2026年高考数学临考冲刺卷03（全国一卷适用）（考试版及全解全析）

1/22026年高考数学三轮临考冲刺卷03（全国一卷通用）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2．【新考法预测】已知为虚数单位，复数，则（）A.1 B. C.2 D.3．在等差数列中，为其前项和．若，则（）A.420 B.210 C.198 D.1054.【跨学科】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为，其中是正的常数．如果在前7h消除了的污染物，那么14h后所剩污染物为（）A. B. C. D.5.已知向量，，向量满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.6.若定义在上的偶函数满足，且当时，，则（）A. B.0 C. D.7.已知，且，则（）A. B. C. D.8.定义在的函数满足，其中常数、、均为正数，是的导函数，则的图象可能是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.【新考法预测】在直三棱柱中，，点是棱上一点，则下列说法正确的有（）A. B.四棱锥体积为6C.直三棱柱外接球的表面积为 D.的最小值为10.将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若是偶函数，则（）A.B.函数的图象关于点对称C.函数在上单调递增D.函数在上的所有零点之和为，则的取值范围是11.在平面直角坐标系中，已知，，动圆：，过点，分别作斜率为，的两条直线与动圆相切，两切线交于第一象限的点，设点到直线的距离为，则下列说法中正确的是（）A. B. C. D.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．设位于第一象限的点P在抛物线上，若P到抛物线C焦点的距离为6，则点P的坐标是________．13.已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________.14.【新考法预测】已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知的角，，所对的边分别为，，，且，.（1）求；（2）若的面积为2，求和.16．（15分）【新情景】鄂尔多斯市装备制造基地的某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，其质量指标；技术改造后，其质量指标．如果生产该零部件的控制系统中有超过一半的元件正常工作，则系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性．已知该系统中每个元件正常工作的概率都是，且各个元件能否正常工作相互独立．若，则，．（1）求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差；（2）若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性；若该系统增加一个元件，判断其可靠性有何变化．17．（15分）如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为中点，且，平面平面．（1）求证；平面平面；（2）设直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的余弦值．18．（17分）【新定义】已知定义在上的函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设为函数的图象上不同于原点的三个不同的点，其中．①证明：；②定义两点间的距离如下：，证明：．19．（17分）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，且点在双曲线上．（1）求双曲线的方程；（2）斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（异于点）．①求直线、的斜率之和；②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．

2026年高考数学三轮临考冲刺卷03（全国一卷通用）（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则（）A. B. C. D.1.【答案】B【解析】因为，，所以.故选：B2．【新考法预测】已知为虚数单位，复数，则（）A.1 B. C.2 D.2.【答案】A【解析】因，则.故选：A3．在等差数列中，为其前项和．若，则（）A.420 B.210 C.198 D.1053.【答案】B【解析】设等差数列的公差为，则，整理得，解得.所以.故选：B4.【跨学科】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为，其中是正的常数．如果在前7h消除了的污染物，那么14h后所剩污染物为（）A. B. C. D.4.【答案】A【解析】由题意得，是正的常数，故，两边取对数得，故，所以14h后所剩污染物为.故选：A.5.已知向量，，向量满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.5.【答案】A【解析】设.已知，，所以.则，即.因表示点到原点的距离，而点是直线上的点，故的最小值即为原点到直线的距离，因为点在直线上，所以可无限大，所以的取值范围是.故选：A.6.若定义在上的偶函数满足，且当时，，则（）A. B.0 C. D.6.【答案】C【解析】因为是偶函数，所以，由，得，所以，得，所以是以4为周期的函数，所以．故选：C.7.已知，且，则（）A. B. C. D.7.【答案】D【解析】因为，化简得，即，又，，所以.故答案为：D．8.定义在的函数满足，其中常数、、均为正数，是的导函数，则的图象可能是（）A. B.C. D.8.【答案】D【解析】因为定义在的函数满足，其中常数、、均为正数，所以，令可得，结合四个选项可知，对任意的，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，对于A选项，如下图所示：由图可知，当时，，即函数在上单调递增，当时，，即函数在上单调递增，即是函数的极大值点，事实上，不是函数的极大值点，A选项不符合要求；对于B选项，如下图所示：设直线与函数图象交点的横坐标为，由图可知，当时，，，即函数在上单调递增，当时，，，即函数在上单调递减，事实上，函数在上单调递增，矛盾，B选项不符合要求；对于C选项，由图可知，对任意的，，则，即函数在上单调递增，由可知，当在上单调递增，在上单调递减，由图可知，函数在上单调递增，且函数的增长速度先越来越快，后越来越慢，则其导函数先递增再递减，矛盾，C选项不符合要求；对于D选项，由图可知，对任意的，，则，所以函数在上单调递增，且的增长速度越来越慢，由可知，当在上单调递增时，在上单调递减，D选项符合要求.故答案为：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.【新考法预测】在直三棱柱中，，点是棱上一点，则下列说法正确的有（）A. B.四棱锥体积为6C.直三棱柱外接球的表面积为 D.的最小值为9.【答案】ACD【解析】对于A，直三棱柱中，平面,平面,故，由于，故，即，因为，平面,平面,所以平面，因为棱上一点，平面，所以，故A选项正确；对于B，在直三棱柱中，，平面，平面，故平面，所以，过作，垂足为，由等面积法得，在直三棱柱中，平面,平面,故，因为，平面，平面，所以平面，所以，即四棱锥的体积为，故B选项错误；对于C，由题知两两垂直，所以直三棱柱外接球与以为邻边的长方体的外接球相同，所以直三棱柱外接球的直径为，所以直三棱柱外接球的表面积为，故C选项正确；对于D，将平面展开，与平面共面，得到如下图的矩形，所以，所以最小值为，故D选项正确；故选：ACD10.将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若是偶函数，则（）A.B.函数的图象关于点对称C.函数在上单调递增D.函数在上的所有零点之和为，则的取值范围是10.【答案】BC【解析】因为函数的图象向左平移后得到函数的图象，所以，又因为是偶函数，所以，得，即，再由，所以，所以A错误；对于B，因为，所以，所以函数的图象关于点对称，B正确；对于C，因为，所以，因为，所以，函数在单调递增，C正确；对于D，因为，所以函数在上的零点，转化为函数与图象在上的交点的横坐标，令，所以函数在有两条对称轴和，如图：当时，函数与有两个交点，且关于对称，即，所以，得.当时，函数与有3个交点，，，所以，得.所以函数在上的所有零点之和为，则，D错误.故选：BC.11.在平面直角坐标系中，已知，，动圆：，过点，分别作斜率为，的两条直线与动圆相切，两切线交于第一象限的点，设点到直线的距离为，则下列说法中正确的是（）A. B. C. D.11.【答案】ABD【解析】设圆与线段交于点，圆与线段交于点，圆与线段交于点，动圆：，圆心为，半径为，，，，，为圆的切线，为圆的切线，，，，，点是以，为焦点的双曲线，且，，，点的轨迹方程为，选项A，在上，为焦点，，故选项A正确；选项B，渐近线方程为，，故选项B正确；选项C，直线的倾斜角可以是钝角，故错误，故选项C错误；选项D，设过点的切线方程为，即，，点到直线的距离为，，，，，，，，，故选项D正确.故选：ABD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．设位于第一象限的点P在抛物线上，若P到抛物线C焦点的距离为6，则点P的坐标是________．12.【答案】【解析】抛物线，焦点，准线方程，又P在抛物线C上且到焦点的距离为6，P到准线的距离为6，即，，，又P位于第一象限，，故点．13.已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________.13.【答案】##【解析】由题可知，设夹角为，则，，设，，代入坐标化简得：故的最大值为原点到圆上的点最大距离，如下图所示，又圆心，半径，，故.14.【新考法预测】已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，盒中装有大小相同的3个红球，从盒中随机取一个球，若是红球，则放回盒；若是黑球，则从盒中取一红球与其替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后，盒中6个球恰好全是红球的概率为，则________.14.【答案】【解析】若4次重复操作后，盒中6个球全是红球，则1次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次、第二次和第三次抽到红球三种情况，所以，若5次重复操作后，盒中6个球全是红球，则2次抽到红球，3次抽到黑球，包含第一次和第二次、第一次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况，所以，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知的角，，所对的边分别为，，，且，.（1）求；（2）若的面积为2，求和.15．（13分）【解析】（1）由正弦定理可得，因为，所以，（3分）所以.（5分）（2）因为，所以，又所以，.（7分）所以，即，所以，（9分）所以，解得，所以.（12分）因此，.（13分）16．（15分）【新情景】鄂尔多斯市装备制造基地的某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品．技术改造前，其质量指标；技术改造后，其质量指标．如果生产该零部件的控制系统中有超过一半的元件正常工作，则系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性．已知该系统中每个元件正常工作的概率都是，且各个元件能否正常工作相互独立．若，则，．（1）求该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差；（2）若控制系统原有3个元件，计算该系统的可靠性；若该系统增加一个元件，判断其可靠性有何变化．16．（15分）【解析】(1)由题意知，技术改造前，，优品率为.（2分）技术改造后，，优品率为.，所以该企业生产的这种零部件在技术改造后与技术改造前的优品率之差为.（5分）(2)设为原有3个元件正常工作的个数，，（6分）则系统正常工作的概率，（9分）所以该系统的可靠性为.（11分）设为增加一个元件后，元件正常工作的个数，，则系统正常工作的概率，（13分）因为，所以该系统增加一个元件，可靠性降低.（15分）17．（15分）如图所示，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为中点，且，平面平面．（1）求证；平面平面；（2）设直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的余弦值．17．（15分）【解析】（1）在等腰梯形中，，，，是的中点，，所以四边形菱形，，（3分）因为平面平面，平面平面，又，为的中点，所以，平面，平面，平面，，平面，平面，，（5分）平面，平面，所以平面平面．（6分）（2）由底面为等腰梯形，如图，取的中点，连接，可得，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，因为，，所以，设，（8分）则，（10分）则，，设平面的一个法向量，则，令，得，（12分）因为直线与平面所成的角为，所以，所以，即，设平面的一个法向量，，，则，令，得，设直线与平面所成角为，则．（14分）所以直线与平面所成角的余弦值为．（15分）18．（17分）【新定义】已知定义在上的函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设为函数的图象上不同于原点的三个不同的点，其中．①证明：；②定义两点间的距离如下：，证明：．18．（17分）【解析】（1）因为，则，（2分）又，所以曲线在点处的切线方程为.（4分）（2）①令，则，（6分）令，则，（7分）当时，恒成立，所以在区间上单调递增，则，又，所以在区间恒成立，所以在区间上单调递增，又，则，即.（9分）②当时，，当且仅当时取等号，所以，要证，即证明，也即证明，（10分）令，易知，则，（12分）令，则，易知当时，恒成立，所以在区间上单调递增，（13分）又当时