03 第三章 样本的数字特征

新编21世纪心理学系列教材心理与教育统计（第3版）温忠麟

著第三章

样本的数字特征

VariablesandData核心要点理解本章介绍的基本概念。理解集中趋势。理解离散程度。掌握标准分。学会综合运用。1.数据分布的集中趋势众数（mode）:样本中变量取值次数最多的那个数值中位数（median）:将变量值从小到大排列，位于正中的那个值均值（mean):样本中变量值的算术平均全部观测值的离均差之和为零三种集中变量的比较案例分析：计算集中趋势数据：随机抽取10名学生的数学成绩：86,83,83,88,85,86,85,79,83,76。数据处理与计算：排序整理：76,79,83,83,83,85,85,86,86,88众数：83(出现次数最多，共3次)中位数：84(偶数个数据，取中间两位平均值：(83+85)/2)均值：83.4(总分834除以样本量10)结论：三个指标从不同角度描述了数据的集中趋势，数值相近反映数据分布相对对称。2.数据分布的离散程度定义：描述数据取值的分散或变异程度的统计量，也称为“差异量数”。两组数据的平均值可能完全相同，但它们内部的离散程度可能迥异。例子：两个班级平均分均为80分：A班成绩集中在75-85分（离散程度小），B

班成绩大幅波动（离散程度大）。仅看均值无法区分这种差异，需依靠离散程度指标。2.1全距（R）

2.2四分位差四分位数（quartile），将数据从小到大排列，然后用三个数Q1、Q2、Q3将其分成四部分，使得每一部分各占25%的数据。Q1是25%分位数或下四分位数（lowerquartile）Q2是50%分位数或中位数Q3是75%分位数或上四分位数（upperquartile）四分位差：IQR=Q3-Q12.2四分位差优点：剔除极端值干扰，稳健性强。缺点：计算较全距稍复杂。适用场景：常与中位数配合使用，适用于偏态分布数据。2.3方差样本方差（variance）：总体方差：

总体方差等于“平方的均值减去均值的平方”：2.4标准差样本方差的算术平方根称为样本标准差（standarddeviation），相应地，总体方差的算术平方根称为总体标准差。与方差相比，标准差最大的优点是它和均值都与原来的变量有相同的测量单位。以学业成绩为例，如果甲班的均值大于乙班的均值，则甲班的成绩较好。如果甲班的标准差大于乙班的标准差，则甲班的成绩波动比较大、比较参差不齐。3.1正态分布统计中最常见的分布是正态分布（详见第六章），相应的变量称为正态变量，取值集中在均值附近，以均值为中心，左右对称，离开均值越远，取值的机会越少。3.2偏态系数描述变量非对称分布的数字特征是偏态系数（skewness），也称为偏度。如果频数多边图类似于（a）是负偏态分布（左偏态分布），此时偏态系数为负，均值在中位数左侧，分布有较长的左尾。类似的，（b）是正偏态分布（右偏态分布）。（c）正态分布的偏态系数为零，均值与中位数重合。如果偏态系数的绝对值不超过1，说明该变量的分布与正态分布近似。3.3峰度系数描述变量分布聚集程度的数字特征是峰态系数（kurtosis），也称为峰度。正态分布的峰态系数为零；如果峰态系数为负，表示观测值比正态分布较少地聚集在均值附近；如果峰态系数为正，表示观测值比正态分布的较多地聚集在均值附近。4.标准分及其在分布中的位置

5.计算样本数字特征的SPSS例解1.频数分析：分析→描述统计→频率可选统计量：均值、中位数、众数、标准差、方差、全距、偏度、峰度可输出图表：条形图、直方图、饼图适用：需查看频数分布、分位数、图形2.描述统计操作路径：分析→描述统计→描述核心功能：计算数字特征、保存标准分可选统计量：均值、标准差、方差、偏度、峰度、标准误适用：批量计算、生成Z分数3.结果解读要点集中趋势：均值、中位数、众数离散程度：标准差、方差、全距分布形态：偏态系数、峰态系数标准分：自动生成新变量用于后续分析本章小结数据分布的集中趋势可以通过众数、中位数或均值三种集中量数来反映。众数适用于类别变量，中位数适用于有序变量和连续变量，而均值主要适用于连续变量。数据的离散程度可以通过全距、四分位差、方差和标准差等差异量数来衡量，其中标准差是最常用的，与原始数据具有相同的测量单位。全距和四分位差反映了数据分布的范围，方差和标准差量化了数据分布的离散程度。