2026年山东省烟台市中考一模数学自编模拟卷

2026届山东省烟台市中考数学模拟卷（一）一、单选题（每小题3分，共30分）1．若x与互为倒数，则的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．52．春节期间各地文旅竞相展现自己的看家本领，吸引各地游客到当地旅游，领略当地美景．下列是四个地方文旅图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（

）A． B．C． D．3．下列计算中，①；②；③；④．正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图是一块雕刻印章的材料，它的俯视图为（

）A． B． C． D．5．如图，直线，直线，若，则（

）A． B． C． D．6．老师在黑板上写出一个计算方差的算式：根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（

）A． B．平均数为8C．添加一个数8后方差不变 D．这组数据的众数是67．新年将至，小明的母亲准备为小明网购一件羽绒服，某服装电商销售某新款羽绒服，标价为250元，若按标价的8折出售，仍可获利50元，设这款羽绒服进价为元，根据题意可列方程为（

）A． B．C． D．8．如图，菱形在直角坐标系中，点的坐标为，对角线，反比例函数经过点，则（）A．6 B．12 C． D．329．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1．下列结论：①abc>0；②若(−3，y1)，(4，y2)在抛物线上，则y1<y2；③当−1<x<3时，y<0时；④8a+c>0．其中正确的有（

）A．①② B．①④ C．①③④ D．②④10．如图，在矩形中，，，点在直线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接，则长的最小值为（

）A． B． C． D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．2026年1月，我校成功举办了体育科技文化艺术节，现场进行了无人机和机器人表演，机器人上的国产芯片每秒可以完成8700000亿次运算，请将8700000用科学记数法表示为________．12．若的整数部分为a，的整数部分为b，则______．13．因式分解：________．14．如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的边，为直径作圆，两圆交于点A，点G，则图中阴影部分的面积为______．

15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在点的异侧作的位似图形，使与的相似比为1：2；再以点为位似中心，在点的异侧作的位似图形，使与的相似比为以此类推，则点的坐标为_______．

16．如图，已知平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标是，点是轴上一动点，过点作，垂足为，且．当点从坐标原点起沿轴向右运动到终点时，点运动的路径的长度是_____．三、解答题（8个小题，共72分）17．（6分）先化简，后求值：，其中．18．（7分）为落实国家“双减政策”，真正做到减时增效，学校九年级举行了半期质量监测．为了解本次质量监测中数学学科的情况，数学李老师随机抽查了部分同学的数学成绩（折合成百分制）进行整理、描述和分析（单位：分）：首先，李老师将成绩分为四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图．

说明：A（优秀），B（良好），C（合格），D（不合格），扇形C的圆心角为直角．然后，李老师核查到D组四位同学的得分分别是68，54，65，59．根据以上信息，回答下列问题：(1)李老师本次抽样调查的样本容量是，请帮李老师补全条形统计图；(2)D组数据的平均数为，中位数为；(3)已知D组中只有两名男生，李老师准备随机回访D组中的任意两名同学，帮助他（她）们查漏补缺，提高数学成绩，请你用画树状图或列表的方法求出李老师回访到的两名同学恰好是一男一女的概率．19．（7分）如图，是矩形的对角线．(1)作线段的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；(2)设的垂直平分线交于点，交于点，连接．①判断四边形的形状，并说明理由；②若，求四边形的周长．20．（8分）某超市准备购进A，B两款书包进行销售，根据调研得到如下信息：①购进2个A款书包和2个B款书包共需140元；②每个A款书包比每个B款书包少10元；③购进3个A款书包和4个B款书包共需250元．(1)从以上①②③中选两个作为已知条件，求A，B两款书包的进货单价；(2)在（1）的条件下，该超市购进A，B两款书包200个，且A款书包的数量不低于B款书包的，现将A，B两款书包分别以45元/个，60元/个的价格出售，若购进的这批书包全部售完，当A款书包的购进数量为多少时，该超市获得的利润最大，并求出最大利润．21．（9分）如图，在一条笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向．有一艘小船从处沿北偏西方向出发，以每小时20海里速度行驶半小时到达处，从处测得小船在它的北偏东的方向上．（1）求的距离；（2）小船沿射线的方向继续航行一段时间后，到达点处，此时，从测得小船在北偏西的方向．求点与点之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）22．（10分）如图，内接于，是的直径，D是劣弧上一点，连接，且平分，与交于点E，延长至点F，连接使得．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．23．（11分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知等腰直角三角形纸片和中，，，．【初步感知】（1）如图1，纸片绕点逆时针旋转，连接，，证明：平分；【深入探究】（2）在（1）条件下，如图2，延长交于，求的长；【拓展延伸】（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．24．（14分）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标．(3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为时，的值最小，最小值为．(4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

《2026届山东省烟台市中考数学自编模拟卷》参考答案题号12345678910答案ABABBCABBD1．A【分析】根据倒数、绝对值的定义解答即可．【详解】解：∵x与互为倒数，∴x=3，当x=3时，|1-x|=|1-3|=|-2|=2，故选：A．【点睛】本题考查倒数、绝对值的求法，解题的关键是熟练掌握倒数、绝对值的定义，乘积为1的两个数互为倒数，正数的绝对值是它本身、负数的绝对值是它相反数、0的绝对值还是0．2．B【分析】本题考查中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：选项A中的图形不是中心对称图形，故A不符合题意；选项B的图形是中心对称图形，故B符合题意；选项C的图形不是中心对称图形，故C不符合题意；选项D的图形不是中心对称图形，故D不符合题意；故选：B．3．A【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可得到答案．【详解】解：，①错误；，②正确；，③错误；，④错误．故选A．4．B【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面观察几何体所得到的图形，据此求解即可．【详解】解：从上面观察题图，可以得到一个正方形和一个圆，且正方形的中心与圆心重合，正方形的边长大于圆的直径．故选B．5．B【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，垂直的定义，根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．【详解】解：如图，∵，，∴∵，∴∴故选：B．6．C【分析】本题主要考查了方差，平均数，众数．根据方差的公式可得该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，再根据方差，众数的定义，即可求解．【详解】解：根据题意得：该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，故A、B选项正确，不符合题意；添加一个数8后方差为即添加一个数8后方差改变，故C选项错误，符合题意；这组数据，6出现的次数最多，即这组数据的众数是6，故D选项正确，不符合题意；故选：C7．A【分析】设这款服装的进价是每件x元，根据利润售价进价建立方程，从而可得答案．【详解】解：设这款服装的进价是每件x元，由题意，得．故选：A．【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据利润售价进价建立方程是关键．8．B【分析】本题考查了菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理，根据点的坐标得出的长度，过点作轴于，设，由勾股定理计算得出点的坐标，再由菱形的性质得出点的坐标，代入函数解析式计算即可得出答案．【详解】解：∵点的坐标为，∴，∵四边形是菱形，∴，过点作轴于，设，由勾股定理得，，解得，∴，，∴点，∵菱形对边，∴点的坐标为，代入得，，解得，故选：B．9．B【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=-2a＜0，抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，可对①进行判断；通过点（-3，y1）和点（4，y2）离对称轴的远近对②进行判断；观察图象，抛物线与x轴的一个交点−1<x<0，可对③进行判断；由当x=-2时，y＞0，则4a-2b+c＞0，得到8a+c＞0，则可对④进行判断．【详解】解：①抛物线开口向上，则a＞0，抛物线与y交于负半轴，则c＜0，x=-=1，即b=-2a，则b＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵（-3，y1）离对称直线x=1的距离为1-（-3）=4，（4，y2）离对称直线x=1的距离为4-1=3，∴点（-3，y1）离对称轴要比点（4，y2）离对称轴要远，又∵抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，4＞3，∴y1＞y2，故②错误；③观察图象，抛物线与x轴的一个交点为−1<x<0，∴当−1<x<3时，y不一定小于0；故③错误；④当x=-2时，y＞0，则4a-2b+c＞0，∵b=-2a，∴8a+c＞0，所以④正确；综上，正确的有①④，故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键．10．D【分析】过点作于点，与交于点，证明，设，根据相似三角形的相似比，用表示，并求得，进而根据勾股定理，用表示，根据二次函数的性质求得的最小值，最后便可求得的最小值．【详解】解：过点作于点，与交于点，如图所示：，，，，，，，设，则，∵，，，，，，，即抛物线开口向上，当时，的最小值为，长的最小值为，故选：D【点睛】本题主要考查动点最值问题，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．11．【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．【详解】解：8700000用科学记数法表示为．故答案为：．12．5【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出、的范围是解此题的关键．先求出、的范围，求出a、b的值，再代入求出即可．【详解】解：，，，．的整数部分为3，的整数部分为2．，．．故答案为：5．13．【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．先整理再提公因式，最后结合平方差公式因式分解，即可解题．【详解】解：；故答案为：．14．【分析】连接，，，设以边为直径的圆的圆心为o，连接，先证明为等边三角形，得，，然后由求解即可．【详解】解：如图，连接，，，设以边为直径的圆的圆心为o，连接，

∵正六边形，∴，，∵以正六边形的边，为直径作圆，两圆交于点A，点G，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴为等边三角形，∴，，∴【点睛】本题考查正多边形和圆的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，扇形与三角形的面积．掌握求不规则图形面积方法以是解题的关键．15．【分析】结合位似图形的性质，确定点的变化规律，即可获得答案．【详解】解：根据题意，点的坐标为，在点的异侧作的位似图形，使与的相似比为，则，再以点为位似中心，在点的异侧作的位似图形，使与的相似比为，则，……所以，点，故点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了坐标与图形、位似图形、点的坐标规律等知识，结合位似图形的性质确定点的变化规律是解题关键．16．π【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，弧长公式等知识．作于，作轴于，在上截取，设的延长线交轴于，可证得，从而，从而，进而证得，从而，进一步得出结果．【详解】解：如图，作于，作轴于，在上截取，设的延长线交轴于，，，，，，，，，，，，，，，，，，当点从坐标原点起沿轴向右运动到终点时，点运动的路线是半圆，，点运动的路径的长度是，故答案为：．17．，【分析】根据分式混合运算顺序和法则化简后，把代入化简结果计算即可．【详解】解：原式当时，原式．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题的关键．18．(1)40，图见解析(2)，62(3)【分析】（1）用C等级的人数除以C组所占的百分比，即可求出样本容量；用样本容量乘以B组所占百分比，即可求出B组人数，用样本容量减去B组、C组、D组的人数，即可得出A组的人数，根据所求补充条形统计图即可；（2）将D组四位同学的得分相加的和除以4，即可求出平均数；将D组四位同学的得分按大小排序，求第二个和第三个同学的平均数，即可得出中位数；（3）根据题意，画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，根据概率公式求解即可．【详解】（1）解：∵扇形C的圆心角为直角，∴样本容量（人），∴B等级的人数：（人），A等级的人数：（人），条形统计图补全为：

（2）解：D组数据平均数为：，将D组数据按大小排序为：54，59，65，68．∴D组数据中位数为：．故答案为：，62；（3）解：画树状图：

共有12种情况，其中恰好为一男一女的有8种，所以，两名同学恰好为一男一女的概率是．【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，求平均数和中位数，根据树状图求概率，解题的关键是正确理解题意，从统计图中获取正确数据，掌握平均数和中位数的定义，以及用树状图求概率的方法和步骤．19．(1)图见详解(2)①四边形是菱形，理由见详解；②四边形的周长为【分析】（1）分别以点B、D为圆心，大于为半径画弧，分别交于点M、N，连接，则问题可求解；（2）①由题意易得，易得，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求证；②设，则，然后根据勾股定理可建立方程进行求解．【详解】（1）解：所作线段的垂直平分线如图所示：（2）解：①四边形是菱形，理由如下：如图，由作图可知：，∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵是的垂直平分线，∴，∴四边形是菱形；②∵四边形是矩形，，∴，由①可设，则，∵，∴，即，解得：，∴四边形的周长为．【点睛】本题主要考查矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质、菱形的性质与判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质是解题的关键．20．(1)选①②作为条件，30元/个，40元/个(2)当A款书包的购进数量为50时，该超市获得的利润最大，最大利润为3750元【分析】（1）设A款书包的进货单价为x元/个，B款书包的进价为y元/个，利用总价=单价×数量，结合“购进2个A款书包和2个B款书包共需140元；每个A款书包比每个B款书包少10元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出结论；（2）设A款书包的购进数量为m个，B种书包的购进数量为个，根据A款书包的数量不低于B款书包的，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设文具店将这批书签全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润＝A款书包的销售利润×购进A款书包的购进数量＋B款书包的销售利润×购进B款书包的购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【详解】（1）解：选①②作为条件，设A款书包的进货单价为x元/个，B款书包的进价为y元/个，根据题意，得：解得:．答：A，B两款书包的进货单价分别为30元/个，40元/个．（2）设A款书包的购进数量为m个，B种书包的购进数量为个，又设这批书包全部售完的总利润为w元，根据题意，得，即，又根据题意，知：，∴．又∵在中，w随m的增大而减小．∴当时，w有最大值为：（元）．答：当A款书包的购进数量为50时，该超市获得的利润最大，最大利润为3750元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．21．（1）海里；（2）海里．【分析】（1）过点作于点,利用余弦定义解出AP、AD的长，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解得PD的长，最后根据等腰直角三角形两直角边相等的性质解题即可；（2）过点作于点，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，解得BF的长，在中，由勾股定理解得BC的长即可．【详解】解：（1）如图，过点作于点，在中，，，∵，∴在中，，，∴．∴海里（2）如图，过点作于点，在中，，，∴在中，．在中，，，∴海里．∴点与点之间的距离为海里．【点睛】本题考查解直角三角形的应用之方向角的问题，其中涉及含30°角的直角三角形的性质、余弦、三角形内角和、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，正确作出辅助线，构造直角三角形、掌握相关知识是解题关键．22．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可；（2）勾股定理得，根据三角函数得到，结合，得到，解答即可．【详解】（1）证明：连接，∵平分，∴，∵是的直径，∴，，∴，∵，∴，∵∴，∴，∴，∴，∵是的直径，∴是的切线．（2）解：∵，，，∴，∵∴，，∴，∴，∵，∴，解得，∴．【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，三角函数的应用，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线是解题的关键．23．（1）见解析；（2）；（3）能，2或或或【分析】（1）可证明为等边三角形，得到，，再证明得到，据此可证明结论；（2）延长交于点，由等边三角形的性质得到，则，，进而求出；过点作于，则是等腰直角三角形，则，，解中，得到，解得到，则；（3）分①当时，②当，③当时，三种情况画出示意图讨论求解即可．【详解】（1）证明：由旋转性质得，，∴为等边三角形，∴，，又∵，，∴，∴，∴平分；（2）延长交于点，∵是等边三角形