2026年高考数学终极冲刺：秘籍09 几何体的表面积、体积全攻略（九大热点题型）（含导数法求体积表面积的最值）（原卷版）

4/4秘籍09几何体的表面积、体积全攻略（九大热点题型）（含导数法求体积表面积的最值）题型考情分析考向预测1.棱柱、棱锥、棱台的表面积2025年新高考卷Ⅰ：第17题考查了多面体与球的外接问题2025年新高考卷Ⅱ：第7题考查了正三棱台结构特征及棱台体积公式第12题考查了空间几何体组合体，即圆柱与球的内切/外切关系2024年新高考卷Ⅰ：第7题考查了，圆柱、圆锥侧面积公式，圆锥体积公式，空间几何体表面积与体积计算选择题中可能会出：三视图还原几何体（直四棱柱）的表面积与体积问题；也可能是台体表面积与体积问题2.棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积3.圆柱、圆锥、圆台的表面积4.圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积5.球的表面积与体积6.组合体体的表面积与体积7.多面体的外接球的表面积与体积8.旋转体的外接球的表面积与体积9.内切球与棱切球的表面积与体积题型1棱柱、棱锥、棱台的表面积1．棱柱、棱锥、棱台的表面积．(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和．2．正棱台的表面积．(1)注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)．(2)一是把基本量转化到直角梯形中解决问题．(3)二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决问题．【例1】（2026·福建泉州·二模）已知正三棱台的高为，则该棱台的侧面积为（

）A． B． C．18 D．【变式1-1】（25-26高三上·山东聊城·期末）粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2026·陕西铜川·一模）某地区乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（

）A． B． C． D．题型2棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积1．棱柱、棱锥、棱台的体积．(1)圆柱:V=πr2h(r是底面半径,h是高);(2)圆锥:V=13πr2h(r是底面半径,h是高(3)圆台:V=13πhr'2+r'r+r2．正棱台的表面积和体积．(1)注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)．(2)一是把基本量转化到直角梯形中解决问题．(3)二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决问题．【例2-1】（2026·安徽滁州·一模）若某正三棱柱的表面积是侧面积的两倍，且底面的边长为2，则该正三棱柱的体积为____________．【例2-2】（2026·湖南·二模）如图，一块边长为6的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则当正四棱锥容器的体积最大时，正四棱锥的高为（

）A． B． C．3 D．【变式2-1】（2026·北京朝阳·一模）已知菱形的边长为1，，将沿折起，得到三棱锥.当平面平面时，______；当平面平面时，三棱锥的体积为______.【变式2-2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在正三棱台中，为棱的中点，且，则四棱锥的体积为（

）A． B． C． D．题型3圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台的表面积．(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面．(2)计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算．(3)表面积是侧面积与底面圆的面积之和．【例3-1】（2026年4月高中毕业班教学质量调研数学试卷）已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为______．【例3-2】（2026·湖南怀化·二模）已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（

）A． B． C． D．【变式3-1】（25-26高二上·四川泸州·期末）圆柱的轴截面为正方形，一个圆锥的底面半径与该圆柱的底面半径相同，且侧面积相等，则圆锥的高与圆柱的高之比为（

）A． B． C． D．【变式3-2】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆台的高为4，上、下底面的半径分别为3和6，现在该圆台中挖去一个圆柱，圆柱的上、下底面分别在圆台的上、下底面上，要使得到的几何体的表面积最大，则圆柱的半径为（

）A．3 B．2 C．1 D．题型4圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积圆柱、圆锥、圆台的体积．(1)要注意利用好几何体的轴截面．(2)准确求出几何体的高和底面积．2.圆柱、圆锥、圆台的体积求法(1)直接法:根据几何体的结构特征,确定底面积和高,代入体积公式直接求出;(2)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积;(3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,先求再去.【例4-1】（2026·河北·一模）已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h₁，h₂，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若4r，则圆锥的体积V₁与圆柱的体积V₂的大小关系为（

）A． B． C． D．不确定【例4-2】（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知圆台的上、下底面半径之比为，母线长为5，侧面积为，则该圆台的体积为（

）A． B．C． D．【变式4-1】（北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）如图某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的高为，则此组合体的体积为________；表面积为________【变式4-2】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆台的上、下底面的面积分别为，，侧面积为，则该圆台的体积为（

）A． B．C． D．题型5球的表面积与体积球的表面积与体积公式.球的表面积:S球=4πR2;球的体积:V球=43πR3.(其中R为球的半径2.求球的表面积与体积的关注点(1)一个关键:球的半径;(2)两个结论:①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方;②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.【例5-1】（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，半径为3，圆心角为的扇形绕着旋转一周得到几何体，则的体积为___________．

【例5-2】（2026·江西·二模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（

）A． B． C． D．【变式5-1】（2027高三·全国·专题练习）已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为________．【变式5-2】（辽宁大连育明高中、丹东二中、本溪高中四校联考2026届高三下学期教学质量调研数学试题）圆锥的底面半径与球的半径相等，且它们的表面积也相等，则圆锥与球的体积之比为（

）A．1:3 B．1:2 C． D．题型6组合体体的表面积与体积组合体体的表面积与体积：（1）解题先拆分组合体，明确由柱、锥、球等基本几何体构成。（2）求体积直接分割或补形，分别计算再加减。（3）算表面积需重点扣除重合贴合面，避免重复计算。（4）牢记基础公式，注意几何体棱长、高、半径等量的转化，留意外接、内切特殊位置关系，结合数形结合快速解题。【例6-1】（山西省吕梁市2026年高考考前适应性测试高三数学试题）如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如C，D），另外两条相对的侧棱交于一点（如O）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（

）

A． B． C． D．【例6-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在几何体中，侧棱均垂直于底面ABC，已知，，则该几何体的体积为________．【变式6-1】（25-26高三·全国·二轮复习）一个圆锥的底面直径为4，高为，过圆锥高的中点作平行于底面的截面，该截面截去了一个圆锥，则剩下几何体的表面积为______.【变式6-2】（2026·陕西商洛·二模）祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等，这就是“祖暅原理”．现有一个空心铁质半球壳，外半径为，内半径为（厚度均匀），放入水中后漂浮（平面朝下）．已知浸入水中部分的深度为，则浸入水中部分的体积为______．题型7多面体的外接球的表面积与体积外接球内切球问题：(1)空间问题尝试向平面进行转化，如恰当做出截面，建立多面体基本量与球的半径（直径）之间的数量关系．(2)化归到平面图形后，注意直角三角形的构造与勾股定理的使用．2.旋转体的“切”“接”问题的解题策略在处理旋转体的“切”“接”问题时,一般要通过作一适当的截面,将立体问题转化为平面问题解决,这类截面往往指的是旋转体的轴截面.【例7】（福建福州市八县市协作校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试题）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（

）A． B． C． D．【变式7】（25-26高三上·山西晋城·月考）已知正四棱锥的底面边长为6，高为，则正四棱锥外接球的体积为___________________.题型8旋转体的外接球的表面积与体积旋转体的外接球：(1)圆柱模型：外接球半径公式：（为该柱体的高，为上下底面外接圆的半径）．(2)圆锥模型：作出直角三角形，由勾股定理求解．【例8-1】（2026·江西上饶·二模）已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（

）A． B． C． D．【例8-2】（2026·河北沧州·模拟预测）已知圆台的上､下底面半径分别为1，2，体积为，则该圆台外接球的体积为（

）A． B． C． D．【变式8-1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【变式8-2】（2026·陕西·模拟预测）已知圆台的母线长为3，上下底面半径比为1:2，当圆台体积最大时，此圆台的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．题型9内切球与棱切球的表面积与体积球与多面体的接、切问题：(1)球心与多面体中心的位置关系．(2)球的半径与多面体的棱长的关系．(3)球自身的对称性与多面体的对称性．(4)能否做出轴截面．【例9-1】（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知正三棱柱的内切球体积为，则此正三棱柱的表面积为（

）A．108 B．108 C．162 D．【例9-2】（四川泸州市2025-2026学年高三下学期质量监测试题）已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，母线长为6，若一个球与该圆台的上下底面和侧面均相切，则球与圆台的侧面切点所形成的曲线的长为________．【变式9-1】（25-26高三上·北京朝阳·期末）古希腊数学家阿基米德的一个重要数学发现是“圆柱容球”，即当球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高均相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的．如图所示，在一个“圆柱容球”的模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为（

）

A． B． C． D．【变式9-2】（25-26高三下·重庆·月考）如图，在正四面体中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则5个球的表面积之和为（

）A． B． C． D．单选题1．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知一个侧棱等于底面边长的正三棱柱的外接球的表面积为，则该三棱柱的表面积为（

）A．3+36 B．6+36 C．3+12 D．6+122．（2026·北京昌平·一模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的侧面积为（

）

A． B． C． D．3．（2026·河南·模拟预测）已知球的半径为1，圆柱的上､下底面圆周都在球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（

）A． B． C． D．4．（2026·四川·二模）一个圆锥的底面直径为4，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（）A． B． C． D．5．（2026·河北·一模）已知某圆锥与圆柱的底面半径均为r，高分别为h₁，h₂，且该圆锥与圆柱的表面积相等，若4r，则圆锥的体积V₁与圆柱的体积V₂的大小关系为（

）A． B． C． D．不确定6．（2026·陕西·二模）图1是陕西大荔中学花园中的一座仿古亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成的组合体，如图2所示．已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（

）A． B． C． D．7.（25-26高三上·江苏常州·期中）已知圆柱和圆锥的底面半径相同，母线长也相同，则它们的表面积之比为（

）A． B． C． D．3：18．（2026·陕西咸阳·二模）已知圆锥的侧面积为，其母线与底面所成的角是60°，要在圆锥内挖去一个体积最大的圆柱，要求圆柱的一个底面在圆锥的底面上，则挖去的圆柱的体积为（

）A． B． C． D．9.（2026·吉林长春·二模）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则球的表面积为（

）A． B． C． D．10.（2025·江西萍乡·二模）在正四面体中，点在棱上，点在棱上，若平面，且，，则三棱锥与正四面体的体积之比为（

）A． B． C． D．11.（2026·广东广州·模拟预测）如图，直三棱柱中，为中点，平面平面，，则三棱柱体积的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题12．（广东深圳市2026届高三年级下学期第二次调研考试数学试题）已知正三棱柱的高为2，且有内切球（球位于三棱柱的内部且与各个面有且只有一个公共点），若过三点的平面截该三棱柱所得截面为，则（

）A．B．平面平面C．截面的面积为D．该三棱柱被截面分成两部分，较小部分与较大部分的