼出“不重复不遗漏”的根本策略——有序，并能有条理地表达自己的思考路径，提升推理意识与语言表达能力。【重要】

3.能辨别简单情境中“顺序是否产生新结果”，初步建立排列与组合的模糊边界，形成辩证看待问题的态度。【高频考点】

（二）具体行为目标

1.通过动手操作与小组交流，能够独立且有序地写出由3个不同数字组成的所有两位数，共6个，并至少掌握两种列举方法（固定十位法、交换位置法）。【非常重要】

2.在“用0、1、2、3组成三位数”的探究中，能够自主发现“0不能放在百位”这一限制条件，并正确计算出18个三位数，理解分步计数的基本结构。【热点】

3.在拍照排队情境中，能够用A、B、C等符号代替人物，有序排出3人的全部6种站位顺序，并尝试用乘法算式3×2×1解释结果。【重要】

4.通过对比穿衣搭配问题，能够清晰表述“衣服交换上下身还是同一套，而排队交换位置是不同站法”，从而抓住排列的本质特征。【难点】

三、教学重点与难点

（一）教学重点

1.经历探索简单事物排列规律的全过程，掌握固定位置法、交换位置法等有序思考的操作模式。【非常重要】

2.能正确计算总数不超过6或12的简单排列问题的种数，并能用图示或乘法算式表示计数过程。【高频考点】

（二）教学难点

1.建构“有序”这一元认知策略，能够在陌生问题中自觉迁移使用固定法或交换法，确保不重复不遗漏。【非常重要】

2.深刻理解排列问题中“顺序”的决定性作用，能够从生活情境中抽象出“顺序是否产生新结果”这一判断标准，并与组合概念进行清晰区分。【难点】

四、教学准备

（一）教师准备

1.磁性数字卡片（0、1、2、3、4、5），每张卡片尺寸10cm×10cm，背面附磁条，便于黑板演示。

2.人物角色磁性贴（小红、小明、小华）及站位条，用于模拟排队情境。

3.课件内置动态树状图生成器，可一键展示固定十位法的所有分支。

4.三色学习单：预学单（黄色）、共学单（蓝色）、延学单（绿色），每单均设计二维码，扫描可得分层提示语。

（二）学生准备

1.每人一套纸质数字卡片（0-9），每张约5cm×5cm，装于透明文件袋中。

2.16开白纸、彩笔、直尺，用于绘制简单的排列示意图。

3.课前观看3分钟微课“有趣的数字排列”，完成预学单中的尝试任务。

五、教学实施过程

（一）预学分享：唤醒经验，暴露起点

1.情境导入

（1）教师出示数字卡片1和2，提问：“用这两张卡片能摆出几个不同的两位数？”学生迅速操作并齐答“12和21”。【一般】

（2）教师将两张卡片在黑板磁条上交换位置，追问：“为什么12和21是两个不同的数？”学生结合数位知识回答：“十位和个位不一样。”教师顺势板书核心词——顺序不同，数不同。【重要】

（3）教师继续追问：“如果再加一张卡片3，用1、2、3三张卡片，能摆出几个不同的两位数呢？请大家在预学单上写一写。”【非常重要】

2.前测诊断与资源利用

（1）学生完成预学单任务，教师巡视并选取三类典型作品拍照上传屏幕。

A类作品（遗漏型）：只写出12、21、23，共3个，缺乏系统思考。

B类作品（重复型）：写出12、21、13、31、23、32，但书写顺序混乱，且有32重复出现两次。

C类作品（有序型）：十位为1写出12、13；十位为2写出21、23；十位为3写出31、32，整齐排列。

（2）师生共建评价标准。教师引导：“请大家看看这三份作品，你认为哪一份最棒？为什么？”学生依次说出“全”“不乱”“好方法”。教师将这三个词板贴于黑板一侧，作为本课学习公约。【重要】

（3）教师特别展示C类作品：“这位同学先固定十位，从小到大依次写，既没漏也没重复。我们把这种思考方式称为——有序。”首次明确提出本课核心概念。【非常重要】

（二）共学探究：建构模型，深化策略

1.核心任务一：3个数字组成两位数——方法建模

（1）问题聚焦：“用1、2、3能组成几个个位十位不同的两位数？请大家用卡片摆一摆，也可以画图，把想法记录在共学单任务一区域。”【非常重要】

（2）独立探究与小组交流：学生操作5分钟。教师重点巡视学困生，提示“先固定一个位置试试”。小组内相互看记录单，评选出本组“最有序的方法”。【重要】

（3）全班展学——方法集市。

第一组展示无序枚举法：学生摆出12、21、13、31、23，发现漏了32。立刻有同学补充，但补充后顺序仍凌乱。教师追问：“为什么容易漏？”学生答：“想到哪个摆哪个，后来就忘了。”教师点评：“随意摆容易丢三落四，我们需要将军队排整齐。”【热点】

第二组展示固定十位法：学生将卡片1放在十位，个位分别摆2和3，得到12、13；十位放2，个位摆1和3，得到21、23；十位放3，个位摆1和2，得到31、32。教师将过程用树状图板书：十位有三个分支，每个分支下对应两个个位。明确总数3×2=6。【非常重要】

第三组展示固定个位法：对称思路，个位固定为1时十位可以是2或3，得21、31；个位固定为2时十位是1或3，得12、32；个位固定为3时十位是1或2，得13、23。总数依然是6。【重要】

第四组展示交换位置法：先任意选两个数组成12，交换得21；选13交换31；选23交换32。教师追问：“选数时会不会漏掉某组？”学生诚实回答：“如果没按顺序选，可能漏掉13或者23。”教师肯定：“交换法很快，但前提是‘选数’这一步也要有序，比如先选最小两个数，再选最小和第三个数……”【一般】

（4）比较优化与思维提升。教师组织微型辩论：“如果只能选一种方法推荐给全班，你选哪一种？为什么？”大多数学生选择固定十位法，理由是“像排队一样，十位从1开始，不会乱，每个十位配完再换下一个”。教师总结：“固定十位法其实是一种‘分步’思考，先确定高位，再确定低位，每一步都清清楚楚。这是数学里非常重要的有序思考。”【非常重要】

（5）符号化抽象与乘法雏形。教师指着树状图引导：“十位有几种可能？每种可能下个位有几种可能？”学生答：“十位3种，个位2种。”教师板书：3×2=6，并告知学生：“这个算式就是我们刚才摆卡片过程的数学表达。”【热点】

2.核心任务二：从4个数字中选3个组成三位数——变式与限制条件

（1）变式挑战呈现：“现在我们增加一点难度。用0、1、2、3四张卡片，能组成多少个不同的三位数？”【非常重要】【高频考点】

（2）关键提示与认知冲突。教师不急于指导，先让学生尝试。很快有学生提出：“0能不能放在百位？”全班讨论，结合数位意义明确：0在百位不是三位数，而是两位数。因此百位只能选1、2、3。【难点】

（3）自主探究与结构化记录。学生使用固定百位法尝试。教师引导学生将任务拆解：

①百位是1：剩下0、2、3要安排在十位和个位，且顺序不同结果不同。学生摆卡片得到：102、120、103、130、123、132，共6个。

②百位是2：剩下0、1、3，得到201、210、203、230、213、231，也是6个。

③百位是3：剩下0、1、2，得到301、310、302、320、312、321，6个。

④合计：6×3=18个。

（4）深度辨析——为什么百位每种情况有6个？教师引导学生聚焦“百位是1时，十位和个位的排列是怎么得到的”。学生回顾刚才的摆法：固定十位法再次应用——十位可以是0、2、3，每个十位对应一个个位（剩余那张卡片）。所以十位3种选择，个位2种选择，3×2=6。教师板书结构化算式：百位3种×（十位3种×个位2种）=18。【非常重要】

（5）对比迁移与策略固化。教师将任务一（3个数字两位数）与任务二（4选3三位数）并列：“为什么任务一我们直接用3×2=6，任务二却要先分百位，再分十位个位？”学生通过对比发现：任务一是3个数字全部用上，全排列；任务二是从4个数字里选3个来排，而且0有特殊身份。教师顺势渗透：“以后遇到排列问题，先看有没有特殊元素，再看一共选几个、排几个。”【重要】

3.核心任务三：实物排列——拍照位置问题

（1）生活情境迁移：“三名同学小A、小B、小C站成一排拍照，有多少种不同的站法？”教师出示人物磁性贴，引导学生将数字卡片换成名字卡片。【热点】

（2）方法迁移与符号化。学生独立操作，并用字母记录。全班呈现三种主流方法：

①固定左边位置法：左边站A，中间和右边可以是BC或CB，2种；左边站B，中间和右边AC或CA，2种；左边站C，2种。共6种。

②固定中间位置法：对称思路，同样得6种。

③树状图法：第一个位置有3种选择，第二个位置有2种选择，第三个位置只剩1种。学生自然写出3×2×1=6。教师介绍：“数学家给这种连续相乘的算式起了个名字，叫3的阶乘，写作3!，读作3的阶乘。我们不要求大家写这个符号，但要知道它的意思。”【非常重要】

（3）拓展猜想。教师追问：“如果4个人站一排，有多少种站法？”部分学生喊出24种，并解释：第一个位置4种，第二个位置3种，第三个位置2种，第四个位置1种，4×3×2×1=24。教师大力表扬：“你们已经自己发现了排列数计算的秘密！”【重要】

（三）深学辨析：对比组合，凸显排列本质

1.组块对比——制造认知冲突

（1）教师呈现旧知情境：“3件上衣、2条裤子，一共有多少种搭配？”学生脱口而出6种。【一般】

（2）追问陷阱：“为什么3人排队也是6种，数字1、2、3组成两位数也是6种，它们明明是不一样的事情，结果却一样？”【非常重要】

（3）小组辩论。教师将全班分为正方（认为一样）与反方（认为不一样），开展微型辩论。

正方理由：算式都是3×2，数字都是6，所以数学本质一样。

反方理由：上衣裤子交换上下身，穿在身上还是那套衣服，不算新搭配；但排队时AB交换位置，就是完全不同的照片，数字12变成21也是不同的数。

教师总结反方胜出：“数学上，我们把‘顺序不同结果不同’的问题叫作排列问题；‘顺序不同结果相同’的问题叫作组合问题。今天我们重点研究排列，它的特征就是——顺序决定一切。”【非常重要】【高频考点】

2.即时辨析练习

（1）教师快速出示若干生活事件，学生用手势判断是排列还是组合：

①从3本书中选2本送给朋友——组合（与哪本先拿无关）。

②从3本书中选2本放在书架上层和下层——排列（位置不同）。

③4个球队每两队踢一场比赛——组合。

④4个班级进行乒乓球单循环排名赛，决出冠亚军——排列（名次顺序）。

学生手势判断，错误集中点在于④，教师强调“冠亚军”意味着第一名和第二名是不同的结果。【难点】

（四）固学反馈：分层练习，即时评价

1.基础必达（面向全体）

（1）用3、6、8能组成几个不同的两位数？请有序写出所有数。【高频考点】【重要】学生独立完成，交换订正，正确率目标95%。

（2）3个小朋友玩跷跷板，每2人玩一次，有多少种不同的玩法？教师巡视，发现多数学生习惯性写出“6种”。教师不直接纠错，而是请学生现场扮演：小红和小明玩，和小明小红玩是不是同一次？学生顿悟：与顺序无关，是组合问题，答案为3种。【难点】

2.综合应用（面向多数）

（1）用0、4、7能组成几个不同的两位数？几个不同的三位数？【热点】两位数：40、70、47、74（共4个，0不能作十位）；三位数：407、470、704、740（共4个）。学生汇报时，部分漏掉704、740，教师引导固定百位法重新梳理。

（2）学校足球比赛，四年级4个班每两个班赛一场，一共赛几场？学生列式3+2+1=6或4×3÷2=6，教师点明这是组合问题，与今天的排列对比总结。【重要】

3.挑战延学（面向学优生）

（1）用2、5、7、8能组成多少个不同的三位数？（不重复使用）学生使用固定百位法，百位4种选择，剩下十位3种，个位2种，4×3×2=24个。【非常重要】

（2）用红、黄、蓝三种颜色给地图上的两个相邻区域涂色，要求相邻区域颜色不同，有多少种涂法？学生尝试：第一个区域有3种选色，第二个区域有2种选色（不能和第一个同色），共3×2=6种。教师表扬：“这里颜色顺序不同，画面完全不同，所以是排列问题！”【一般】

（五）课堂总结：结构梳理，思想提升

1.回顾路径

（1）教师引导学生用一句话总结今天的研究历程：“我们从摆两位数开始，学会了固定位置法；又挑战了三位数，发现了0的小心机；最后去给小朋友排队，还跟搭配问题吵了一架。”学生笑声中齐读板书上的关键词——有序。【非常重要】

（2）学生自我反思：拿出共学单，在角落画表情包，评价自己是否成为“有序小达人”。【重要】

2.思想提炼

（1）教师指着黑板中央大箭头下的“有序”二字：“这两个字，不仅帮助我们今天不重不漏找到了所有答案，以后遇到更复杂的数学问题，它依然是最好的武器。”【非常重要】

（2）布置课后任务：“请把今天学到的有序方法，教给爸爸妈妈，并和他们一起完成延学单上的‘家庭早餐搭配’调查。”【一般】

六、板书设计（纯文字描述）

本课板书分三栏呈现。左栏为“数字排列”，从上到下依次书写：任务一（1、2、3两位数）的固定十位法树状图，下方红色粉笔标注3×2=6；任务二（0、1、2、3三位数）的结构式：百位3种×（十位3种×个位2种）=18，特别用黄色粉笔圈出“百位不能是0”。中栏为“排队排列”，画出三个站位框，第一个框下写3种，第二个框下写2种，第三个框下写1种，横线下写3×2×1=6。右栏为“概念对比区”，上方贴“搭配问题”示意图（上衣裤子），打叉并标注“顺序无关→组合”；下方贴“数字排列”示意图，打勾标注“顺序有关→排列”。整板顶端用红色艺术字书写“有序”，下方飘带内写“不重复、不遗漏”。

七、作业设计

（一）基础巩固

1.用4、9、1能写出（）个不同的两位数，最大的是（），最小的是（）。【高频考点】

2.红红、丫丫、亮亮三人站成一排照相，如果红红必须站在中间，有（）种站法。学生需画图表示。【重要】

3.下列事件中，属于排列问题的在括号里画“√”，属于组合问题的画“○”。

（1）用3个数字组成三位数。（）

（2）从5个菜中选2个做午餐。（）

（3）班级选举班长、副班长。（）

（4）两人握手一次。（）【热点】

（二）实践探究

1.家庭小调查：记录自家早餐主食有几种、饮品有几种，按一种主食一种饮品搭配，共有几种吃法？并说明这是排列还是组合问题，为什么？【重要】

2.设计一个“密码箱”实验：用1、3、5三个数字组成三位数密码，共有多少种可能？请家长任意报出一个三位数，你判断它是否是正确密码之一（即是否由1、3、5组成且不重复）。【非常重要】

（三）跨学科长作业（二选一）

1.美术+数学：设计一组秋季校服，上衣有红、蓝两色，裤子有黑、灰、卡其三色，画出所有不重复的搭配方案，并数出种数。要求在图下方写清楚是用什么方法保证不遗漏的。

2.语文+数学：编写一个200字左右的数学童话，主角是数字0、1、2、3，故事里必须出现它们“排队”或“组数”的情节，并用今天学的排列知识解决故事里的一个难题。

八、教学评价设计

（一）过程性评价

1.操作规范评价：教师巡视时记录学生摆卡片是否有意识使用固定法，此项占形成性评价的30%。

2.语言表达评价：在全班展学和小组交流环节，能清晰说出“我先固定……再……”的学生获得“有序勋章”贴纸，此项占40%。

3.倾听习惯评价：对他人的方法提出质疑或补充的学生获得“善思勋章”，此项占30%。

（二）终结性评价

1.共学单完成质量：任务一、