2027届新高考数学热点精准复习 函数模型及其应用

2027届新高考数学热点精准复习函数模型及其应用知

识

梳

理知识点函数模型及其应用1．几类常见的函数模型2．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调________单调________单调递增增长速度越来越______越来越______相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与________平行随x的增大逐渐表现为与________平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax递增递增快慢y轴x轴3．解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：归

纳

拓

展2．直线上升、对数增长、指数爆炸．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(

)(2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔．(

)(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×题组二走进教材2．(必修1P140T6改编)当x非常大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(

)A．y＝100x B．y＝log100xC．y＝x100 D．y＝100x[答案]

D[解析]

根据函数特点可知，指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底数大于1的指数函数增长速度最快．3．(必修1P152例6改编)某校拟用一种喷雾对宿舍进行消毒，需对消毒完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位：毫克)与时间x(单位：时)的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图所示的散点图．现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系，则应选用的函数模型是(

)[答案]

B4．(必修1P161T8改编)我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为(

)A．26米

B．28米

C．31米

D．33米[答案]

C声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(

)A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2[答案]

ACD考点突破·互动探究考向1利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透(多选题)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：函数模型及应用根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是(

)A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒[答案]

ABC[解析]

从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．名师点拨：1．用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考向2已知函数模型的实际问题——师生共研附：ln2≈0.7，ln5≈1.6.A．148τ B．6.9τC．13.8τ D．6.72τ[答案]

B名师点拨：求解已给函数模型解决实际问题的关注点1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．2．根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．3．利用该模型求解实际问题．【变式训练】A．0～20dB B．20～40dBC．40～60dB D．60～80dB[答案]

C考向3构建函数模型解决实际问题——多维探究角度1一次函数、二次函数与分段函数模型(1)写出y关于x的函数解析式；(2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．[解析]

(1)由题意知，当0≤x≤8时，所以当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为3.6万元．名师点拨：1．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．2．构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏.角度2指数函数与对数函数模型A．1.5 B．1.8C．2.0 D．2.1[答案]

B名师点拨：指数函数与对数函数模型的应用技巧1．与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．2．在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．A．71 B．72C．73 D．74[答案]

D名师讲坛·素养提升(2026·青海名校联盟期中)某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计6400元，设劳动基地的左、右两面墙的长度均为x(6≤x≤12)米，原有墙体足够长．(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？[解析]

(1)设甲工程队的总报价为y元，依题意，左、右两面墙的长度均为x(6≤x≤12)米，故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为12800元．名师点拨：1．解决此类问题时一定要关注函数的定义域．【变式训练】(2025·广东韶关二模)在工程中