2026年中考数学胡不归问题专练（含答案）

2026年中考数学胡不归问题专练一．选择题（共10小题）1．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（）A．6B．8C．10D．122．如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，AB=2，点E为BD上动点，连接AE，则AE+1A．1B．2C．3D．23．如图，已知AE∥CD，AB=2，∠CBE=2∠A=60°，P是线段AC上的任意一点，则BP+12CPA．3B．2C．3D．34．如图，△ABC中，AB=AC=15，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BDA．35B．65C．53D．105．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是边BC的中点，P是对角线BD上的一个动点，连接AE，AP，若AP+12BPA．ABB．AEC．BDD．BE6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+3x-4的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点Q（0，2）在y轴上，连接PQ，则PQ+22PCA．6B．2+3C．2+32D．327．如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为45，P为OB上一动点，则AP+55OPA．4B．5C．25D．358．如图．在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，33），点C坐标为（2，0），点B为线段OA上一个动点，则12AB+BCA．5B．5C．35D．539．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−49x2+83x与x轴的正半轴交于点A．24B．25C．30D．3610．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+12FBA．3B．3C．3D．3二．填空题（共9小题）11．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=2，点D是AC边上一动点，则BD+12AD12．如图，△ABC中，AB=AC=10，∠A=30°．BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则32BP+CP的最小值是13．如图，△ABC中，AB=AC=20，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55BD的最小值是______14．如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为______．15．如图，在菱形ABCD中，AB=AC=10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM=2，点P为线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是______16．如图，在菱形ABCD中，两条对角线AC=43，BD=4，点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则12AP+PD17．如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠ABC=60°，在线段AD上取一点E，使DE=1，连接BE，点M，N分别是线段AE，BE上的动点，连接MN，则MN+12BN18．在菱形ABCD中，∠ADC=120°，AB=6，连接AC，点M为线段AC上一动点（不与点A，点C重合），点N在线段BC上，且AM=3CN，则DM+319．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别在边AB，BC上（不与顶点重合），且满足AM=BN，连结AN，DM交于点P．E，F分别是边AB，BC的中点，连结PE，PF，若正方形的边长为8，则PE+12PF三．解答题（共8小题）20．如图，△ABC在平面坐标系内，点A（0，33），C（2，0）．点B为y轴上动点，求12AB+BC21．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．

（1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并求出这个最小值．22．如图，二次函数y1=k（x+2）（x-4）的图象与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C．经过点B的直线y2=-x+b与二次函数图象的另一交点为D，交y轴于E．

（1）求b的值；

（2）连接OD，若△OBE与△OED的面积之比为4：5，求二次函数的表达式；

（3）在（2）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中所用时间最少？23．如图，△ABC是等边三角形．

（1）如图1，AH⊥BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∠CBQ的度数；

（2）如图2，若点D为△ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；

（3）在（1）的条件下，在P点的移动过程中，设x=AP+2PC，点Q的运动路径长度为y,当x取最小值时，写出x,y的关系，并说明理由．

24．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）连接AE，若AB=6cm,BC=5cm.

①求sin∠EAD的值；

②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．25．（1）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，求2AD+DC的最小值．

（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分别是BC，AC上的两个动点，且DE=4，P是DE的中点，连接PA，PB，求PA+14PB的最小值．26．如图1，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点B（4，0）、C（0，3），点A为x轴负半轴上一点，AM⊥BC于点M交y轴于点N，满足4CN=5ON．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）连接AC，点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC、DB，若△BCD和△ABC面积满足S△BCD=35S△ABC，求点D的坐标；

（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以秒53个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请直接写出最少时间和此时点F的坐标．27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−33x2+233x+833与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E．

（1）连接BD，点P是线段BD上一动点（点P不与端点B、D重合），过点P作PQ⊥BD，交抛物线于点Q（点Q在对称轴的右侧），过点Q作QF⊥x轴，垂足为F，交BD于G，点M是线段OC上一动点，当△PQG周长取得最大时，求FG+GM+12MC的最小值；

（2）在（1）中，当△PQG周长取得最大，FG+GM+12MC取得最小值时，把点M向下平移33个单位得到点M'，连接AM'，把△AOM'绕点O逆时针旋转一定的度α（0＜α＜360°），得到△A'OM''2026年中考数学胡不归问题专练

(参考答案)一．选择题（共10小题）1、D 2、C 3、A 4、B 5、B 6、D 7、A 8、A 9、A 10、C 二．填空题（共9小题）11、3； 12、5； 13、85； 14、62； 15、43； 16、23； 17、332； 18、12； 19、25三．解答题（共8小题）20、解：如图，取D（-3，0），连接AD，作BE⊥AD，CE′⊥AD于E′交y轴于B′．

∵A（0，33），C（2，0），

∴OD=3，OA=33，OC=2，CD=5，

∴tan∠DAO=ODOA=33，

∴∠DAO=30°，

∴EB=12AB，

∴12AB+BC=EB+CB，

∴当E与E′重合，B与B′重合时，EB+BC最短，最小值即为CE′的长，

在Rt△CDE′中，CE′=CD•sin60°=532，

∴21、（1）证明：∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，

∴BM=BN，∠MBN=60°，

∵△ABE是等边三角形，

∴BA=BE，∠ABE=60°，

∵∠ABM+∠ABN=60°，∠EBN+∠ABN=60°，

∴∠ABM=∠EBN，

在△AMB和△ENB中，

{AB=EB∠ABM=∠EBNBM=BN，

∴△AMB≌△ENB（SAS）；

（2）解：①连接AC，AC与BD相交于点O，如图1，

∵四边形ABCD是边长为2的正方形，

∴AC=2×2=2，点O为BD的中点，

∵AM+CM≥AC（当M点在AC上时取等号），

∴当M点在BD的中点时，AM+CM的值最小，最小值为2；

②∵△BMN为等边三角形，

∴BM=MN，

∵△AMB≌△ENB，

∴EN=AM，

∴当点E、N、M、C共线时，AM+BM+CM的值最小，如图2，

作EH⊥BC于H，

∵∠ABE=60°，∠ABC=90°，

∴∠EBH=30°，

在Rt△EBH中，EH=12BE=22，

BH=3EH=62，

在Rt△EHC中，CH=BH+BC=62+2，

∴CE2=CH2+EH2=（62+2）2+（22）2=4+23=（3+1）2，

∴CE=3+1，

∴当M点在22、解：（1）∵二次函数y1=k（x+2）（x-4）的图象与x轴从左至右依次交于A，B两点，

∴k（x+2）（x-4）=0

∴x1=-2，x2=4

∴A（-2，0），点B（4，0）

∵直线y2=-x+b经过点B

∴0=-4+b

∴b=4

（2）设点D（m,n）

∵直线y2=-x+4经过点E

∴E（0，4）

∵△OBE与△OED的面积之比为4：5，

∴（12×4×4）：[12×4×（-m）]=4：5

∴m=-5

∵点D在直线直线y2=-x+4上，

∴n=5+4=9

∴点D（-5，9）

∵点D在二次函数y1=k（x+2）（x-4）上

∴9=k×（-3）×（-9）

∴k=13

∴二次函数解析式为：y1=13（x+2）（x-4）=13x2-23x-83，

（3）如图，过点D作DP∥x轴，过点A作AG⊥DP于点G，过点F作FH⊥DP于点H，

∵点E（0，4），点B（4，0）

∴OE=OB=4

∴∠OBE=45°

∵DP∥x轴，

∴∠HDF=∠OBE=45°

∵FH⊥DP

∴∠HFD=∠HDF=45°

∴DH=HF

∴DF=2HF

由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF1+FD2=AF+HF，

即运动的时间值等于折线AF+FH的长度值．

由垂线段最短可知，折线AF+FH的长度的最小值为DP与x轴之间的垂线段AG的长．

∴AG与BD的交点为点F

∴点F的横坐标为-2，

∴y=2+4=6

23、（1）解：如图1中

∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，

∴∠CAP=12∠BAC=30°，CA=CB，∠ACB=60°，

∵△PCQ是等边三角形，

∴CP=CQ，∠PCQ=∠ACB=60°，

∴∠ACP=∠BCQ，

∴△ACP≌△BCQ，

∴∠CBQ=∠CAP=30°．

（2）证明：如图2中，将△ADC绕当A顺时针旋转60°得到△ABQ，连接DQ．

∵△ACD≌△ABQ，

∴AQ=AD，CD=BQ，

∵∠DAQ=60°，

∴△ADQ是等边三角形，

∴AD=DQ，

∴DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形（图中△BDQ）．

（3）如图3中，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F交AH于G．

∵PE=12PA，

∴PA+2PC=2（12PA+PC）=2（PE+PC），

根据垂线段最短可知，当E与F重合，P与G重合时，PA+2PC的值最小，最小值为2CF．

由（1）可知△ACP≌△BCQ，可得BQ=PA，

∴PA=BQ=AG=CG=y,FG=12y,

∴x=2（y+12y），

∴y=24、（1）证明：∵四边形ABCD是矩形．

∴OD=OB=OC=OA，

∵△EDC和△ODC关于CD对称，

∴DE=DO，CE=CO，

∴DE=EC=CO=OD，

∴四边形CODE是菱形．

（2）①设AE交CD于K．

∵四边形CODE是菱形，

∴DE∥AC，DE=OC=OA，

∴DKKC=DEAC=12

∵AB=CD=6，

∴DK=2，CK=4，

在Rt△ADK中，AK=AD2+DK2=（5）2+22=3，

∴sin∠DAE=DKAK=23，

②作PF⊥AD于F．易知PF=AP•sin∠DAE=23AP，

∵点Q的运动时间t=OP1+AP32=OP+23AP=OP+PF，

∴当O、P、F共线时，OP+PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，

∴OF=12CD=3．AF=12AD=52，PF=1225、解：（1）过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图①，

在Rt△DFC中，∠DCF=30°，

∴DF=12DC，

∵2AD+DC=2（AD+12DC）=2（AD+DF），

∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，

此时，∠B=∠ADB=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴AD=BD=AB=2，

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=2，

∴BC=4，

∴DC=BC-BD=4-2=2，

∴2AD+DC=2×2+2=6，

∴2AD+DC的最小值为6．

（2）如图，在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，AF．

∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，

∴PC=12DE=2，

∵CFCP=14，CPCB=14，

∴CFCP=CPCB，

∵∠PCF=∠BCP，

∴△PCF∽△BCP，

∴PFPB=CFCP=14，

∴PF=14PB，

∴PA+14PB=PA+PF，

∵PA+PF≥AF，AF=CF2+AC2=（126、解：（1）∵C（0，3），

∴OC=3，

∵4CN=5ON，

∴ON=43，

∵∠OAN=∠NCM，

∴△AON∽△COB，

∴OAOC=ONOB，即OA3=434，解得OA=1，

∴A（-1，0），

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），

把C（0，3）代入得a•1•（-4）=3，解得a=-34，

∴抛物线解析式为y=-34（x+1）（x-4）=-34x2+94x+3；

（2）设直线BC的解析式为y=mx+n,

把C（0，3），B（4，0）代入得{n=34m+n=0，解得{m=−34n=3，

∴直线BC的解析式为y=-34x+3，

作DQ∥y轴交BC于Q，如图1，设D（x,-34x2+94x+3），则Q（x,-34x+3），

DQ=-34x2+94x+3-（-34x+3）=-34x2+3x,

∴S△BCD=S△CDQ+S△BDQ=12•4•（-34x2+3x）=-32x2+6x,

∵S△BCD=35S△ABC，

∴-32x2+6x=35×12×（4+1）×3，

整理得x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3，

∴D点坐标为（1，92）或（3，3）；

（3）作CG∥x轴交抛物线于G点，作FH⊥CG于H，如图，

∵∠HCF=∠CBO，

∴sin∠HCF=HFCF=sin∠CBO=35，

∴CF=53FH，

∴点P沿着线段FC以每秒5327、解：（1）由已知可求A（-2，0），B（4，0），C（0，833），D（1，33），

∵PQ⊥BD，QF⊥x轴，

∴∠PQG=∠DBO，

在Rt△DBE中，∠DBE=60°，

∴∠PQG=60°，

∴GP=3PQ，QG=2PQ，

∴△PQG周长=PQ+3PQ+2PQ=3PQ+3PQ=（3+3）PQ，

∴当PQ最大时，△PQG周长最大；

设Q（m,-33m2+233m+833），

∵BD的直线解析式为y=-3x+43，

∴PQ的直线解析式为y=33x-33m2+33m+833，

∴P（14m2-14m+1，-34m2+34m+33），

∴PQ=36（-m2+5m-4），

∴当m=52时，PQ有最大值

∴F（52，0），G（52