第二十七章 一元二次方程（复习讲义）-八年级数学下册【含答案】

第二十七章一元二次方程（复习讲义）

工区

单元目标聚焦•明核心

1.了解一元二次方程的概念和意义，体会其在数学中的整体联系.

①了解一元二次方程的定义及其一般形式.

②理解一元二次方程的解（根）的意义，知道一元二次方程一定有两个解，但不一定有两

个实数解.

③体会•元二次方程的概念、解法和应用之间的整体联系.

2.能用多种方法解一元二次方程.

①掌握直接开平方法解一元二次方程.

②熟练运用配方法解一元二次方程.

③理解并应用公式法解一元二次方程.

④学会因式分解法解一元二次方程.

3.理解并利用一元二次方程解决实际问题.

①掌握列一元二次方程解决实际问题的一般步骤.

②能够识别并解决一元二次方程应用题中常见的问题.

③通过实际问题的解决，进一步加深对一元二次方程的理解和应用能力.

通过以上目标的复习，学生能够全面掌握一元二次方程的相关知识，提升解题能力和应用能

力.

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一、一元二次方程的概念

1、一元二次方程的定义

（1）一一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫

一元二次方程.

（2）概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2.

（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”;“未

知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0"；“整式方程”.

2、一元二次方程的一般形式

（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式如2+反乜力

（存0）.这种形式叫一元二次方程的一般形式.

其中。必叫做二次项，。叫做二次项系数；队叫做一次项：c叫做常数项.一次项系数b和

常数项。可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当。=0时，方程中就没

有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了.

（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式.

二、一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解〔根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知

数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

（2）一元二次方程一定有两个解.，但不一定有两个实数解.这X”应是一元二次方程纨

2十以十c-0（际0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

ax^bxy^c^（存0）,〃必斗力M+片°（存0）.

三、一元二次方程的解法

1、解一元二次方程-直接开平方

形如炉=〃或（心+〃?）2=p（p>0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.

如果方程化成/=〃的形式，那么可得X=±V7；

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如果方程能化成（九什〃7）2=p（夕初）的形式，那么"X+让土

注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.

②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.

③方法是根据平方根的意义开平方.

2、解一元二次方程•配方法

（1）将一元二次方程配成2=〃的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次

方程的方法叫配方法.

（2）用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为办2+人田"广。（火0）的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上•次项系数•半的平方：

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负

数，则判定此方程无实数解.

3、解一元二次方程-公式法

（1）把X="士b-4ac（b?-4f?c>0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=^（存0）的求根公式.

2a

（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：

①把方程化成一般形式，进而确定〃，b,c的值（注意符号）；

②求出的值（若〃-4比<0,方程无实数根）；

③在川-4〃企（）的前提下，把a、b、。的值代入公式进行计算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①在0；②力2-4%之0.

4、解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个•次因式的积的形

式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把

原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）.

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（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘枳；③令每个因

式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程

的解.

四、一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列

方程的解，检验和作答.

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为。，十位数是方，则这个两位数表示为lOb+Q.

（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量xlOO%.如：若原数是0每次增长的百分率为

x,则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+A）2,即原数x（1+增长百分率）』

后来数.

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、

矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用

相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方

程.

又H

考点题型突破•拓思维

题型一判断是否是一元二次方程

【例1】（24-25八年级下•安徽亳州•期中）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.1—%2=0B.ax2+bx+c=0C.—+x+1=0D.x2+y+2=0

【变式1-11（24-25八年级下•黑龙江哈尔滨•期中）

2.下列方程是一元二次方程的是（）

A.x+2y—1B.—5=0C.H—=8D.3x=6x+2

x

【变式1-2]（24-25九年级上甘帚天水期中）

3.下列方程①加+bx+c=O；②3x（x—4）=0；③x2+y_3=0；④g+/=2；⑤

X3-3X+9=0：⑥X2+X+1=0；⑦（X-2）（X+5）=/T.其中一定是一元二次方程的有

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()个

A.2B.3C.4D.5

【变式1-31（24-25八年级下•江苏泰州•期末）

4.若（。+2）--2+2%=1是一元二次方程，则。的值为（）

A.±2B.2C.-2D.0

题型二一元二次方程的一般形式

【例2】（24-25八年级卜・•吉林长春•阶段练习）

5.一元二次方程2/+x—5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A.2,1,5B.2,1,-5C.2,0,-5D.2,0,5

【变式2・1］（24-25八年级下•福建泉州•期末）

6.将一元二次方程Y-2x=6化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别

是（）

A.192,6B.19—2,6C.19—2,-6D.1,2,-6

【变式2-2］（24-25八年级下•江西宜春・期中）

7.把一元二次方程x（2x-l）=4x化成一般式，则a也c的值分别是（）

A.1,4,1B.2,-5,0C.3,4,0D.—2,-5,1

【变式2-3］（24-25九年级上•江苏扬州•阶段练习）

8.将方程5/=61-8化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常

数项分别是（）

A.5>—6,-8B.5,—6,8C.6,—5,8D.6,5,—8

题型三解一元二次方程

【例3】

9.用适当的方法解下列方程：

（1）X2-6X-18=0.

（2）x（x-4）-4+x=0.

【变式3・1】（24-25八年级下•山东淄博•期中）

10.解方程：

（l）2.r2-3x+l=0

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(2)(x+l)(3x-l)=l

【变式3-2](24-25八年级下,浙江杭州•期中)

11.选择适当的方法解方程：

(1)X2-2X-15=0

(2)4(x-l『=9(x-5『

【变式3-3](24-25八年级下•安徽亳州・期中)

12.用合适的方法解方程：

(l)x2-2x-l=0;

(2)(2X+1)2=-6X-3.

【变式3-41(23-24九年级上•广东江门•期中)

13.用适当的方法解下列一元二次方程：

(I)3(X-I)2-27=0；

(2)X2-8X-9=0；

⑶(X+4)2=2X+8

题型四解一元二次方程错解复原问

RX

【例4】(24-25九年级上•河北保定•期末)

14.习题课上，数学老师展示了解方程2(x-2)=(x-2『时的两种错误解答过程:

甲：原方程可变形为：

乙：原方程可变形为：

2彳-4=/+4第一步

2(x-2)-(x-2『=0第一步

/一2工+8=0第二步

"-2)(2-12)=0第二步

x2-2x+1=9第三步

"-1)2=9第四步贝Ux-2=0或2-x-2=0第三步

%)=2,x=0

则x-l=±3第五步2

.•.再=4,9=-2第六步第四步

(1)分别写出甲，乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的;

(2)请写出正确的解答过程.

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【变式4-1](24-25九年级上甘肃张掖・期末)

15.小明在学习一元二次方程解法时，解方程2./-8x+3=0的过程如下：

解：2x2-8x+3=0

x2-2x+1=0…第一步

X2-2X=-…第二步

x2—lx+1=——…第三步

(x-l)2=-1<0.…第四步

，原方程没有实数根.

根据小明的解题过程，解答下列问题：

(1)上述过程中，从第步开始出现了错误.

(2)止确解出这个方程(可选择合迪:的解方程的方法)，

【变式4-2](24-25九年级上•湖南湘西・期末)

16.阅读下面关于方程—以-18=()的解题过程，解决下列问题.

解：移项，得2/_8X=18,①

两边同除以2,得』-4x=9,②

配方，得W—4x+4=9,③

即2『=9,

二x-2=3或x-2=-3,④

=-

%(=5,x21.(5)

(1)上述解题过程有误，错在步骤(填序号)，错误的原因是;

(2)请你写出正确的解答过程.

【变式4-3](24-25九年线上•广东清远•期末)

17.下面是小华利用配方法解•元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务.

解：x2+4x-5=0.

移项，得./+4工=5...................................第一步

配方，得F+4X+16=5+16,即*+4)2=21............第二步

由此.可得X+4=±JF..................................第二步

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X,=后-4f=-&T-4.......................................................第四步

请完成下列任务：

（1）上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是，其中，“配方法”所依据的数学

公式是（填“完全平方公式''或"平方差公式”）

（2）小华同学利用配方法解题过程中，从第步开始出现错误，请写出正确的解题过程.

题型五根据判别式判断一元二次方程根的情况

【例5】（2025•江苏扬州•中考真题）

18.关于一元二次方程/一3工+1=0的根的情况，下列结论正确的是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断根的情况

【变式5-1]（2025•云南楚雄•二模）

19.关于x的一元二次方程./+〃d-1=0的根的情况是（）

A.只有一个实数根B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根D.没有实数根

【变式5-2]（24-25八年级下上海金山期末）

20.若左＜0,关于x的一元二次方程小_》+]=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

【变式5・3】（24-25九年级下,河南周口•期中）

21.定义运算：a^b=a2-2ab+\.例如：4^2=42-2x4x2+1=1.方程冰1=-1的根的

情况为（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

【变式5-4]（2025・上海・中考真题）

22.已知关于x的一元二次方程2一+%一/〃=0没有实数根，则〃，的取值范围是.

【变式5-5]

23.若关于x的一元二次方程/+2、+〃[-1=0有两个相等的实数根，则实数m的值

为•

【变式5-6]（24-25八年级下•江苏泰州・期末）

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24.关于x的一元二次方程/+4x+4k=0有实数根，则A的取值范围是.

题型六一元二次方程根与系数的关系

【例6】（24-25八年级下•浙江杭州•期中）

25.已知不，々是方程/+x_l=O的两个实数根，贝也+/+中2=.

【变式6-1】

26.一元二次方程/+2》-1=0两个实数根为王应，则片+¥=.

【变式6-2】

27.设，〃，〃是方程』+x-2025=0的两个实数根,则m~+2m+n+nin的值为.

【变式6-3】

28.已知关于x的一元二次方程V—3工-1=0,两实数根为。和6,则代数式

〃2+%+707.0=.

题型七用一元二次方程解决实际问题

【例7】

29.一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔,

售价为每顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市''期间，计划将头盔降价销售，

经调查发现：每降价10元，每月可多售出200顶.

（1）头盔每降价1元,每月可多售出一顶;

（2）若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？

【变式7-1]（24-25八年级下•广西百色•期中）

3（）.活动背景：制作无盖方形纸盒.

现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是2:1.小成将纸板的四

个角各剪裁去一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）.

任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是10cm、容积12000CH?的方形纸盒.求原硬纸

板的长和宽分别是多少？

任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作.他能否做成一个底面

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面积是896cm2的方形纸盒.若可以，请求出剪裁的小正方形的边长.若不可以，请说明理

由.

【变式7・2】

31.在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华

传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福

从头起，尾随如意“，我们在电商平台和实体店了解其销售情况.

（1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物

一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率；

（2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60兀，若售价定为每件100

元，则每天能销售量202.通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为

了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，

请你分析售价应降低多少元？

【变式7-3]（24-25八年线下•浙江温州•期中）

32.如图，在四边形/48C。中，AD//BC,=90°,AB=4cm,AD=7cm,BC=llcm点P

从点力出发，以lcm/s的速度向点。运动：点。从点C同时出发，以2cm/s的速度向点8

运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为/秒.

⑴当/=_时，尸。平分四边形力的面积.

（2）当尸。与四边形的某一边平行时，求，的值.

（3）连接8尸，是否存在为等腰三角形？若存在请求出/值，若不存在，说明理由.

【变式7-4]（24-25八年级下•广西梧州•期中）

33.某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平

均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量V（双）与降低

价格》（元）之间存在如图所示的函数关系.

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（1）求出,与x的函数关系式；

（2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该

定为多少元？

⑶在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的40%的前提下，公司每天能否获得9000元的利

润?若能，求出定价：若不能，请说明理由.

分层阶梯训练♦提能力

翩飒圃麴美

一、单选题

34.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.x+l=2B.X2-4X-3=OC.x+2y-\=0D.〃

35.将一元二次方程3》2-2=x化成一般形式后，常数项是-2,则二次项系数和一次项系

数分别是（）

A.3,-2B.3,1C.3,-1D.3,0

36.用配方法解方程8.丫=_3时，配方后正确的是()

A.(x+4)2=19B.(X+4)2=13C.(x-4)z=19D.(x-4)2=13

37.下列方程中，有两个相等实数根的是()

A.-4=0B.x7-x-6=0C.x7-4J+4=0D.x'-x+\=O

38.矩形的周长为24cm,其中一边长为xcm,面积为32cm一则列出关于x的方程为（)

A.32=/B.32=(12-.r)2C.32=x(12-x)D.32=2(12-x)

二、填空题

39.若关于x的一元二次方程ax2-/zr-2025=（）有一个根为x=-l,则a+b=

（24-25八年级下•安徽合肥•期中）

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40.若关于x的方程（m+2）--2+6x_9=0是一元二次方程，则小的值是.

41.原来商场将进价为每件80元的某商品按每件100元出售，一天可售出100件.后来经

调查发现，每件该商品降价1元，销量可增加10件，商场想获利2250元.设将该商品每件

降价x元，根据题意，可列方程为.

（2025•黑龙江绥化•中考真题）

42.已知m,n是关于x的一元二次方程/_2025x+1=0的两个根，则（帆+1）（〃+1）=.

（24-25九年级下•河南周3期中）

43.对于任意实数a、b,规定运算:。》=（叱6-2）（叱2）.判定关于x的方程x*%=0的根

的情况：.

三、解答题

（24-25八年级下•山东烟台•期中）

44.解方程：

（1）3x2-6x=1:

（2）（2X-5）2-6（5-2X）=-9

45.解下列方程：

（1）4（2X+1）2-81=0.

⑵#-6x+3=0（用配方法）.

（3）2X2-4X-5=0（用公式法）.

46.阅读下面关于方程2/-84-18=（）的解题过程，解决下列问题.

解：移项，得2x，-8x=18,①

两边同除以2,得V—41=9,②

配方，得x2_4x+4=9,③

即（工-21=9,

二.工-2=3或工-2=-3,④

.,.%=5,x2=-1.@

（1）上述解题过程有误，错在步骤（填序号），错误的原因是;

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(2)请你写出正确的解答过程.

47.如图，园林部门计划在某公园建一个矩形苗圃48C。，苗圃的一面靠墙(墙最大可用长

度为14m),另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留2m

宽的门(门不用木栏).已知建成后所用木栏总长为32m,当48的长是多少时，矩形苗圃

[8CZ)的面积最大？最大面积是多少？

墙墙

A\[D

(24-25八年级下•安徽合肥•期末)

48.已知关于x的一元二次方程--(2〃?+l)x+〃/+加-1=0

(1)求证：无论加取何值时，方程都有两个不相等的实数根；

(2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求”的值.

(24-25八年级下•安徽合肥•期末)

49.某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售1500个，7月份销售2160个，

且从5月份到7月份销售量的月增长率相同.请解决下列问题.

(1)求该品牌头盔销售曷的月增长率；

(2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是

1200个/月，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/月，现该厂要

保证每月生产头盔5400个.若增加生产线，则投入成本就会增多，从节省成本的角度看，

应该增加几条生产线？

能力提升进阶练

一、单选题

5().若关于x的一元二次方程。〃-1)/+2》+(〃/一])=()的常数项为0,则方程的两个根为

()

A.=-l,x2=0B.X1=-l,x2=1c.=-l,.r2=-2D.=0,x2=1

51.已知。，力是方程工2+工一3=0的两个实数根，贝1]/一方+2025的值是()

A.2029B.2028C.2027D.2026

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52.若〃1为实数,P=-阳2-加+1,。=加2-2〃?+4,则P,。的大小关系为()

A.P<QB.PC.P>QD.不能确定

53.若关于x的一元二次方程方程(〃?-1)/+以+1=0有实数根，则小的取值范围是()

A.〃？<5且机工1B.〃？之5,且加工1

C.m<5D.m>5

二、填空题

(24-25八年级下•安徽蚌埠・期中)

54.关于*的方程-4+。一〃?卜一2=0是一元二次方程，则用的值为.

(24-25九年级下•四川眉山・期中)

55.已知不、%是方程/-2x-4=0的两个实数根，贝1卜2+占2+3中2=.

56.如图，某小区规划在一个长14米，宽11米的矩形场地48CO上，修建同样宽的小路,

使其中两条与力〃平行，另一条与4。平行，其余部分种草，若平均每块草坪面积为20平方

米，则小路的宽度为.

AD

BC

57.定义”*6=土产，则方程(2x*x>(r*2x)=l的解为.

三、解答题

58.用合适的方法解下列方程：

(1)X2-2X=4

⑵(x+2『=4/

(3)x(.r+l)=3

(4)(2X-1)(X+3)=4

(24-25八年级下•广东湛江・期中)

59.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-2=0.

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(1)若方程有一根为4,求〃?的值及另一根的值：

(2)若方程有两个不等实根，求实数〃?的取值范围：

(24-25九年级上・甘肃天水•期中)

60.关于x的一元二次方程/一(2〃?一1)工+〃/一加=0.

(1)证明：不论，"为何值，方程总有两个不相等的实数根.

(2)在RtA48C中，斜边4B=5,BC、4c的长恰是方程K-(2加-1)%+反-加=0的两个根,

求RtZ\48C的面积.

(24-25九年级下•广东珠海・期中)

61.已知关于x的一元二次方程-1)X+〃?2-5=D.

(1)当方程有两个实数根时，求〃?的取值范围.

(2)当方程的两个根玉、出满足=玉勺+12时，求〃?的值.

(24-25八年级下•安徽合肥•期中)

62.某景区5月份的游客人数比4月份增加60%,6月份的游客人数比5月份减少10%.

(1)设该景区4月份的游客人数为。万人，请用含。的代数式(结果化到最简)填表：

4

月份5月6月

月

游客人数/

a①____________②____________

万人

(2)求该景区5月份、6月吩游客人数的月平均增长率;

(3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可

卖出20件，通过市场调查发现，每件文化衫售价每降低1元，日销售量增加2件.若商家

想要达到FI利润432元，为尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

(24-25八年级下•辽宁大连•期中)

63.法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0

bc

(存0)的两个实数根为为，X2,则须+工2=-匕X,X2=-,这就是一元二次方程根与系数

aa

的关系，也被称作“韦达定理”.例：已知一元二次方程——X-1=0的两个实数根分班为小,

〃，求〃/〃+〃的值.

试卷第15页，共16页

解：；一元二次方程/7-1=0的两个实数根分别为，〃，〃，"，?=」，则

m'n+mn2=mn(m+〃)=(-1)x1=—1.

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

⑴一元二次方程X?-6工-15=0的两根为x1，々，则：再+£=，中々=；

(2)一元二次方程2--4x+l=0的两个根为％,X”求'的值；

X]x2

⑶若占，X?是关于X的方程x2-(2m+l)x+〃/+1=0的两个实数根且斗+々=*“2-3,求

m的值.

试卷第16页，共16页

1.A

【分析】本题主要考查了一元二次方程，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个

方面：“化简后”：“一个未知数”：“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整

式方程”.根据一元二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数且未知数最高次数为2）

逐一判断选项.

【详解】A、方程1-/=0是整式方程，仅含未知数x,且x的最高次数为2,符合一元二

次方程的定义，本选项符合题意；

B、当。=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C、方程±+'+1=0含分式项上，不是整式方程，不符合定义，故本选项不符合题意；

X'X-

D、方程/+j，+2=0含两个未知数x和不是一元方程，故本选项不符合题意.

故选：A.

2.B

【分析】根据一元二次方程的定义即形如瓜+。=0卜/±0）的整式方程叫做一元二次方

程判断.

本题考查了一元二次方程为定义，熟练掌握定义是解题H勺关键.

【详解】解：

A.“+2y=1,不是一元二次方程，不符合题意；

2

B.X-5=0,是一元二次方程，符合题意；

C.?+-=8,不是整式方程，不符合题意；

x

D.3x=6x+2,是一元一次方程，不符合题意；

故选：B.

3.A

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高

次数是2的整式方程是•元二次方程是解题的关键.根据一元二次方程的定义，逐项判断即

可求解.

【详解】①M+/?X+<?=0,。=0时，不是一元二次方程；

②3他-4）=0,整理得3/-12x=0,是一元二次方程;

③3=0,不是一元二次方程；

答案第1页，共33页

®-+X2=2,不是一元二次方程；

X

⑤丁一3》+9=0，不是一元二次方程；

⑥/+、+1=0,是一元二次方程；

0(X-2)(X+5)=^2-1,整理得3x—9=0,不是一元二次方程；

••・一元二次方程有②⑥，共2个.

故选：A.

4.B

【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义可得2=2且。+2工0,解

之即可求解.

【详解】解：•.•5+2"。'2+2'=1是一元二次方程，

••a"-2=2口。+2工0,

解得a=2,

故选：B.

5.B

【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式.根据一元二次方程的一般形式：

ax2+bx+c=O",b,c是常数且中，叫二次项，外叫一次项，c,是常数

项.其中4，b,。分别叫二次项系数，一次项系数，常数顶，直接进行判断即可.

【详解】解：一元二次方程2/+x-5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2,1,

-5.

故选：B.

6.C

【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一-般形式是：ax2+bx+c=0

(生〃,c是常数，旦"0).

先将一元二次方程/-2工二6化为一般形式2工-6=0,即可得到答案.

【详解】解：一元二次方程x2-2x=6的一般形式为2x—6=0,

「•二次项系数、一次项系数、常数项分别是L-2,-6,

故选：C.

7.B

【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关

答案第2页，共33页

键.

将方程整理成一元二次方程的一般形式如2+6X+C=0(〃W0),确定各项系数。、b、c的值.

【详解】解：原方程为x(2x-l)=4x,

展开左边得2/_.丫=4.「

移项，得2,d-x-4x=0,

方程化简为2x2-5x=0,

可得a=2,6=-5♦c=0,

故选：B.

8.B

【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：ad+-+c=o,其中q,爪c是常数，且

。二0,分别方程的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般

形式，据此即可求解.

【详解】解：方程5/=6.8化为一元二次方程的一般形式为：5.r2-6.r+8=0,则二次项

系数，一次项系数和常数项分别是5,-6,8；

故选：B.

9.⑴*=3+36,々=3-3后.

(2)玉=4,X2=-1.

【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：

(1)利用配方法解方程即可：

(2)利用因式分解法解方程即可.

【详解】(1)移项，得：、2一6'=18，

配方，得(x-3>=27,

/.X-3=±3百,

解得：X1=3+3X/3,X2=3-3>/3.

(2)方程整理,得x(x-4)+(I)=0,

gp(x-4)(x+l)=0,

解得％=4,占=-1.

答案第3页，共33页

10.⑴士=1,X2=-

-1+V7-1-V7

【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方

法，配方法，公式法，因式分解法等.

(1)利用因式分解法解一元二次方程即可：

(2)利用公式法解一元二次方程即可.

【详解】(1)2x2-3x+l=0

(x-l)(2x-l)=0

x-l=0ȣ2x-l=0

解得M=l,/=；；

(2)(x+l)(3x-l)=l

3x2-x+3x-l-l=0

3r+2x-2=0

a=3,b=2,c=-2

△=2?-4x3x(-2)=28

-2士反-2±2j7-liV7

X-=—

2x32x33

解得芭=昔4，/=三立.

11.(1)/=5,々=-3

17

(2)为=13,x2=—

【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握常用的解方程的方法.

(1)因式分解，转化，解一元一次方程即可；

(2)整理，开平方，转化，解一元一次方程即可.

【详解】(1)解：/一2.115=0,

因式分解，得(x-5)(x+3)=0,

于是得x-5=0,或x+3=0,

七一5,x2——3

答案第4页，共33页

(2)解：4(X-1)2=9(X-5)2

.•.[2(X-1)]2=[3(X-5)]2,

.«.2(x-l)=3(x-5),或2(l)=-3(x-5),

2J-2=3x-15,或2x-2=-3x+15,

2x-3x=-15+2,或2x+3x=15+2,

••--x=-13,或5x=17,

□17

x(=13,x2=—

12.(1)xt=1+72,x2=1-41；

(2)x,x2=-2.

【分析】本题考杳了一元二次方程的解法，常用的方法有育接开平方法、配方法、因式分解

法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.

(1)用配方法求解即可；

(2)用因式分解法求解即可.

【详解】(1)解：.t2-2x-l=0

移项，得/-2x=I»

配方，得/2.vI1=1I1.

(1)2=2.

方程两边同时开方，得

X—1=±V2»

则X-1=>/2，或X-1=-\[1.

玉=1+&»%2=1-V2;

(2)解：(2x+l『=-6x-3

(2x+I)?+3(2x+1)=0.

(2x+l)[(2x+l)+3]=0,

(2x+l)(2x+4)=0.

2x+l=0,或2x+4=0.

答案第5页，共33页

13.⑴3=4,x2=-2

⑵玉=9，x2=-\

(3)玉=-2,AT,=-4

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键.

(1)利用宜接开平方的方法解方程即可；

(2)利用配方法解方程即可；

(3)去括号整理.，利用因式分解法解方程即可.

【详解】(1)解：V3(X-1)2-27=0,

.­•3(X-1)2=27,

x-1=±3,

解得菁=4,X2=-2;

(2)解：2-8戈-9=0,

•••/-8X=9，

•••x2-8x+16=25»即(x-4)~=25,

x-4=±5,

解得3=9,w=T；

(3)解：(x+4『=2x+8

x?+8x+16=2x+8

x2+6x+8=0

(.r+2)(x+4)=0

解得％=—2,X2=-4.

14.(1)甲从第一步开始出错，乙从第二步开始出错

(2)见解析

答案第6页，共33页

【分析】本题主要考查了配方法和因式分解法解•元二次方程，熟练掌握解•元二次方程的

方法是解题的关键.

（1）根据解一元二次方程的计算的步骤一步步检查即可；

（2）根据配方法和因式分解法解答即可.

【详解】（1）解：甲：原方程可变形为：2x-4=/一©+4第一步，故甲从第一步开始出错;

乙：原方程可变形为：2（x-2）—（x—2>=0第一步，

卜-2）（2-4+2）=0第二步，故乙从第二步开始出错；

・••甲从第一步开始出错，乙从第二步开始出错.

（2）解：2（x-2）=（x-2）2（方法不唯一）

配方法：

方程变形为：r2-6r+X=（）.

x2—6.r+9=1»

配方得（x-3『=l,

贝ijx-3=1或x-3=-l,

X=4,x2=2；

因式分解法：

方程变形为:2（X-2）-（A-2）2=0,

（x-2）（2-x+2）=0,

则x-2=0或4-x=0,

%=4,x2=2.

15.(1)-

4+丽,超=士二叵，过程见解析

(2)x,=

~2~

【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键.

（1）根据一元二次方程的解法依次判断每一步即可;

（2）根据一元二次方程的解法写出正确的解方程过程即可.

【详解】（1）解：根据一元二次方程的解法可以判断出第一步开始出现了错误.

故答案为：一.

答案第7页，共33页

（2）解：正确解答过程如下：

2x2-8x+3=0»

x2-4x+—=0,

2

.-.（x-2）2=g,

4±Vio

：•X=•

2

4+Vw4-Vio

16.（1）@：等式两边没有同时加4

（2）见解析

【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程：

（1）步骤③中，等式两边没有同时加4：

（2）按照配方法解一兀二次方程的步骤求解即»J.

【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③（填序号），错误的原因是等式两边没

有同时加4；

故答案为：③，等式两边没有同时加4；

（2）解：移项，得2f_8x=18,

两边同除以2,得4x=9,

配方，得W-4x+4=9+4,即（x-2）2=13,

X—2=A/TJ或x-2=—VTJ♦

再=yf\3+2,X2--y[\3+2.

17.（1）等式的基本性质，完全平方公式

（2）二，解题过程见解析

【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键.

对于（1），根据等式的基本性质和完全平方公式解答即可；

对于（2）,先移项，再配方，然后求出解即可.

【详解】（1）解：上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是等式的基本性质，其中“配

方法''所依据的数学公式是完全平方公式.

故答案为：等式的基本性质，完全平方公式；

答案第8页，共33页

(2)解：小华同学利用配方法解题的过程中，从第二步开始出现错误，正确的解法如下：

厂+4x—5=0,

移项，得丁+4工=5,

配方，得x?+41+4=5+4,

即*+2)2=9,

可得x+2=±3,

再=l,x2=-5.

故答案为：二.

18.A

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当从一4死>0时,

方程有两个不相等的实数根；当从-4双=0时，方程有两个相等的实数根；当〃-4ac<0

时，方程没有实数根.

通过计算一元二次方程的判别式△,即可判断方程根的情况.

【详解】解：V—3x+l=0,

a=\,b=-3,c=1

=(-3『-4xlxl=9-4=5>0,

二方程有两个不相等的实数根，

故选：A.

19.B

【分析】本题考查了根的判别式，根据△>()得出一元二次方程有两个不相等的实数根是解

题的关键.先求出△的值，再进行判断即可.

【详解】解：L/+心一1=0，

-4xlx(-l)=w2+4,

w2>0»

.,.〃/+4>0,即△>(),

••・关于x的一元二次方程一+〃a_1=0有两个不相等的实数根，

故选：B.

20.B

答案第9页，共33页

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式.熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情

况的关系，是解题的关键.

根据一元二次方程根的判别式△进行判断.当△>（）时，方程有两个不相等的实数根；当4=0

时，有两个相等的实数根；当△<（）时，无实数根.

【详解】解：二,方程h2-x+1=0中，a=k,Z）=-1,c=l.

,-.A=A2-4«e=（-l）2-4Jl.l=1-4JI.

•:k<0,

•••-4k>0,

即△>0.

故方程有两个不相等的实数根，

故选：B.

21.C

【分析】本题考查新定义及一元二次方程根的判别式，根据定义运算将方程转化为一元二次

方程的一般形式，然后计算判别式判断根的情况.解题的关键是掌握：式子△=/-4M是

一元二次方程尔+&+c=0（"0）根的判别式，A>0o方程有两个不等的实数根；

△-0台方程有两个相等的文数根；AvOo方程无实数根.

【详解】解:由定义运算得：%※1=X2-2%4+1=%2-2x+l,

.•.方程冰1=—1可化为：

X2-2X+1=-1

整理得：X2-2X+2=0，

vA=（-2）2-4x1x2=4-8=-4<0,

.,.方程入※1=_1无实数根.

故选：C.

1

22.m<——

8

【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到△<（）,进行求解即可.熟练掌

握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键.

【详解】解；山题意，得；—4、2.（-加）<0,

答案第1（）页，共33页

解得：团〈二;

O

故答案为：小

X

23.2

【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程a/+6+c=0（aH（））的根与△=加—4比有

如下关系：①当A>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=（）时，方程有两个相

等的两个实数根：③当△<（）时，方程无实数根.根据△=（）,构建方程求解.

【详解】解：•・•关于x的一元二次方程/+2.丫+〃?-1=0有两个相等的实数根，

A=0,B[J4-4（m-I）=0,

m=2.

故答案为：2.

24.k<\

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当从

时，方程有两个不相等的实数根；当从-4"=0时，方程有两个相等的实数根；当从-4aY0

时，方程没有实数根.

根据该方程有实数根，得到A20,再解不等式即可.

【详解】解:••・关于"的一元二次方程，+4x+4A=0有实数根,

•••A=424x1x4Zr>0,

解得：k<\,

故答案为：k<\.

25.-2

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根与系数

的关系.

根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解.

【详解】解：•.•王,/是方程/+彳_1=（）的两个实数根，

X（+X,=-1,xtx2=-1,

再+/+x,x2=-1+（-1）=-2,

故答案为：-2.

26.6

答案第11页，共33页

【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出

%+工