曲线运动（抛体运动、圆周运动、与电场结合的曲线运动）（解析版）-2026年高考物理冲刺复习专练

专题04曲线运动

ONEi

【命题解读】

曲线运动是高中阶段除直线运动外的另•大运动，注重考察解决曲线运动问题的•般方法。抛体运动问题

常采用运动的分解来解决，将曲线运动转化为直线运动，用直线运动规律解决曲线运动的问题。而圆周运

动问题多为描述圆周运动的物理量•之间的关系，寻找物体做圆周运动的向心力，利用牛顿第二定律处理。

【命题预测】

2026年高考，曲线运动中的抛体运动和圆周运动仍会倾向单独命题，出现在选择题中，但也可能与功能关

系相结合，设置综合性较强的题目；与电磁场相结合研究带电粒子在电场中的曲线运动是必考题，以选择

题或计算题形式考查的概率很高。另外注重三维空间内的曲线运动，血对十抛体运动的分解也不限十水平

方向和竖直方向，而是更加灵活多变。

TWO幽颜@押

A题型01运动的合成与分解抛体运动

1.如图所示，边长为3.2m的正方形水池中心处有一喷泉，其喷口与水池边缘等高，可向四底斜向上45。

连续喷出水流。重力加速度g=10m/s2,不计空气阻力，要使水流恰好不喷出池外，喷口处水流的速度大

小应为（）

A.2m/s

【答案】C

【详解】设喷口处水流的速度大小为％,则运动过程中竖直方向%sin45o=gx：

水平方向g/=匕/cos45°=1.6m

解得“一4m/s,故选C。

2.如图所示，建筑工人向房顶抛投建筑材料，初速度%大小为12m/s,与水平方向的夹角为60。，抛出点M

和落点N的连线与水平方向夹角为3（）。，重力加速度大小为g=10m/s2,忽略空气阻力。则M点到N点的

距离是（

B.7.2m

C.9.6m

【答案】C

【详解】根据抛体运动规律可知hos3。=v0cos60t,Lsin30=vosin6Ot-^gr

解得L=9.6mo

故选C。

3.如图，•名游客体验过山车项目，当过山车以3m/s的速度通过圆弧形轨道最高点时，游客手中的手机

不慎滑落。此时手机距地面高度为20m,重力加速度为lOm/s?,手机质量为0.2kg,不计空气阻力，则（）

A.手机落地前做自由落体运动

B.手机落地时重力的瞬时功率为40W

C.手机落地时速度大小为23m/s

D.从滑落到落地前，手机速度变化量的方向与竖直方向的夹角不断减小

【答案】B

【详解】A.手机滑落后有水平速度，则落地前做平抛运动，A错误：

B.手机落地时重力的瞬时功率为尸="货，、尸，咫J^=0.2X10XX/^TUmW=40W,B正确;

C.手机落地时的竖直速度片=2的

可知落地的速度大小为［==V32+2xl0x20m/s=V409m/s,C错误；

D.因手机只受重力作用，加速度为向下的g,则从滑落到落地前手机速度变化量的方向总是竖直向下不变，

D错误。

故选Bo

4.如图所示，内壁光滑的圆桶固定于水平地面上，圆桶的半径R=0.5m,现从左壁沿圆心方向以大小“5m/s

的速度水平抛出•个小球，抛出点距桶底的竖直高度上L8m,球与桶的碰撞均为弹性碰撞，碰撞前后沿接

触面方向速度不变，重力加速度R=10m/s2,则球再次回到左壁时距抛出点的高度为（）

A.0.6mB.0.8mC.1.0mD.1.2m

【答案】B

【详解】由平抛运动水平方向的分运动是匀速直线运动得小球经4=¥=02s与右壁发生碰撞，因球与桶

的碰撞均为弹性碰撞，即碰后水平方向速度大小不变，方向水平向左，竖直方向速度不变，故全程竖直方

向可看作自由落体运动，故第次与右壁发生碰撞后到第二次与左壁发生碰撞前需时也为0.2s,竖直方向

由力=5g/=]g(2G2=o.8m

故选Bo

5.在滑雪比赛中，某运动员从跳台上的A点以速度%=20m/s,与水平方向成。=30角斜向上起跳，经过

空中8点时，速度与水平方向夹角为6=45,如图所示。重力加速度大小g=10m/s",不计空气阻力，则

运动员从A到B飞行时间约为（）

A.0.7sB.1.4sC.2.7sD.5.4s

【答案】C

【详解】由水平方向速度不变可知%cosa=vcos〃

解得v=10\/6m/s

则竖直方向vsin/7=-vosina+gr

解得1=（G+1）S=2.7S

故选C。

6.（多选）如图所示，小环A套在光滑水平杆上，连接小环A的轻质细线与水平杆间所成夹角8=30。,

细线跨过同一高度上的两光滑定滑轮与小环A质量相等的物块B相连，定滑轮顶部离水平杆距离为爪现

将物块B由静止释放，A、B均可视为质点，重力加速度大小为g,不计空气阻力，则（

A.物块B下降过程中，物块B机械能守恒

B.物块B下降过程中，小环A和物块B系统机械能守恒

4（2->/2）^

C.当小环A运动到8=45。时，小环A的速度大小-

A

3

4（2->/2）^

D.当小环A运动到。=45。时，物块B的速度大小％

3

【答案】BC

【详解】A.物块B下降过程中，细线拉力对B做负功，故机械能减小，故A错误;

B.以小环A和物块B为整体可知，系统机械能守恒，故B正确;

CD.当小环A运动到。=45。时，可知％="cos45。

其中mg(2h-x/2/?)=Jmv\+；/加

解得…件"%=后鎏

故C正确，D错误。

故选BCo

7.（多选）如图所示，某物流园区的智能配送机器人（可视为质值）需通过宽d=3.2m的传送带（足够长），

传送带以叫=0.8m/s匀速运行，机器人相对传送带行驶速度I、的方向可调整，匕的大小范围为

关于机器人通过传送带区域过程中，下列说法正确的是（）

A.机器人通过的最短时间为2s

B.当路径垂直传送带边沿时，机器人的最小速度为0.2m/s

C.当路径垂宣传送带边沿时，机器人的最大速度为0.86m/s

D.当路径垂直传送带边沿时，机器人通过的最短时间为3.2s

【答案】AC

【详解】A.机器人相对传送带沿垂直于传送带行驶方向运动时，且机器人速度取1.6m/s时通过时间最短,

设J=L6m/s,有v2maxrmin=d

可得最短时间为U=2s,故A正确:

BC.当路径垂直传送带边沿时，如图所示有为cos6=h

当与取LOm/s时，可得机器人相对传送带的速度为内sin0=0.6m/s,可知机器人的最小速度为0.6m/s；

同理当匕取L6m/s时，可得机器人相对传送带的速度为0.86m/s，可知机器人的最大速度为0.86m/s，

故B错误，C正确；

D.当路径垂直传送带边沿时，当内取L6m/s时，机器人的最大速度为0.86m/s,可得机器人通过的最短

时间为竽故口错误。

故选ACo

8.（多选）如图所示，在倾角为。的斜面底端正上方高度”处，以初速度%水平向右抛出一小球，最终落

在斜面上。已知重力加速度为g,tan0=[,不计空气阻力。下列说法中正确的是（）

A.若%=，小球平抛运动的位移最小

B.若=,小球将垂直打在斜面上

c.若%=而，小球落到斜面上的速度最小

D.小球落到斜面上的最小速度为整后二玉万

【答案】ABD

【详解】A.由于小球做平抛运动的位移最小，即小球做平抛运动的合位移垂直于斜面，根据平抛运动规律

有//cos，sin9=,Hcos2O=^gt~

又知lan”冬

即sin0=—,cos。=

33

联立解得%=廊,故A正确:

B.小球做平抛运动x=i«，y=^gr

小球垂直打到斜面上，小球落在斜面上时速度与竖直方向成6,分解小球落在斜面上时的速度tanO=±

gi

根据几何关系有tan0=0二

X

联立解得%=百7,故B正确；

D.小球落在斜面上时的竖直分速度。二&7

小球落在斜面上时的水平分速度Vx=y=

几何关系tan®=△二

x

小球落在斜面上时的合速度丫=47k

又知tan0=«2,联立解得v=3gy+必-2Hg

2V'

根据数学知识可知，3.，与包X的乘积一定，当二者相等时和有最小值，故3gy与

yy

H

整理得丁=耳

所以小球落到斜面上的最小速度*,=加+1—2为=陋5—2）初,故D正确;

C.小球做平抛运动％=卬，y=；g/

几何关系tan"乜二工

X

H

又知尸耳

联立解得%=1-^-收gH,故%=1-^-J。”时小球落到斜面上的速度最小，C错误。

JJ

故选ABD。

9.跳台滑雪是一项勇敢者的运动，它需要利用山势特点建造一个特殊跳台。一运动员穿着专用滑雪板，不

带雪杖，在滑雪道上获得较高速度后从八点沿水平方向飞出，在空中飞行一段距离后在山坡上B点着陆，

如图所示。已知可视为质点的运动员从A点水平飞出的速度%=20m/s,山坡可看成倾角为37。的斜面，不

考虑空气阻力(g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8),求:

(1)运动员在空中的飞行时间。；

(2)运动员落到斜面上时的速度大小v；

(3)运动员何时离斜面最远。

【答案】(l)3s；⑵10J万m/s；(3".5s

【详解】(1)运动员从A点到8点做平抛运动，水平方向的位移x=%

竖直方向的位移y=g防2

又有tan37。=)

x

代入数据解得3s

<2)运动员落在斜面上时速度的竖直分量j=Gi=30m/s

运动员落到斜面上时的速度大小v=+y：=10>A3m/s

(3)如图

运动员距离斜面最远时,

即tan37o=改

%

解得“姐叱=L5s

►题型02圆周运动

io.可视为质点的游客在观山湖区乘坐如图所示的“观山湖眼”摩天轮，他随座舱一起在竖直面内做速度大

小为y的匀速圆周运动。将此速度在圆周所在的平面内沿水平和竖直方向分解，其水平分量为匕。以游客

经过最低点时为计时起点，在其转动一圈的过程中，匕随时间，变化的关系图像可能是（）

【答案】D

【详解】游客做匀速圆周运动，设角速度为Q）,则经过时间，后，转过的角度为①八此时速度方向与水平

方向的夹角为⑼，因此水平分量为匕=vcos创

因此味随时间/按余弦规律变化，可知D选项符合题意。

故选Do

11.2025年9月，杭州超重力场启动全球最大的离心机主机。如图为离心机结构的俯视图，质量均为“2的

模型舱和配重系统通过转臂连接，在水平面内绕竖直转轴以角速度。做匀速圆周运动。正常转动时，两者

重心到转轴的距离均为R，转轴受到的水平作用力为0。若某次实验中，模型舱的重心到转轴的距离增加了

〃，其余条件不变，则转轴受到的水平作用力大小为（）

模型舱

(t)

A.mco2RB.nico^dC.iruo2(R+d)D.ml(R-d)

【答案】B

【详解】若某次实验中，模型舱的重心到转轴的距离增加了，/，其余条件不变，以配重系统为对象，水平

方向根据牛顿第二定律可得耳=

以模型舱为对象，水平方向根据牛顿第二定律可得入=〃?&2(R+4)

以转臂为对象，可得转轴对转臂的水平作用力大小为尸=8-耳

2

其中耳二4二切苏氏，F；=F2=ms(R+d)

可得Z7=nuv'd

则转轴受到的水平作用力大小为小加d。

故选B.

12.如图所示为古代用来灌溉农田的筒车简化模型图，筒车利用水流带动车轮转动，固定在车轮上的竹筒

在底部蓄水，过顶部后水从竹筒中流出。若筒车在竖直面内沿顺时针做匀速圆周运动，运动半径为R,-

竹筒在最低点4开始打水，运动到最高点C时，竹筒和水之间恰无相互作用力，此过程中竹筒内所装水的

质量加保持不变，竹筒可视为质点，重力加速度为下列说法正确的是()

竹筒

A.竹简在最高点。时所需要H勺向心力为0

B.竹筒从A点到C点的过程中，水受到重力的功率逐渐减小

C.竹筒从A点转动!圆周到达8点时，竹筒对水的作用力大小为，咫

D.筒车上均匀装有16个竹筒，则相邻竹筒打水的时间间隔为

8\g

【答案】D

【详解】A.最高点C时竹简和水无相互作用力，向心力由重力提供，%=，叫W0,A错误;

B.重力功率P=（。为竖直分速度），从A到C,j先增大后减小，故，先增大后减小，B错误;

v2

C.在C点时由mg=m一

R

得y=y[g^

匀速圆周运动速度大小不变。〃点时.，竹简对水的作用力c错误;

D.筒车的周期丁二

16个竹筒有16个打水间隔△/=[=£

pD正确。

168

故选D,

13.游乐场中，大摆锤摆博的上端悬挂于横梁上，下端。连接圆形库舱，座舱平面与摆臂垂直。通过电机

与齿轮等驱动，摆臂在某竖直平面内向下摆动过程中，座舱按区示方向绕。匀速转动，此时座舱直径时与

摆臂所在的竖直平面垂直，则（）

摆臂

A.O点做圆周运动

C.此时4点的速度一定大于分点的速度D.此时〃点的速度一定大于。点的速度

【答案】A

【详解】A.0点到横梁的距离为摆臂的长度保持不变，则。点的轨迹为圆周运动，故A正确；

B.。点的轨迹为圆周运动，a点相对于。点转动，则〃点的实际轨迹为复杂的曲线运动，不是圆周运动，

故B错误；

CD.设座舱边缘绕。匀速转动的线速度大小为叭则〃点的速度大小为|匕|=|匕川，力点的速度大小为

|%|=|匕+M，则此时a点的速度一定小于b点的速度，a点的速度一定小于。点的速度，故C错误，D错误。

故选Ao

14.辘於是我国古代类似起重机的装置，如图甲所示，该机构利用差速轮盘实现起重。图乙是其简化模型：

大圆盘半径为小小圆盘半径为G两盘都固定在同一根水平中轴上，且都缠有同一根绳子。绳子下端绕过

一滑轮，其余段保持竖直，滑轮下端挂货物。某农夫以由的角速度转动中轴，则货物上升的速度为（）

甲乙

A.郛-弓）B.C.3a十为）D.双乙一外

【答案】A

【详解】大小圆盘固定同轴转动，角速度均为。，根据线速度与角速度的关系，可得大圆盘边缘线速度匕=。弓

小圆盘边缘线速度v2=a）r2

中轴转动时，大圆盘收拢绳子，小圆盘放出绳子，4时间内绳子的净缩短量为（匕一丹）4

下方挂货物的是动滑轮，绳子总净缩短量等于动滑轮两侧绳子缩短量之和，若货物上升速度为上。时间

内总缩短量满足（匕一匕）4=2岫

整理得丫=/储一切

故选Ao

15.如图所示，在水平圆盘上，沿直径方向用轻绳相连的物体A和B分居圆心。两侧，与圆盘一起绕中轴

线匀速转动。已知两物体的质量均为〃?，到。点的距离分别为，•和2小与圆盘间的动摩擦因数均为小最大

2

静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为月。若物体A受到的摩擦力大小为可〃，华，则圆盘转动的角速度

为（）

A2停B.席C.晚D.肾

【答案】c

【详解】当B的摩擦力达到最大时，有〃

可得此时角速度为例=模

此时对A,向心力为,“若=仪＜生詈

可得物体A受到的摩擦力大小为。噂时，绳子一定有拉力,设此时A受摩擦力向右，有3wng+T=板疗，

）3

/./nig+T=in-2ra）2

2

打得拉力为负值，不符合实际，可知A受摩擦力向左，有T-铲mg=ms,卬ng+T=m,2r①2

可得此时圆盘转动的角速度为

故选C。

16.如图为道闸及其内部控制横杆起落的减速器结构图，。、/Ac是三组相同的轮，用皮带传动，每组轮都

由两个共轴轮叠合而成，大轮半径是小轮半径的2倍。在电动机的带动下，〃轮转动的角速度为。，则横杆

随c轮共轴转动的角速度为（）

8432

【答案】B

【详解】假设大轮半径是2「，小死半径「，匕=%,〃：〃=1：2

根据了二5

4:4=2:1

同理3/,:叫=2:1

故纭：4=4:1

所以&=-^=-<w

故选Bo

17.图（a）所示的油纸伞是我国古人智慧的结晶。图（b）为其结构示意图，ON是一条可绕伞顶0转动的

伞骨，伞撑两端分别与ON中点M和滑环P较接。保持伞柄不动，向上推滑环P,使得伞骨6W以恒定角速

度开伞，则（）

A.M点的线速度方向总是沿PM方向

B.M点的向心加速度方向沿MP方向

C.N点线速度大小是M点的2倍

D.N点的向心加速度大小是初点的4倍

【答案】C

【详解】A.由题意可知，M点做匀速圆周运动，线速度方向始终沿圆周的切线方向，始终与ON垂直，而

非沿PM方向，故A错误；

B.由题意可知，ON是一条可绕伞顶。转动的伞骨，M点以。点为圆心做匀速圆周运动，所以向心加速度

方向始终沿M指向圆心。，不是沿MP方向，故B错误：

C.由匀速圆周运动规律可知

山TgN~3M-3、力一2%

所以有应二2

所以N点线速度大小是M点的2倍，故C正确;

D.由向心加速度公式可知仆="。2

由于%二程“=@,rN=2rw

所以有组=2

所以N点的向心加速度大小是M点的2倍，故D错误。

故选C

18.如图甲所示，小球B和物块C质量均为2,〃，B、C由一劲度系数2=字的轻质弹簧连接，静止竖直

立干水平桌面上。如图乙所示，某同学设计了一个把C提离桌面的小实验，把轻绳一端与B球连接，另一

端穿过一竖直光滑的细管后与质量为的小球A相连，用手托住A球，使绳子自然伸直，此时绳子无张力,

。4长为/。现保持细管顶端。点高度不变，缓慢摇动细管，让小球A转动一段时间后，物块C刚好被提离

桌面，此时A在水平面内做匀速圆周运动，如图丙所示。求:

0

丙

乙

(1)从实验开始到物块C刚好被提离桌面的过程中，B球上升的高度;

(2)物块C刚好被提离桌面时A的速率。

【答案】⑴…⑵一空

【详解】(1)初状态弹簧压缩依=2mg

得「平

k

末状态弹簧拉伸4=2mg

得“坐

则B球上升高度力=%+%=/

（2）以A为研窕对象，受力分析如图

则Tcos6=m—--,Tsin^-wg=O

21cos0

对BC整体7=4/〃g

联立解得1；=画@

2

19.福州市道庆洲大桥（如图甲）是福建省第一座公坑共建桥梁，上层为双向6车道一级公路，卜层搭载

地铁6号线。重力加速度取g=10m/s2。

图甲图乙

（1）地铁启动时，若受到大小为2xlO'N的牵引力作用，做加速度为Im/s?的匀加速更线运动，一段时间后速

度达到36km/h。求此过程经历的时间及牵引力的平均功率；

（2）水平公路段有一段半径为500m的圆弧形弯道（如图乙），若有一总质量为2.0x101g的汽车（可视为质

点）通过该路段时做匀速圆周运动，速度大小为54km/h,求汽车通过该路段时所需的向心力。

【答案】（l）10s,lxlOAW：（2）900N

【详解】（1）地铁做加速度为Im/sz的匀加速直线运动，一段时间后速度达到36km/h,则有u=a

其中v=36km/h=10m/s,解得此过程经历的时间为f=10s

牵引力的平均功率为P=Fv

_V

Zv=—=5m/s

解得尸=lxl()6w

(2)汽车做匀速圆周运动的速度大小为v=54km/h=15m/s

汽车过弯道由牛顿第二定律得F向=mY

代人数据得七=9(X)N

・题型03与电场综合的抛体运动

20.某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行丁OQ

的匀强电场，N为。尸的中点。模拟动画显示，质量相同的带电粒子〃、〃分别从。点和。点垂直于OQ同

时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达V、N点，K为软迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，

则可推断〃、b()

A.电荷量之比为1:2

B.到达K点所用时间之比为1:2

C.加速度大小之比为1:2

D.到达K点时沿电场方向的位移大小之比为1:2

【答案】B

【详解】AC.两个带电粒子在沿着OQ的方向均做初速度为。的匀变速运动，相同时间内运动的位移大小

相等，所以加速度大小也相等，有。=£=更

mtn

所以两个电荷的电荷量之比为1:1，故AC错误；

B.两电荷在相同时间内沿。尸方向做匀速直线运动的位移之比为2:1,根据公式

可知〃、〃电荷的初速度之比为2:1

二者到达K点时的水平位移大小相等，所以时间之比应为1:2,故B正确；

D.沿电场方向有公式丫=：。产

由于时间之比为1:2,所以沿电场方向的位移大小之比应为1:4,故D错误。

故选B。

21.某实验装置结构示意如图，粒子源含有两种粒子，它们的电荷量相同而质量不同。将这两种粒子从静

止经同一加速电场加速后，沿方向射入偏转电场，粒子射出偏转电场后都能打在光屏上产生感光点。

不计粒子所受重力以及粒子间的相互作用力，下列判断正确的是()

粒子源

加速电场：0>

光屏-------------------

A.两种粒子离开加速电场时，动能相等

B.两种粒子离开加速电场时,，动量相等

C.两种粒子离开偏转电场后，在光屏上留下1个感光点

D.两种粒子离开偏转电场后，在光屏上留下2个感光点

【答案】AC

【详解】A.粒子在加速电场中有qQ

又知线=5〃声

解得等=:，故两种粒子动能相同，故A正确；

B.粒子离开加速电场时速度u=/阴

动量〃="八，

解得邑=，叵，故B错误；

P2Y恤

CD.粒子在偏转电场中的运动时间/=人

v

侧移量丁=:，〃2=与〃

22md

联立解得），=然，故两粒子侧移量相同，将打在光屏上的相同位置，故C正确，D错误。

故选ACo

22.如图所示，在竖直平面内有水平向右、电场强度大小E=lxlO4N/C的匀强电场，从A点水平向左以速

度%=20m/s抛出一个质量阳=lkg、电荷量q=lxl（f3c的带正电小球（可视为质点），小球经过一段时间

运动到A点正下方的3点处，取重力加速度大小g=IOm/s:,不计空气阻力，求:

⑴A、B两点间的距离：

（2）小球的速度最小时，小球距A、4所在直线的距离。

【答案】（l）80m；（2）15m

【详解】（1）小球竖直方向做自由落体

水平方向匀变速直线运动X=，-Eq=max,A-0

解得力=80m

（2）对小球受力分析，小球受重力和水平向右的电场力，F=J（mg『+（*）2

合力方向与％轴正方向的夹角为6,根据tan9=竿=1

qE

可得。=45

设经过时间4时，小球的速度有最小值，此时速度方向与合力方向垂直，即速度方向与*轴负方向的夹角为

根据速度关系%+a5=g%

解得4=Is

水平位移（距A、B直线的距离）x=M+g"：=15m

23.如图所示（左侧为立体图，右侧为平面图），两块直径为4J的圆形平行金属板水平正对放置，板间距

为，7,两极板间存在竖直向上、大小可调的匀强电场，忽略边缘效应。在电容器的几何中心。点处有粒

子源，可向空间各方向均匀发射速度大小均为胸、质量为〃?、电荷量为。/（夕＞0）的带电微粒，已知重

力加速度为g，微粒打在极板上被吸收且不影响电场分布。

A

（1）若要求沿水平方向发射的微粒均能被极板收集，求电场强度大小E的取值范围；

（2）若电场强度大小为£=等，求所有方向发射的微粒在上极板形成的落点区域面积。

2q

【答案】（1）°4Ew或E之日巴；（2）s=开铸

4q4夕

【详解】（1）水平方向发射的微粒做类平抛运动，对恰好打在极板边缘的微粒，初速度方向有2d=卬

垂直极板方向有

若微粒重力大于电场力，微粒打在卜极板〃抬一死|=〃也

解得写=等"

4q

微粒被收集的电场强度范围为。6

若微粒重力小于电场力，微粒打在上极板4刍-咫=/皿

解得纥=誓

4。

微粒被收集的电场强度范围为E>E2

综上，沿水平方向发射的微粒均能被极板收集，电场强度的取值范围为04七4学或七之竽

4g4q

（2）设速度方向与竖直方向的夹角为。时，微粒恰好能打在上极板，受力分析得mgfE'=〃d

竖直方向（为cosaf=2"与

竖直速度恰好减为0,有%cosa=（”

水平方向x'=%sina/

解得a=45，x'-cl

速度方向与竖直夹角在0~45范围内的微粒打在上极板，面积为5=加/2

24.在如图甲所示的模型中，电子流持续不断地由静止开始经加速电场加速后，沿中轴线垂直电场方

向射入偏转电场，射出电场后打到足够大的荧光屏上。已知电子的质量为“，电荷量为e,加速电场电压为

偏转电场电压为。，两板间距离为乩极板的长度为4；两板右端到荧光屏的距离为设相同时间

内被加速的电子个数相同且重力不计。

⑴求电子离开偏转电场时离中心轴线的距离》

（2）由「电子通过电场的时间极短，每个电子通过偏转电场过程中可视为电压不变。若偏转电场的电压U按

图乙所示的正弦规律变化，其电压的最大值也为，4=4=2d,求荧光屏上能接收到粒子范围的长度△¥,

以及一个周期内能打到屏幕上粒子的占比。

【答案】（I）,%；（2）341

4dU03

【详解】（1）对电子，在加速电场中，由动能定理得说

解得%=F?

电子在偏转电场中，有乙二卬，=ma,丁=1一

a2

由以上各式解得丁=若卜

4dU°

（2）恰能从下极板边缘飞出时，记=/

解得临界电压

1d2。

此时粒子从上板（或者下板）边缘飞出时，范围长度AY为最大，由几何关系得一二丁2一

2+L

2-

解得AY=3d

临界电压U=gUo=UoSin3O°

而电压U=sin军，

TT

所以•个周期有粒子射出的时间4=£X4=：

因此•个周期内能打到屏幕上粒子的占比为:。

25.如图，在真空室中有一水平正对放置的平行板电容器，其电容为C,两板长度均为L,板间距离为d,

上板接地，初始不带电。现有大量质量均为根、电量均相同的带正电小油滴，以相同的初速度持续不断地

从两板正中间沿水平射入，第1滴油滴落在距下板左端上处的K点，第31滴油滴正好落到卜板的正中央P

点。已知重力加速度大小为四，设落到下板油滴的电量被板全部吸收，在两板间形成匀强电场，不考虑油

滴间的相互作用。求：

KP

⑴油滴的初速度大小％;

（2）第31滴油滴在板间运动的加速度大小。；

⑶每一滴油滴的带电量夕。

【答案】⑴％.积（2）ajg；⑶

【详解】（1）第1滴油滴射入时，电容器不带电，板间无电场，油滴仅受重力做平抛运动。竖直方向下落

距离为白，由磔：

得Y

水平方向位移为9,由《=%乙

JJ

代"得:%=与行

（2）第31滴油滴做类平抛运动，水平方向匀速运动，落到下板正中央时水平位移％=《

L

由广%L

代人％得…Jg

2\g

竖直方向位移仍为g，由（=

222'

代入L得：d=a：r

4g

4

即：a=gS

(3)第31滴射入时，已有30滴油滴落到下板，电容器总带电量。=30夕

由电容定义。=卷

得板间电压〃=亭

板间电场强度石===簪

aCd

对第31滴油滴受力分析：电场力向上，重力向卜，由牛顿第二定律："?g-=

/,30g4g304?24g

代八E=、a=—、mg---------=m------

Cd98cd9

整理得等=萼

即。厝

A题型04与电场综合的圆周运动

26.如图所示空间原有大小为E、方向竖直向上的匀强电场，在此空间同一水平面的例、N点固定两个等

量同种负点电荷。绝缘光滑圆环ABCZ)垂直MN放置，其圆心。在MN的中点，半径为R,AC和8。分别

为竖直和水平的直径,质量为/〃、电荷量为+4的小球套在圆环上，从A点沿圆环以初速度%做完整的圆周

运动，则()

AA

B

MN

D

¥

A.小球从A到C的过程中电势能减少

B.小球不可能沿圆环做匀速圆周运动

C.小球在。点受到圆环的作用力可能为零

D.小球在运动过程中受两负点电荷的作用力不变

【答案】C

【详解】A.小球从4到C的过程中，M、N点处的负点电荷对小球不做功，匀强电场对小球做负功，则

电场力对小球做负功，所以电势能增加，故A错误;

BC.匀强电场对小球的作用力竖直向上，若小球所受电场力与小球重力大小相等，则匀强电场的电场力与

重力的合力为零，则小球沿圆环做匀速直线运动，在此基础上，若M、N点处的负点电荷对小球的库仑力

的合力恰好提供向心力，则圆环对小球的作用力为零，故B错误，C正确；

D.小球在运动过程中受两负点电荷的作用力大小不变，方向变化，故D错误。

故选C。

27.匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一质量为〃?、电荷量为，/的带电小球，小球在竖直平面内绕。点

做圆周运动，运动过程中速度最小值为，延，此时绳子拉力为0。已知小球在速度最小时和速度最大时机

2

械能相等，电场强度方向与圆周平面平行，重力加速度为9，不计空气阻力，则匀强电场的电场强度大小

为（）

O

\9

\、i/

、、//

、、z/

、、/z

"O

整环y/3mg岳mg

A・cD.-----------D.---------

2夕3q2q2q

【答案】C

【详解】当小球速度最小时，绳子拉力恰好为零，此时小球做圆周运动的向心力由电场力和重力的合力提

供，有「=机亨

解得七摩

机械能的变化仅由电场力做功引起（重力做功不改变机械能），速度最小点和速度最大点机械能相等，说

明电场力对小球从速度最小点到速度最大点做功为0,因此两点电势相等，两点连线为等势线，可得电场方

向垂直于两点连线。而速度最小点（等效最高点）和速度最大点（等效最低点）关于圆心对称，重力与电

场力的合力沿两点连线方向，因此合力性与电场力卷垂直。有（感）2=（亲）2+区

解得E=空

2q

故选Co

28.如图甲所示，空间有一水平向右的匀强电场，其中有一个半径为R的竖直光滑圆环，环内有两根光滑

的弦轨道AB和AC,4点所在的半径与竖直直径8c成37角（cos37=0.8）。质量为〃?、电荷量为4的带电

小球（可视为质点）从A点由静止释放，分别沿弦轨道”和4c到达圆周的运动时间相同。现去掉弦轨道

A4和AC,如图乙所示，给小球一个初速度，让小球恰能在圆环内做完整的圆周运动，不考虑小球运动过

程中电荷量的变化，重力加速度为名,卜列说法正确的是（

图甲图乙

A.小球经过/点时对轨道的压力为零

B.匀强电场的电场强度大小为£=等

C.小球做圆周运动经过C点时动能最大

D.小球做圆周运动过程中对环的压力的最大值为7.5件

【答案】D

【详解】ABC.图甲结合等时圆知识，重力与电场力合力必须指向AO,根据合成与分解知识m=mgtan37。

3〃吆

解得F=

4q

等效最高点在A点，压力最小为零；等效最低点在4。延长线与圆轨道交点，等效最低点速度最大，动能最

大，故ABC错误：

D.因为重力与电场力均为恒力，所以二者的合力大小为尸=J（而+（荷=力咫

小球做圆周运动，则在其等效最高点，有尸=加日

R

小球从等效最高点至等效最低点过程中，由动能定理得产乂2欠=3加孑-3加42

2

在等效最低点小球对圆环压力最大，由牛顿第二定律得b=利普

代入数据解得4=75收

由牛顿第三定律可知小球做圆周运动的过程中对环的最大压力是75图，故D正确。

故选D。

29.如图所示，在沿水平方向的勺强电场中有一固定点O,一根长度为/的绝缘细线一端固定在。点，另一

端与质量为，〃、带有正电荷的金属小球（可视为质点）相连，小球静止在8点时细线与竖直方向的央角为，。

现将小球拉至位置人使细线水平后由静止释放，重力加速度为g。不计空气阻力，求:

E

°KT?A

。晨/B

⑴小球通过最低点C时细线对小球的拉力F大小;

（2）如果要使小球能绕。点恰好做完整的圆周运动，则在A点时沿垂直于CM方向上施加给小球的初速度匕）的

大小。

+2sin6)gl

【答案】（1），咫（3-2tanO）；

cos。

【详解】（1）由小球静止时受力平衡可得〃E=，〃gtan。

设小球运动至C点时速度为z，则〃?g/-加/=g〃片

在C点，小球所受重力和细线拉力的合力提供向心力，即尸-〃坞=小彳

联立解得尸=〃?g（3-2tane）

（2）由题意可知，若小球做完整圆周运动时必须通过8点关于。点的对称点，设在该点时小球的最小速度

22

为v,则mgcosO+qEs\nO=in—或=ni—

Icos。/

由动能定理得T〃g/cos夕一q£7（l+sin。）=

22

解得%=Jg/（3cos6+3tanJsin3+21an6）或％=J（3+2si：6）g/

THREEl幽颜3通关特训

i.游乐场的“旋转咖啡杯”项目中，某游客坐在咖啡杯内，咖啡杯绕中心轴做水平圆周运动。工作人员通

过控制装置，让咖啡杯的角速度缓慢增大，咖啡杯到中心轴的距离不变。在此过程中，游客的向心力（）

A.增大B.减小C.不变D.无法确定

【答案】A

【详解】咖啡杯的角速度缓慢增大，半径不变，根据尸=〃Q2厂可知，游客的向心力增大。

故选Ao

2.一孩童在内壁是圆柱形光滑水泥管的最低点以水平初速度%踢出小球，水泥管的内径为R=^m，小球

沿管壁向上运动到离最低点高度为时，脱离管壁落入背篓，重力加速度g=10m/s2,忽略一切阻力和滚

动，小球始终在同一竖直面内运动，则水平初速度%为（）

A.2.3m/sB.3m/sC.5m/sD.7m/s

【答案】C

【详解】在球即将脱离水泥管的瞬间，设此时速度方向与水平方向夹角为6,如图所示

则在脱离瞬间水泥管道对小球的支持力为零，重力在指向圆心方向的分力提供向心力，则有mgcosd=机三

R

小球从踢出瞬间到脱离水泥管根据动能定理可知-m*R=Lfnv2_Lfnv2

代人题中数据

解得%=5m/s

故选C。

3.如图，正方形A4co为倾角9=30。的光滑绝缘斜面，边长/=2.0m,位于平行向下的匀强电场中，

场强石=5.017/m,一质量〃?=O/kg,带电9=-0.02C的小球通过长