北师大版高中数学选择性必修第一册 第2课时 空间中的距离问题【作业原卷+答案】

03

第2课时空间中的距离问题

A级必备知识基础练

1.［探究点二］已知平面a的一个法向量为11=(1,2,1)/(1,0,・1),8(0,・1,1),且A&z,B£a,则点A到平面a

的距离为()

A.1B.4C*D.1

363

2.［探究点二］四棱锥尸-ABCO中，而=(2,-1,3),而=(-2,1,0),而=(3,-1,4),则这个四棱锥的高为()

吟

百12

人

一BC

55-5-

3.［探究点一］在棱长为1的正方体48CQ-A由1GQ中，石为4。的中点，则点G到直线CE的距离为

()

A.lR.孚C.yD.手

4」探究点二］已知正方体ABCD-ABiGG的棱长为1,则平面ARC与平面4G。之间的距离为

()

A遗B隹C—D或

5」探究点一］(多选题)已知直线/的方向向量n=(l,0「l)/(2/「3)为直线/上一点，若点P(-l,0,-2)为直

线/外一点，则点P到直线/上任意一点Q的距离可能为()

A.2B.V3

C.V2D.1

6.［探究点二］在长方体ABCQ-AICG中工8=AD=2,A4i=l,则点B到平面ZMC的距离等

于.

7.［探究点二］如图，直三棱柱A8cA囚G的侧棱A4产百，在△A8C中,NAC8=90%4C=BC=l厕点⑤

到平面AiBC的距离为.

8」探究点二］如图，正方体A8CD-A/QQi的棱长为1,求平面48。与平面间的距离.

B级关键能力提升练

9.如图，已知正方形ABCD的边长为4方下分别是48小。的中点,GC_L平面ABCD,且GC=2,则点B到

10.若三楂锥P-A8C的三条侧棱两两垂直，且满足PA=P8=PC=1,则点。到平面A8C的距离是()

AV6手

ATB喈

11.如图，棱长为1的正方体A8CO-AiBiC]Oi,O是底面ASGDi的中心，则点O到平面/WCQi的距

12.已知直线/的一个方向向量为若点为直线/外一点八(4,1,-2)为直线/上一

点，则点。到直线/的距离为

13.如图，在棱长为2的正方.体ABCD-A^C\Dx中，七为8c的口点，点P在线段四七上，点P到直线

CCi的距离的最小值为.

14.如图，在二棱柱ABC-A\B\C\中,CGJ.平面ABC,D,E,F,G分别为AA}ACj\\C\,BB\的中

点,AB=8C=V5.4C=A4|=2,

(1)求证小。，平面BEF\

(2)求二面角B-CD-Ci的余弦值；

(3)求直线FG与平面3c。所成角的正弦值.

C级学科素养创新练

15.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面底面A8CQ,侧棱PA=PQ=企，底面ABCQ为直角梯

形，其中8。〃/\。/8_1_人。/。=2/18=28。=2,问:线段/1。上是否存在一点Q,使得它到平面PCD的距

离为笠若存在，求出制的值;若不存在，说明理由.

参考答案

第2课时空间中的距离问题

l.BVA(1,O,-1),B(O,-1,!),•,•1,2).

又平面a的一个法向量为n=(1,2,1),

••・点A到平面a的距离为半=半，故选B.

\n\6

2.A设平面ABCD的法向量为n=(jvj,z),则1n竺一°,即产;匕_+3f7。'令x=1,可得y=2,z=0,

[n-AD=0,+y-U,

即n=(120),・・・cos<n辞"湍=

于是点P到平面ABC。的距离为|而||cosvn,而>|二噂，即四棱维P-ABCD的高为噂.故选A.

3.C以点A为原点,A8,40/4所在直线分别为x轴、)，轴、z轴，建立空间直角坐标系,如图.

则C(l,l,()),Ci(l,l,l),£H),1,lL所以沅),鬲=(0,()J),所以点G到直线CE的距离

公西匕西喘=n=李故选c.

N

4.B以为坐标原点，分别以直线OAOiCi,。。为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐

标系，则4(1,0,0),G(0,l,0)Q(0,0,1)4(1,。,1),

所以西二(1,0,・1),西=(O,1,-1XAD=(-1,0,0).设平面4Go的一个法向量为m=(乂卜1),则

m・丝=0,即(x-1=g，解得仔=:，故显然平面ABC〃平面4G二所以平面AB^C

ImDC]=0,g=5U=1,

与平面4G。之间的距离公智!='=£.

mV33

5.AB由题设条件可知，而=(-3,-1,1),，n•而=1x(-3)+0x(-l)+(-l)xl=-4,・••点P到直线/的距离

2

为d=\AP\2-粤

=VTT8=V5..••点P到直线/上任意一点Q的距离要大于或等于故选

AB.

6.y如图，以D为原点,D4为X轴,。C为)，轴为Z轴,建立空间直角坐标系，则

3(2,2,0)4(2,0,0),C(0,2,0)Qi(0,0,l),荏=(0,2,0),无=(-2,2,0),丽=(-2,0,1),设平面的法向量

n

n=(x,y,z),则[J2*+21一°，取x=],得n=(1,1,2),.,.点B到平面D\AC的距离d=毛*=

[n-AD1=-2x+2=0,网

2V6

诟二7'

8.解以点。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

。(0,0,0)A(1,0』)方(1,1,0)。。0』),福=(0,11),470=(-1,0<1),^7^=(-1,0,0).

设平面480的法向量为n=(xj,z),则「•昼=0,则?.z=0,

'(n-A^=0,(HZ=0.

令Z=l,得)，=13=-I,・,・!!=(-1,1,1),

・••点Di到平面480的距离介华二=4=v-

\n\v33

根据题意有BiC〃AQ,8]Cct平而AiBD,

・・・B|C〃平面A/D,同理〃平面48D,3iSPiA=Bi,・',平面4出。〃平面81coi，，平面

48。与平面BiCD)间的距离等于点D\到平面AiBD的距离,

：.平面A山。与平面3CDi间的距离为噂.

9.B

10.D以点尸为原点,PA,P8,PC所在直线分别为x轴、)，轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐

标系，则4(1,0,0),仅0.1,0),C(0,0,1),所以瓶=(・1,1,0),1?=(-1,0,1).^4=(1,0,0).设平面A5C的法向量

为n=(2),由］:盗二:得仁：；二:'令尸1,则尸二1,所以平面ABC的一个法向量为

U.B如图，以点。为原点,D4QC,。。所在直线分别为x轴、)，轴、z轴，建立空间直角坐标系,

连接AQ0Q,则0(000),0(),A(0,0』)A(1,0』),.••西=(±0).・・•AB_L平面

AQQi4,AQu平面4。。内,，48_14。,又4。1_14。48。4£)产4,・・・4。_1平面A8G。3攵平面

ABCiDi的一个法向量为西二(1,0,1),・••点O到平面ABCiD］的距离公。粽］=牛•故选B.

12.V17VP(-lJ,-lM(4,lr2),.-.PA=(5,0,-1),>1m=(1,V2,-1),Acos<m,R4>=墨二卷.

/.sin<m,Pi4>=in<m,P^4>=V26x=V17.

13.空点P到直线CG距离的最小值就是异面直线。化和CG的距离，以。为坐标原点，分别

以直线D4QC,。。为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则

力।(0,0,2),E(1,2,0),C(0,2,0),Ci(0,2,2),.-.D^E=(\,2,-2),鬲=(0,0,2).

V

*

设nlD1E,nlCC1,n=(x,y,z),

则ii-D1F=x+2y-2z=0,n-CC^=2z=0,

・•・z=0,取y=-l,则x=2,Jn=(2,-1.0),又而=(1,0.0),/.异面直线间的距离4=臀=孚.

罔5

14.⑴证明在三棱柱ABC-ABiG中，因为CGJ•平面A8C,所以四边形A4GC为矩形.又因为

分别为4cAG的中点，即〃GC,所以4C_LEF.又因为A8=8C,所以AC_L8£由于

BECEF=E,所以4C_L平面BEF.

⑵解

由(1)知AC_LE£AC_L8£：,E尸〃GC,又因为CGJ■平面ABC,所以EEL平面A8c.因为8£u平面

ABC,所以EF±BE.所以BE1平面CEF,即BEL平面A41GC.如图建立空间直角坐标系E-xyz.则

而为平面A4GC的法向量，由题意得8(0,2,0)，C(-1,0,0),Z)(1,0,1),G(0,2,1),所以

而二(2。1),而二(1,2,0),蔗二(。,0/),而=(0,2,0).设平面BCD的法向量为n=(a6,c),所以

=°，从而令。=2,则b=-l,c=-4,所以平面BCD的法向量n=(2,-l,-4),平面

,n-DB=0,(Q+2。=U,

A41GC的法向量丽=(0,2,0).因为cos<EB,n>=葡3=舁、由图易知二面角氏CD-G为钝角.所

以二面由8-CD-G的余弦值为-力.

⑶解取E户的中点为〃，坐标为“(0,0』),连接8",丽=(0」2,1),1丽|二6,由⑴知E/"CC,由三棱

柱的性质知EF〃BiB,HF=gEF=gBB尸BG,所以四边形HFGB为平行四边形,FG〃BH且FG=BH.

求直线R7与平面8CO所成角的正弦值可转化为求HB与平面BCD所成角的正弦值.

由⑵知n=(2「1,-4)是平面BCD的法向量，则点“到平面BCD的距离d二