计数原理、随机变量及其分布（8大考点）-2026年高考数学（含解析）

针整麻AL的林变量4*今申

考点概览

考点01陵机事件及古典视型

考点02二货式定理

考点03加法原理与施法原理

考点04排列与组合

考点05正态分布

考点06舄散型厩机变量及其分布列

考点07离散型陵机变量的均值与方星

考点08二g分布及其应用

考点一

一、单选融

1.（2026•广东梅州•一模）甲乙两人下棋比赛,规则是谁先赢2局,谁便显得奖金5400元.根据以往的交手记

录，每局甲赢的概率为?，乙赢的概率为且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为

JJ

公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之上进行分配，则甲分得奖金（）元.

A.3600B.3800C.4000D.4200

2.（2026•广东茂名•一模）从1至13的整数中任取3个不同的数a,b,c,则Q+2b+3c能被2整除的概率为

（）

6工

A—13BR-13。C13D-i

3.（2026.广东华侨.一模）甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为!■，白，密码被成功破译的概率为

()

A立「10D

A.7B-7C•五-1

4.（2026・广东佛山•一模）节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历

法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶.若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个

节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（）

5.（2026.广东多校联考•一模）高三⑴班举行英语演讲比赛，共有六名同学进入决赛,在安排出场顺序时,

甲排在后三位，且丙、丁排在一起的概率为（）

B47

A±-1空D.

从3C180180

二、多选JB

6.（2026,广东•一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件AB存在

如下关系：系（43）=曳绊察父.张同学每天的运动计划包括两种主要方式:室内健身和户外运

力.张同学第一天选择室内健身的概率为暮，选择户外运动的概率为如果第一天选挣空内健身，

那么第二天继续选择室内健身的概率为喜；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率

为善.则张同学（）

O

A.第二天去室内健身的概率为得

B.第二天去户外运动的概率为年

C.若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为名

D.若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为:

4

三、城空题

7.（2025・广东广州•一模）事件35,P（4U0=5，且P⑷=2P（8）,则P（B）=

0

四、解答题

8.（2026・广东深圳•一模）某智能系统用于处理判断题（答案只有“对”和“错”），系统内设有两个独立的预

测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如r：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若

两者答案一致，则直接输出该答案;若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次

给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为p（0VpVI）,模型乙回答正确的概率为

075,假设各模型每次回答相互独立.

（1）当p=0.85时，求系统第一次同时向两个模型提问时,两个模型答案不同的概率：

（2）若系统最终输出正确答案的概率不低于0.88,求p的最小值.

...........»

考点二甑机事件及古典概型

一、单曲

9.（2026・广东・一模）在（1一04+（1—乃5的展开式中,含砂的项的系数是（）

A.-4B.4C.-16D.16

10.（2025・广东清远•一模）在（①一2g）5的展开式中，/峭的系数为（）

A.10B.-10C.40D.-40

1432

11.（2026・广东佛山•一模）若（2x—1）=a4x4-a：ix4-a2x4-a}x4-cz0,KOQ1+%=（）

A.40B.41C.-40D.-41

二、填空题

12.（2026・广东广州・一模）设0为常数，多项式炉+如2+1除以£2—1所得的余式为£+3,则口=.

13.（2026•广东佛山・一模）（2七+工?展开式中的常数项为

14.（2026・广东・一模）在（2+4+（2+4的展开式中，含炉项的系数是.

15.（2026・广东华侨—模）在卜+卷丫的展开式中，二项式系数的和为64,则展开式中广项的系数是

.（用数字作答）

考点三加法原理与柬法原理

一、单选融

16.（2026•广东湛江•一模）某次展览会有4个核心主题，已知每个主题F有2个案例，现需从8个案例中随机

拍取4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案例，而另外2个案例

来自两个不同主题的抽取方案的种数为（）

A.120B.96C.48D.24

17.(2025•广东广州•一模)已知乘积(a1+a2)(61+62+63)(c1+c2-»-c3+--+cn)(n€N,n>l)展开后共有60

项，则九的值为()

A.5B.6C.1()D.12

二、现

18.（2026・广东茂名•一模）在如图所示的4X4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选

中，在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最小值是

21314150

22324352

23324353

25344454

19.(2026•广东华侨♦一模)某校从8名教师中选派4名教师到4个边远地区支教(每地1人)，要求甲、乙不同

去，甲、丙只能同去或同不去，贝］不同的选派方案有种.

考点四排列与组合

一、单曲

20.(2026・广东汕头•一模)一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正

方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为()

A.7或一5B.5或一3C.3或一3D.1或一1

二、康

21.(2026•广东梅州••模)已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州

北、广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备种不同的车票.

22.(2026・广・东汕头•一模)西部某县委将7位大学生志愿者(4男3女)分成两组,分配到两所小学支教，若要

求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有种.

三、懈陶！

23.(2026・广东•一模)甲社区有九个女生和九个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有n个女生0小

•••,g„和271—1个男生61,62.*,,，其中女生a(i=12••,.n)认识男牛b,(，=1,2,…,2i—1),但不认识

其他男生.现从甲社区和乙社区分别选出加(加=1,2,…，九)队选手参加社区比赛，每队选手均为2人.

(1)若n=3,加=1,求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率；

(2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的a队的不同的选

法种数为和以(m).

(i)求并证明：当1时,An(m)=An-i(m)+(2n—1)递推公式，并说

明理由；

(ii)若乙社区将选出的馆个男生和馆个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参赛要求的概率.

考点五正态分布

一、单曲

24.（2026•广东梅州♦一模）为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试,其成绩X（单位:次）近似服从

正态分布N（160"），且p（12Q<XV160）=0.45,则该校2000名学生中约有（）人一分钟跳绳超过

200次.

A.100B.150C.200D.250

二、多选题

25.（2026・广东汕头•一模）某同学上学有时坐公交车,有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车

所花的时间，经数据分析得到:坐公交车平均用时30min,样本方差为36：骑自行车平均用时34min,样

本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.则（）

A.P（X<30）=0.5

B.p（y^40）=p（r>30）

C.若某天只有34min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择坐公交车

D.若某天只有38min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择骑自行车

26.（2026・广东广州•一模）某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量X（单位：g）服从正态分

布N（〃,〃），且P（X<14）=4,F（X<18）=J.从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量

OO

X在区间［14,18］上的件数记为£则（）

A.〃=16B.P（14<X<18）=,

C.P（E=1）=备D.E⑹=3

考点六离散型降机变量及其分布列

27.（2026•广东佛山•一模）现有8张大小质地完全相同的卡片，其中4张是红色，4张是蓝色.从中随机摸出

3张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为X。,然后进行如下操作:从袋子中随机

摸出一张卡片（每张卡片被摸到的概率相等）,观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取一张另一

种颜色的卡片放入袋中（即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片;若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋子

中始终保持3张卡片.记经过冷次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为X”.

⑴求P（X）=2）：

（2）当X=2时,求随机变量X的分布列和数学期望；

（3）求随机变量的数学期望.

q..................

28.(2026・广东茂名•一模)把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数2、一2、2i、-2i(i为虚数曲位)的正四面

体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为。，第二次出现底面朝下的复数记为机

(1)用A表示“而=4”这一事件,求事件A的概率P(A)；

(2)设复数曲的虚部为&求5的分布列及数学期望.

29.(2026.广东广州.一模)“村R4”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.

某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣,举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中

篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为白、"、得・甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题

10510

中每个题的正确率分别为

JJN

(1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；

(2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得-1分.设该同学回答

三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望；

...................0

考点七高散型nt机变量的均值与方差

一、多选题

30.(2026♦广东深圳•一模)将一枚质地均匀的硬币连续投掷九次，定义随机变量X”为结果中连续出现正面

的最大次数.若始终未出现正面，规定X.=0,例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为

1和2,故X|=24lJ()

A.P(X2=2)=；B.E(X:i)=

4O

2W号

c.F(XG=4)=[F(X3=2)]D.E(Xtt)

二、解答题

31.(2026•广东湛江•一模)某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节.在育苗环节，每粒种子的成活率

为p.在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q.若该农作物育苗成功且移栽

成活则认为种植成功.每粒种子种植是否成功互不影响.

(1)若一粒种子种植成功的概率为)，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为4，现播撒300粒种广,

设育苗成功的种子数量为"求石化)；

(2)播撒6粒种子，设种植成功的数量为X,求X=5的概率P,并求P的最大值.

32.(2026•广东梅州•一模)(1)一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机放

同地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用X表示停止时摸出红球的次数.

①求X的分布列和数学期望；

②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率.

(2)某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车,另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门

中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两

扇门中后面为山羊的一扇门，井询问节FI参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？

请用概率解释.(备注:汽车的价值要远大于羊.)

33.(2026・广东佛山•一模)某款4(人工智能)机器人进行射门游戏，射中得1分，未射中得T分，当累计得

分X达到2分或一2分时游戏结束，否则游戏将一直进行下去，X=2时获胜，X=-2时落败，已知该款

4机器人射门的命中率为Q©&QV1),各次射门相互独立.

(1)求机器人恰好射门4次后获胜的概率；

(2)4表示“机器人射门几次，游戏仍未结束”.

⑴若。=9，求p(414)和—214G依eM)：

⑻若。(4+214)=+(kwN*),求游戏结束时X的数学期望.

34.(2025・广东佛山•一模)中秋节期间，某商场组织一场抽奖活动.每次抽奖中奖的概率均为p(OVpVl),且

每次抽奖相互独立.在商场消费的顾客可以自由选择抽奖次数,如果中奖次数多于抽奖次数的一半，则

可获得中秋礼物.记E表示“抽奖就k€N.)次,获得礼物的概率”.

⑴若p=J，求R：

(2)若p=4■，顾客选择抽3次奖，记中奖次数与不中奖次数之差为X,求X的期望；

(3)若pv]•，且规定只能选择抽奇数次奖.一位顾客认为，抽奖次数越多，获得礼物的概率就越大.判断

这位顾客的说法是否正确，并证明你的结论.

...........»

35.（2026•广东茂名•一模）已知甲、乙两个盒子均装有1个白球和1个黑球，现进行如下操作:从这两个盒子

中各取1个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第九次操作后甲盒中白球的个数记为X“，M=

P（Xn=l）,bn=P（Xn=2）.

⑴求Q”bi；

⑵证明：｛厮得｝是等比数列;

（3）求X.的数学期望.

考点八二项分布及其应用

一、单选JB

36.（2026・广东佛山•一模）甲和乙进行一个游戏:初始时每人各持有2枚徽章.根据游戏规则，每局由丙负

责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为春.输的一方需将自己

的1枚徽章交给赢的一方.游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立.则游

戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（）

A±8C-8D-T

二、填空题

37.（2026•广东湛江•一模）某智力问答游戏的规则如下:游戏共有A8两类问题（每类问题的数量无限多，且

不重复）.参加游戏的选手解答任意一道问题正确，则游戏结束;若解答错误，则按以下规则抽取一道问

题进行解答:若解答的是4类问题，则抽取一道6类问题进行解答，若解答的是石类问题，则等可能地抽

取一道力类或B类问题进行解答.如此循环，直到解答正确为止.已知甲解答43两类问题的正确率

分别是且解答每道问题是相互独立的.若甲最先解答一道4类问题，则他通过解答"类问题结

束游戏的概率是.

38.（2025・广东清远•一模）甲、乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分.设每局甲胜的概率为

!■，乙胜的概率为压,且各局胜负相互独立，五局比赛结束后甲比乙至少多得2分的概率为.

（结果用数字作答）

三、*JB

39.(2026・广东广州•一模)甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比

赛结束，命中目标者获胜.假设甲每次射击命中目标的概率均为a(0VaVI)，乙每次射击命中目标的

概率均为仪OV0VI),各次射击结果互不影响.

(1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为p,求p(用a,3表示)；

(2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求0的最小值.

参考公式:若0VqV1,则=1+q+a?+/；+••・=:.

»=oi-q

40.(2026・广东江门•一模)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前

拍签决定首先比赛的两人，另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直

至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛

结束.经抽签，甲、乙首先比赛，为轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为《，

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率.

............即

针整麻AL的就变量4*今申

考点概览

考点01陵机事件及古典视型

考点02二g式定理

考点03加法原理与施法原理

考点04排列与组合

考点05正态分布

考点06离代型厩机变量及其分布列

考点07离散型陵机变量的均值与方星

考点08二/分布及其应用

考点一武机事件及古典概型

一、单选融

1.(2026•广东梅州•一模)甲乙两人下棋比赛,规则是谁先赢2局,谁便显得奖金5400元.根据以往的交手记

录，每局甲赢的概率为?，乙赢的概率为且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为

JJ

公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之上进行分配，则甲分得奖金()元.

A.3600B.3800C.4000D.4200

【答案】。

【详解】甲要赢得比赛，需要先赢两局，可能的比赛局数为2局或3局.

2局结束，即甲连赢2局,概率为R=x^=.；

•joy

3局结束，即前2局甲、乙各赢1局，第3局甲嬴，概率为2=,

JJJJJJZ(

所以甲赢得比赛的总概率为8=(■+.

同理可求得乙嬴得比赛的总概率为氏：=4~，-^-+；，,，4"+善,

JJooJoJ<5//

所以甲分得奖金为5400x翡=4000元.

NI

2.(2026•广东茂名•一模)从1至13的整数中任取3个不同的数a,b,c,则a+26+3c能被2整除的概率为

()

A5p6c7n8

A-13Bl3Cl3D.百

【答案】0

【分析】根据题意首先分析a+2b+3c能被2整除时，a,b,c的取值要求，再结合排列组合及古典概型可

求解.

【详解】因为1至13的整数中有6个偶数，7个奇数，

若a+2b+3c=a+c+2(b+c)能被2整除，则只需a+c能被2整除，b的取值异于a,c即可，

当a,c都为奇数时，a,b,c的取法有4Gl种;

当a,c都为偶数时，a,b,c的取法有4G'种,

A""4al_7x6x11+6x5x116

所以a+2b+3c能被2整除的I明率为

:

A；:i13x12x1113

故选：R

3.(2026•广东华侨•一模)甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为2,六，密码被成功破译的概率为

()

A6BaC—D—

A7口.7。21D.21

【答案】A

【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率

公式可得答案.

【详解】因为甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为4,白，

所以甲乙都没有成功破译密码的概率=],

所以密码被成功破译的概率为1一方二争

故选：A

4.(2026・广东佛山•一模)节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历

法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶.若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个

节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为()

A.《B.C.-yD.4

6523

【答案】B

【分析】若从立春、雨水、惊蛰、舂分、清明这五个节气中随机选择两个节气，共1()种情况，其中一个节气是

立春，有4种情况，用古典概型概率计算公式即可.

【详解】记立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气分别为a、6、c、d、e,

则样本空间Q={(a,b),(a,c),(Q,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,"),(c,e),(d,e)},

记事件力表示“其中一个节气是立春”，则4={(a4),(a,c),(a,d),(a,e)},

由古典概型可知产(4)=4=2.

故选：右

5.(2026•广东多校联考•一模)高三⑴班举行英语演讲比赛，共有六名同学进入决赛，在安排出场顺序时,

甲排在后三位，且丙、丁排在一起的概率为()

【答案】3；

【分析】利用分类分步计数，结合捆绑法、排列组合数求甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法数，再：

由全排列求六位同学任意安排的方法数，应用古典概率的求法求概率即可.：

【详解】1、将除甲丙丁外的其它三名同学作排列有8种；：

..............0

2、丙丁捆绑，插入三名同学成排的4个空中，分两种情况：

当插入前2个空有4c种，再把甲插入五名同学所成排的5个空中后3个空有种;

当插入后2个空有4G种，再把甲插入有C种：

所以，甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法有+C］）=120种，

而六位同学任意安排的方法数为&=720种，

所以甲排在后三位且丙、丁排在一起的概率为缥=!.

故选：B

二、多选,

6.（2026・广东,一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件A8存在

如下关系：P（40=尸（'嘉.张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运

助.张同学第一天选择室内健身的概率为?，选择户外运动的概率为。.如果第一天选择室内健身,

JJ

那么第二天继续选择室内健身的概率为:；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率

为善.则张同学（）

O

A.笫二天去室内健身的概率为蒋

B.第二天去户外运动的概率为看

C.若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为六

D.若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为,

4

【答案】力co

【详解】设义表示张同学第一天选择室内健身，4表示张同学第二天选择室内健身,

a表示张同学第一天选择户外运动，B2表示张同学第二天选择户外运动.

«m）=4,m）=v，p（4ia）=9P（A2|B.）=4，

JJ/J

因为p（4|4）=>>弁产）=/，所以尸（4）p（414）=

因为尸（人⑸=P（空黑42）=看,所以尸（4）尸（314）=1x［=看，

对于4P（A）=P（4）P（4I4）+P（4）P（BI4）=,+1=。,故A正确;

<5yy

对于B,因为产32）=1-尸（4）=1一卷二卷,故B错误;

2.2.

对于。，因为P（B|4）=故C正确;

尸（儿）45

**

等〉。一十）

对于。，因为尸（4］耳）=4—

尸（耳）一。（星）4_

9

三、康空JB

7.(2025・广东广州•一模)事件EG4WUB)=卷，且P⑷=2。(0，则P(B)=

【答案】与/0.6

5

【分析】由事件的包含关系可得。(4)=弓,根据对立事件的关系计算可得P(B).

【详解】因为事件8G40(45)=3

5

所以P(4)=言，

O

因为尸(4)=2尸(6),

所以P(6)=V，P(百)=1一P(B)=g.

故答案为：擀

5

四、解答题

8.(2026.广东深圳.一模)某智能系统用于处理判断题(答案只有“对”和“错”)，系统内设有两个独立的预

测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如工：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若

两者答案一致，则直接输出该答案:若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次

给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为p(0VpVI),模型乙回答正确的概率为

0.75,假设各模型每次回答相互独立.

(1)当p=0.85时，求系统第一次同时向两个模型提问时,两个模型答案不同的概率；

⑵若系统最终输出正确答案的概率不低于0.88,求p的最小值.

【答案】⑴0.325

(2)0.8

【分析】(1)根据独立事件和互斥事件概率的计算公式求值即可.

(2)先求系统最终输出的答案正确的概率，根据概率不低于0.88列式，解二次不等式，可求p的最小值.

【详解】(1)不妨设事件4="模型甲回答正确"，事件6="模型乙回答正确”，则石="模型甲回答错

误"，后="模型乙回答错误”，

由于4与B相互独立，A与区方与6,角与后都相互独立，

由题意可得，P(A)=p=0.85,P(B)=0.75,P(A)=1-0.85=0.15,P(B)=1-0.75=0.25,

分析可得，”在第一次提问中两个模型答案不同”的概率为外力占UAB),且AS与AB互斥，根据概率的

加法公式和事件的独立性定义，得

P(ABUAB)=P(AB)+P(AB)=P(71)P(5)+P(X)P(B)=0.85x0.254-0.15x0.75=0.325,

故在第一次提问中两个模型答案不同的概率为0.325.

(2)系统最终输出正确答案包含两种互斥的情况：一是第一次提问时两模型答案一致且正确；二是第一

次提问时两模型答案不一致，且第二次向模型甲提问时其回答正确.

系统第一次输出正确答案的概率为：P(AB)=0.75/,

由(1)可知，在第一次提问中两个模型答案不同的概率为：

P(ABUAB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A}P(B)=0.25p+0.75(1-p)=0.75-0.5p,

系统第二次输出正确答案的概率为：P(ABUAB)P(A)=(0.75-0.5p)-p=-0.5p2+0.7印,

设系统最终输出正确答案的概率为P,则P=0.75p+(-0.5a+0.75p)=-0.5p2+1.5p,

于是尸'>0.88,解得0.84p42.2,又由(0,1),于是0.84&V1,

则p的最小值为0.8.

考点二甑机事件及古典概型

一、单

9.(2026・广东・一模)在(1-4+(1-4的展开式中，含炉的项的系数是()

A.-4B.4C.-16D.16

【答案

【详解】对于(1一切』+(1—乃5的展开式，

含X2的项为G(—02+G(一力2=16/2,

故该项的系数为16.

10.(2025・广东清远•一模)在Q—2g)5的展开式中，炉炉的系数为()

A.1013.-10C.40D.一40

【答案】C

【分析】根据二项式展开的通项公式求解.

【详解】展开式的通项公式为或+1=C^-\-2y)k=。式—2)，5f，k=0,1,2,…，5,

令k=2,则玛=C?x(-2)W=40喻/2,

所以展开式中t厅的系数是40.

故选：C.

lA2

11.(2026•广东彳弗山•一模)若(2z—1)"=a4x+a.sx4-a2x+axx+出，则ax+a:i=()

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】C

【分析】利用赋值法计算a1+a：i的值.

【详解】令①=1,则。|+g+。2++Qu=1①，令，=—1,则&-。3+02—Q1+的=(-3)*1=81②,

丐母得到a.+a；,=与9=-40.

故选：C.

二、填空JB

12.(2026.广东广州・一模)设。为常数，多项式炉+。〃+1除以£2—1所得的余式为~+3,则口=

【答案】2

【分析】由题可设炉+g2+1-3+3)=也2_1)此+6),再化简解方程即可求解得到Q=b=2.

;【详解】因为多项式4+a4+1除以炉一1所得的余式为i+3,

所以可以设炉+"+1—Q+3)=(炉-1)3+6),

整理得到x3+ax2—c—2=炉+—x—b,

Q...............

所以忠则Q=2.

故答案为：2.

13.（2026•广东佛山•一模乂?展开式中的常数项为.

【答案】240

【分析】写出通项公式，令I的指数为0,得到k=2,从而常数项为£=240.

【详解】（24+?）展开式的通项公式为北+产篇（26）1（《『=或2。-%贷X-占盘26-3竽，

令比卢=0得k=2,玛=C?2%°=240,

故答案为：240.

14.（2026广东・一模）在（2+03+（2+0」的展开式中，含3；2项的系数是.

【答案】30

【分析】根据二项式定理，（。+6户的通项为7+1=。3。尸一卜•火把（2+2）3+（2+以分成（2+为3和

（2+c）4两部分，分别求其小项的系数再求和即可.

【详解】根据二项式定理，（a+b）”的通项为左句=&•a'』•眇.

原式（2+⑼：'+（2+x）1可分成（2+x）3和（2+X）1两部分：

对于（2+c）3,求3?项（即k=2）:

■=玛・23-1・^=3・2・d=6",因此①2项的系数是6.

同理，对于（2+z）」，求〃项（即k=2）:

7=C5・2-2•d=6・22•炉=24〃，因此⑦2项的系数是24.

将两部分的炉项系数相加：6+24=30.

故答案为：30.

15.（2026•广东华侨•一模）在（。+巨了的展开式中，二项式系数的和为64,则展开式中3项的系数是

X

.（用数字作答）

【答案】135

【分析】根据二项式展开式的二项式系数之和可得2n=64,解出h=6,结合通项公式计算即可求出炉的

系数.

【详解】由题意，2“=64,则九=6,

则卜+旦丁的展开式的通项为—=a・％f（Sj=a・3「•谈田，T=0,1,2，…，6,

令6—2厂=2,得7=2,

所以展开式中d项的系数是0.32=135.

故答案为：135.

考点三加法原理与疏法原，

一、单曲

16.（2026•广东湛江•一模）某次展览会有4个核心主题,已知每个主题下有2个案例，现需从8个案例中随机

扪取4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案例，而另外2个案例

来自两个不同主题的抽取方案的种数为（）

A.120B.9GC.48D.24

【答案】。

【分析】由分步乘法计数原理即可求解.

【详解】先取出同一主题的两个案例有&种取法，再从剩下的主题中取出2个主题，有C5种方法,

最后再从这2个主题分别包含的2个案例中各取一个案例有GC种，

由分步计数原理，可得取法种数为=48.

故选：C.

17.（2025•广东广州•一模）已知乘积（ai+Q2）（bi+b2+%）（q+c2+c3+…展开后共有60

项，则久的值为（）

A.5B.6C.10D.12

【答案】C

【分析】根据多项式相乘时，展尹式的项数等于每个括号里的项数相乘求解即可.

【详解】因为第一个括号（Qi+如）有2项，

第二个括号（仇十与十几）有3项，

第三个括号（5+3+。3~1---Fcw）有71■项，

所以展开式共有2x3xn.=60项，

所以71=10.

故选：C

二、填空题

18.（2026・广东茂名•一模）在如图所示的4x4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选

中，在所有符合.卜.述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最小值是.

21314150

22324352

23324353

25344454

【客案】148

【分析】根据表格中数据行与列的特在即可分析求解.

【详解】由表格中每列数据特征告诉我们选出的4个数据十位的组合搭配固定为2、3、4、5,

所以要想选中方格中4个数据之和最小只需每行选中的数据个位数都是该行所在四个数据中最小的印

■,

所以选中的4个数据第一行一定是50,第三行一定是32,则第二行和第五行分别是22和44,

所以选中方格中的4个数之和最小为50+32+22+44=148.

故答案为：148

19.（2026•广东华侨•一模）某校从8名教师中选派4名教师到4个边远地区支教（每地1人），要求甲、乙不同

去，甲、内只能同去或同不去，贝］不同的选派方案有种.

【答案】600

【分析】先从8名教师中选出4名，因为甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选甲分

成两类，两类方法数相加，再把4名老师分配去4个边远地区，4名老师进行全排列即可，最后两步方法

教相乘

【详解】解：分两步，

第一步，先选四名老师，又分两类，

第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有C?=10种不同的选法，

第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有垸=15种不同的选法，

所以不同的选法有25种，

第二步，四名老师去4个边远地区支教，有A；=24种，

所以共有25x24=600种，

故答案为:600

【点睛】此题考查了排列组合的综合应用，属于基础题.

考点四排列与姐合

一、单选题

20.⑵）26•广东汕头•一模）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正

方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（）

A.7或一5B.5或一3C.3或一3D.1或一1

【答案】。

【分析】将“质点移动位置”转化为“正、负方向移动次数”6勺组合问题，通过分析组合数的最大值确定概率

最高的位置.

【详解】设质点向正方向移动的次数为k（k=0,1,2,…，7）,则向负方向移动的次数为7—k,

质点最终的位置坐标由正、负方向移动的总距离决定：o:=kxl+（7—k）x（—l）=2k-7,

每次移动向正、负方向的概率均为《，因此“7次移动中恰好有k次向正方向”的概率服从二项分布

B（7,1）,概率公式为:p（k）=c居）"（1得尸=图9，

其中a为组合数，『为常数，因此,概率p的的大小由组合数a决定，”最可能的位置”对应a最

大时的X,

2°时G）=焉=1

k=1时c=iftr=7

卜=2时a=»j%=21

卜=3时C?=.=35

k=4时/3!=35（

卜=5时。=否=21：

…时所磊一7!

...................................G

I时0=为万=1

综上，组合数C?在k=3和k=4时取得最大值35,

当k=3时，代入1=2