北京八年级上册数学-三角形 三角形的性质 同步练习

第十二章三角形

-三角形及其性质

12.1三角形

12.2三角形的性质

基础过关全练

知识点1三角形及其相关概念

1.在如图所示的图形中，三角形有（

A.4个B.5个C.6个D/7个

2.如图，在△ABC中，D,E分别是BC,AC上的点，连接BE,AD,BE与AD相交于点F.

⑴图中有儿个三角形?请表示出来；

⑵写出△BDF的三个顶点和三条边;

（3）AB是哪些三角形的边？

（4）点F是哪些三角形的顶点？

知识点2三角形的稳定性

3.下列图形中有稳定性的是（）

A.三角形B.平行四边形C.长方形D.正方形

4.从能隐身的“三角翼”飞行器、高高的塔吊、小小的三脚架到北京奥运会主运动场鸟巢的外

观设计中都包含了相同的结构——三角形，这主要是利用了.

知识点3三角形边的性质

5.用一根小木棒与两根长分别为3cm,6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以

为（）

A.lcmB.2cmC.3cmD.4cm

［变式1］一个三角形的两边长分别是1和4,若第三边的长为偶数，则第三边的长是.

［变式2］有长为4cm,9cm,acm的三根木棒恰好拼成一个等腰三角形（木棒接头和粗细忽略

不计），它的周长为cm.

［变式3］已知a,b,c是△ABC的三边长，满足|a-71Mb・2）2=0,c为奇数，则△ABC的周长

为.

6一个等腰三角形的周长为20cm,其一边长为6cm,求其他两边的长.

7.如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连接BD,请判断AB+BC+AC与

2BD的大小关系，并说明理由.

知识点4三角形角的性质

8.在△ABC中，ZA=20°,ZB=4ZC,则NC等于（）

A.32。B.36°C.40°D.128°

9.如图，ZA=40°,NCBD是△ABC的外角，ZCBD=120°,则NC的度数为（）

A.900B.80°D.40°

10.求出下列图形中x的值.

11.下面是讦明二角形内角和定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种.完成讦明.

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于18()。.

己知：如图，ZkABC,求证：ZA+ZB+ZC=180°.

方法一方法二

证明：如图，过点A作DE〃BC.证明：如图，过点C作CD〃AB.

12.在△ABC中，NC=8()。，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是边AB上一

动点，令NPDA=N1,ZPEB=Z2,ZDPE=Za.

⑴如图1,若Na=50。，则N1+N2=；

⑵如图2,猜想Na、/I、N2之间的数量关系，并证明.

知识点5三角形按角分类

13.“瞎子摸象”比喻对事物一知半解，不对全局作判断.如图给出的四个三角形都有一部分被

遮挡，聪明的你把握全局按角的大小分类，不能判断三角形类型的是()

14.若一个三角形的一个角等于其他两个角的差，则这个三角形一定是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.饨角三角形D.以上都有可能

能力提升全练

15.下列图形中不具备稳定性的是（）

NAXVBOC

16如.图，数轴上A,B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（）

AR

___I1:1।.11，1a

-5-4-3-2-1012345

A.-5B.4C.7D.8

17.如图所示的是一路灯的平面示意图，ZMAC=50°,ZACB=20°,则NCBA的度数为（）

/周

/B

N

A.15°B.20°C.30°D.50°

18.将一副三角板按如图所示的方式重叠摆放，则N1的度数为（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

把^ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处

ZB=50°,则NBDF的度数为（）

A

zl

BFC

A.40°B.50°C.80°D.1000

20.已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8；、3n,则满足条件的n的值有

（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

21.如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，ZB=40°,ZC=60°,若DE〃AB,则

ZAED=

22.如图，线段AF_LAE,垂足为点A,线段GD分别交AF、AE于点C、B,连接GF,ED,

则ND+NG+NF+NE的度数为

23.（2022北京陈经纶中学月考改编，20,）如图，点D为^ABC的边BC的延长线上的一点,

ZDFB=90°,交AC于点E,ZA=35°,ZD=40°,求NACD的度数.

24.若三边均不相等的三角形三边长分别为a、b、c,且满足a-b>b-c（Q为最长边的长，c为最

短边的长），则称这个三角形为“不均衡三角形例如，一个三角形三边长分别为7,5,4,

因为7-5>5-4,所以这个三角形为“不均衡三角形”.

⑴有以下4组长度的线段，其中能组成“不均衡三角形”的为（填序号）.

①4cm,2cm,1cm；

②13cm,18cm,9cm；

@19cm,20cm,19cm；

©9cm,8cm,6cm.

⑵已知“不均衡三角形''的三边长分别为2x+2,16,2x-6,求整数x的值.

素养探究全练

25.4ABC中，NO45。，点D,E分别是边AC,BC上的点，点P是直线AB上一动点，连

接PD,PE,设NDPE=a.

⑴如图1,若点P在线段BA上，且a=30。，则NPEB+NPDA=七

⑵当点P在线段BA上运动时，依题意补全图2,用等式表示NPEB与NPDA的数量关系

（用含a的式子表示），并证明；

⑶当点P在线段BA的延长线上运动时，请直接用等式表示NPEB与NPDA的数量关系（用

含a的式子表示）.

/?/???

图1图2备用图

第十二章三角形

-三角形及其性质

12.1三角形

12.2三角形的性质

答案全解全析

基础过关全练

1.B三角形有Z\ABD、ZkABC、△BCD>△BCE、△DCE,共5个.故选B.

2.解析(1)题图中共有8个三角形，分别是4BDF,△BEC,△BDA,△BFA,△AEF,

△AEB,△ADC,△ABC.

(23BDF的三个顶点分别是B,D,F,三条边分别是BD,DF,BF.

(3)AB是4ABF,△ABD,△ABE,△ABC的边.

(4)点F是ZkBDF,△ABF,AAEF的顶点.

3.A三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.故选A.

4.答案三%形的稳定性

5.D设第三根小木棒长xcm,由三角形三边关系得6-3<x<6+3,所以x的取值范围是3Vx<9,

观察选项，只有选项D符合题意.故选D.

［变式1］答案4

解析设第三边的长为a,根据三角形的三边关系知，4-l<a<4+l,即3<a<5,1•第三边的长

是偶数，・・・a=4.

［变式2］答案22

解析若底边长为4cm,则a=9,它的周长为4+9+9=22(cm)；若底边长为9cm,则a=4,而

4+4<9,不能构成三角形.

所以它的周长为22cm.

［变式引答案16

解析V|a-7|+(b-2)2=0,/.a-7=0,b-2=0,解得a=7,b=2,

由三角形的三边关系得7-2<c<7+2,即5<c<9,

又Tc为奇数，・人=7,

/.△ABC的周长为7+2+7=16.

6.解析分两种情况讨论：

(1)当底边长为6cm时,腰长为(20-6)+2=7(cm),此时三边长分别为6cm,7cm,7cm，可以

构成三角形.

⑵当腰长为6cm时，底边长为20-6x2=8(cm),此时三边长分别为6cm,6cm,8cm,可以构

成三角形.

综上，其他两边的长分别为7cm,7cm或6cm,8cm.

7.解析AB+BC+AO2BD.理由：

在△ABD中，AB+AD>BD,在△BCD中，BC+CD>BD,

:.AB+AD+BC+CD>2BD,

•••AB+BC+AO2BD.

8.A•・•在^ABC中，ZA+ZB+ZC=180°,ZA=20°,NB=4/C,

.•.20o+4ZC+ZC=180°,.*.5ZC=160°,，NC=320.故选A.

9.BNC=NCBD-NA=12OCMO。=8O。.故选B.

10.解析(l)x=l80-90-50=4().

(2iVx+x+40=180,.\x=70.

(3)Vx+70=x4-x+10,x=60.

11.证明选择方法一：・.・DE〃BC,

AZB=ZBAD,NONCAE,

ZBAD+ZBAC+ZCAE=180。,

AZB+ZBAC+ZC=180°.

选择方法二：・.・CD〃AB,

AZA=ZACD,ZB+ZBCD=180°,

.*.ZB+ZACB+ZA=180°.

VZ1是^CDP的外角，・・・/l=NDCP+NDPC,

同理可得，Z2=ZECP+ZEPC,

.\Z1+Z2=ZACB+ZDPE=80o+50°=130°.

⑵Nl+N2=8()0+Na.

证明：如图，连接CP,,1A

VZ1是^CDP的外角,

AZ1=ZDCP+ZDPC,

同理可得，Z2=ZECP+ZEPC,

・•・Zl+Z2=ZACB+ZDPE=80o+Za.

13.CA.露出直角，判断该三角形为直角三角形；B.根据露出的两个角，判断该三角形为锐

角三角形；C.露出一个锐角，无法判断另外两个角的大小，故无法判断该三角形类型；D.露

出的角是钝角，判断该三角形为钝角三角形.故选C.

14.B设△ABC中，ZA=ZC-ZB,则NC=NA+NB,AZC=180°-ZC,AZC=90°,・••这

个三角形是直角三角形.故选B.

能力提升全练

15.C选项A、B、D中的图形均由三角形构成，具有稳定性，选项C中的图形下方的四边

形不具有稳定性.故选C.

16.B由题意知，该三角形的两边长分别为3、4.设第三边长为a,则4-3<a<4+3,即l<a<7.

观察选项，只有选项B符合题意.故选B.

17.CVZMAC=50°,ZACB=20°,NMAC是△ABC的外角，AZCBA=ZMAC-

NACB=30°.故选C.

18.C如图，VZDBC=30°,ZACB=45°,I.N1=30。+45。=75。.故选C.

19.C・.・BC〃DE,ZB=50°,工NADE二50。，

由折叠得NADE二NEDF二50。，

・・・NBDF=180。・50。・50。=80。.故选C.

20.D分情况讨论：①当n+8>3n,即n<4时，(n+2)+3n>n+8,解得n>2,・・.2vnv4,故满足

条件的n的值为3,有1个.②当n+8<3n,即n>4时，(n+2)+(n+8)>3n,解得n<10,

A4<n<10,故满足条件的n的值为4,5,6,7,8,9,共6个.

综上所述，满足条件的n的值有7个.故选D.

21.答案100

解析在^ABC中，ZA+ZB+ZC=180°,

•・・/B=40。./C=60°.

・・・ZA=180°-ZB-ZC=180o-40O-60o=80°,

•・•DE〃AB,・・・ZA+ZAED=180°,

.•.ZAED=180o-80°=100°.

22.答案270°

解析VZA+ZACB+ZABC=180°,ZA=90°,

•••NACB+NABO90。，

VZGCF=ZACB,ZDBE=ZABC,

.•.ZGCF+ZDBE=90°,

VZG+ZF+ZGCF=ZD+ZE+ZDBE=180°,

:.ZG+ZF+ZGCF+ZD+ZE+ZDBE=360°,

・・・ZD+ZG+ZF+ZE=270°.

23.解析・・・NDFB=90°,AZAFD=90°.

VZAFD=ZB+ZD,

・•・ZB=ZAFD-ZD=90°-40°=50°.

・•・ZACD=ZB+ZA=50°+35°=85°.

24.解析⑴①・・・l+2<4,

/.4cm,2cm,1cm长的线段不能组成“不均衡三角形”.

®V18-13>13-9,

13cm,18cm,9cm长的线段能组成“不均衡三角形”.

③・.19=19,

.\19cm,20cm,19cm长的线段不能组成“不均衡三角形”.

®V9-8<8-6,

A9cm,8cm,6cm长的线段不能组成“不均衡三角形”.故答案为②.

⑵由题可知，2x+2,16,2x-6都为正数，且互不相等，其中最大数可能为2x+2,也可能为

16,分情况进行讨论：

①当16>2x+2,即x<7时，

16-(2x+2)>2x+2-(2x-6),解得x<3,

此时2x-6<0,不合题意，舍去.

②当2x+2>16,即x>7时，

若16>2x・6,则x<ll,

2x+2-l6>16-(2x-6),解得x>9,

r.9<x<n,

・・・x为整数,

.*.x=10*

当x=l()时，三边长分别为22,16,14,可构成三角形，符合题意；

若2x・6>16,则x>ll,

2x+2-(2x-6)>2x-6-16,解得x<15,

,•,x为整数，，乂二口，13,14,

当x=12H寸，三边氏分别为26,16,18,可构成三角形；当x=13时，三边长分别为28,16,

20,可构成三角形；当x=14时，三边长分别为30,16,22,可构成三角形，故x=12,13,

14符合题意.综上所述，整数x的值为1(),12,13,14.

素养探究全练

25.解析(1)NPEB+NPDA=75°.

B

CDA

理由如下：连接PC,如图1