有心圆锥曲线的第三定义及四大应用-2026高考数学一轮常考题

93.有心圆锥曲线第三定义的四大应用

一.基本原理

1.有心圆雉曲线第三定义

平面内动点到两定点4（-。，0），&（。,0）（或A（o,-〃）,4（o,〃））的斜率乘积等于常数

的点的轨迹为椭圆或双曲线.其中两定点为椭圆或双曲线的顶点.当0</<1时为椭

圆，当/>1时为双曲线.具体地，分为以下结论：

【结论1】为椭圆。：5+，=1（〃>8>0）的长轴两端点，尸是椭圆上异于48的任一

点，则有％,%=/—1=—1.

证明：设A（—a,0）,8（a,0）,P®,%）（），oHO）,则2文/冬=2。，

xn-a

又••江+范=—小一党=也W，

乂./b2

ia

代入上式可得kPA•kPB==匕竺㈤.=-土

-a~a-aa

【结论2】・43为双曲线0：,方=130涉〉0）的实轴（或虚轴）两端点，P是椭圆上

异”,8的任一点，则有人做（同理可得）

一般地，上述结论还可以进一步推广：

【结论3].已知A,8是椭圆l+Awg>。工>。）上关于原点对称的两个点，点尸在椭圆

上.当以、斜率存在时，则有％=等.

证明:设P（x,y）,A（MJ）,则,-y）.所以亍+方=1①号+亳_=1②

222222,2

由①一②得宁二一匕落'所以/二一9所以

加・亨=日=一与为定值•

X-X）X+X]X-Xj4

【结论4】.在双曲线中，是关于原点对称的两点，「是双曲

线上异于A,B的一点，若kpA，kpB存在,则有：勉•3=/-1=4.（同理可证）

cr

二.典例分析

2

例1.椭圆。:++尸=]的左、右顶点分别为A和B,点尸在。上，设直线小、躅的斜率

分别为仁、内，若则网的取值范围是.

解析：由椭圆第三定义，k"」~,所以匕=一」一,

22k.

\<kx<2=>-<—<1=>--<一一故公的取值范围是一」,一」.

2kl22K4'L24_

例2（2015•新课标2卷）己知4、8是双曲线E的左、右顶点，点M在石上，&ABM为等

腰三角形，且顶角为120。，则E的离心率为（）

A.旧B.2C.V3D.拉

22

解析:设双曲线E:**-*=l（a>0,〃>0）,由题意，ZABM=120°,Zfi^W=ZBM4=3O°,

ZMSN=180O-ZA8W=60°,所以直线AM和直线8M的斜率分别为正和百，由双曲线

第三定义，&“八&旭=母・6=1=/一1,所以离心率e=ae

22

例3.椭圆C:二+提=1（">>0）的左顶点为4,点P,。均在C上，且关于,，轴对称.若

a-b

直线AP,AQ的斜率之积为则C的离心率为（）

4

2

x/3

B.

2~2

解析：设椭圆C的右顶点为8,由于点P、。均在C上且关于y轴对称，所以直线

也关于）,轴对称，即kAPKp=-kAP'kAQ

.•./=3即6=且故选：A.

42

22

例4.已知椭圆C：£-+^-=1（«>/7>0）,过C中心的直线交C于历，N两点，点P在X轴

上，其横坐标是点M横坐标的3倍，直线NP交C于点若直线0M恰好是以MN为直径

设。（七,兑），则N（ff），P（3%。），设占、玲、&，分别为直线MN、Q”、

NP的斜率，则K=彳，*2=告：，勺=3；二[:]=为，因直线QM是以MN为

直径的圆的切线所以k&=-T,所以&&=-；,又。在直线NP上，所以

%二2^,因加、0在£+£=1（〃〉/»0）上，所以每+4句，4+4=1>

x2+xia~b~a-b~crb~

两式相减得七¥■+犯£=o,整理得"上』•二—《，故公心即

a-b~七+菁x2-x{a~a~4

b21，।〃13G

r=-,e=1—-=1—=-,故《=—,故选：D

a~4a~442

例5.已知直线/：），"与椭圆E:5+琶=1（稣〃>0）交于A8两点，M是椭圆上异于外

的一点.若椭圆£的离心率的取值范围是,则直线MA,/V®斜率之积的取值范围

是（）

3

解析：设M（.M，）,A（M，y）,由直线/：y=%r与椭圆£交于A3两点可知A3两点关于原点

x2y2

---F—=1

对称，所以8（-内,-凹）且.TW±N，由题意知："："，两式相减得：

工+工=1

L2b2

y2y；=_£即:K=口.山

9

2'f2222，5222

abx-%ax一芭x-x}x+x（a

又《4"，由椭圆的离心率的取值范围是

x-Xjx+X］a

即与”走。旦葭也。1I的同1a2-b212b2I日口

-<-<-,所以一<——；—<-=>——<---<——,即

323a23⑺23a223a22

21、

--<Q.kMD<一］，故选：D.

例6.已知过原点O的直线AB交椭圆W+I=l（a>/>>0）于A,B两点，点A在第一象

a~b~

限，过点A作ADJLx轴交椭圆于点D,点E在线段AD上，且满足2|4目=3|。耳，连接

BE并延长交椭圆于点P,若kGC"=—g,则椭圆的离心率为（）

A2石R£=2。nG

A・B•-C.--------LJ•

5552

解析：设4（厮，%），则8（-七,一为），由ADJ_x轴，2|4目=3|。£|,可得《与,-1%）,

又因为A”,则3气=上?二2，设打“）,则

2.75

、，而耳］—/小图•（心目，

kK_一-）‘0））+%—>；-%_-JI才）—仁1I。）b-，

KAPKBP——~"-y——r

A-+X0灯一巾x；-x~不一不a~

又因为3次“=一4.所以。3次"=-g.解得：h/“=所以-耳=-2.则

22255

二=1-乂=*,所以离心率e=2行.故选：A.

cra"55

例7.（2019全国2卷）己知点A（-2,（））,以2,0）,动点M（x,y）满足直线AM与BM的斜

率之积为一,・记"的轨迹为曲线C.

2

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

4

(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点。在第一象限，尸£_Lx轴，垂足为E,连

接QE并延长交C于点G.

(i)证明：△PQG是直角三角形;

(ii)求aPOG面积的最大值.

解析：(1)直线AM的斜率为二(xw-2),直线3M的斜率为E(XW2),由题意可

A+2A-2

知：三•二==一!=/+2)，2=4,*力±2),所以曲线。是以坐标原点为中心，焦点

x+2x-22

22

在X轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为:+］=l,(xw±2).

⑴设P,Q,G坐标为(*,)，］),(一内，一必),(工2，%)，则由⑴可知：2Gp"GQ=—g，另一

方面，由丁.上GQ—左卬-，那么由上述两式可知：^GP'~~~^GP,——―»进

4八］，X］

一步可得：GPLPQ,故APOG为直角三角形.

例8.如图，在平面直角坐标系M9.y中，椭圆七：£+今=1(。＞方＞0)的焦距为2,且过

点也乎］

(1)求椭圆月的方程:

5

（2）若点48分别是椭圆E的左右顶点，直线/经过点8且垂直于x轴，点P是椭圆上异

于48的任意一点，直线AP交/于点

①设直线0M的斜率为4,直线5P的斜率为心，求证：匕人为定值；

②设过点M垂直于依的直线为〃？，求证：直线〃，过定点，并求出定点的坐标.

解析：（1）椭圆E的标准方程为三+工=1.

43

（2）①设尸（为,稣）（%=0）,则直线AP的方程为）=一^（x+2）,令x=2得

因为占二为1,因为所以女芯二孚大，因为

（x0+2）尤o+2XG-2-XQ-2

P（毛，％）（X）W°）在椭圆上，所以手+£=1,所以纸2=-|为定值，

,V.,2-x.

②直线BP的斜率为匕=^―-,直线机的斜率为k,“=-----,则直线〃?的方程为

司一2y

尸手62）+），。二”（一2）+黑二洋（川），所以直叫过定点

（一1,0）.

三.习题演练

1.已知双曲线,-奈•=1（4>08>0）（6/>0,/?>（））,用、N为双曲线上关于原点对称

的两点，尸为双曲线上的点，且直线PM、PN的斜率分别为勺、k2,若4•七=',则双曲

线的离心率为（）

A.y/2B.-c.—D.-

222

解析：设M（x，y）、夕（七,必），贝|JN（F，-X）,所以，勺.&=互/."121

i,l=l

/b2

由点M、/）在双曲线上得•

三一甚二1

/b2

6

两式相减得宁二专工可得每二,因为…所以，5,f

22

2.已知双曲线马-巳=1（〃>0力>0）,M,N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线

a'b'

上的动点，直线PM,PN的斜率分别为配&火名工。），若周+间的最小值为2,则双曲

线的离心率为

A.V2B.—C.—D.-

222

解析：由题意，可设点M（PM,N（-p-q）,P（SJ）./.4-^=1,且［一4=1.

a2b2a2b'

两式相减得K=4.再由斜率公式得：他==4=2・•.・IKI+MI…丝

s_pas-paa

根据国l+出।的最小值为2,可知竺=2,所以a=b.所以。=缶•.・e=£=血，故选A

aa

4.双曲线M：£-《=1（。>0,〃>0）的左右顶点分别为A8,曲线M上的一点。关于文轴

9

的对称点为。，若直线AC的斜率为机，直线4。的斜率为〃，则当"?〃+——取到最小值时，

mn

双曲线离心率为（）

A.6B.2C.3D.6

解析：设4—4,0）,8（4,0）,。（工,），）,。（乂一），），贝Ijm=&c=q—，〃=女即==-，所以

x+ax-a

〃?〃=具7,将曲线方程占==1■代入得〃〃?=-%

x2-a2ab-a~

oaIa-9

又由均值定理得〃?〃+—=H+|~1^2Hx--1=6,当且仅当|〃"?|=扃，即

nin\inn\y\mn\|"叫

|〃间=/=3时等号成立,所以离心率c

故选：B

5.已知椭圆「介?®"。），过原点的直线交椭圆于A、B（A在第一象限）由A

向“轴作垂线，垂足为C,连接BC交椭圆于。，若三角形丽为直角三角形，则椭圆的离

心率为（）

A"B-4c-TD-T

7

解析：如下图所示，设点A（.%,%），其中为>。，%>。，则8（-天），-%）、。仇，。），

4+4=1,,,,

”",作差可得与+与三=。

则心,=?，⑥,=杂，设点。G，y）,则J

王）ZX。

1c

7

所以,K-3o_、

后一片a2

所**2—煞.2

2工1,则相>,87）不互相垂直，所以心工47,

k

则心人二一1，所以，AD=—^—=-^-f又因为心&B=%噎=-乎/=-；，所以,

KAB）0）0乙％乙

十二尸二「!咚故逐b-

^=-,所以，该椭圆的离心率为e=£

a22a

x-y-

6.已知两点M，P在双曲线C：=1（〃>0/>0）的右支上，点M与点N关于原点对

a2b-

称，N0交y轴于点T,若MNMP=O,OT2=70NOf^则双曲线C的离心率为（）

A.6B."C・gD.2V2

解析：如图，不妨设M在第一象限，设Q为NP的中点,

因为。为MN的中点，故。。〃MP,设N因,）；）（$<0,yv0）,P（x2,y2）,Q（x0,%）,3H々,

MP在双曲线上，则其■—烝=1,£—必=1,两式相减可得白£—2^21=0,

8

即江息口/，而2

•汽趣心品八,故L%b

x,+x2%-x2a'

即人种=空；又因为硒•称=0,贝IJMN_LMP,故。N_L。。，即QV&BMT,

Co

即（•资=T，即2=-？，所以％=-寻,又会=7而.理则

人I人。?0xl4A

IO7T=71两II讨|cos/MOT,即|彷|=7|两|cosN/VO7=7|y|,故r(0,7y),

所以心.=人二^二一竺\而攵心=&听,故一竺1二一幺，

一、芭a~x}x,

故5=6,则双曲线C的离心率为e==正提=^，根据双曲线的对称性可知，

当M在第四象限时，同理可求得e=«，当M在双曲线的顶点时，由于•MN_LM匕此时MF

与双曲线相切，不合题意，故双曲线C的离心率为6=将故选：C

22

7.设椭圆C:J+J=\（a>b>0）的左，右顶点为A,B.P是椭圆上不同于AB的一点，设直线

AP,BP的斜率分别为加,〃，则当£+In制+In时取得最小值时，椭圆C的离心率为

4

A1R丘c力石

八・一H.—v>一”•

5252

解析：由椭圆方程可得A（—〃,（））,8（«0）,设夕（分,为），则端

则m=——,n=——,=--7=一与,+]n+InIni=—+In\mn\=—+2In—,

222111111

%+〃。x0-aabZ?Z?a

令沙＞1,贝lj.f⑺=z+21n；,1(,)=]_[=7，

〃/)=/+21n；在(f2)上递减，在(2,同上递增，可知当，=2时，函数/⑺取得最小值

/(2)=2+21nl=2-21n2,.^=2,f=jY)=

—,故选D.

2

22

xv

8.（23届武汉二调）设尸为双曲线E:3-匚=1（。>0,力>0）的右焦点，4,8分别为双

ab~

曲线E的左右顶点，点p为双曲线£上异于4〃的动点，直线/:x=/使得过F作直线AP

9

的垂线交直线/于点Q时总有B.P,Q三点共线，则二的最大值为

a

厂工=1

解析：（方法1）设以：），=攵（工+。），P（W，%），A（