2025-2026学年高一数学下册必修二《第六章 平面向量及其应用》复习题（附答案）

2025-2026学年高一下数学必修二《第六章平面向量及其应用》复习题

一.选择题（共13小题）

1.已知向量Q=（1,0),b=(2,4),则|Z+b|=()

A.V55C.7D.25

2.已知向量Q=（3,一2),b=(1,x),且b与2之+b平行，贝i]x=()

5

A.1B.0cD.

-2

3.在中，点?为力C的中点，点。在4c上，RBD=3DC,则0P=()

11-1-»]-♦1-*1]T1

A.-AB+-ACB.--AB-^ACC.-AB--ACD.+

4444

—>

4.已知向量。=（1,2)»b=(,m+3)>若a〃b,则〃?=(

A.-7B.-3C.3D.7

5.如图，A,B,。是圆。上的三个不同点，且408=120°,ZAOC=30a,则0C=()

2百一26-V3-Rt痘tb一

B.--0A---OBC.—0A+—0BD.--0A———OB

33333333

6.八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形力8CDEFG”,其中04

=1,则给出下列结论：（1）BF-HF+HD=0；(2)0A+0C=-y/20F；(3)AE+FC-GE=AB.

其中正确的结论为（

A.①②B.①③C.②③D.①②③

7.如图，已知。4=a,0B=b,OC=c,AB=2BC,则下列等式中成立的是（）

-»3T]fT3T]T

A.c=-^b--^aC.c=2a—bD.c=2«-2h

第1页（共14页）

8.△/8C中，“△力8c是钝角三角形”是的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.若平面向量Z与％的夹角为60°,£=（2,0）,质|=1,则区+2了|等于（）

A.V3B.273C.4D.12

1（）.设△/出C内角4B,C的对边分别为a,b,c.若从加4=嬴则sinB等于（）

12334

A.记B.gC.--

11.在中，角力，B,。所对的边分别为小h,c.若a=gb=V3,c=2,则角4=（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

12.已知向量a,b满足|a+b|=3,a*b=0,若2=入；+(1-A)b(AeR),且Z・a=Z・b,则由的最大值为()

13

A.3B.2c5D,5

13.一船以每小时15Q〃的速度向东航行，船在力处看到一个灯塔夕在北偏东60°,行驶4〃后，船到达。处，看

到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为（）km.

A.15B.30x/6C.15V6D.3072

二.多选题（共5小题）

（多选）14.在下列各组向量中，不能作为基底的是（）

A.3=（（）,0）,尾=（1,-2）B.3=（-1,2）,e2=（5,7）

C..勺=（3,5）,散=（6.10）D.。］=（2,-?）,p.2—（3.2）

（多选）15.已知在平面直角坐标系中，点Pi（0,I）,Pi（4,4）,当月是线段P1P2的一个三等分点时，点P的

坐标为（）

448

A.（-2）B.（-3）C.（2,3）D.（-3）

333

（多选）16.在平行四边形/8C。中，点石为边。。中点，点厂为边4C上靠近点4的三等分点，连接/凡BE交

于点M,连接/C,点N为力C上靠近点C的三等分点，记几=床AD=b,则下列说法正确的是（）

T_>TQ

A.点N,E三点共线B.若AM=4a+〃b,则a+〃=,

C.BN=^BMD.S28M=；S,S为平行四边形48CQ的面积

（多选）17.已知Z,%为非零向量，则下列命题中正确的是（）

A.若向+网=|提+b|,则；与b方向相同B.^\a\+\b\=\a-b\f则之与b方向相反

C.若向+|灯=区一加，则;与b模相等D.若向-网|=|2-力|,则；与］方向相同

（多选）18.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位

第2页（共14页）

于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称

为欧拉线定理.设点。、G、〃分别是△48。的外心、重心、垂心，且M为3C的中点，则()

TTTT

A.OH=OA+OB+OCB.S、ABG=S/、BCG=S、ACG

C.AH=30MD.AB+AC=40M+2HM

三.填空题(共7小题)

,TTI-*T,n

19.已知Q=(2,sina),Z?=(1,cosa),且a〃b,则-.

20.已知M,N分别是△AB。的边43,AC上的中点，点P在线段历N上，且MP=2PN,若G=+则

x+y=.

T1T

21.已知两点力(3,-4)和8(-9,2),在直线彳8上存在一点P,使MP|二：MB|,那么点P的坐标

为.

22.如图，在平行四边形ABC。中，E为BC中点、,/E交8D于点F,且兄•二》6+"5),则j.

A.__________________D

BEC

23.已知a,b是不共线的平面向量，AB=3a-2b,AC=2a+b,AD=-a-^-xb,若B,C,。三点共线，则实数x

*

24.已知平面向量Z力和单位向量"满足£•"=1,b-e=-1,\a-b\=4,则向一面的取值范围

是.

25.若21满足向=2,向=3,则日+1|的最大值为,最小值为.

四.解答题(共4小题)

26.已知机>0,〃>0,如图，在△/8C中，点M,N满足力》二巾而，AN=nAC,。是线段8C上一点，BD=\BC,

点E为力。的中点，且M,N,£■三点共线.

(1)若点。满足2；4b=办+品，证明：OE//BC.

(2)求m+2n的最小值.

第3页(共14页)

27.在钝角△48C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c-a=2反os4

(1)求角B的大小；

(2)若b=2百，求△/18C的周长的取值范围.

28.先给出两个条件：(1)2c—\/3a=2bcosA.②2.sin5+2反0$彳=6+c.从中选出一个条件补充到下面的问题中,

并以此为依据求解问题.在△/AC中，a,b,c分别为内角4B,。所对的边，.

(1)求角&

(2)若8=2,求。面积的最大值.

T—TTV3

29.已知单位向量a与b的夹角是钝角,当代R时，|。-仍|的最小值为万.

(1)求向量之与力的夹角；

(2)若［=入。+(1-入)力，其中aWR,求一的最小值.

第4页(共14页)

2025-2026学年高一下数学必修二《第六章平面向量及其应用》复习题

参考答案与试题解析

一.选择题(共13小题)

1.已知向量之二(1,0),b=(2,4),则|a+b尸()

A.75B.5C.7D.25

解：根据题意，向量Q=(1,0),b=(2,4),则a+b=(3,4),故|a+b\=79+16=5,故选：B.

2.已知向量a=(3,-2),8=(1,x),且Z-b与2之+8平行,则％=()

5

A.1B.0c-D-i

解：向量Q=(3,—2),b=(1,x),,\a—h=(2,-2-x)2a+b=(7,-4+x),

TTTT2-2—%O

g2a+b平行，'厂解得尸-亍故选：C.

3.在△48C中，点尸为力。的中点，点。在4C上，且访=3尻,则DP=)

1T1T1'1一

A.-AB+-ACB.-^AB-jACC.-AB--ACD.AB+^BC

444444

T1TT1T

解：:点尸为4c的中点，点Z)在8C上，/.PC=^AC,DC=；BC,

：.DTP=DTC+CTP=^1BTC-l^ATC=^1(TAC-ATB)-1^TAC=-^1ATCl-^ATB.故选:B.

4.已知向量Q=(1,2),b=(〃?，M+3),若。〃》，则〃?=(

A.-7B.-3C.3D.7

W：Va||b,：.m+3-2m=0,解得〃?=3.故选：C.

5.则OC=()

WTWT

—OA--OB

33333333

解：设圆的半径为2,建立坐标系如图，则力(-2,0),B(1,6)，C(-V3,-1),设0C=x04+.y0B,

+y=-V3&&

则(—V3»-1)=x(-2,0)+y(I>V3),=T'得户丁尸一丁

即日?=卓易-李欣故选：D.

6.八卦是中国文化中的哲学概念，如图I是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形力8cOE尸G”,其中。力

第5页(共14页)

=1,则给出下列结论：®BF-HF+HD=Oi@0A+0C=-s/20F；（3）AE+FC-GE=AB.

其中正确的结论为（

A.①②B.①③C.②③D.①②③

解：对于①：因为BF-HF+HD=BF+FH+HD=BH+HD=BD,①错误,

对于②：因为4力0。=嗒乂2=90。，则以。4OC为邻边的平行四边形为正方形,

又因为。8平分/40C,所以0A+。。=鱼。8=一近0凡②正确,

对于③：因为4占+"；—GH=Ab+EG+*G=4G+PC,且卜C=G8,

所以4E+FC-GE=AG+G8=4B,③正确，故选：C.

7.如图，已知。4=a,0B=b,0C=c,48=28C,则下列等式中成立的是（）

T-»T-2TL

B.c=2b-aC.c=2a-bD.c=a-b

解：由AB=2BC得力C=38C,则OC=。4+4C=04+38C=04+3（—。8+OC）,

T1T2T72T17

故0C=-*04+108,BPc=1b-|a.故选：A.

8.△48C中，“△/IB。是钝角三角形”是的（）

A.充分而不必要条件B.必要匝不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解：@'：\AB+AC\<|FC|,：.\AB+AC\<\AC-AB\,：.AB2+AC2+2/1F-AC<AB2+AC2-2AB-AC,

：.ABAC＜Qf':点A,B,C不共线，・・・力为钝角，•••△/5C是死角三角形，.,•必要性成立,

②当△力8c是钝角三角形时，V|XB+AC\2=AB2+AC2+2ABAC,

BC2=\AC-48|2=AB2+AC2-2AB-AC,，+ACf-BC2=4,4B-AC,

若4为锐角时，筋•品＞＞（）,・・・|筋+前|＜］品］不一定成立，，充分性不成立，故选：B.

第6页（共14页）

9.若平面向量a与b的夹角为60°,a=（2,0）,网=1,则|a+2bl等于（

A.V3B.2V3D.12

解：因为平面向量之与％的夹角为60°,2=(2,0),山=1,

所以面=2,a-b=\a\-\h\cos6=2x1xcos60°=1,

所以I；+2bl=J(%+2b)2=J热2+41•b+4b2=V4+4xl+4=2相.故选：B.

10.设△48C内角4B,C的对边分别为a,b,c.若加m4=9Q,则sinB等于()

12334

A.-B.-C.-D.-

25545

解：bsinA=5a,则由正弦定理可得，sinBsia4=-^sinAtVsinJ>0,siaff=.故选：B.

11.在△/BC中，角儿B,C所对的边分别为a,b,c.若。=反，b=®c=2,则角彳=()

A.30°B.60°C.120°D.1500

解：由余弦定理可得cos/==一斗,VJG(0,TT),・•・/=•，即4=150°.故选：D.

2xV3x226

12.已知向量a,b满足|a+b|=3,a*b=0»若c=A,a+(1-A)b(入WR),且c・a=c•匕，则|c|的最大值为()

解：如图，令之=京，b=MB=AN,则之+1=京+麻，故|/ii|=3,因为之工=0,所以京1麻,

记43的中点为O,所以点M在以48为直径的圆。上.设"二能，连接MN,因为工=/1之+（1-冷］，

所以点C在直线A/N上.因为22=＞力，所以「（之一1）=0,NM=0t

所以4C_LNM.结合图形可知，当时NM_L/B,|c|取得最大值，且二|力。|=*故选：0.

13.一船以每小时15k〃的速度向东航行，船在力处看到一个灯塔片在北偏东6（）。，行驶4/?后，船到达。处，看

到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为（）km.

A.15B.30x/6C.15V6D.3072

解：由题意可得力C=15X4=60,Z5JC=90°・60°=30°,ZACB=90°+15°=105°,所以由三角形内角

和可得N8=45°,在三角形N8C中由正弦定理可得.二々，所以8C=笔察％C=60•备=30企

sinz.BACstnBsinbvz

故选：D.

第7页（共14页）

B

二.多选题（共5小题）

（多选）14.在下列各组向量中，不能作为基底的是（）

A.e1=(0»0)>e2=(1>-2)B.2),e2=(5>7)

C.3=(3,5),e2=(6,10)D.3=(2，-3),e2=(3,2)

解：对于选项力：显然A=6,所以后〃尾，后，益不能作为基底，选项力正确:

一12TT

对于选项以由于-不工亍q,R不共线，能作为基底，选项4正确;

35TrTT

对于选项C：由于工=77?则e[〃e2，e。2不能作为基底，选项。正确;

61。lf

由于:工二I，e,尾不共线,

对于选项r能作为基底，选项。正确；故选：AC.

（多选）15.已知在平面直角坐标系中,点Pi（0,1）,02（4,4）,当户是线段尸1尸2的一个三等分点时，点尸的

坐标为（）

448

A•号2)B.(-,3)C.(2,3)D.(-,3)

解：在平面直角坐标系中，点尸I（0,1）,P2（4,4）.当P是线段P1P2的一个三等分点时，

设点尸（x,y）,当点尸靠近点Pi付，P1P=^PP2，所以x=4y==2,所以尸（；，2）.当

点。靠近点尸2时，P；P=2P%2,所以％=噜笋=*尸斗等=3,所以夕（?，3）.故选：4）.

JLI乙。JLI4J

（多选）16.在平行四边形48CZ）中，点E为边CO中点，点E为边8C上靠近点8的三等分点，连接力F,BE交

于点M，连接力C,点N为4C上靠近点。的三等分点，记/=；,AD=b,则下列说法正确的是（）

TTTQ

A.点M,N,E三点共线B.若4M="+曲则入+〃=擀

C.BN=qBMD.S〉ABM=±S，S为平行四边形力BCQ的面积

解：对于选项力，平行四边形力BCD中，因为点N为NC上靠近点C的三等分点,

T2T2121TlTTTT一1T1一

所以4N=（AC=+AE=^AB+ADf所以EW=AN-4E=/8—"D,

设扇=加晶=小弓几一G）=3m晶，mHO,所以俞||俞：又有公共点号

所以点M,N,E三点共线，故/选项正确；对于选项4,设M/l=cA/，

AE=ME-MA=-m^AB-AD)-cAF=-m(^AB-AD)-c^AB+^AD)

第8页（共14页）

ri15

1T1T1—~2=-2m-c_m=y

=(-4m-C)AB+(m-^c)AD=^AB+AD故・

乙《D乙t1=_6'

1=m-3cc~~7

所以京=3/^=£n+2而，4+〃=去故8选项错误；BN=AN-AB=-\AB+^AD,

lit/JJ

1q—

对于选项因为EM=，EB,所以藐=£薪+故薪=?俞，故c选项正确;

C,///O

对于选项D,因为京=亨启所以SMM=^^485二尹2\/80=打，故。选项正确•故选：ACD.

（多选）17.已知工b为非零向量，则下列命题中正确的是（）

A.若向+网=向+切,则之与b方向相同B.若向|+|b|=|最一切,则:与b方向相反

C.若而|+网=向一切，贝阴与b模相等D.若向-网|=值-力I，贝/与b方向相同

解:如图，a,b为非零向量,

根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当京b不共线时,

根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边有||可-|b||V|a±b|V|a|+四.

当热,b同向时有向+切=向+也|,||a|-\b\\=\a-b\.当展，b反向时有+%|=|向一例,\a\+\b\=\a-b\.

故选：ABD.

（多选）18.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、直心、垂心依次位

于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称

为欧拉线定理.设点。、G、，分别是△力BC的外心、重心、垂心，且历为8c的中点，贝IJ（）

A.0H=0A+0B+0CB.S^ABG=S^BCG=S^ACG

C.AH=30MD.AB+AC=4OM+2HM

解：作图如下所示:

第9页（共14页）

A.因为亦=/品，所以亦=｝而，所以G为重心，所以&+后+云=3,

TTTTTTTT[TTT1T1TTT

所以。0G+。8—0G+OC-0G=0,所以。G=五。71+0B+。0,所以彳0H=：;（。/+。8+0C）,

333

TTTT11

所以0H=。/+。8+。。，所以该选项正确；B$ABCG=qXBCxhi，S^ABC=BCxh2,

由于G是重心，所以h1=/九2，所以SgCG=QSA/I8C，同理48CG=^AACG=^^ABC9所以&/8G=S

△BCG=S&ACG，所以该选项正确；C.AH=AG+GH=2GM+2OG=2（OG+GM）=20M,所以该选项错误；

D.OH=3OG,所以麻/心7加/,所以Af=I、京，

J。JJ

所以六+元=2京=6检=6（三向+有由）=4向+2京，所以该选项正确.故选：ABD.

三.填空题（共7小题）

19.已知Q=(2,sina),b=(1,cosa),且a〃b,则tan(a-\)=g.

解：:已知a=(2,sina),6=(1,cosa),且。〃b,.'.2cosa-sina=0,即tana=2,

则署编=热

20.已知M,N分别是的边49,/C上的中点，点尸在线段“N上，且MP=2PM若则

1

x+）=—3—

解：因为M,N分别是△48C的边48,彳。上的中点，所以MV二如C,且

—TT1T2T[T21TlT1TT1T

所以”=AM+MP=AR+MN=AR+RC=yAR+i（AC-AR）=AR+AC,

乙。乙*3乙乙Joo

所以x二:，y=则x+y=|+|=|

21.已知两点4（3,-4）和8（-9,2）,在直线48上存在一点4使1GI=:前1,那么点。的坐标为（7,

-2）或（7,-6）.

解：设点P的坐标为（x,y）,由|旃=&丽，nJW/IP=\AB^AP=-\AB,①而是启则有（x-3,尹4）

=1（-12,6）,所以x-3=-4,p+4=2,解得尸-1,y=-2,此时尸（-1,-2）；

（2）AP=-^AB,则有（x-3,）H-4）=-1（-12,6）,所以x-3=4,尹4=-2,解得x=7,y=-6,此时P（7,

-6）,综上，点尸的坐标为（-1,-2）或（7,-6）.

TTTX

22.如图，在平行四边形N8CO中，E为BC中点、,AE交BD于尽F,且4F=+”10,则,=2.

A___________________D

'C

BE

第10页（共14页）

解：在平行四边形48co中有△4因为£为中点，所以二；；=二；=2=力/=2E凡

EFBE

又因为万7/几'=4n+4前/我+£（而+诟，由且'=启

。。。。0

2

-

T2T2T2T4T2TIx3x2

所以"=?48+(40+初8="B+?0,所以j1=-

-y

3

23.已知a,b是不共线的平面向量，AB=3a-2b,AC=2a+b,AD=-a-^-xb,若B,C,力三点共线，则实数x

=10.

解：BC=AC-AB=-a+3b,CD=AD-AC=-3a-^-（x-l）b,,:B,C,。三点共线，

工能与db共线，且Z了不共线，则立HG,J存在实数入，使6）=4品，即-32十（%-1日=一二+3应，

••・｛一入：—3^，解得人=10.

tx-1=3A

24.已知平面向量Z,b和单位向量"满足：•"=1,b-e=-1,\a-b\=4,则|a|-|b|的取值范围是_（一2百

，2冏一

解：不妨设e=(l，0),则a=(l,x),/?=(-1,y),由|a—力|=4,可得|x-y|=2H,

尸“2_y2

则向-1加=-Jl+y2|=IW-|y||<|x-y|=2V3,

Jl+%2+Jl+y2IM+lyl

所以向-向的取值范围是（-2俗2V3）.

25.若;,漏足面=2,亩=3,则区+1］的最大值为5,最小值为1

解：设Z了的夹角为仇

|Q+"2=（Q+8）2=次+2a•b+力2

=4+9+2X2X3Xcos6,

当8=0时・，即Z，同向时日+小最大，最大值为5,

当8=TT时，即％,b反向时日+打最小，最小值为1.

四.解答题（共4小题）

26.已知m>0,〃>0,如图，在△A8C中，点M,N满足7/1/1%,AN=nAC,O是线段8c上一点，FD=|BC,

°

点E为4。的中点，且M,N,七三点共线.

（1）若点。满足2n=几十品，证明：OE//BC.

（2）求〃?+2〃的最小值.

第11页（共14页）

A

证明：(1)•：BD=gBC,

TTTT[TT2T[T1TlT

：,AD=AB+BD=AB+^(AC-AB)=AB+AC=AB+j-AC,

ooooo

V2X0=0B+6c,

.\2A0=0A+AB+OA-^-AC,即n=/函+/)，

TTT1T1T1TT1T1T1T

AOE=AE-A0=(^AB+^AC)-^AB+AC)=^AB-^AC=^CB9

J.OE//BC.

(2)解：由(1)可知，ATE=^1ATM+-1^ATN,

-A1.N,E三点共线，

11

+-=1,

3m6n

______(2n_m_

-+2〃=(m+2〃)端+g=：+器+卷4+2朦心=今当且仅当37T/即“多〃.

(而+而=1

时，等号成立，

4

故〃?+2〃的最小值为？

27.在钝角△48。中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c-a=26cos4

(1)求角3的大小；

(2)若b=2®求△%8c的周长的取值范围.

(1)*.*2c-a=2bcosA,

:.由正弦定理得2sinC-siivl=2sin3cosJ,

:月十6十C=n,即sinC=sin(月十6),

2sin(4+8)-siM=2sin8cosX,

BP2siivlcosZ?+2cosJsinB-sinJ=2sin^cosJ,

/.2sinJcos/?=sin/1,

V(XJ<IT,即sitvl^O,

.1

•・c