锐角三角形函数（十一大考点）-2026中考数学总复习考点突破（解析版）

专题07锐角三角形函数（十一大考点）-【重难突破】2026中考数学总复习-考点

强化讲与练

角三角函数

在RsABC中，ZC=90°o则NA的三角函数为

定义表达式取值范围关系

sinA

a

止弦的对边sinA=-0<sinA<1sin4=cos5

_jAC

~斜边cos4二sinB

cosAsin2A+cos2

b

余弦（A的邻边cosA=—0<cosA<1=1

~斜边

tanA

asinA

正切二乙A的对边tanA=­rtan/I>0tanA=-------r

bcosA

jA的邻边

（二）特殊角三角函数

三角函数30°45°60°

sina1n73

2TT

第1页

cosaV3421

T~22

tana73iV3

T

（三）直角三角形边角关系

设在R12\ABC中，ZC=90°,NA、ZB.NC所对的边分别为a、b、c,则有:

①三位之间的关系：a?+b2=c2（勾股定理）.

②锐用之间的关系：ZA+ZB=90°.

③边角之间的关系：

QJ-QL

====

sinAcosB=ccosAsinBc-taxiA=又o，tcinBa一

④S/BC==/ch,h为斜边上的高.

（四）解直角三角形常见类型及解法

已知条件解法步骤

力tanA吟，4；ZA：

两直角边（a,b）/B=90。一/。i;

22

两c=a+b

边

由sin力=3，求,NA；

斜边，一直角边（如c,a）ZB=90°-Z?卜；

b=c2—a2

N

锐角、邻边ZB=90°-ZA,

（如NA,b）a=b-tanAc=----r

一直角边cosA

边和一锐角锐角、对边/B=90。-NA,

aa

（如NA,a）c-sinA'b~tanA

角

ZB=90°-ZA,

斜边、锐角（如c,ZA）

a=c-^inA,h=c-cn^A

（五）解直角三角形的应用举例

第2页

(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母a表示.

坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离1的比叫做坡度，用字母表示，贝h=彳=tana，如图，坡度通常

1T

(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.

⑶方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA,PB,PC

的方位角分别为是40。，135。，245。.

(4)方向角：指北或指南方向线与H标方向线所成的小于90。的水平角，叫做方向角，如图②中的H标方向线

OA,OB,OC,OD的方向角分别表示北偏东30。，南偏东45。，南偏西80。，北偏西60。.特别如：东南方向指的

是南偏东45。，东北方向指的是北偏东45。，西南方向指的是南偏西45。，西北方向指的是北偏西45°

模块三考点一遍过

考点1锐角三角函数定义

典例1：

1.如图，在中，zf=90°,AB=3,sinF=那么边4C的长是()

第3页

D.V5

【答案】C

【变式1】

2.如图.在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，4、B、C、0都在格点处，48与CO相交于点P,

则cos/APC的值为()

D.厚

【答案】D

【变式2】

3.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan乙48C=(

底D,迺

,T

【答案】A

【变式3】

4.等腰三角形的两边长分别为1()和12,则这个等腰三角形的底角的正切值为

【变式4】

5.若一个三角形三条边长的比为1：遍：2,则最小角的余弦值是.

【答案】苧

【变式5】

6.如图，在四边形4BC0中，AB=AD,^BAD+/.BCD=180°,AC=10,sin乙4co=3则四边形A8C0

第4页

的面积为.

考点2特殊角三角函数值

典例2：

7.△力8C中，乙A、都是锐角，且sin4=孚，cosB=则△A8C的形状是（).

2/

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定

【答案】C

【变式1】

8.估计4sin60。的值在（）

A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间

【答案】B

【变式2】

9.下列式子中不成立的是（）

A.V2cos45°=2sin30°

1

B.sin30°-cos60°=^sin245°

C.cos450—sin450=0

D.3sin(30°+30°)=sin300+sin300

【答案】D

【变式3】

10.如图，z,AOB=60°,以点。为圆心，适当长为半径画弧，交04,08于点C,D,连接C。，则tan乙OC。

的值为_________

【答案】V3

第5页

【变式4】

11.计算：sin245n-cul60n-cub30-Lan230rt=

【答案】0

【变式5】

12.△ABC中，乙4,乙8均为锐角，且门口8—75|+（25比4一75）2=0，则448。的形状是

【答案】等边三角形

考点3锐角三角函数增减性

典例3：

13.已知在△48C中，4C=90。，45°</-B<60%设cosB=兀那么"的取值范围是（）

A.^<n<1R1,/鹿

B，2<n<~2C.0<n<D,T<n<T

【答案】B

【变式1】

14.已知：vcosa<sE80。，则锐角a的取值范围是（)

A.30。VaV80°B.10°<a<80°

C.60°<a<80°D.10°<(r<60°

【答案】D

【变式2】

15.若30°<«</?<90°,则J(ccs/?—cc*a)2—cos/?—孚|+|1-ccsa|=.

【答案】i_亨

【变式3】

16.下列结论（其中a是锐角）：@sina4-cosa<1；@cos2a=2cosa；③当0。VaV/7V90。时，0<

sina<sinp<1；@sina=cosatana.其中正确的有

【答案］③④

考点4解直角三角形——直接法

典例4：

17.如图，在RtAi48c中,ZC=90°,AC=2,tanB=

第6页

(1)求的长；

(2)求cosA的值.

【答案】（1）解：•.•在RtaABC中，ZC=90°,AC=2,

•.c4c1HH21

..tanfi=_=",即反=2

：.BC=4；

（2）解：,：AC=2,BC=4,zC=90°

・"B=7AO+BC2=2V5

.44c2

,,3月=同=荻=丁

【变式1】

18.（1）计算：V2-cos45°-sin260°+tan45°

（2）在Rt/iABC中，ZC=90°,BC=5,4c=12,求乙4的余弦值和正切值.

【答案】（1）解：原式=遮乂?_（亨产+1

3

=1一74+1

~~-5•

一4'

（2）解：根据勾股定理，得AB=/M+BC2=13.

所以8s4=5j=Mtan/嚏阜.

【变式2】

19.如图，R£AA8C中，已知NC=90。,28=32。,48=4,点D在BC边上,且乙C40=37。，求CD的

长.（结果精确到0.1,参考数据:sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75,sin32°«0.55,cos32°»

0.83,tan32°«0.66）

【变式3】

20.【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积.

【性质探究】

(1)探究一：

如图.在人力。「中，AACR=90°,AR=h,RC=a,//?=a.

第7页

A

•••在R£△48。中，^.ACB=90°

sincr=.

：•AC=b-sina

S“BC~^BC-AC=------------------------

(2)探究二：

在△ABC中，AB=b,BC=a,乙8=a(aV90。)，求△力BC的面积(用Q、b、a表示).

(3)【性质应用】

在平行四边形ABC。中，AB=4,BC=7,Z-B=30°,则平行四边形ABCO的面积为

【答案】(1)华；^absina

(2)解：过点工作力〃1BC于点，，

由(1)可知，AH=b•sina.

•••ShABC=《BC'AH=2a-bsina=々absina;

(3)14

考点5解直角三角形一一化斜为直

典例5：

21.如图，在△48C中，=30°,/-BCA=45°,AC=4,求/IB的长.(sin75。=石:夜,cos75°=

【答案】解：过C作。。_LA8,交艮4的延长线十点Q.

第8页

c

VzF=30°,^BCA=45°,

・••乙CD=4B+乙BCA=75。,

在中，AC=4,Z.CAD=75°,

•'•AD=AC-coszC/lD=4cos75°=V6-Vz

CD=AC-sin^CAD=4sin75°=V6+x/2

在/?[△"/）中，4B=30°,

.onCD/6+>l2ofo>fZ

tanBtan300

・・・48=BD-AD=3V2+V6-V6+V2=472.

【变式1】

22.阅读下列材料：

（2）如图2,规划中的一片三角形区域需美化，已知乙4=67。，△B=53。，4c=80米，求48的长（结

果保留根号.参考数据：sin53°«0.8,sin67°«0.9）

【答案】（1）证明：如图2,过点A作4。_LBC于点0,

图2

在RtzMBD中，AD=c-sinB,

在RtzMCD中，AD=bsinC,

••c•sinB=b-sinC,

第9页

.b_c

"sinB-sinf'

(2)解：*：LBAC=67。"=53°,

・・・“=60°,

在△ABC中，

i77••AC_AB

乂*^nB=sinCf

80_AB

即两二逅，

~2

•'•AB=50V3m.

【变式2】

23.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad）,如图①，在△力BC中，AB=AC,顶角A

的正对记作saa4,这时效力4=岑=盆.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定

腰AB

的.根据上述角的正对定义，解下列问题：

（2）对于0。V4V180°,乙4的正对值sad4的取值范围是

（3）如图②，己知sin/二卷其中乙4为锐角，试求sad4的值.

【答案】（1）V2

(2)0<sadA<2

（3）解：如图，在力B上截取4H=4C,过”作14C于。,

43DH

sm4=G=而，

设HO=3x,AH=AC=5x,贝U,AD=\/AH2-HD2=4x，

••DC=AC-AD=5x-4x=x.

Rt&HDC中,HC=VCD2+HD2=VlOx,

CH__同

••sadA

AH-5x一5

第10页

B

【变式3】

24.已知△ABC中，乙A=30°,AB=4.

图2

(1)如图1,若zC=90。,则4C=.(结果保留根号)

(2)如图2,若，C=45。,求AC的长.(结果保留根号)

【答案】(1)2V3

(2)解：如图所示，过点8作8。1AC于点

图2

•••△ABC中，/.A=3Q°,AB=4,

••BD=Sinz-Ax48=：x4=2，AD=cosAxA8=孚x4=2百，

J乙

"=45°,

"斗等=2,

tan61

・"C=4D+Z)C=2百+2.

考点6同角三角困数关系

典例6：

25.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为。、

2

a2+/)2-c2

b、c的Zk/IBC的面积为Sf8c=；a2b2-.△48C的边。、b、c所对的角分别是NA、NB、

2

NC=iabsinC=iacsinB=^bcsinA.下列结论中正确j的是()

乙乙乙

A.cosC=a#MB.cosC=-flW-c2

2ab2ab

第11页

由2+必一＜2a2+Z?2—c2

c.cosC=D.cosC=

2ac2bc

【答案】A

【变式1】

26.若sina—cosa=m,则sina•cosa的值是)

A.1+m2B.1—m2C.i(l+m2)D.1(1—m2;

【答案】D

【变式2】

27.同角三角函数关系：sin244-cos2/l=;tanA=

【答案】1

【变式3】

28.已知a是锐角，且tana=2,则

sina-cosQ_

sina+cosa-----------------------------------------

【答案】g将分子和分母同时除以cosa,化简可得.'氏=需^然后代入tana=2求解;

考点7互余两角三角函数关系

典例7：

29.已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题:

22

如图2：sinz.A2+sinz.B2=▲.

22

如图3：sinz.A3+sinz.53=▲

①观察上述等式，猜想：如图4,在RCA4BC中，zC=90°,®Wsin2z?l+sin2z5=A

②如图4,在RCA48C中，Z.C=90°,乙人乙B,乙C的对边分别是Q,b,c,利用三角函数的定义和勾股

定理，证明你的猜想；

③已知：AA+zR=90°,且SEN4=67,求好？?//?.

【答案】解：1,1,1；①1；②在RtZkABC中，ZC=90°

第12页

Vsin/1=psinB=-

cc

•.2.-2Q2+「

••sinAA+stnBD=———

c，

Vz.C=90°

a2+b2=c2

^•sin^A+sin2^=1

(3)Vsin/l=0.7,sin2A+sin2B=1

=V1-sin2/l=71-(0.7)2=转

【变式1】

30.如图，在△43C中，AD1BC,再添加一个条件就能够证明△ABC是直角三角形.

（1）给出下列四个条件：①sinB=sinC；@sinfi=cosC；③AC?=CD・BD；（4）AD2=BD-CD,其

中可以选择的条件有（填序号）；

（2）在你所填的序号中，选择其中一个加以证明.

【答案】（1）②④

（2）解：选择②，证明如下：

当sin8=cos。时，

*：AD1BC,

：.Z.ADB=LADC=90°,

AD

•'•sinB=而=cosz«8i4O,乙B+乙BAD=9。°,

cosZ.BAD=cosC,

zC=Z.BAD,

.•.zfi+zC=90°,

：,Z-BAC=90°,

•••△ABC是直角三角形；

选择④，证明如下：

当AD2=BD・CD,

mil.亚=空,

BDADf

'：Z-ADB=/.ADC=90°,

第13页

△ADCBDAJ

Z.C=乙BAD,

：.Z-B+zC=+/.BAD=90°,

：.Z.BAC=90°,

•••△4BC是直角三角形.

【变式2】

31.若Q为锐角.

(1)求证：(l)sina=cos(900-a)；(2)sin2a+cos2a=1;

(2)试求:sinzl04-sinz2oH---I-sin245°4---t-sin288°+sin289°M{fi.

【答案】(1)证明：若a为锐角，

建立如上图所示的直角△48C,ZC=90°,乙4=a,

®sina=器，BC

cos(90°-a)=cosB=而'

:，sina=cos(900-a)；

Z2z

BC+AC=ABf而sEa=诟，cosa=而，

22

...sm2a+cos2a=(器?+(虾=BC^C=1;

(2)解：由(1)可得：sM89°=cosl°,s讥88°=cos2°,sin460=cos44°,

sin2l°+sin22°+…+sin245°+…+stn2880+sin2S9°

=(sin2l°+cos2l°)+(sin220+cos22°)+....+(sin244°+cos244°)+sin245°

=44

【变式3】

32.嘉嘉在某次作业中得到如下结果:

sin270+sin283°«0.122+0.992=0.9945,

sin222°+sin268°«0.372+0.932=1.0018,

sin290+sin261°«0.482+0.872=0.9873,

第14页

sin37°+sin253°«0.602+0.802=1.0000,

sinz450+sin245=1-

据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角a,6,若a+0=90。，均有sii?a+sir?/?=1.

(1)当a=30。,<=60。时,验证sida+sir?)=1是否成立?

(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，清结合如图所示/?[△ABC给予证明，其中44所对的边为a,所对

的边为b,斜边为c；若不成立，请举出一个反例;

(3)利用上面的证明方法，直接写出tana与sina,cosa之间H勺关系.

(4)根据正弦函数的定义列出sina=gsin/?=结合勾股定理整理化简即可证得结论；

c厂c

(5)根据正切函数的定义列出表达式，然后结合中，sina=gcosa=9,再变形代入整理即

可得出结论.

【答案】(1)解：Vsin30°=i,sin60°=

2厂2

***sin2a+sin2/?=+得)=1'结论成立；

(2)解：成立.理由如下：

(：\:.Rt△ABC^,sina=psin£=［且/+庐=。2,

,sin2a+sin2/?=窃+酉=aW=捻=故结论成立;

(3)解：tana=@吧，理由如下：

cosa

在RtzMBC中，sina=cosa=-»tana=

-a

-csina

..tanab

c-cosa,

潦•【解析】【分析】⑴直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可;

(4)

(5)

考点8解直角三角形应用一仰角俯角

典例8：

33.在数学活动课上，老师带领学生去测量某建筑物的高度.如图，在。处用高1米的测倾器测得建筑物

第15页

顶部A的仰角为a,向建筑物的方向前进20米到达。处，在。处测得建筑物顶部A的仰角为氏此时与建

筑物的距离（FG的长）足12米，经计算得知建筑物43的高约为17米.

（1）求线段力r的长度和tana的值；

（2）求sin"4F的值.

【答案】（1）解：由题意得四边形CDFE,CBGE都是矩形,

:.EF=CD=20,FG=BD=12,BG=CE=1,

'：AB=17,

：.AG=16,

在RtA/FG中，4"一7AG2+FG2-J162+122—20,

AG161

在R£ZMEG中,tana=函=20+12=2:

（2）解：作尸〃J.4E于点H,

在RtZkAEG中，AE=>1AG2^EG2=V162+322=1675»

VSAi4£f=^EFxAG=^AExFH,即20x16=16而FH,

:.FH=4倔

­./rAUFH4/5店

【变式1】

34.某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图I是悬挂巨大匾额的古塔，如图2,线

段BC是悬挂在墙壁力M上的匾额的截面示意图，已知I8C=1米，LMBC=37°,起始点。处看点C,仰角

AADC=4S°,继续向前行走，在点E处看点B,仰角NE8=53。，且。到E走了2.4米，作CN1

AM.(sin37°«0.6,cos37°«0.8,tan37°«0.75)

第16页

(1)CN=:BN=

（2）求匾额下端距离地面的高度力反

【答案】（1）0.6米；0.8米

（2）解：过点C作垂足为E

•••MAA.AD.CNLAN,CF1AD,

乙AFC=乙CNA=乙NAF=90°,

・•・四边形AFCN是矩形,

;•CF=AN,CN=AF=06米,

由题意知：DE=2.4米,

设4E=%米,

40=OE+AE=(%+2.4)米,

•••DF=AD-AF=x+2A-0.6=(%+1.8)米,

在/?£^。0尸中，LCDF=45°,

CF=DF•tan45°=(%+1.8)米,

•••^AEB=53°,

.../.ABE=90°-乙AEB=90°-53°=37°,

AEx

在R£△A8E中，AB=«4%米,

tanz.ABEtan37°

•：AB+BN=CF,

4

-

3

解得X-

3,

4

-X4米

3

第17页

•••匾额下端距离地面的高度约为4米.

【变式2】

35.综合与实践

【问题情境】

数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下:

（1）利用镜子测量：如图1,小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶端

4,乙DCE=LACB.小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度DE=1.5米，小康到镜面的距离EC=3米，镜

面到旅杆的距离C8=15米.求旗杆的高度.

（2）利用标杆测量：如图2,小英站在操场上的点E处，她的眼睛D,标杆的顶端C和旗杆的顶端4在一条

直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为1.5米，标杆高C尸=4米，E"=3米，8/=9米，

DE,CF,A8均垂直于地面，。“与水平面平行.求旗杆的高度.

（3）利用测角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面上选取观测点E,F（E,F,8在同一直线

上），分别测得旗杆顶端力的仰角4a=39。，/夕=28。，再测得EF=6米，点C,。到地面的距离CF,DE均为

1.5米.求旗杆的高度（参考数据：tan28o*0.5,tan39°«0.8）.

【答案】（1）解：•••4OCE=N4C8,/-DEC=Z-ABC=90°,

•••△DCEACB

DE_AB

,,,常甫

1^_AB

AT=15，

•••AB=7.5.

答：旅杆的高度为7.5米；

（2）解：•••OE,CF,48均垂直于地面，

乙CGD=乙AHD=90°,

•・•乙CDG=4ADH,

CDGs〉ADH,

CG__DG_

“而一丽’

第18页

•••CG=CF-GF=4-1.5=2.5,DG=EF=3,0”=BF+£7=9+3,

4-1.5_3

•*~AH~=3+9*

解得：AH=10,

:.AB=10+1.5=11.5,

答：旗杆的高度为11.5米；

(3)解：由题意可得EF=6,DE=CF=GB=1.5,

由题意得：tan/?=哭，tana=盖，

•“一四nr-AG

FAn9D(j-----9

••CC-t.an夕tana

vCD=CG-DG,CD=EF=6,

._AG-G

‘叶17c砌一南’

AGAG(

蓝一丽=6，

解得：AG«8,

：•AB-AG+GB=84-1.5=9.5.

答：旗杆的高度为9.5米.

【变式3】

36.综合与实践：

A.新增选项

项

测量某塔的高度

B

方方案一：借助太阳光线构成相似三角形.测量：方窠二：利用锐角三角函数，测量:：距离CD,

案标杆长C。，影长EZ),塔影长DB.仰角a，仰角/?.

A

测A

量

示

意

图BCD

EDB

测量平均测量平均

第一次第二次第一次第二次

项目值项目值

测CD1.61m1.59m1.6m26.4°26.6°26.5°

第19页

量

数ED1.18m1.22m1.2ma37.1°36.9°37°

据

DB38.9m39.1m39mCD34.8°35.2°35m

（1）根据“方案•”的测量数据，求出塔AB的高度；

（2）根据“方案二”的测量数据，求出塔力B的高度;（参考数据：sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°«

0.75,sin26.5°«0.45»cos26.5°«0.89,tan26.5°«0.50）

【答案】（1）解：如图，

A

由题意可知△ABDCDE,

•AB_CD口口/18_1.6

**DF=FD，N39=L2，

解得AB=52,

・••塔4B的高度为52米；

（2）解：如图,

在RtzMBC中，tana=阮,

AB

:,BC=

tan37Q，

在R£ZkA80中，tan/?=

：'BD=ta覆5。

'：CD=BD-BC=35,

4

ABAB

=35,即2A8-

tan26.5°tan37°3

第20页

：.AB=52.5米，

・••塔/W的高度为52.5米.

考点9解直角三角形应用——方位角

典例加

37.某公园有一景观湖泊，围绕湖泊修建了如图所示的步道，已知点4在点C的正南方，点B在点。的东南方

向，在点4的北偏东30°方向上，点。在点力的正西方，在点C的南偏西60°方向上，若4B=300m.（参考数

据：1.41,百力1.73）

（1）求。C的长度（精确到0.1m）；

（2）周末小聪和爸爸到公园游玩，小聪选择沿路线力TDTC慢跑到点C,他的平均速度是1207H/77U%,

爸爸选择沿路线4TBTC散步到点C,他的平均速度为60m/m淞，若两人同时出发，请通过计算说明小聪

和爸爸谁会先到达点C.

【答案】（1）解：如图，连接4C,过点8作8尸J.AC于点F,

依题意得乙C4D=90°,乙BAC=30',/-DCA=60°,Z-ACB=45°,

AB=300m,

BF=，B=150m,

•••Z-ACB=45°,

•・.△BFC为等腰直角三角形，

pp_

CF=BF=150m,BC=.=150V2m=211.5m,

sin45

答:BC的长度约为211.5m：

(2)解：由(1)可知，CF=150m,

CA=(150VS+150)m,

第21页

•••ZDC4=60°,

乙。-30°,

CD=2CA=(300V3+300)m,AD=CA-tan60°=(450+150V3)m,

二小聪所需要的时间为：

(450+150V3+300V3+300)+120«12.74(min),

爸爸所需要的时间为：

(3004-150\04-60«8.53(min)»

•••8.53<12.74,

•••爸爸先到达点C

【变式1】

38.为满足市民需求，我市在一小岛两侧开辟了两条跑步路线：①/ITBTCT。，②力TETD.经勘

测，点8在点4的北偏东30。方向6千米处，点B在点C的西北方向6千米处，点。在点4的正东方向，点。在点

C的正南方向，点E在点A的南偏东15。方向，点E在点。的西南方向.(参考数据：V2«1.41,75y1.73,

(1)求C,。之间的距离(结果保留整数)；

(2)时间原因，小黎决定选择一条较短路线进行锻炼，请通过计算说明她应该选择路线①还是路线②

(结果保留整数)

【答案】(1)解：如图，作8HJLA。于点H,CF上BH于点、F,=30°,Z.CBF=45°.

由题意知AB=6»BC=6,

第22页

BH=AB-cos^-ABH=6xcos30°=6x亨=38，

BF=BC,cosZ-CBF=6xcos45°=6x辛=3或，

:.HF=BH-BF=36-3a=3x1.73-3x1.41=0.96,

vBH1AD.CF1BE,CD1DH,

.••四边形CDH尸为矩形，

:.CD=HF=0.96«1,

即C,D之间的距离为1千米；

（2）解：AE=AB-sin乙ABH=6xsin30°=6x1=3,

CF=BC-sinz.CBF=6xsin45°=6x*=3或，

•••四边形CDHf为矩形，

DH=CF=3vL

•••/D=OH+/H=3&+3;

如图，作AGIDE于点G,则乙n4G=44DG=45。，

...AG=G=辱AD=*x（3V2+3）=3+竽,

在R£△AGE中，Z-EAG=LEAD-"AG=90°-15°-45°=30°,

.・.EG=AG-tan30°=（3+等）x孚=b+等，

AE=2EG=2V3+V6，

路线①的长度为：AB+BC+CD=6+6+l=13（千米），

路线②的长度为：AE+EO=4E+EG+DG

r-r-1—3\f2.

=2>/3+V6+V3++3+—-

=3百+攀+3+挈

乙乙

第23页

33

a3x1.73+77x2.45+3+77x1.41

X14（千米），

.••路线②的长度大于路线①的长度，

.•・应选择路线①.

【变式2】

39.周末，小宏和小帆准备相约去湖边景点。钓鱼.如图，4,B,C,0为同一平面内的四个景点.已知景点4位

于景点8的正东方向，景点。位于景点C的正东方向，景点4位于景点。的西南方向300（）米处，景点B位于景

点。的南偏西53。方向，景点。立于景点8的北偏东30。方向.（参考数据：sin53Opgcos53o“V，tan53。、

/，V2«1.41,V3«1.73,V6«2.45）

—：BA

I

I

（1）求景点D到景点B的距离。（结果保留根号）

（2）小宏选择路线4-8-0以1.6米/秒前往景点。处，小帆选择路线8以1.5米/秒前往景点D,两

人在各景点处停留的时间忽略不计。已知两人同时出发且匀速前进，请通过计算说明谁先到达景点。.（结果

保留1位小数）

【答案】（1）解：过。作OH,8A于H,过8作8QJL0C于Q,如图所示：

□

BAH

由题意得：^-ADH=45。,480H=53°,^CBQ=300,40=3000m,

.••在Rt△中，DH=ADxcos45°=3000x辛=1500V2(m>

第24页

AH=3000xsin45°=3000x*=1500V2(m)，

•.•在中，Z-BHD=90°,zFZ)H=53°,

DH1500723

・•・cos乙BDH=前=x5'

BD=2500近

答：景点。到景点8的距离为2500万米.

（2）解：由（1）知：四边形8HDQ为矩形

BQ=DH=1500&m,

北

-东

南

•.•在中,乙BHD=9QO/BDH=53°,

BH=2000企也,

-'-AB=2000V2-1500V2=500V2(m),

•・•在Rt△BQC中,Z-BQC=90°,“BC=30°,

・•.BC=盖=当磐=1000在(m),

T

:・CQ=%C=500V6m,

CD=(2000V2-500与m,

小宏：t=理警=500、-旦500行x2643.8（秒），

1.01.0

小帆：t=BC+CD1000乃+2000、500乃«2696.7(秒)，

1.51.5

v2643.8<2696.7,

••