人教数学A版培训手册之四十四函数的应用教学

年6月23日人教数学A版培训手册之四十四函数的应用教学资料内容仅供参考，如有不当或者侵权，请联系本人改正或者删除。人教数学(A版)培训手册之四十四──《函数的应用》教学建议-07-09

人教网函数的应用在传统教材中没有独立成章,内容只涉及到一些简单的实际问题的解决．《普通高中课程标准实验教科书?数学1》则将函数的应用独立成章,共九个课时,不但使函数的应用大大加强,而且在内容上也有了很大的扩充,其中像函数零点与方程根的关系、二分法、不同类型函数的增长差异等内容还是首次进入中学教材．这就给中学数学教学带来了新的问题,教师不但普遍感到难教,而且教学也不易到位．这里就如何搞好本章的教学提出一些参考建议．一、教学指导思想(一)促进学生对函数概念本质的理解对函数概念本质的理解是贯穿必修课程第一模块的一个重要任务．对函数概念本质的理解,并非一次就能够实现,它需要一个螺旋上升循序渐进的过程．在初中,学生已经从变量关系的角度认识了函数的定义及简单的一次函数、二次函数等．在本模块的前两章,学生又由初中变量关系的角度上升到集合与对应的角度来认识函数的定义及指数函数、对数函数等．函数是一个抽象的概念,也是一个具有丰富现实背景的数学概念,在此之前学生就是从函数的实际背景出发,抽象概括出函数的定义．因此,要帮助学生更好地理解函数概念,在此基础上,还要让学生回到实际中,经过本章的教学,引导学生在解决具体问题的过程中,逐步加深对函数概念本质的理解,从而实现由具体到抽象再到具体的认识过程．(二)突出函数是刻画现实世界变化规律的基本数学模型必修课程第一模块强调函数是描述现实世界变化规律的基本数学模型．在本模块的前两章,教科书就已经从函数概念到指数函数、对数函数、幂函数,选取了大量的背景实例和应用实例渗透这种想法．在第三章的教学中,更要结合教科书的实际,从用函数的观点解决方程近似解的问题,到比较不同函数模型的增长差异,以及运用函数模型和建立函数模型解决问题,不断地提供机会引导学生体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型．(三)以问题为中心,注重背景,展现过程,引导积极的学习教科书在本章选择了许多背景实例和应用实例,教学时要以问题为中心,强调背景,让学生体会到所研究的函数来源于实际,这些函数模型在现实世界中的应用极为广泛,它们分别刻画了现实世界中某类变化规律,学习这些函数是有必要的;让学生感到问题的解决是水到渠成的、自然的,而不是强加于人的．以便有利于学生认识数学内容的实际背景．另外,还应结合教科书中实例的丰富背景,在恰当的时候提出问题,引导学生经历观察、归纳、概括、交流、反思的思维过程,经历知识发生发展的过程,并利用教科书的留白、留空鼓励学生积极参与这个过程,主动思考、自主探索,从而达到积极的学习．(四)以联系为纽带,构建知识网络数学学习本身和新课程模块式的结构,都需要我们充分关注知识内容间的联系．本章内容不但注重函数知识与实际的联系,更注重不同函数知识间的联系,以及函数知识与其它相关知识间的联系,经过综合运用不同的知识解决实际问题．因此,教学应结合教科书内容突出知识之间的联系,以使学生能够感受到不同知识间的联系,从整体上把握所学的数学知识,构建知识的网络．例如,在研究不同增长的函数模型时,就应该引导学生从表格和图象这两种角度出发,发现不同函数模型的区别与联系;在选择函数模型解决实际问题时,就应该引导学生结合实际问题,比较不同函数模型在刻画实际问题时的优劣,从而体会它们之间的区别与联系;在研究用二分法求方程近似解时,就应该引导学生在利用函数的性质和图象求方程近似解的过程中,看到函数与方程之间的联系．(五)以知识应用为契机,培养问题解决的意识知识的应用就是运用所学知识解决问题．本章内容主要体现了函数知识与实际的联系、函数知识的广泛应用,教学应以此为契机,有意识地引导学生在运用函数知识解决相关问题的过程中,养成提出问题、分析问题、解决问题、回答问题的习惯,培养她们问题解决的意识,并提高她们的数学创造力．(六)以思想方法为核心,同时关注数学文化本章蕴含了丰富的思想方法,并以思想方法为核心统领整章的内容．在教学中,我们希望教师不但要让学生在数学概念上有所收获,在研究数学对象的研究方法上得到启发,而且要让她们感受到思想方法的力量和作用,使教学成为以思想方法为核心的教学．本章主要的思想方法有数形结合、用函数观点研究问题、数学建模．但这些思想方法不是一次就能让学生理解或掌握,教学应以教科书的内容为载体,设计成不同的台阶,提出不同层次的要求,有意识地培养,让学生逐渐理解或掌握它们．像数形结合和用函数观点研究问题的思想方法在本模块中的应用都非常普遍,是本模块蕴含的重要思想方法,在本章的教学中应提出较高的要求．例如,在本章研究几类不同函数模型的增长情况时,不但需要频繁地使用数形结合的思想方法,而且对数形结合的思想方法还有较高层次的要求．像数学建模的思想方法,在本章之前学生只有初步认识,尚无系统学习,本章的教学也不必一次到位提出较高的要求．只需让学生经过利用函数知识解决实际问题体会建立函数模型的过程,从而向学生渗透数学建模的思想．教学应抓住这些机会,不但让学生进一步理解函数的概念和性质,更要突出数学思想方法,将以思想方法为核心的教学落到实处．本章的例题、练习、习题和阅读与思考栏目都汲取了不少数学文化的素材,教学应对此给予关注,以使学生不但在知识和能力方面得到提高,而且能够受到数学文化的熏陶,提高科学文化素养．(七)注重信息技术的使用,改进教学方式与学习方式本章内容普遍涉及到求函数值、作函数图象、研究函数性质、拟合函数等,这些内容的教学都需要使用信息技术．信息技术是一种有效的认知工具,能够为学生进行自主探究提供强有力的平台．经过使用信息技术,能够避免繁琐的计算,呈现其它教学手段难以呈现的内容,并使数学对象得以多元联系地表示,使教师的教学方式和学生的学习方式得到改进,帮助学生更好地理解数学本质,从而主动地探索和研究数学,使学习得到加强．因此,注重信息技术的使用,并经过使用信息技术改进教学方式与学习方式,是本章教学比其它章节教学更迫切的任务．二、具体内容的教学建议(一)函数与方程本单元是函数在数学内部的一个应用．在本单元教学之始,应该对整个单元的教学有一个整体的构思．首先要将求方程近似解的问题转化为求函数零点的问题．从学生熟悉的二次函数与二次方程入手,借助对图象的观察获得二次函数的零点与二次方程根的关系,并将这种关系推广到了一般情形．如果要求函数的零点,应该先明确函数零点存在性的问题,这也就是接下来研究的第二个问题．经过引导学生观察二次函数f(x)=x2－2x－3的零点所在区间端点函数值乘积的特点,介绍函数零点存在的条件．继而,第三个问题就是如何求函数的零点．能够利用教科书给出的例子lnx＋2x－6=0,面对这样的方程,引导学生寻求解决问题的新方法,经过具体操作,最后获得了二分法求方程近似解的步骤．1．方程的根与函数的零点教材是从特殊情况出发,先经过研究几个具体的一元二次方程的根与其相应的二次函数的零点的联系,再逐步将得到的关系推广到一般情形．本节内容的教学目标就是要让学生了解函数的零点与方程根的联系．为了达到这一教学目标,可结合教材内容,处理好以下几个问题:(1)研究函数零点的必要性初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点,因为在此之前她们都能用公式法求方程的根．如果带着这样的疑虑学习,必然会降低其求知欲,从而影响学习的效果．因此,教学时可首先考虑解决这一问题．经过举例让学生知道,大多数方程都不能用公式法求解,为了研究更多方程的根,就有必要学习函数的零点．这样做,还为接下来学习二分法埋下了伏笔．(2)为什么要以二次函数和相应的一元二次方程为例来建立函数的零点与方程根的联系由于学生对二次函数和一元二次方程都具有较好的认知基础,而且一元二次方程的根的存在性又有多种情况,因此从二次函数和相应的一元二次方程出发,不但能够较容易地建立起它们之间的关系,而且方程根的情况具有代表性．这样,由具体到一般,才能自然地使问题得到推广．如果选择更简单的函数和方程,如一次函数和一元一次方程,虽然更容易建立起它们之间的关系,但方程根的情况单一不具有代表性,不利于将问题推广;如果选择复杂的函数和方程,虽然能激发起学生的求知欲,但却不易建立起它们之间的关系,同样也不利于将问题推广．(3)怎样建立函数的零点与方程根的联系首先,要引导学生在形式上关注一元二次方程和相应二次函数的联系,即使函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值为0时自变量x的取值,就是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根．然后,从形式出发来探索问题的本质．利用二次函数的图象,能够直观地发现一元二次方程的根和相应二次函数与x轴的交点的关系,进而了解求方程的根就是确定函数的零点这一本质．虽然教材在说明具体的一元二次方程和相应二次函数的关系对一般的一元二次方程和相应二次函数也成立时,是利用判别式来说明一元二次方程根的情况,但这并不意味着方程根存在的本质在于判别式．因为判别式仅仅是一元二次方程独有,用判别式来说明一元二次方程根的情况也仅仅是一种方法,而方程根存在的本质在于相应函数的零点情况．(4)在求已知函数的零点个数时需要注意的问题在求函数零点个数时,应先作出函数图象,再直观发现函数图象与x轴的交点个数,然后给出形式化的说明．但要注意以下问题:①对于有的函数,只能利用计算器或计算机才能方便地作出其图象,因此教学要尽可能地使用计算器或计算机．如果不具备信息技术的条件,可考虑将教材中的部分函数进行加工,使得学生能够画出它们的图象．另外,教材的例题同时给出了函数图像和表格,这是为了便于在教学中让学生多角度地进行观察,多元联系地将函数的零点表示出来．学生在做练习和习题时,只需画出函数图象即可．②对于函数图象与x轴只有一个交点的情况,根据教学要求,教材只介绍了函数的变号零点,而对于函数的不变号零点,教材没有介绍,教学也不必做补充．③在给出零点个数的形式化说明时,由于f(a)·f(b)<0只能说明函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,要说明它只有一个零点还需证明函数y=f(x)在区间(a,b)内单调．但当前,这对学生的要求还偏高．因此,在这里要适当控制教学要求,一方面可选择合适的函数要求学生利用函数单调性的定义进行证明;另一方面,对于难以利用函数单调性的定义进行证明的,只要求学生能根据函数图象说明函数的单调性即可．总之,在证明函数单调性方面,应把握一个循序渐进的过程,待今后学习了函数的导数之后再作统一的要求2．用二分法求方程的近似解

这部分内容的主要教学目标是,根据具体函数的图象,能够借助计算器等信息技术工具用二分法求相应方程的近似解．要达到这一教学目标,关键是处理好以下几个教学问题:

(1)如何引入教学

应以一个学生能用已有方法求解的方程引入,例如一元二次方程,还是以一个学生不能用已有方法求解的方程引入?如果以一个学生能用已有方法求解的方程引入,虽然对学生来说问题较为简单,但学生势必会对引入二分法的必要性产生怀疑,从而影响教学的效果．因此,还是以一个学生不能用已有方法求解的方程引入为佳．例如用教材中的方程lnx＋2x－6＝0引入,学生用已有方法就不能求解,这时再引入二分法,学生就能认识到学习的必要性,并容易激发起学习的积极性．在此基础上,还要让学生认识到,解方程的方法除了公式法,学生知道得就很少．然而能用公式法解的方程毕竟是少数,绝大多数方程只能研究其近似解．二分法正是一种常见的求方程近似解的方法．

(2)如何介绍二分法

在上一节的教学中,已经研究了函数f(x)＝lnx＋2x－6在区间(2,3)内有一个零点,因此本节教学能够直接介绍如何找出这个零点．

首先,引导学生去思考将零点所在区间缩小的方法．要让学生对她们所提出的方法进行比较,然后提出二分区间的方法．这里,教师能够经过一些形象的例子让学生体会到二分法的思想．

其次,让学生利用二分区间的方法,根据函数零点存在的条件,经过计算函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点在所得区间端点函数值的乘积,来具体寻找该函数零点的近似值．

最后,归纳出求函数零点近似值的步骤．

(3)如何引导学生认识二分法的本质

二分法的本质就是根据函数零点存在的条件不断地把函数零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点．它由二分法的步骤具体体现．要引导学生认识二分法的本质,关键是解决好以下几个问题:

①帮助学生理解二分法的步骤

由于二分法的步骤具有程序性、条件性和循环性,比以往的方法步骤都复杂,学生理解起来可能会有困难．在教学中,能够引入程序框图,利用它来帮助学生直观地理解二分法的步骤．这样还能够为后面学习算法奠定基础．

②重视信息技术的使用

用二分法求函数零点的近似值,需要根据函数图象确定零点所在的区间,还要计算函数零点在所得区间端点的函数值,如果不使用信息技术,这些工作会相当繁琐,甚至会使教学寸步难行,这就直接影响到学生对二分法本质的关注,以及其学习的兴趣．因此,在用二分法求函数零点的近似值时必须使用信息技术,这既是课标的要求,更是内容的需要．

在二分法这部分内容里,教材经过”信息技术应用”栏目介绍了三种利用信息技术求方程近似解的方法,这既是为了满足学生不同的技术环境,也是为了让学生经过操作接触到求方程近似解的多种方法,从中对二分法有进一步的认识．

③进行适当的训练

二分法具有较强的程序性,对于这种方法的掌握,是需要经过具体操作来内化实现的．因此,在课堂教学内外,都需要让学生进行适当的训练．这不但有助于学生知道二分法及其步骤,而且还有助于学生明白二分法的思想和原理．

(4)突出思想方法

①数学的各种知识构成了一个巨大的网络,每一个知识并不是孤立存在的,它和其它某些知识间都存在着一定的联系．函数与方程也是如此．二分法就是以函数图象为连结点,将函数与方程有机地联系在一起,然后利用函数的性质,求方程的近似解．介绍二分法,不但要说明这是一种常见的求方程近似解的方法,而且还要强调函数与方程间的联系,突出函数与方程的思想方法,培养学生用联系的观点看待问题．

②二分法就是一种算法．教学应有意识地经过介绍二分法渗透算法的思想,让学生逐步地认识算法,为后面的算法学习作了一定的铺垫．

(5)几个需要注意的问题

①怎样看待二分法的运用技巧

由于用二分法求某些函数零点的近似值时,要找到符合精度要求的解值区间,需要经过大量重复的运算．根据函数图象确定零点所在的区间不同,所涉及到的运算量也会不同．于是有人提出了一些减少运算量的技巧,利用这些技巧的确能减少某些题的运算量．但教学不能将重点放在介绍这些技巧上,毕竟这些技巧只适用于个别题,而不适用于解决普遍的问题．因此,教学应该突出二分法的步骤,体现二分法的一般思想,不拘泥于技巧．

②如何判断所求函数零点的近似值是否达到规定的精确度

给定精确度,如果函数的零点x0∈(a,b),|a－b|<,那么[a,b]上的每一个实数都是函数零点的近似值．对此,学生可能难以理解．教师能够引导学生数形结合地认识．如图,|a－b|<说明数轴上a、b两点的距离小于,则[a,b]上任意两点间的距离都小于．于是由x0∈(a,b)可知,[a,b]上任意一点到x0的距离都小于,即取[a,b]上任意一个实数作函数零点的近似值,都达到规定的精确度．

(二)函数模型及其应用

本单元主要介绍函数模型在解决现实问题方面的应用．在此之前,学生已经学过的函数模型有指数函数、对数函数、幂函数等．当面对实际问题时,教学首先要解决的是如何选择这些函数模型．可从事物的增长或衰减情况入手,研究不同增长函数模型间的差异．然后,教学要研究如何根据不同类函数模型的增长特性,选择合适的函数模型解决现实问题．

1．几类不同增长的函数模型

本节内容的教学目标是利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;并结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．要达到这一教学目标,关键是处理好以下几个教学问题:

(1)如何从整体上把握本节内容的教学

根据教学目标,教学只需要求学生利用图象或数表,对指数函数、对数函数和幂函数的增长差异作直观了解,不必给出形式化的证明．在教学过程中,按照直观感知——具体函数——一般化的层次,从具体问题出发,对具体函数进行比较,然后将将结论推广到一般的函数,从而完成教学任务．

(2)教学从何入手

能够说,以前学生从未接触过不同函数的增长差异问题．从何处下手研究是一难点．教师可考虑从具有明显增长差异的实际问题入手,例如选取教材中的两个例子来创设问题情景．这两个问题情境还有一个共同点就是,如果要做出合理的选择,就需要对刻画不同方案的函数模型的增长情况做出比较．让学生经过利用图象和数表比较有关的函数,自然就会对不同函数的增长差异有一个直观、感性的认识,即意识到不同函数的增长是有差异的．

(3)如何比较函数y=2x、y=log2x和y=x2的增长差异

选择比较的方法是教学的关键．针对这三个具体的函数,图象和表格两者缺一不可,即采用数形结合的方法．但这里对数形结合的方法有较高的要求,因为仅在某一范围内经过图象和表格是不能全面比较出这三个函数,特别是y=2x和y=x2的增长差异．因此,教师可引导学生利用信息技术,作出这些函数的图象和表格,采取逐步扩大自变量取值范围的方法,从局部到大范围再到更大范围,将这些函数进行”多元联系表示”,对各个函数在不同范围的增长情况进行比较,最后再将不同范围的结果进行归纳得出结论．

2．函数模型的应用实例

本节内容的教学目标是收集一些社会生活中普遍使用的指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型实例,了解函数模型的广泛应用．在实现这一目标的教学过程中,要着重解决好以下几个问题:

(1)如何正确把握教学目标

收集函数模型,主要经过介绍教科书中的例题、练习和习题,以及师生收集加工课外的实例来实现．

教学的重点应放在让学生了解函数模型的广泛应用上．而实现这一教学目标的关键在于,突出函数模型应用的广泛,控制问题的难度．因此,教学所选取的实例既要典型,又要涉及广泛的实际面和各种学生所学过的函数．但主要还是应用的层次要广泛,应该包括以下三个应用层次:一是利用已知函数模型解决问题,如教材的例3、例4;二是经过建立”确定性”函数模型解决问题,如教材的例5;三是根据已知数据拟合函数解决问题,如教材的例6．经过不同的实例,让学生感受到函数的广泛应用,并初步体验下列建立函数模型解决问题的过程与方法．

(2)例题教学应注意的问题

①例3所给出的函数模型是一个速度-时间图象,要根据它求出路程关于时间的解析式模型,并由所的解析式画出路程-时间的图象模型．第一问求阴影部分的面积并说明其实际含义,教学不应只满足回答此问题,应把重点放在引导学生以此了解已知图象的数学本质上,并为今后研究积分奠定基础;第二问是将一种图象模型向另一种图象模型和解析式模型转化,教学要注意突出其具有的现实意义．

②例4给出的函数模型是一个解析式,要根据已知数据求出该解析式．这是一个经典的实际模型,熟悉和应用这个模型都具有现实意义．教学应让学生了解,该模型只能大致描述自然状态下的人口增长情况,而对于受到人为影响的人口增长情况,如计划生育,则需要用其它数学模型进行描述．当求出解析式后,还可进一步给出其图象,这样做,一是为了让学生直观地了解所得数学模型与实际情况的吻合情况,二是为了体现数学建模的思想,为之后函数拟合的学习奠定基础．

③例5是经过建立”确定性”函数模型解决问题．学生过去曾接触过不少这类问题,但以往很少遇到能体现数学建模过程的问题．而本体无论是题目的立意、解题时变量的选择、函数关系式的建立还是问题的回答,都与问题解决的数学思想较为贴近．教学时要留给学生独立思考的空间,让学生充分经历数学建模的过程,切忌诱导过度,使学生的思想方法和思维训练得不到落实．

④例6是根据已知数据拟合函数解决问题．所选择的模型应该是多样的,但要用所得模型进行已知数据范围之外的预测可能会不可靠．由于教学所选择的信息技术手段不同,所得的结果会有所不同．教学应以突出函数拟合的思想方法为主．为了控制与实际结果的误差,教师在选择这样的实际问题时,可对有关数据作人为修改．

经过本节例题的教学,要让学生熟悉各种函数模型的特征;学会选择合适函数模型描述事物;能将一种形式的模型转化为另一种形式,并以此更好地解释问题;学会简单的数学建模,进而更好地分析和解决实际问题三、教学设计案例

这里经过”几类不同增长的函数模型”一节内容的教学设计案例,说明如何体现上述教学指导思想和建议．

几类不同增长的函数模型

(一)教学内容解析

本节教学主要是比较已学函数模型的增长差异,重点是比较一次函数、指数函数、对数函数的增长差异．虽然这是一个学生从未接触过的问题,但研究问题所需要的知识是学生已经掌握的,所要用到的方法学生也是能够理解的．在此之前,学生已经学过一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数的概念、图象和单调性,并会数形结合地分析函数的性态．这样,就能够引导学生经过函数的图象和表格,直观感知不同函数模型的增长差异,并结合函数的概念和单调性,从具体到一般归纳概括出一般函数的增长特性．经过本节内容的教学,学生能够逐步对函数的增长性有所了解,为接下来选择函数模型刻画实际问题,以及今后进一步研究函数的增长性奠定基础,并从中进一步体会由具体到一般的思维方法．

(二)教学目标解析

1．从具体实例出发,经过数形结合地比较有关函数图象和表格中数据的差异,解决实际问题,从中体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义,以及这几类函数的不同增长特性．

2．利用计算器或计算机等信息技术工具,作出具体函数在不同范围的图象和表格,经过比较所作图象和表格,直观感知这几类函数的增长差异,不必给出形式化的证明,并在此过程中进一步学习数形结合的思想方法,学会从不同角度看问题,提高从具体到一般的思维能力．

(三)教学问题诊断分析

1．从何入手进行研究可能是教学遇到的第一个难点,因为在此之前学生从未接触过不同函数的增长差异问题．教师可考虑选择具有明显增长差异的实际问题来创设问题情景,首先让学生从图象上感知不同函数的增长是有差异的,然后再让学生数形结合地对不同函数的增长特性有更进一步的认识,最后再从具体到一般初步形成直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的概念．

2．如何经过比较函数y=2x、y=log2x和y=x2的增长差异,特别是比较函数y=2x和y=x2的增长差异,形成对指数函数、对数函数和幂函数这三类函数增长差异的一般性认识,可能是学生学习本节内容的最大障碍．因为学生从某一范围的图象或表格都难以真正看出上述三个具体函数的增长差异．根据这一情况,教师可引导学生在不范围内同时作出三个函数的图象和表格,让学生看到在不范围内三个函数的增长差异会有所不同,从而逐步形成对这三类函数增长差异的全面认识．

(四)教学支持条件分析

本节内容的教学只有经过大量的图象和表格,才能让学生直观地看出不同函数的增长差异．而要方便地作出函数的图象和表格,把学生从繁琐的计算和画图表中解脱出来,将精力集中在对函数增长差异的研究上,就必须充分利用计算器或计算机中的函数工具软件．这样就能为学生构建一个解析式、图象和表格的”多元联系表示”的教学情境,有助于学生对函数增长差异的认识．

(五)教学过程设计

1．教学基本流程

2．教学情景

(1)创设问题情境

问题:假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:

方案一:每天回报40元;

方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;

方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番．

请问,你会选择哪种投资方案?

设计意图:经过对比刻画三种投资方案的函数模型,学生会对她们的增长差异感到惊讶．以此让学生对直线增长、指数爆炸形成强烈的感受,从而激发学生对这类问题的求知欲．

师生活动:教师先引导学生建立三种投资方案的函数模型,再由学生进行思考并回答．在学生不能很快回答时,可逐步作出下列引导:

用计算器或计算机作出三个函数的图象,根据图象你能否做出选择?

如果再作出函数的表格呢?

认真观察图象和表格,看是否只有唯一的一种方案可选择?

在学生作出正确回答后,可进一步引导学生讨论:

经过对该问题的研究,大家对不同函数的增长情况有何体会2)解决实际问题

问题:某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,开始按销售利润进行奖励,且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型:y＝0.25x,y＝log7x＋1,y＝1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求?

设计意图:经过解决前一个问题,学生已知道利用信息技术工具,数形结合地研究不同函数的增长差异．在此基础上,让学生经过研究本问题,进一步体会直线上升、指数爆炸以及对数增长等不同函数类型增长的含义,以及数形结合的思想方法．同时,让学生学会在定性分析的基础上,进行形式化的证明,养成理性思考的习惯．

师生活动:受前一个问题的影响,学生可能会先自觉地利用信息技术工具,作出已知函数的图象,根据图象比较它们的增长差异．为了帮助学生更直观地做出判断,能够让学生再作y＝5的图象作为参照．

在学生作出定性分析后,可经过下列问题引导学生进一步作出理性思考:

能否对由图象得到的结论进行证明?

奖金总数不超过5万元和奖金不超过利润的25%,是两个重要的限制条件．能否利用这两个条件进行证明?

学生在证明时,可能会遇到困难．于是可进一步作出下列引导:

要证明≤0.25,令f(x)＝＋1－0.25x,x[10,1000],即证明f(x)≤0．

(3)比较具体函数

问题1:从前面两个例子能够看到,函数y＝ax(a>1)、y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)在区间(0,＋∞)上的增长是有差异的．这种差异的具体情况怎样呢?

设计意图:经过前两个具体问题,学生已对所涉及到的具体函数的增长情况有所了解。在此基础上,引导学生对一般的指数函数、对数函数和幂函数的增长情况进行研究,从而了解它们的增长差异．

师生活动:学生要直接回答该问题显然有困难。教师能够引导学生选择有代表性的具体函数入手,采取由具体到一般的思维方法．

问题2:能对函数y=2x、y=log2x和y=x2在区间(0,＋∞)上的增长情况进行比较吗?

设计意图:经过让学生在不同范围对三个具体函数的增长情况进行比较,全面认识三个函数的增长情况,进而对指数函数、对数函数和幂函数的增长差异有更进一步的认识．同时,对数形结合的思想方法有更深刻的理解．

师生活动:学生自然会作出三个函数在某一范围的图象和表格,并以此作出判断．对此,教师可引导学生进行交流,让她们发现各自对函数y=2x和y=x2的比较结论有所不同．在此基础上,引导学生从不同的角度进行分