2026中考数学 二次函数压轴题突破练：二次函数背景下的图形变换（原卷版）

专题03二次函数背景下的图形变换

【方法综述】

本类型主要研究二次函数背景下的图形变换。因为图形的平移、折叠和旋转是许多数学

问题进行命题的基础，因此这类问题大量存在，并且和其它问题相交织。

二次函数背景下的图形变换主要分成两类：

一个是二次函数图象的图形变换，此类问题在解决二次函数图象平移时可以采用顶点式

表示抛物线顶点的变化，从而降低因图形变换函数关系式的表示难度。

另一类，是以二次函数为背景的几何图形变换。对于此类问题首先要掌握每一种图形变

换的性质，并应用这些性质结合已知条件构成方程解决问题。

【典例示范】

类型一、二次函数为背景的平移变换

例1：（年中考专题训练）如图，已知抛物线、=/+以+，经过火1,0）,仅0,2）两点，顶点为〃.

（1）求抛物线的解析式；

（2）将AO/IE绕点/顺时针旋转90。后，点B落在点C的位置，将抛物线沿V轴平移后经过点C,求

平移后所得图象的函数关系式；

（3）设（2）中平移后，所得抛物线与V轴的交点为名,顶点为名，若点N在平移后的抛物线上,

且满足AN啊的面积是AN"%面积的2倍，求点N的坐标.

针对训练

27

1.（山东济南模拟）如图1,已知二次函数尸mx?+3mx・4m的图象与x轴交于A,B两点（点

乖373

A在点B的左侧），顶点D和点B关于过点A的直线1：y二-弓对称.

（1）求A、B两点的坐标及二次函数解析式；

(2)如图2,作直线AD,过点B作AD的平行线交直线1于点E,若点P是直线AD上的一

动点，点Q是直线AE上的一动点.连接DQ、QP、PE,试求DQ+QP+PE的最小值；若不存

在，请说明理由：

3

(3)将二次函数图象向右平移5个单位，再向上平移个单位，平移后的二次函数图象上存

在一点M,其横坐标为3,在y轴上是否存在点E使得NMAF=45。？若存在，请求出点F坐

标；若不存在，请说明理由.

2.(云南腾冲期末)在平面直角坐标系“以中，抛物线"加公+2板M+喳过/信5),4(0,2)

两点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)设抛物线的顶点为B,将直线相沿y轴向下平移两个单位得到直线1,直线/与抛物线的对称

轴交于C点，O求直线/的解析式；

(3)在(2)的条件下，求到直线。法OC,BC距离相等的点的坐标.

3.(陕西省西安市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2平移，使平移后的

抛物线经过点A(-3,0)、B(1,0).

⑴求平移后的抛物线的表达式.

(2)设平移后的抛物线交y轴于点C,在平移后的抛物线的对称轴上有一动点P,当BP与CP

之和最小时，P点坐标是多少？

⑶若y=x2与平移后的抛物线对称轴交于D点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存

在一点M,使得以M、O、D为顶点的三角形^BOD相似？若存在，求点M坐,标；若不存在,

说明理由.

4.（聊城市年中考）如图，已知抛物线y=a/+人与”轴分别交于原点。和点尸（10,0）,与对称

轴咬于点艮5,5）.矩形48CD的边48在x轴正半轴上，且48=1,边力D,就与抛物线分别交于点M,

N.当矩形4HCD沿x轴正方向平移，点M,N位于对称轴/的同侧时，连接MN,此时，四边形4HNM

的面积记为S；点M,N位于窕称轴/的两侧时，连接EM,EN,此时五边形48NEM的面积记为S.

将点力与点。重合的位置作为矩形平移的起点，设矩形4HC呼移的长度为t（0<t<5）.

（1）求出这条抛物线的表达式;

（2）当t=0时,求»OBN的值；

（3）当矩形4HCD沿着x轴的正方向平移时、求S关于t（0WY5）的函数表达式，并求出£为何值时,

S有最大值，最大值是多少？

5.（南充市期末）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+l相交于A、B两点，且点A

在x轴上，点B的横坐标为2,连结AM、BM.

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）判断4ABM的形状，并说明理由；

（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点.若将（1）中抛物线平移，使其顶点为

（m,2m）,当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有两个不动点.

6.（沈阳市沈河区年中考二模）如图，抛物线y=-&2+bx+c与x轴交于（2,（））、（1,0）,

与y轴交于C,直线h经过点C且平行于x轴，与抛物线的另一个交点为D,将直线h向下平

移t个单位得到直线12,12与抛物线交于A、B两点.

（1）求抛物线解析式及点C的坐标；

（2）当t=2时，探究aABC的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，点M（m,0）在x轴上自由运动，过M作MN±x轴，交直线BC

于P，交抛物线于N,若三个点M、N、P中恰有一个点是其他两个点连线段的中点（三点重

合除外），则称M、N、P三点为“共谐点”，请直接写出使得M、P、N三点为“共谐点”的m的

值.

7.（培优提高单元检测）如图，火-1，0）、伏2,-3）两点在一次函数为=-*+血与二次函数

力2+以―3图象上.

（1）求m的值和二次函数的解析式.

⑵请直接写出使力＞当时，自变量%的取值范围.

（3）说出所求的抛物线力="+bx-3可由抛物线y=/如何平移得到？

8.（年河南省商丘市中考数学一模）如图，抛物线y=ax2+bx・2与y轴的交点为A,抛物线

的顶点为B（1,-3）.

（1）求出抛物线的解析式；

（2）点P为x轴上一点，当三角形PAB的周长最小时，求出点P的坐标；

（3）水平移动抛物线，新抛物线的顶点为C,两抛物线的交点为D,当O,C,D在一条直线

9・（吉林长春二模）已知抛物线C：y=x?-2x+l的顶点为P,与y轴的交点为Q,点F（I,

1

2）.

（1）求tan/OPQ的值；

（2）将抛物线C向上平移得到抛物线C，，点Q平移后的对应点为Q：且FQ，=OQ;

①求抛物线。的解析式；

②若点P关于直线Q下的对称点为K,射线FK与抛物线C，相交于点A,求点A的坐标.

1

10.（人教版数学九年级（上）第22章二次函数压轴题专项训练）已知抛物线小）=左+公-

2与x轴相交于A、B两点（点A在点8的左侧），并与y轴相交于点C.且点A的坐标是（-

1,0）.

（1）求该抛物线的函数表达式及顶点。的坐标；

（2）判断AABC的形状，并求出小人8。的面积；

（3）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线ZAZ/与工轴相交于4、9两点（点4在点夕的

左侧），并与〉轴相交于点C,要使△A9C和ZkABC的面积相等，求所有满足条，件的抛物线的

函数表达式.

类型二、二次函数为背景的折叠变换

例2.（吉林省长春市朝阳区东北师大附中20L8年中考模拟）定义：如图1,在平面直角坐标

系中，点M是二次函数%图象上一点，过点M作匕》轴，如果二次函数0的图象与g关于/成

轴对称，则称G是G关于点M的伴随函数如图2,在平面直角坐标系中，二次函数%的函数表

达式是'=-2f+2,点例是二次函数%图象上一点，且点M的横坐标为〃?，二次函数,2是〃关

⑴若m=l,

①求&的函数表达式.

②点P（a，4）,QS+L3在二次函数的图象上，若瓦工勾。的取值范围为

⑵过点M作MN〃无轴，

①如果MN=4,线段MN与Q的图象交于点P,且MP：PN=1：3,求机的值.

②如图3,二次函数02的图象在MN上方的部分记为仇，剩余的部分沿MN翻折得到Gz,由仇和

G2所组成的图象记为G.以4(1,0)、伏3,0)为顶点在X轴上方作正方形A8CD直接写出正方形ABCD

与G有三个公共点时"7的取值范围.

针对训练

1.(辽宁省本溪市年中考数学试卷)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax:+bx+c(a#))

经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点，其顶点为D,连接BD,点是线段BD上一个

动点(不与B、D重合)，过点P作y轴的垂线，垂足为E,连接BE.

(1)求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；

(2)如果P点的坐标为(x,y),4PBE的面积为，求S与x的函数关系式，写出自变量x的

取值范围，并求出S的最大值；

(3)在(2)的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为E连接EF,把^PEF

沿直线EF折叠，点P的对应点为P,请直接写出P点坐标，并判断点P是否在该抛物线上.

\

-3-2-1012Br

/T\

2.(江西省赣州市届中考模拟)如图1,已知抛物线Li：y=・X?+2X+3与X轴交于A,B两

点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,在Li上任取一点P,过点P作直线lJ_x轴，垂

足为D,将Li沿直线I翻折得到抛物线L2,交x轴于点M,N(点M在点N的左侧).

(1)当Li与L2重合时，求点P的坐标；

(2)当点P与点B重合时，求此时L2的解析式；并直接写出Li与L2中，y均随x的增大而

减小时的x的取值范|韦|；

3

(3)连接PM,PB,设点P(m,n),当n4m时，求ZkPMB的面积.

3.（赤峰市模拟）已知抛物线与x轴的交点坐标分别为A（1,0）,B（X2,0）（点B在点A

的右侧），其对称轴是x=3,该函数有最小值是-2.

（1）求二次函数解析式；

（2）在图1上作平行于X轴的直线，交抛物线于C（X3，y3），D（X4,y4）,求X3+X4的值；

（3）将（1）中函数的部分图象（X>X2）向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G"，如图

2,在（2）中平行于X轴的直线取点E（X5,y5）、（X4<X5）,结合函数图象求X3+X4+X5的取值

4.（-学年度第一学期人教版五四制九年级数学第28章二次函数单元测试题）如图，在平

面直角坐标系中，二次函数y=/+bx+c的图象与X轴交于48两点，力点在原点的左侧，A点的

坐标为（3,0）,与J轴交于。（0，-3）点，点P是直线BC下方的地物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式.

⑵连接p。、PC,并把^POC沿C。翻折，得到四边形POP’。，那么是否存在点P,使四边形POP'C为

菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）当点P运动到什么位置时，四边形4Hpe的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形4Ape的最

大面积.

5.（扬州市广陵区年中考数学模拟）有一个二次函数满足以下条件：

①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1,0）,B（X2,y2）（点B在点A的右侧）；

②对称轴是x=3：

③该函数有最小值是-2.

（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；

（2）将该函数图象x>X2的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，平行于x

轴的直线与图象“G”相交于点C（X3,y3）、D（X4,y4）>E（X5,ys）（X3<x4<xs）»结合画出

的函数图象求X3+X4+X5的取值范围.

6.（北京市海淀区届九年级二模数学试题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数上对

于函数图象上横坐标之差为1的任意两点①%），（。+1力2）,与一与工女都成立，则称这个函数是

限减函数，在所有满足条件的女中，其最大值称为这个函数的限减系数.例如，函数y=-1+2,

当工取值。和。+1时，函数值分别为与=一0+2,与=-。+1,故与-4=-1N”，因此函数旷=-％+2

是限减函数，它的限减系数为-1.

（1）写出函数旷=2<-1的限减系数；

1

V=一

（2）m>0,已知」x（-14工工成%工0）是限减函数，且限减系数女=4,求m的取值范围.

（3）已知函数的图象上一点p,过点P作，直线，垂直于y轴，将函数y=-f的图象在点p右

侧的部分关于直线/翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限

减函数，且限减系数7.（九年级数学北师大版下册同步测试题）已知关于x一元二次方程

x2-2（kH）xik2-2k-3=O有两个大相等的实数根

（1）求k取值范围；

（2）当k最小的整数时，求抛物线y=x2-2（k+l）x+k2-2k-3的顶点坐标以及它与x轴的交点坐

标；

（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变,

得到一个新图象.请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m

值.

类型三一次函数与二次函数相结合的营销问题

1

例3：（无锡市惠山区锡山高中年中考数学一模）如图，平面直角坐标系中，直线1：y=2x+m

交x轴于点A,二次函数y=ax?-3ax+c（a/）,且a、c是常数）的图象与x轴交于A、B两点

（点A在点B的左侧），与y铀交于点C,与直线1交于点D,已知CD与x轴平行，且S“CD：

SAABD-3z5・

（1）求点A的坐标；

（2）求此二次函数的解析式；

（3）点P为直线1上一动点，将线段AC绕点P顺时针旋转a。（0°<a°<360°）得到线段AC，

（点A,A，是对应点，点C,C是对应点）.请问：是否存在这样的点P,使得旋转后点A，和点

C分别落在直线1和抛物线y=ax2-3ax+c的图象上？若存在，请直接写出点A，的坐标；若不存

在，请说明理由.

针对训练

1.(208宁波市江北中学)已知直线叮=与抛物线C：y=/+bx+c.

⑴当匕=4,c=l时，求直线均抛物线c的交点坐标；

(2)当b=。=-4时，将直线，绕原点逆时针旋转15°后与抛物线。交于48两点(4点在B点的

左侧)，求4A两点的坐标；

⑶若将⑵中的条件“。=4”大掉,其他条件不变，且求c的取值范围.

2,(广西玉林市届九年级中考三模)如图，抛物线产-三+bx+c交x轴于点A(-2,0)

和点B,交y轴于点C(0,3),点D是x轴上一动点，连接CD,将线段CD绕点D旋转得

至IJDE,过点E作直线l_Lx轴，垂足为H,过点C作CFJJ于F,连接DF.

(1)求抛物线解析式；

(2)若线段DE是CD绕点D顺时针旋转9()。得到，求线段DF的长；

(3)若线段DE是CD绕点D旋转9()。得到，且点E恰好在抛物线上，请求出点E的坐标.

3.(华东师大版九年级数学下册第26章二次函数单元检测试卷)如图，在平面直角坐标系中,

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△CDE的顶点C点坐标为C(1,-2),点D的横坐标为石，将aCDE绕点C旋转到^CBO,

点D的对应点B在x轴的另一个交点为点A.

(1)图中，NOCE等于/_____；

（2）求抛物线的解析式；

1

（3）抛物线上是否存在点P,使SAPAE=2SACDE?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在,

请说明理由.

4.（年浙江省温州市苍南县中考一模）如图，口ABCD位于直角坐标系中，AB=2,点D（0,

1）,以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴正半粕上的点A,B,CE_Lx轴于点E.

（1）求点A,B,C的坐标.

（2）将该抛物线向上平移m个单位恰好经过点D,且这时新抛物线交x轴于点M,N.

①求MN的长.

②点P是新抛物线对称轴上一动点，将线段AP绕点A顺时针旋转60。得AQ,则OQ的最小

值为（直接写出答案即可）

5.（北师大版九年级数学下册.第二章.二次函数.单元检测）在平面直角坐标系xOy中（如图）,

已知抛物线'=。/+46+以。*0）经过4（0,4）,伙顶点为C.

（1）求该抛物线的表达方式及点C的坐标;

O)将⑴中求得的抛物线沿y轴向上平移m(m>0)个单位，所得新抛物线与y轴的交点记为点当

△ACD时等腰三角形时，求点D的坐标；

⑶若点P在⑴中求得的抛物线的对称轴上，联结P。，将线段P。绕点P逆时针转9。°得到线段P。',

若点。'恰好落在(1)中求得的抛物线上，求点P的坐标.