2026年高考数学终极冲刺：秘籍08 破解空间几何体外接球、内切球及棱切球的十二大题型（抢分专练）（解析版）

4/4秘籍08破解空间几何体外接球、内切球及棱切球的十二大题型题型考情分析考向预测1.特殊几何体的外接球问题2025年新高考卷Ⅱ：第14题考查了圆柱内双球相切2023年甲卷（理）第15题、甲卷（文）第16题、乙卷（文）第16题：都考查了多面体外接球2022年新高考卷Ⅰ：第8题考察了正四棱锥外接球2022年新高考卷Ⅱ：第7题考察了三棱锥外接球外接球必考（选填5分），以墙角型、对棱相等型、正棱锥、直棱柱为核心，可能结合组合体、截面、动态最值创新；内切球低频但需掌握（正四面体、正棱锥）；棱切球不考。熟练补形法、球心定位、勾股定理；内切球用体积分割法；重点练外接球半径公式、截面性质、最值范围，强化空间转化与计算精度。2.墙角问题3.对棱相等几何体的外接球问题4.侧棱垂直于底面的几何体外接球问题5.侧面垂直于底面的几何体外接球问题6.二面角与球体综合问题7.球体中的最值问题8.球心不确定问题9.内切球问题10.棱切球问题11.数学文化与球体综合12.球体在解答题中的应用题型1特殊几何体的外接球问题定义：正方体、长方体、正四面体、正棱柱（正三棱柱、正四棱柱等）、正棱锥（正三棱锥、正四棱锥等）等规则几何体，其所有顶点都在同一个球面上（即各顶点共球），该球称为几何体的外接球，此类问题为球接切基础题型。性质：①外接球球心是几何体的对称中心，到几何体所有顶点的距离相等（均等于外接球半径R）；②长方体、正方体的外接球球心为其体对角线中点，体对角线即为外接球直径；③正棱柱的外接球球心在上下底面外接圆圆心连线的中点处；④正四面体的外接球与内切球球心重合，且外接球半径是内切球半径的3倍。解题方法：利用几何体对称性质确定球心；长方体/正方体体对角线为外接球直径；正几何体球心在中心轴上，结合勾股定理求半径。【例1】（2026·江西·一模）若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】方法一：如图，正四面体中，作底面的高，由正四面体的性质，点为的中心，设为外接球的球心，外接球的半径为，由正三角形的性质，，；由，得，解得，该球的表面积为．故选：A．方法二：如下图在立方体中，通过连接面对角线可得到正四面体，可知两者的外接球相同，正四面体的棱长为立方体的一个面的对角线长，则立方体的棱长为.立方体的体对角线即为外接球的直径.代入计算可得，外接球的半径，外接球的表面积为.故选：A.【变式1】（2026·浙江·高三月考）棱长均为2的正三棱柱的各个顶点都在球的球面上，则球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图所示，因为正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，设的外接圆的半径为，正三棱柱的外接球的半径为，可得，则，所以正三棱柱外接球的体积为.故选：D题型2墙角问题定义：三棱锥的三条侧棱两两垂直（即PA⊥PB、PB⊥PC、PC⊥PA），形似空间中的墙角结构，本质是“三条两两垂直棱构成的三棱锥外接球问题”，是高考高频模型。性质：①该三棱锥可补成一个长方体，且与长方体外接球共球心、共半径；②三条两两垂直的侧棱长度分别对应补成长方体的长、宽、高；③外接球球心为补成长方体的体对角线中点，体对角线即为外接球直径。解题方法：将三条两两垂直棱补成长方体，外接球与长方体外接球相同；体对角线即为球的直径，直接套用直径公式求解半径与表面积、体积。【例2】（2026高三·全国·专题练习）已知三棱锥的三条棱，，两两垂直，且，则该三棱锥的外接球体积为．【答案】【详解】将三棱锥补形为棱长为的正方体如图所示，可知三棱锥与正方体的外接球相同，其半径是正方体的体对角线长的一半，为，所以球的体积为.故答案为：.【变式2】（25-26高三上·山东德州·开学考试）已知三棱锥，若两两垂直，且，则三棱锥外接球的表面积为.【答案】【详解】在三棱锥中，因为PA，PB，PC两两垂直，且，以PA，PB，PC为棱构造一个长方体，则这个长方体的外接球就是三棱锥的外接球，由题意可知，这个长方体的体对角线的中点是三棱锥的外接球的球心，三棱锥的外接球半径为，所以外接球的表面积为.故答案为：.题型3对棱相等几何体的外接球问题定义：三棱锥中，三组对棱长度分别对应相等（即AB=CD、AC=BD、AD=BC），此类几何体无法直接通过对称性定位球心，需转化模型求解外接球。性质：①对棱相等的三棱锥可嵌入一个长方体，三组对棱分别对应长方体的三组面对角线；②嵌入的长方体外接球与该三棱锥外接球为同一个球，球心为长方体体对角线中点；③长方体的长宽高满足对应面对角线等于三棱锥对棱长度。解题方法：嵌入长方体中，把三组对棱看作长方体面对角线；借助长方体长宽高关系，建立方程求解外接球半径。【例3】（2026高三·全国·专题练习）在四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图所示，该四面体的各顶点恰好是一个长方体的四个顶点，每条棱为长方体各面的对角线，设这个长方体各棱长分别为，则有，各式相加得，设外接球半径为，则有，外接球表面积.故选：C．【变式3-1】（2026·河南许昌·开学检测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设四面体的外接球的半径为,则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图，则故，故四面体ABCD外接球的体积为，故选：C【变式3-2】（2026·河北·一模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示，所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得.所以四面体外接球表面积是.故答案为：B.题型4侧棱垂直于底面的几何体外接球问题定义：棱锥（四棱锥、三棱锥等）或棱柱（直棱柱）中，一条或多条侧棱与底面所在平面互相垂直（侧棱⊥底面），此类问题核心是“侧棱垂直+底面外接圆”的结合。性质：①外接球球心在过底面外接圆圆心且垂直于底面的垂线上；②若侧棱垂直底面，球心到底面的距离等于侧棱长的一半；③球心到几何体所有顶点的距离相等，构成以R为斜边、底面外接圆半径r和球心到底面距离d为直角边的直角三角形。解题方法：取底面多边形外接圆圆心，作底面垂线；结合侧棱中点垂线，两线交点即为球心；构造直角三角形，利用勾股定理计算球半径。【例4】（25-26高三上·南昌·期中）在三棱锥中，平面ABC，，且三棱锥的体积为，若三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A． B． C． D．【答案】D【详解】解：三棱锥的体积为，，，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，是边长为的正三角形，外接圆的半径，球的半径为R=，球O的表面积为．故选D．【变式4】（25-26高三上·天津红桥·期中）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且各顶点都在同一球面上，若则此球的表面积为（

）A．10π B．12π C．16π D．20π【答案】D【详解】解:在中,可得，所以,由正弦定理,可得外接圆半径,设此圆圆心为,球心为，球的半径为，由球的性质可知：平面，在平面内，所以，在中,，所以球半径,故此球的表面积为故选：D题型5侧面垂直于底面的几何体外接球问题定义：几何体的某一个侧面与底面所在平面互相垂直（面面垂直），在此背景下，求解几何体的外接球半径、表面积等问题，核心是利用面面垂直性质定位球心。性质：①过侧面与底面交线的垂线（在侧面内），必垂直于底面；②外接球球心在过底面外接圆圆心且垂直于底面的垂线上，同时也在过垂直侧面外接圆圆心且垂直于该侧面的垂线上；③球心到两个垂直面的距离，分别与两个面的外接圆半径、R构成直角三角形。解题方法：利用面面垂直性质确定垂线；分别找底面与垂直侧面的外心，作垂线确定球心；结合二面角、边长关系列式求半径。【例5】（2026·黑龙江·二模）已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】取的中点，连接，，因为底面与侧面均是边长为2的正三角形，所以⊥，⊥，因为平面平面，交线为，且平面，所以⊥平面，在上取点，使得，故为等边三角形的中心，该三棱锥外接球的球心在平面上的投影为，其中，，，设，连接，过点作⊥于点，则，，，设，则，即，解得，所以，该三棱锥外接球的表面积是.故选：C【变式5】（2026·云南大理·模拟预测）在体积为的三棱锥中，，，平面平面，，，若点，，，都在球的表面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，取的中点，连接，，因为，，所以，因此点就是球心，又，故是等腰直角三角形，所以，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，设球半径为，则，，则，，所以三棱锥的体积，所以，所以球的表面积为.

故选：A.题型6二面角与球体综合问题定义：以二面角为已知条件，结合多面体（三棱锥、四棱锥等）的外接球，考查球半径、表面积、体积，或二面角与球心位置、半径的综合关系，属于中档偏难题型。性质：①二面角的平面角θ，决定两个半平面的相对位置，进而影响两个半平面外接圆圆心的距离；②外接球球心到两个半平面的垂线，分别垂直于对应半平面，且垂足为各自半平面的外接圆圆心；③球心、两个半平面外接圆圆心，构成一个四边形，其中两个直角对应线面垂直关系。解题方法：确定二面角平面角，找准两个面的外接圆圆心；根据二面角大小、圆心距、底面外接圆半径，构造几何关系求解球心与半径。【例6】（2026·河南鹤壁·二模）如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，若二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】设是中点，连接，设的外心为，的外心为，是四面体外接球球心，由于和都是边长为的正三角形，所以，且分别在靠近E的三等分点处.根据二面角的大小为及球的性质可知：平面，平面，所以，由于，所以四边形是正方形，，，设四面体外接球的半径为，则.所以外接球的表面积为.故选：A【变式6-1】（25-26高三上·贵州铜仁·期末）已知矩形中，，将沿折起至，使二面角是直二面角，则三棱锥的外接球的表面积等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得，.记矩形的对角线与交于点，则翻折过程中点到四点的距离不变，即点是三棱锥外接球的球心，所以三棱锥外接球的半径，所以三棱锥的外接球的表面积.故选：A.【变式6-2】（2026高三·全国·专题练习）在边长为4的等边三角形中，是的中点，将沿中线折起，得到三棱锥，若二面角的大小为120°，则三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，设的中点分别为，连接，则，，因为等边三角形中，是的中点，将沿中线折起，所以，进而，所以为二面角的平面角，故．因为，都是直角三角形，记三棱锥外接球的球心为，连接，因为为的中点，则，又，，所以平面，所以，又，，所以平面，所以，同理得，由，可知，且，所以平分，因为，，所以，在中，，，所以，即三棱锥外接球半径为．所以所求体积为．故选：C.题型7球体中的最值问题定义：限定几何体的结构（如棱长固定、面面积固定、二面角固定等），求解外接球/内切球的半径、表面积、体积，或球面上两点间距离、点到球心距离等的取值范围、最大值或最小值，是高考高频创新题型。性质：①最值多出现在几何体运动的临界位置（如共面、垂直、顶点共线等）；②外接球半径R的最值，与几何体的约束条件（棱长、角度、面积）直接相关，可通过构造函数或几何关系转化；③球面上两点间的最短距离为过两点的大圆劣弧长，最值由圆心角决定。解题方法：建立变量关系，结合几何约束构造函数；利用几何临界位置、不等式或导数分析最值，依托球的基本性质化简运算。【例7】（2026·广东湛江·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得，扇形的弧长，所以该圆锥的底面圆的半径，所以该圆锥的高．设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示：则依题意得，所以，所以该球的体积V的最大值是．故选：D【变式7-1】（2026·福建漳州·模拟预测）一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，作出圆台的轴截面，分析可知，要使球的表面积最大，则球需要与相切，设圆的半径为，则，由，所以，所以，作，由，所以，又，所以，又，，所以，即，所以球的表面积的最大值为，故选：C.【变式7-2】（2026·宁夏银川·二模）已知正四棱锥的一个侧面的周长为，则该四棱锥体积的最大值时，其外接球表面积为.【答案】【详解】如图，设正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，高为，因为正四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心，侧棱长相等，侧面为等腰三角形，所以，所以，得，又，所以正四棱锥的体积.设，则，当时，，即在单调递增，当时，，即在上单调递减，所以，所以.此时，，，设该正四棱锥外接球的半径为，则，解得，故其外接球表面积.故答案为：.题型8球心不确定问题定义：几何体结构不规则（如非规则三棱锥、多面体拼接），无明显对称中心，无法通过几何对称性直接确定球心位置，需通过代数方法求解的外接球问题，难度较高。性质：①尽管球心位置不确定，但球心到几何体所有顶点的距离相等（均为R）；②可通过建立坐标系，将几何问题转化为代数方程组求解。解题方法：设球心坐标或空间动点，利用顶点到球心距离相等列方程；通过方程组求解球心位置与外接球半径。【例8】（2026·宁夏银川·二模）如图，在菱形中，，，E为对角线BD的中点，将沿BD折起到的位置，若，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】过球心作平面，则为等边三角形的中心，∵四边形是菱形，，∴与都是边长相同的等边三角形，∵，∴，∵，∴，∴，，中，，由勾股定理得，∴球的半径，∴三棱锥的外接球的表面积为.故选：A．【变式8】（2026·江西南昌·二模）已知正方体的棱长为2，P，Q分别是，的中点，则经过点，Q，C，D，C1的球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据正方体，得，，所以平面，四边形是矩形，其中，，的三边为，，，，设的外接圆半径为，则，于是，设矩形的外接圆半径为，则，设球心为，过作平面，垂足为，过作平面，垂足为，则是矩形的外心，是三角形的外心，取中点，则，于是平面，所以四边形是矩形.设球半径为，，则，于是球的表面积为.故选：D.题型9内切球问题定义：与几何体的所有面都相切的球体，球心到几何体各个面的距离都等于球的半径r，且内切球在几何体内部，仅规则几何体（正方体、正四面体、正棱锥）有唯一内切球。性质：①内切球球心是几何体的内心，到各个面的距离相等（均为r）；②正多面体的内切球与外接球球心重合；解题方法：核心使用等体积法：V=1【例9】（2026·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（

）A．48π B．36π C．24π D．12π【答案】A【详解】因为内切球和外接球球心重合，如图可以得到所以外接球半径，∵，∴因此圆锥外接球的表面积为48π.故选：A.【变式9-1】（2026·河南·二模）已知圆锥的轴截面为正三角形，圆锥的内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设圆锥的内切球的半径为，则，所以.又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为，圆锥的底面半径为，则圆锥的体积.故选：A.【变式9-2】（2026·重庆·一模）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为O，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为，由正四面体结构特征可知G为的中心，面，设E为中点，球O和球分别与面相切于F和.易得，，，由可得，又，，故，，，又由和相似，可得，即，解得，即空隙处的最大球的半径为.所以空隙处的最大球的体积为为.故选：D题型10棱切球问题定义：与几何体的所有棱都相切的球体，区别于内切球（与所有面相切），球心到几何体每条棱的距离都等于球的半径r，高考中属于低频考点，仅在少数模拟题中出现。性质：①棱切球球心到所有棱的距离相等，且球心在几何体的对称中心上；②正方体的棱切球直径等于其面对角线长度；③正四面体的棱切球与外接球、内切球球心重合，半径介于内切球与外接球之间。解题方法：高考低频考点，仅掌握正四面体、正四棱锥模型；利用几何体中心对称性，结合棱距公式求解半径，了解基础模型即可。【例10】（2026·浙江杭州·一模）已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为.【答案】【详解】可采用补体的方法，先画一个正方体，正方体的棱长为322，那么正方体的面对角线为3，取四点构成棱长为3的三棱锥，若与三棱锥的各棱均相切，即与正方体的各面相切，所以正方体的内切球就是所求的球，球的半径为棱长的一半，即342，这样球的表面积为S=4πR2=4π×(342)2=92π.故答案为：92π【变式10-1】（2026·抚州·一模）已知三棱锥的棱长均为，则与其各条棱都相切的球的体积为.【答案】【详解】将三棱锥补全为正方体，如下图所示：则正方体的内切球即为与三棱锥各条棱均相切的球，设正方体棱长为，则，解得：，所求的球的半径，球的体积.故答案为：.【变式10-2】（2026·宁波·一模）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为.【答案】【详解】由题意三棱柱是正三棱柱，分别是棱柱下底面和上底面的中心，由对称性知中点为球的球心，取中点（为切点），则（等于到棱距离．设球半径为，由正三角形性质知，与底面垂直，则必与底面上直线垂直，因此，解得，球体积为．故答案为：．题型11数学文化与球体综合定义：以古代建筑（斗拱、宫殿）、传统器皿（铜鼎、陶罐）、古代几何典籍（《九章算术》）等数学文化为背景，包装球与多面体的接切问题，考查提取几何信息、转化问题的能力。性质：①本质是常规球接切问题，仅增加文化背景包装，几何结构不变；②题目给出的文化场景中，隐含几何体的棱长、边长、形状等关键几何信息；③解题核心是剥离文化背景，转化为常规模型。解题方法：剥离文化背景，提取几何数据与空间结构；转化为常规外接球、组合体问题，套用对应模型方法计算。【例11】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在封闭的鳖臑内有一个体积为V的球，若平面，，，则V的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】球与三棱锥的四个面均相切时球的体积最大，由平面，平面，可得，又，平面，所以平面，因为平面，所以，所以，设此时球的半径为R，则，即，解得，所以球的体积V的最大值为.故选：C【变式11-1】（25-26高三上·湖北武汉·期末）中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，冶炼铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始．现将一个表面积为cm2的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭浇铸过程体积无变化，该铁锭的上、下底面的边长分别为cm和cm，则该铁锭的高为（

）A．30cm B． C．36cm D．【答案】B【详解】解：设实心铁球的半径为R，则，解得，则实心铁球的体积为，设正四棱台的实心铁锭的高为h，因为实心铁球的体积和正四棱台的实心铁锭体积相等，则，解得故选：【变式11-2】（25-26高三上·湖北·期中）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，连接AC，BD，设，因为四边形ABCD为矩形，所以为矩形ABCD外接圆的圆心．连接，则平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q，根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线交EF于点M．连接PQ，则，且为PQ的中点，因为，所以，连接EP，FQ，在与中，易知，所以梯形EFQP为等腰梯形，所以，且．设，球O的半径为R，连接OE，OA，当O在线段上时，由球的性质可知，易得，则，此时无解．当O在线段的延长线上时，由球的性质可知，，解得，所以，所以球O的表面积，故选：D．题型12球体在解答题中的应用定义：在立体几何解答题中，结合线面垂直、面面垂直的证明、空间角（异面直线夹角、线面角）、体积计算等，综合考查球的外接、内切相关计算，多为大题第2、3问，侧重综合应用。性质：①需先证明空间位置关系（线面垂直、面面垂直），再利用该关系定位球心；②分步得分，证明部分占分，球的计算部分占分，步骤规范性要求高；③常结合多面体体积、表面积，综合考查运算求解能力。解题方法：先完成线面、面面位置关系证明；分步求解底面边长、外接圆半径、球心位置；规范书写几何推理过程，分步列式，综合求值。【例12】（2026·四川攀枝花·二模）如图，在四面体中，D为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为．(1)证明：平面；(2)求四面体外接球的体积；(3)求的长．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).【详解】（1）由，，，可得：，则由勾股定理得：，又，，平面，所以平面；（2）由平面，平面，所以，又，平面，所以平面，则四面体满足平面，，因此这个四面体可以放在一个长方体里，所以外接球的直径就是该长方体的体对角线，因为，所以外接球的半径，即该外接球的体积，（3）把这个三棱锥换成以作底面，因为，所以以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，由于平面，，，,设，则，即，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，因为二面角的大小为，所以，解得故【变式12-1】（25-26高三上·山西·期末）如图，四边形为矩形，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置.(1)求三棱锥外接球的表面积；(2)当平面平面时，证明：，并求二面角的余弦值.【答案】(1)(2)证明见解析，【详解】（1）解：因为和均为以为斜边的直角三角形，所以三棱锥的外接球球心即为的中点，半径，所以外接球表面积.（2）证明：当平面平面时，因为，平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设P点坐标为（），由，，得解得，，即P点坐标为，，.设平面，所以所以令，得，易知为平面的一个法向量，所以，因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【变式12-2】（25-26高三上·河南·期末）如图，在四面体中，为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为.(1)证明：平面；(2)求四面体的外接球的体积；(3)求的长.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）因为，，，所以，即.又因为，，、平面，所以平面（2）因为平面，平面，所以，由题可知，将四面体补成长方体，如下图所示：所以四面体的外接球即为长方体的外接球，该球的直径为，即，所以四面体ACDE的外接球的体积为.（3）因为平面，，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设，，则、、、，则，，，设平面的法向量为，则，取，可得，设平面的法向量为，则，取，则，因为，解得，于是.1．（25-26高三上·云南楚雄·期中）一个棱长为3的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为棱长为3的正方体的八个顶点都在同一个球面上，所以球的直径是正方体的体对角线，即球的半径，所以球的表面积为．故选：A．2．（25-26高三上·山西·月考）已知四面体的顶点坐标为，，，，则该四面体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设球心，半径为，由，得到，解得，所以，则该四面体外接球的表面积为，故选：B.3．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知三棱锥底面是边长为的正三角形，平面，且，则该三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，将三棱锥补成三棱柱，点与重合，正三棱柱外接球也为三棱锥的外接球，令球心为，半径为，记和外接圆的圆心分别为和，其半径为，由正弦定理得：，而为的中点，则，所以该三棱锥的外接球的体积为.故选：A4．（2026·四川成都·三模）在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】过作圆台的轴截面，如图所示为该圆台外接球球心，且圆的半径是圆半径的2倍，不妨设圆的半径，则圆的半径依题意，，，，故选：D.5．（2026·四川达州·二模）三棱锥各个顶点均在球表面上，，外接圆的半径为，点在平面的射影为中点，且与平面所成的角为，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】取中点，连接，点在平面的射影为点，又因为，所以外接圆圆心为，所以O必在直线上，因为，外接圆的半径为，所以是外接圆的圆心，，因为平面，与平面所成的角为，则，从而，设球O的半径为R，在中，，则，解得，所以球O的表面积为.故选：B．二、多选题6．（25-26高三上·广东湛江·月考）下列四个几何体中体积与其表面积的数值之比为的是（

）A．底面半径为1，高为2的圆锥 B．底面半径为1，高为2的圆柱C．上、下底面半径分别为，，高为2的圆台 D．半径为1的球【答案】BD【详解】对于A，圆锥的体积为，表面积为，所以，故A错误；对于B，圆柱的体积为，表面积为，所以，故B正确；对于C，圆台的体积为，表面积为：，所以，故C错误；对于D，球的体积为：，表面积为：，所以，故D正确．故选：BD．二、填空题7．（2026高二上·山东枣庄·学业考试）底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱，各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为.【答案】【详解】由题意，该正四棱柱的体对角线为外接球的直径，设外接球半径为R，则，解得，所以外接球的表面积.故答案为：8．（2026·湖南长沙·二模）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则球的表面积是.【答案】【详解】因为，所以是直角三角形，且直角顶点为，斜边为，所以外接圆的半径为.又球心到截面的距离，根据球的截面性质得，，整理得.所以球的表面积为.故答案为：.9．（2026·上海静安·一模）已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比．【答案】/【详解】设圆柱的底面圆和球的半径为，圆柱的高为，则由题意得，，则，则.故答案为：10．（2026·广东江门·模拟预测）在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为．【答案】【详解】如图：

在中，，，所以.取中点，则为外接圆的圆心，且外接圆半径为.连接，因为，所以.又（）.所以，即.又平面，，所以平面.所以.所以三棱锥外接球的球心在线段上，设为，再设三棱锥外接球的半径为，在中，，，,由.所以三棱锥外接球的表面积为.故答案为：11．（2026·上海黄浦·一模）已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面的距离为1，则球O的体积为．【答案】【详解】设正三角形的外接圆半径为.根据正弦定理可得，，所以.设球O的半径为，则，.所以球O的体积为.故答案为：.12．（25-26高三上·重庆·月考）正方体的棱长为，为侧面内的动点（含边界），若