三角形内角和定理（题型专练）解析版-2024北师大版八年级数学下册

1.1三角形内角和定理

三角形内角和定理的证明

利用三角形内角和定理进行简单计算

与平行线有关的三角形内角和问题

与角平分线有关的三角形内角和问题

三角形折叠中的角度问题

利用三角形内角和定理进行证明

三角形内角和定理的综合应用

基础达标题

题型一三角形内角和定理的证明

1.(2025八年级上•全国・专题练习)在探究证明“三角形的内角和等于18()。”时，飞翔班的同学作了如下四种

辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180。”的是()

【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键.根据平行

线性质和三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：A.vCE\\ABf：.ZBAC=ZACE,NB=/ECD,由N8C4+ZACE+NEC£>=180。，得

NBC4+N84C+N8=18()。，故此选项不符合题意；

.DE\\BC,..ZDAB=ZB,ZE4C=NC,由NZM8+N8AC+/C4E=180。，得N8+N6AC+NC=180。,

故此选项不符合题意；

C,-DE\\BC,/B=ZADE,ZC=ZAED,无法证得三角形的内角和等于180。，故此选项符合题意；

D、如图,

•••阳RC,NB=ZAOE=NBOP,ZC=ZAMP,-ZA+ZAMP=ZAOP.ZA+ZC=ZAOP.•••

NBOP+〃OP=180°,...N8OP+Z>l+NC=180。，

.•.ZA+ZB+ZC=180°,故此选项不符合题意.

故选:C.

2.（25-26八年级.上•天津南开•期i）在探究证明“三角形的内角和是180。”时，综合实践小组的同学作了如

F四种辅助线，其中不能证明"三角形内角和是180。”的是

A.如图①所示,过点。作EF||AB

B.如图②所示,过点8作BG||AC

C.如图③所示,过点。作CD_LAB、垂足为点。

D.如图④所示,过A8边上点P作911c4,PN\\AC

【答案】C

【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三

角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键.作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条

直线上，再根据平角的定义解决此题.

【详解】解：如图①所示，过点。作石尸||儿8,

.\Z4=ZEC4,NB=NFCB,

...ZA+ZACB+ZB=ZECA+ZACB+ZFCB=180°,

故图①能证明"三角形内角和是180。、',

故A选项不符合题意;

如图②所示，过点8作BG||AC,

.•.NC=NG8C,ZA-iZABG=180°,

Z4+ZC+ZABC=ZA+ZABC+ZCBG=180°,

故图②能证明“三角形内角和是180。”，

故B选项不符合题意；

如图③所示，过点C作COJ,A3、垂足为点。，

只能证明ZADC+ZBDC=180°,

故图③无法证明"三角形内角和是180。”，

故C选项符合题意；

如图④所示，过AB边上点P作?时||8,PN\\AC,

••・四边形PMCN是平行四边形，ZAPM=/B，ZBPN=ZA,

:.NC="PN,

.•.Z4+NB+NC=ZA/W++N8/W=180°,

故图④能证明"二角形内知和是180。”，

故D选项不符合题意.

故选：C.

3.（25-26八年级上.广西防城港.月考）“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三

个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（）

A.三角形的内角和等于180。B.三角形的内角和等于360。

C.直角三角形的两个锐角互余D.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和

【答案】A

【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明.根据图形和平角为180。即可解答.

【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角，

即三个角的度数之和为180。，这就是三角形的内角和定理.

故选：A.

4.（2025八年级上•安徽滁州•专题练习）求证：三角形三个内角的和等于180。.（要求：画图写出已知、求

证及证明过程）

【答案】见解析

【分析】画图并写出己知，求证，过点A作“由平行线的性质得NM4B=N8,ZM4C=ZC,结

合平角的定义即可证三角形三个内角的和等于180。.本题主要考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握

辅助线的作法和平角的定义是解题的关键.

【详解】解：已知：如图，NABC.

证明：如图，过点A作

-MN\\BC（已知），

，MAB=UB,ZM4C-ZC（两直线平行，内错角相等），

VZjW4B+ZR4C+zJV4C=180°（平角的定义），

.•.N8+N朋C+NC=180。（等量代换）.

5.（25-26八年级上.安徽合肥・期口）证明：三角形的内角和等于180。.

己知：如图,VABC.

求证：.

证明：

【答案】N4+N3AC+NC=I8O。，证明见解析

【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明、平行线性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行线

是解题的关键.

根据图形以及三角形内角和定理写成求证；如图，过点、A作MN〃BC,根据平行线性质得出

NMAB=/B,NNAC=NC,再根据平角的定义以及等量代换即可解答.

【详解】解：求证：N8+N84C+NC=180°.

证明：如图，过点人作MN〃3C,

MAN

♦:MN〃BC、

=NNAC=NC（两直线平行，内错角相等），

•.•ZM4B+®C+NAMC=180°（平角的定义），

.•.N8+NBAC+NC=180。（等量代换）.

6.（25-26八年级上•福建龙岩•月考）（1）如图：VA8C的点。为顶点，AC为边，在N4C8的外部用尺规

作ZACD=NA（在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）小颖经过上述作图后发现这样可以说明三角形的内角和等于18（）。，请你帮助小颖完成说理过程.

VZACD=ZA（已作）

180。（两直线平行，同旁内角互补）

^AB+ZACB+ZACD=\80°

80°（等量代换）.

【答案】CD；内错角相等，两直线平行；NB,/BCD；N8+NAC8+NA

【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识

解决问题；

（1）根据要求作出图形即可；

（2）利用平角的定义平行线的性质证明即可.

【详解】解：（1）如图，即为所求；

(2)-.^ACD=ZA(已作),

：.AB//CD（内错角相等，两直线平行），

.•./8+N8CD=180。（两直线平行，同旁内角互补）,

BPZB+ZACB+ZACD=180°（平角的定义）,

:.^B+ZACB+ZA=\S00（等量代换）.

故答案为：CD；内错角相等，两直线平行；NB,NBCD；NB+NACA+NA.

7.（2025八年级上•全国•专题练习）为了证明“三角形的内角和是180。”，林老师给出了如图所示四种作辅助

线的方法.回答下列问题:

过48上一点。作过点。作CQ_L46

延长XC到点尸,

DEHBC.DFHAC于点0

过点、C作CE〃4B

图①图②图③图④

⑴能证明"三角形内角和是180。”的方法是______（请填写序号）;

（2）在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明.

【答案】⑴①②③

（2）选择图①，证明见解析.

【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，牢记平行线的性质是解题的关键.

证明“三角形的内角和是180。”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角.

【详解】（1）①②③

（2）当选择图①时，证明：如图.

EF//AB,/.Zl=ZA,Z3=Zfi

•.•Zl+Z2+Z3=180o,...ZA+N2+N8=180。，

•••三角形的内角和为180。.

当选择图②时，

证明：CE〃A6,ZA=ZFCE,ZECB=ZB.

NFCE+NECB+ZACB=180。，

:.ZA+ZB+ZACB=\80°,六三角形的内角和为180°.

当选择图③时，证明：VDE//BC,DF//AC,

ZA=/FDB,NB=/EDA,/FDE=ZAED=ZC.

NFDB+NEDA+Z.FDE=180°,..ZA4-Z«+ZC=180°.

•••三角形的内角和为180。.（答案不唯一，选择一种方法证明即可）.

题型二利用三角形内角和定理进行简单计算

I.（25-26八年级上•天津宁河•月考）在△48Cg△/）防中，若乙4=80°,ZE=20°,则NC=（）

A.80°B.70°C.60°D.100°

【答案】A

【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，根据全等三角形对应顶点的字

母写在对应位置上准确找出对应角是解题的关键.

根据全等三角形对应角相等求出NB=NE=20。，再利用三角形的内角和等于180°列式进行计算即可得解.

【详解】解：；AABCgADEF,ZE=20°,

.-.ZB=ZE=20°.

在VA3c中，ZA+N8+NC=180°,

NC=180。-ZA-N4=180。-80°-20°=80。.

故选A.

2.（25-26八年级上•浙江绍兴•期口）如图，点石分别在线段A5.4r上，BE与CD相交于点、N.若

△AB-ACD,且乙4=55。，ZC=25°,则ZAE8的度数为（）

A.80°B.90°C.100°D.105°

【答案】C

【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理.先利用三角形的内角和定理可得乙M>C=100。,

然后利用全等三角形的性质即可解答.

【详解】解：•••NA=550,ZC=25°,

ZADC=180。一ZA-NC=100°,

vAABE^SCD，

.-.Z4EB=ZA£>C=100o,

故选:C.

3.（25-26八年级上•全国•期末）将一副三角尺按如图所示的位置摆放（斜边与直角边重合），则N1的度数为

【答案】C

【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、外角定理，找到外角是解题的关键.

首先根据三角板的度数，得到对应知的度数，再利用外角定理求得N1的度数即可.

【详解】解：如解图，设AC与8D交于点E,

根据题意可知，NA=90°,ZABC=45°,/CRD—

ZABE=ZABC-4CBD=45°-30°=15°,

在AAEB中，ZI=Z4+ZABE=90°+15o=105o,

故选:C.

4.（25-26八年级上•河南郑州•月考）如图，一轮船在海上往正东方向行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东75。,

在B处测得灯塔C位于北偏东35。，则NAC3=（）

【答案】A

【分析】本题考查方向角、三角形内角和定理，根据方向角得到三角形两个内角的度数，再根据三角形内

角和定理求出ZACB的度数.

【详解】解：•.,在4处测得灯塔C位于北偏东75。，

.■.ZC4B=90°-75o=I5°,

•••在B处测得灯塔C位于北偏东35。，

/.Z4BC=90o+35o=125°,

在AABC中，Z4BC+ZCAI3+ZACB=180°.

.•.Z4CB=180°-Z4BC-ZC4B=180o-15o-125o=40o.

故选:A

5.（25-26八年级上•安徽淮北•月考）如图，AABC且△AOE,乙48C=52。，NAC8=68。，则NZME的度

数为（）

A.60°B.52°C.68°D.70°

【答案】A

（分析］先根据三角形内角和定理求出N&C=6O。，再根据全等三角形的性质可得ZDAE=ABAC=60。.

本题主要考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

【详解】解::VABC中ZABC=52°,ZACB=68°,

:.NBAC=180°-ZABC-ZACB=180°-52。-68。=60°,

.•.NZME=N84C=60。.

故选：A.

6.（25-26八年级上•安徽淮北•月考）在V4BC中，NA:/B:NC=1:3:5,则NC的度数为（）

A.80°B.90°C.1（X）°D.120°

【答案】C

【分析】本题考查了三角形内角和定理.

根据三角形内角和等于180度，结合角度比设未知数，列方程求解.

【详解】解：•••NA：N8:NC=1:3:5,

设Z-A.=X,NB=3x,ZC=5x,

vZA+ZB+ZC=180°,

:.x-t-3x+5x=18O°,

解得：A=20°,

.-.ZC=5x=100°.

故选：c.

7.（浙江省温州市六校联考2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题〉在V48C中，当

4:N8:NC=1:2:3时，这个三角形是（填“锐角”"直角钝角”）三角形.

【答案】直角

【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理，设NA=x°,则N8=（2x）。，ZC=（3x）°,

列方程求解各角度数，再判断三角形类型，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键.

【详解】解：•••NA：NB:NC=I：2:3,

.•.设Z4=x。，则N3=（2x）。，ZC=（3x）°,

由题意可得：x+2x+3x=180,

解得：x=30,

--.^4=30°,N8=60°.ZC=90°.

二这个三角形是直角三角形，

故答案为：直角.

8.（25-26八年级上・安徽亳州・月考）如图，在VAAC中，N4=36。，N8=48。，CO是A4C3的角平分线,

则乙4CO的度数是.

【分析】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义.先根据三角形内角和定理求出NAC8的度数,

再利用角平分线的定义求出NACD的度数即可解答.

【详解】解：•.•在V48C中，ZA=36°,ZB=48°,

.*.ZACZ?-180-36-48-96，

•••CD是AAa的角平分线,

ZACD=-ZACB=-X96°=48°,

22

故答案为：48.

B能力提升题」

题型一与平行线有关的三角形内角和问题

I.（25-26七年级上•山东泰安・期口）如图，直线若Nl=40。，?270?,则N3等于（）

【答案】D

【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理.

先求出Z4=Z1=4O°，再根据三角形内角和求出结论即可.

【详解】解：如下图：

故选:D.

2.（20-21七年级上•广西桂林•月考）如图是一架婴儿车的示意图，其中A8〃C。，ZI=II（F,Z3=40°,那

么N2的度数为（）

G

c5XZ）

A.80°B.90°C.1000D.70°

【答案】D

【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，掌握相关知识是解决问题的关键.根

据A8〃CO,Z3=40°,易求N4,由N1可求NAFH,则利用三角形内角和定理可求N2.

【详解】解：如图，

立

AKOp-CD,Z3=40°,

c

.•.Z4=N3=4O。，

v21=110°,

.­.ZAFH=180°-110o=70o

.•.Z2=180°-ZA-ZA/77=I800-00-700=70°.

故选:D.

3.（24-25七年级下•贵州遵义・期末）如图，将三角形纸片A8CMJ一角沿着OE折叠，使点C的对应点尸落

在/ABC靠近A8的三等分线8G上，且。F〃AC,ZC=7O°,ZABC=66°,则N&-G的度数为.

【答案】44。/44度

【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，根据题意得出

4BG=g/A8C=22。，ZDFE=ZC=70°,根据三角形内角和定理求得NA=44。，进而根据三角形外角的

性质求得4GC=66。，进而根据平角的定义，即可求解.

【详解】解；•.•"BC=66。，点C的对应点“落在Z4BC靠近A〃的三等分线BG上，NC=7O。，

：.^ABG=-ZABC=22°fNDFE=NC=7(F

3

­.ZABC=66°,ZC=70°,

.•.ZA=1800-ZABC-ZC=]80o-66o-70o=44°

•••4BGC=ZA+ZABG=66°

­.DF//AC,

:.NBFD=NBGC=(^,

ZEFG=180°-少FR-乙DFE=180°-66°-7(P=44°

故答案为：44°.

4.(24-25七年级下•广西百色・期天)如图，直线。〃〃，Nl=135。，Z2=33°,则N3的度数为

【答案】102。/102度

【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出相关角的度数，再结合三角形内角

和为180。求出N3的度数.

【详解】

如图：

\'a\\b

/.Z4=Z5

ZI=135°,Zl+Z5=180°

.•.Z4=Z5=180°-135°=45°

.•.Z3=180°-Z4-Z2=102°

故答案为：102。.

5.（24-25七年级下广东东莞力考）超市的小推车能更有效地增加角落的收纳空间，十分便捷.将它抽象

出来的平面图形如图所示.已知A8〃CO,FDYCD,若Nl=75。，Z2=95°,则N3的度数为

【答案】度

【分析】通过作辅助线EG\\AB,利用平行线的传递性得到EG\\CD,再结合平行线的性质和已知垂直条

件，求出N3的度数.本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质（两直线平行，内错角

相等；平行线间的传递性等）是解题的关键.

【详解】解：过点E作EG||AA交。产的延长线于点G,

AH\\EG

.•./1=/BEG=75。

/./GEF=N2-NBEG=95°-75°=20°

-EG\\CD,FD1CD

:.EG1FD,即NEG£>=90。，

/.Z3=NEGF+NGEF=90o-20°=l10°

故答案为：110。.

6.（24-25八年级上•河南平顶山•期末）如图，在VA4c中，点。在8c上，4BDA=4BAC,446C的平分

线交AC于点E,过点E作所〃,4£）,交BC于点、F.

BDFC

（1）求证：ZBAD=ZC；

⑵若NC=20。，ZBAC=110°,求ZBEF的度数.

【答案】（1）见解析

（2）45°

【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是充分利用（1）中

结论解决问题.

（1）利用三角形内角和证明即可；

（2）利用NC=20。,N84c=110。先求出—A3C,根据的平分,ABC求出NC8E=25。，再根据律〃AO

求出ZADB=ZEFB=110°,最后利用三角形内角和定理即可求解.

【详解】（1）证明：•••N8A£）=180O-ZA6C—/4DANC=180。—ZA4C—N4AC,

-ZBDA=ZBAC,

SAD"C；

（2）解：•••NC=20。,/84C=U0。，

Z4BC=180o-ll00-20o=50o,

.­.Z4£）^=ZBAC=110o,

•:BE平分NABC,

:.ZABE=NCBE=25°,

vAD//EF,

.•.ZADB=/EFB=110。,

：.4BEF=1800-NCBE-/BFE=45°.

7.（25-26八年级上•全国•期中）如图，在V4BC中，44=90。，点/）在AC边上，DE//BC,若ZADE=155。,

求的度数.

【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键.

先由平行线的性质求出NC的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数.

【详解】角色•••N/M>£=155。,

ZEDC=180°-ZADE=180°-155°=25°,

-DE//BC,

..ZC=ZEDC=25°,

又I44=90。,

••.Z5=90°-ZC=65°.

8.(25-26八年级上•重庆・期中)如图，若AB〃CD,AB=CD且CE=B厂.

⑴求证：AE=DF；

(2)若NAZ沿一60。，ZC-500,求上7)的度数.

【答案】(1)证明见解析

(2)ZD=70°

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确寻

找全等三角形的全等条件.

(1)证明由全等三角形的性质可得出结论；

(2)由全等三角形的性质可得出NC=N8=50°,由三角形内角和定理可得出答案.

【详解】(1)证明：•.•A3〃CD,

zC=ZB,

•；CE=BF,EF=EF,

;.CF=BE,

在VCOF和△84£中，

CD=AB

/C=NB,

CF=BE

..△CDF知BAE(SAS),

/.AE=DFx

(2)解：•.•△CO/名4BA石,

/.ZC=ZB=50°,/A=/1),

•.­ZA£fi=60°,

.­.ZA=180°-ZAEB-ZB=180°-60°-50°=70°,

.­.z£>=70°.

9.(25-26八年级上•广东广州•期口)如图，点。，石分别是V人的边AC,AC上的点.

（1）尺规作图：过点。作线段交AB于点F,要求保留作图痕迹，不用写作法；

⑵在（1）的条件下，若BA,ZA=NBDF=2/EDC,求乙4尸。的度数.

【答案】（1）见详解

（2）108°

【分析】（1）根据平行线的判定，作/加尸二NC即可.

（2）根据平行线的性质可得N8Z）/=NC,ZA=/DEC,在△£>£C中，根据三角形内角和定理求出

/DEC=72°,则可得Z4=72°,再根据平行线的性质即可求得乙4H>=180。-NA=108°.

【详解】（1）解：如图，线段力尸即为所求.

(2)解：AC,DE//BA,

:.NBDF=/C,ZA=NDEC,

•;ZA=NBDF=2/EDC,

:.NDEC=NC=2/EDC,

设=则N£)EC=NC=2x。，

在公OEC中，NOEC+NC+NEDC=180。，

.•.2xo+2xo+xo=180o,

解得x0=36。，

/.Z4=ZDEC=72O,

DF//AC,

/.ZAFD+ZA=180°,

/.ZAM）=180o-ZA=180o-72o=108°.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理，以及尺规作图一作一个角等于已知角.熟练

掌握以上知识是解题的关键.

题型二与角平分线有关的三角形内角和问题

1.（25-26八年级上•广西贺州•期中）如图，在VABC中，NBAC=64。，ZB=36°,AD平分NBAC交BC于

点D,则上SZX?的度数是（）

【答案】D

【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键.由

ZBAC=64°,求得/加。=/6。=,/射。=32。，而/8=36。，则NADC=N8+N84D=68。，丁是得

2

到问题的答案.

【详解】解：•••N&AC=64。，A。'『分』B4C交AC于点。，

ZBAD=ACAD=-XBAC=32°,

2

•.”=36。，

ZADC=NB+/BAD=68°,

故选:D.

2.（25-26八年级上•安徽阜阳•月考）如图,在VABC中，点。在BC延长线上,BE,CE分别平分/ABC,

Z4CD,CF1BE,垂足为尸.若乙4=60。，则/比户=（）

AE

B.60°C.65°D.70°

【答案】B

【分析】本题主要考杳角平分线性质、三角形外角定理和三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解题的

关键.

由题意得=NECD=-ACD,利用三角形外角定理得NACO=N4BC+NA求得/E,即

22

可求得答案.

【详解】解：:BE,CE分别平分/ABC,ZACD,

ZEBC=-ZABC,ZECD=-ZACD.

22

QZACD=ZABC+ZA,

-ZA=ZACD-ZABC.

NE=NECD-NEBC=-^ACD--ZABC=-(ZACD-Z?lBC)=-Z4=30°.

222'72

-CFA.BE,

.•.ZECF=60o.

故选:B.

3.125-26八年级上•安徽安庆・期中)如图，在VA8C中，/ABC,NACB的平分线交于点。”"=130".

(1)NA的度数为一.

(2)若C。平分外角乙4。尸，交80的延长线于点。，点E是VA8C的两外角平分线的交点，则NE-ND的

度数为一.

【答案】80°10°

【分析】(1)根据三角形内角和定理，角的平分线定义解答即可.

(2)根据三角形内角和定理，角的平分线定义，三角形外角性质解答即可.

本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线定义，熟练掌握性质和定理是解题的关键.

【详解】(1)解：••・B0平分/ABC,CO平分NACB,

:.ZABC=24OBC,ZACB=2X003.

vAOBC+NOCB+NBOC=180°,/BOC=130°,

.•.N04C+NOC8=5O。，

ZABC+ZAO3=2(ZO/JC+ZOCI3)=100°.

.*.Z4=l80°-(ZABC+ZACB)=80°.

(2)解：由(I)知ZABC+ZAC8=100°.

•・•点E是V48C的两外角平分线的交点，

NCBE=-(180°-ZABC),/BCE=-(180°-Z/4CZ?),

22

.­.ZE=180°-ZCB£：-ZBC£：=180o-1(180o-Z^BC)-1(180o-ZACB)

=g(48C+ZACB)=；xlOO°=50。.

•••8。平分NA3C,。。平分外角ZAb,

..^OBC=-^ABC,/DCF=L/ACF.

22

•；NOBC+/D=/DCF,ZACF=\800-ZACB,

NO=NDCF-NOBC=-ZACF--ZABC

22

=g(1800-ZAC8)-：48C=900-：(NAC8+NA8C)=90。—Jxl000=4()。，

Z£-ZD=50°-40°=10°.

4.(25-26八年级上•山东日照•期中)如图，和N8CD的平分线”和CP相交于尸点，交又形成了多

个“和谐8字形"，若"=42。，N8=38。，那么/P的度数是.

【答案】40。/40度

【分析】本题主要考杳了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解

题的关键.

利用三角形的内附和定理表示出440。与N8OC,再根据对顶侑相等可得N4OO=N8OC,从而可得

/DAO+ND=NB+NBCO,代入数据可得：NOCB-NOAD=4。,根据角平分线定义，得出/1=；NO4Q,

/3苧OCB，然后利用“8字形”的关系式结合角平分线列式整理即可得解.

【详解】解：•••NZMO+NQ+Z/UM=180。，ZBCO+ZB+ZBOC=180°.

乂•.40拉=N8OC，

^DAO+ND=NB+/BCO,

vZD=42°,N8=38°,

:.ZOAD+42°=NOCB+38°,

:.NOCB-ZOAD=4。,

•••AP、CP分别是2044和/BCD的角平分线，

.-.Z\=-ZOAD,Z3=-Z0CB,

22

乂•.N1+NO=N3+NP,

NP=N1+ZD-Z3=-(ZOAD-ZOCB)+ZD=-x(-4°)+42°=40°；

22

故答案为：40°.

5.(24-25七年级下•全国•期末)如图，在V48c中，已知AD是角平分线,ZB=64°,ZC=56°.

(2)若OE/AC于E,求NADE的度数.

【答案】(1)/48=94。

(2)Z4DE=60°

【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形内

角和以及角平分线的定义是解题的关键.

（1）根据三角形内角和定理得出N班。=60。，再由角平分线的定义求出N84O=5NBAC=30。，然后根据

三角形外角的性质求解即可；

（2）由垂直的定义得NAE£）=90。，然后根据NA£>E=1800-90O-NC4£）即可求解.

【详解】（I）解：•••在V4BC中，ZB=64°,ZC=56°,

NBAC=180。-N4—NC=60。，

•••AD是YABC的角¥分线

/BAD=ZCAD=-ZBAC=30°,

2

:.ZADC=NB+ABAD=64。+30°=94°；

（2）-DEJ.AC,

.-.Z4ED=90°.

ZC4£>=30°

.•.ZAZ>E=180°-90°-ZC4D=60c.

6.（25-26八年级上•安徽淮北•月考）如图，在V/IAC中，ZB=2ZC,AE是284C的平分线，ADJ.BC交

8c于点D.

（1）若NC=40。，求N7ME的度数；

（2）若N£4C=NC,求证：AABD^AAED.

【答案】（1）20。

（2）见解析

【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线，全等三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键.

（1）由4=2NC,NC=40。可求N8,利用三角形内角和定理可求-84C,因为AE是N8AC的平分线,

则可求NCAE=g/B4C=30。，再求出-DAE后两角相减即可求解题目；

（2）由已知可证NB=NA瓦），因为AO13C,则NAO8=NAOE=90。，又因为AD=AD，则可证

△人用泾△川£»

【详解】（1）解；；NC=40。，ZB=2ZC,

.•.4:80。，

/.ABAC=180。-NB-NC=60。，

又•.AE平分NBAC,

ZCAE=-ZBAC=30°,

2

vADIBC,

.,.ZADC=90。，

/.ADAC=180°-ZADE-NC=50°,

/.ZDAE=ADAC-ZCAE

=50°-30°

=20°；

(2)证明；

vZ4ED=ZC+ZE4C,

：.ZAED=2/C,

乂•./8=2NC,

:.Z.B—ZAED,

：ADIBC,

.■.ZADB=ZADE=90°,

在△A8D与△AED'I',

NADB=NADE

<4B=NAED

AD=AD

.•.△A8£KA£D（AAS）

7.（25-26八年级上•安徽淮北・月考）如图，在VA4C中，。是5C的中点，BE平分NABC,CFA.AB,交

AB的延长线于点?

（1）若N84C=27。，NBC产=40。，求乙4以7的度数.

(2)若AB=5,CF=4,求△CAOH勺面积.

【答案】(1)88。

(2)5

【分析】(1)根据三角形内角和定理可得NC8/=5伊，则可得/46C=130。，根据角平分线的定义可得

/ABE=1NA8C=65。，再根据三角形内角和定理可得ZAEB的度数.

(2)先求出VA6C的面积，由“是4c的中点可得的面积是VA/C面积的一半，进而可求得的

面积.

本题考杳了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

【详解】(1)解：•••CF_LA8,

.­.ZF=90o.

••NBC尸=40°,

:./CBF=90°-NBCF=50°,

・•.ZABC=180°-NCBF=130°.

平分/ABC,

ZABE=-ZABC=65°.

2

/.ZAEB=1800-ABAC-ZABE=88°.

(2)解：.CF±AB.AB=5,CF=4,

-S.=-ABCF=-X5X4=W.

^A/IDACRC22

••.Q是BC的中点，

S、&CD=5S^ABC=5•

8.(25-26八年级上•四川广安•期中)如图，在VA8C中，BD,CO分别是一人AC,2ACB的外角平分线，

(1)若NA8C=50。，ZACB=40°,那么/力=

(2)若乙4=。，求/。的度数(用含a的式子表示).

【答案】(1)45°

【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质及平角的定义.

(1)利用平角的定义及角平分线的性质可得出Nl=N2=g/MC=65。，Z3=Z4=1ZBCE=7O%再通过三角

形内角和定理求得结果；

(2)利用三角形内角和定理，角平分线的性质得出角度之间的等量关系，经过计算即可得出的表达式.

【详解】(1)解：•.•48C=50。，4。=好，

NFBC=180°-ZABC=130°,ZECB=180°-ZACB=140°,

又•.BD,CD分别是NA3C,NAC3的外角平分线，

Z1=/2=■!•/FBC=65°,Z3=Z4=-NBCE=70°,

22

.-.ziZ>-180o-Z2-Z3-45o,

故答案为：45°.

(2)解：,.♦NA=a,

:.ZABC+NAC4=180。一。，

又••Nl=N2,N3=/4,Z2+Z3=180°-ZD,

.­.Zl+Z4=180°-ZD,

•••ZABC=180°-Zl-Z2,NACB=1800-N3-N4,

.­.180p-Zl-Z2+180°-Z3-Z4=l»P-a,

.­.360°-(Zl+Z2+Z3+Z4)=180°-a,

:.360°-2(180。-NO)=180。-a,即NO=90。一；a.

9.(25-26八年级上•云南红河•期口)【问题呈现】

小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：

如图①，N1与N2分别为VA3C的两个外角，求证：Z1+Z2=I8O°+ZA.

【推理证明】

(1)补全证明过程.

证明：・「N1与N2分别为VA8c的两个外角，

.•./1=/A+,Z2=ZA+

.*.Z1+Z2=

•.•N3+N4+ZA=I8()。，

/.Z1+Z2=18O°+ZA.

(2)如图②，在VABC纸片中剪去△4灰),得至IJ四边形BCOE.若Nl=130。，则N2-NA的大小为度.

(3)如图③，在V八AC中，BP,“分别为外角NO4C,/反方的平分线，写出/P与-A之间的数量关系，

并说明理由.

【答案】(1)N4，N3,ZA+Z4+ZA+Z3.

⑵50

(3)/2=90。-：44,理由见解析

【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关

知识是解答的关键.

(1)由三角形外角性质得Nl,N2,再求N1与/2的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证；

(2)由Nl+N2=1800+N4进行变形为N2-4=180。-N1即可解答；

(3)由角平分线的定义得NP8C、NPCB,再由三角形内角和定理得出NP=180。-g(NO8C+N8CE),

然后把NDBC+NBCE=180°+44代入求解即可.

【详解】(1)证明：・・・N1与N2分别为VABC的两个外角,

二/1=/A+N4，N2=ZA+N3,

/.Z1+Z2=ZA+Z4+ZA+Z3

VZ3+Z4+ZA=I8O°.

.-.ZI+Z2=180o+Z4.

故答案为：N4,Z3,ZA+Z4+ZA+Z3.

(2)解.：VZ14-Z2=180O+Z4,4=1300,

•••N2-ZA=180。-N1=180°-130。=50。.

故答案为：50.

(3)解:ZP=90°--ZA,理由如卜.：

2

,:BP,CP分别为外角NOHC,N七C8的平分线，

："PBC=L/DBC,NPCB=L/BCE,

22

NP=180。一(NPBC+NPCB)=180。一g(Z.DBC+NBCE),

vND8C+ZBCE=18()°+Z4,

:.ZP=180o-^(180°+NA)=90°-NA.

题型三三角形折叠中的角度问题

1.(25-26八年级上•甘肃武威・月考)如图，将纸片V/WC沿。笈折叠，点A落在点尸处，已知NI+N2=110,

则的度数等于()

A.700.B.60°C.55。D.40。

【答案】C

【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理；由/1+/2=110。可得乙4£尸+/4£尸=250。，再由折

叠的性质可得ZADE+ZAED=\25°,然后根据ZA=180°-(ZADE+ZAED)即可求解.

【详解】解：vZl+ZADF=18O°,/2+乙4£尸=1800,

Z1+ZADF+Z2+ZAEF=360°,

•••N1+N2=U(X,

.-.ZADF+ZAEF=250°,

由折叠的性质得44。七二!乙4。r，ZAED=^-ZAEFf

22

ZADE+ZAED=^(ZADF+ZAEF)=125°,

NA=180。一(NADE+N4E。)=180。-125°=55°.

故选：C.

2.（25-26八年级上•安徽马鞍山•斯中）如图，把VA8C纸片沿OE折叠，当点4落在四边形8cM的外部时,

则与N1和N2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找规律，你发现的规律是（）

C.3ZA=2Z1-Z2D.3ZA=2（Z1-Z2）

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及外角的性质，翻折变换，解题的关键是得出折叠前后不变的

角.根据折叠的性质可得N4'=NA,再由三角形内角和定理以及外角的性质，即可求解.

【详解】解：结论：2NA=N1—N2,理由如下：

如图，补全折叠前的图形，

•••VAOE是V人〃C沿折叠得到，

•••Z4'=ZA，

乂♦.ZADA：=180°-Zl,Z3=ZA+Z2,ZA'+Z/UM+/3=180。,

.­.ZA,+180°-Zl+ZA+Z2=180°.

•••N1=2ZA+N2.

••.2ZA=Z1-Z2；

故选B.

3.（25-26八年级上•贵州黔西・月考）如图，将V4BC纸片沿OE折叠，使点A落在点A处，且A/V平分NABC,

C4'平分NAC8,若N84'C=115。Zl=45°,则N2的度数为（）

A.50°B.55°C.60°D.65°

【答案】B

【分析】本题考查三角形的内角和定理、轴对称的性质，角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，

解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型.

连接A4'.首先求出N/T8C+NA'C8=65。，再求出N8AC,由折叠可知：ZDAA=ZDA'A,NWNE4%,

然后求出N1+N2=2的C即可解决问题.

【详解】解：连接A4'，

-.ZBA,C=l15°,

.•.Z4'8C+ZA'C8=65。，

•••A'B平分N48C,AC平分NACB,

..ZABC+ZACB=\30°,

.-.ZBAC=180°-130°=50°,

由折叠可知：ZDAA^ZDAA,NE44=NE4'A,

vZl=ZDAA'+ZDA'A，N2=ZEAA+ZEAA，

N1+N2=2(NaM'+W)=2NB4C=100。，

vZl=45°,

.­.Z2=100°-45o=55°.

故选:B.

4.（25-26八年级上•江西宜春•期口）如图，VA8C中，ZA=30°,沿房将此三角形对折，又沿84'再一次

对折，点C落在跖上的C处，此时/C'OB=64。，则原三角形的-C的度数为（）

A.75°B.76°C.98°D.99°

【答案】D

【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；先根据折叠的性质得N1=N2,

N2=N3,NCDB=NC'DB=64c,则N1=N2=N3,U[IZABC=3Z3,根据三角形内角和定理得

Z3+NC=116。，在VABC中，利用三角形内角和定理得ZA+ZABC+NC=180。，则30。+2Z3+116°=180°,

可计算出N3=17。，即可得出结果.

【详解】解：如图，

•.♦VAAC沿跖将此三角形对折，又沿44再一次对折，点C落在跖上的C处,

Zl=Z2,/2=/3,NCDB=/CDB=64°,

.-.Z1=Z2=Z3,

••Z8C=3N3,

在△88中，Z3+ZC+ZCDB=18()°,

.•.Z3+ZC=180o-64o=116°,

在VABC中，•••ZA+ZABC+NC=180。，

30°+2N3+(N3+ZC)=180°,

即30°+2Z3+116o=180°,

••.N3=17。，

.­.ZC=1160-17O=99°,

故选：D.

5.（2025七年级上•广东深圳•专题练习）如图，长方形纸片人E为CD边上一点,将纸片沿着座折叠,

点。落在点C'处，将纸片沿AE折叠，点。落在点ZX处，且点词合好在线段应:上，若=a，则

Z.CEB-.（用含。的式子表示）

【分析】本题考查了图形折叠的性质（对应角相等）和平角的定义，解题的关键是利用折叠的性质得到相

等的角，结合平角关系建立等式求解.

根据折置性质得NCE8=NCm，结合平角NA以7+Z4£C'+NC£3=180°,设NCEB=x,建立含a的等

式，求解得”的表达式.

【详解】解：由折叠性质可知NCEB=NCE8,且NAED=