2026年中考数学二轮复习讲练测《方程与不等式的解法与应用》含答案

初中热点02方程与不等式的解法与应用热点聚焦方法精讲能力突破第一部分热点聚焦·析考情聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。第二部分题型引领·讲方法纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。题型01二元一次方程组的解法题型02分式方程的解法题型03不等式（组）的解法题型04一元二次方程中含参数问题题型05不等式（组）中含参数问题题型06二元一次方程组的应用题型07一元二次方程的应用题型08分式方程的应用题型09不等式（组）的应用第三部分能力突破·限时练精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：根据近几年广州中考试题，“方程与不等式的解法与应用”部分的考试方向是突出基础性与工具性。试题严格依据课标，注重对核心概念和基本解法的考查，并高度关注数学建模与实际应用，常结合生活情境（如行程、利润、配套问题）或广州本土文化背景设计应用题。在题型上，该板块分布广泛：选择题和填空题常考查不等式的基本性质、不等式组解集的数轴表示、分式方程增根检验以及方程与函数的简单综合；解答题中，第17-18题位置几乎每年必考方程（组）或不等式（组）的求解；此外，应用题也常以方程（组）或不等式为载体，考查学生建模能力。预测2026年：2026年的考试方向将延续“素养立意”，更加注重在真实情境和跨学科背景下考查学生的模型观念与应用意识。试题可能进一步创新设问方式，例如将方程与不等式结合，设计方案决策或最优化问题。考试题型预计保持稳定：选择题中仍会出现对不等式性质的辨析或方程解的判断；填空题可能涉及利用方程解决简单几何问题；解答题大概率继续考查方程（组）或分式方程的解法，而实际应用题则很可能结合最新时事（如科技发展、绿色出行）呈现，重在检验学生将实际问题抽象为方程（组）或不等式模型并求解的能力。题型01二元一次方程组的解法解｜题｜策｜略1.灵活选择消元法：根据方程组特征选择方法。若同一未知数系数互为相反数或相等，优先用加减消元法；否则可用代入消元法，将其中一个方程变形代入另一方程求解。2.规范求解步骤：按“消元—解一元一次方程—回代求另一未知数”的流程操作，确保每一步计算准确。3.注意检验结果：将求得的解代入原方程组进行检验，看是否满足每个方程，避免计算失误。例1（2025·广东广州·三模）解方程组：例2（2025·广东广州·三模）解方程组：【变式1】（2025·广东广州·二模）解方程组：【变式2】（2025·广东广州·二模）解方程组：．题型02分式方程的解法解｜题｜策｜略1.去分母转化为整式方程：先确定最简公分母，若分母是多项式则需因式分解；方程两边同时乘最简公分母，注意不要漏乘常数项或整式部分。2.规范求解与符号处理：去括号时若括号前是负号，括号内每一项均要变号；按解整式方程的步骤求解后，需将解代入最简公分母检验。3.务必检验根的情况：代入最简公分母检验，若其值不为0则是原方程的解；若为0则是增根需舍去，确保答案正确。例1（2025·广东广州·二模）解方程．例2（2025·广东广州·二模）解方程：．【变式1】（2024·广东广州·模拟预测）解方程：【变式2】（2025·广东广州·二模）解方程：题型03不等式（组）的解法解｜题｜策｜略1.规范求解步骤：解一元一次不等式时，按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行，特别注意系数化为负数时不等号方向要改变。2.借助数轴定解集：解不等式组时，先分别求出每个不等式的解集，再在数轴上表示，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”的口诀确定公共部分。3.结合图像解综合题：对于与函数结合的不等式问题，运用“要解不等关系先解相等关系”的思路，通过函数图像交点确定取值范围。例1（2025·广东广州·三模）解不等式组：例2（2025·广东广州·三模）解不等式组：【变式1】（2025·广东广州·中考真题）解不等式组，并在数轴上表示解集．【变式2】（2025·广东广州·二模）解不等式组，并在数轴上表示解集题型04一元二次方程中含参数问题解｜题｜策｜略1.紧扣判别式定范围：根据方程根的情况（两个不等实根、相等实根、无实根），利用判别式Δ=b²-4ac建立不等式或等式，求出参数的取值范围。2.结合根与系数关系：运用韦达定理（x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a）表示含参数的对称式，再代入条件求解。3.注意分类讨论思想：当二次项系数含参数时，需先讨论系数是否为0（分一元一次方程和一元二次方程两种情况），再运用判别式求解。例1（2025·广东广州·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．例2（2025·广东广州·模拟预测）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．【变式1】（2024·广东广州·二模）已知是关于x的方程的根，则常数k的值为________．【变式2】（2024·广东深圳·三模）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为__________．题型05不等式（组）中含参数问题解｜题｜策｜略1.借助数轴定范围：将含参不等式（组）的解集在数轴上直观表示，根据“覆盖区间”确定参数的位置，利用数形结合列出关于参数的不等式。2.抓住临界点讨论：重点关注不等式取等号的临界值，验证该点是否满足题意。当参数取值变化导致不等号方向改变时，需分类讨论。3.转化为方程求解：根据已知解集或整数解的个数，将参数问题转化为方程问题，建立关于参数的等式或不等式组，再求解。例1（2025·广东广州·模拟预测）关于的不等式的解集如图所示，则的取值范围是______．例2（2025·广东惠州·二模）若关于的不等式组无解，则的取值范围为___________．【变式1】（2025·广东韶关·一模）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是______．【变式2】（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x的不等式组的所有整数解的和是12，则m的取值范围是____________．题型06二元一次方程组的应用解｜题｜策｜略1.审题找等量关系：仔细阅读题目，抓住关键语句，找出表示等量关系的词语（如“共”、“比……多/少”、“是……的几倍”等），设出未知数。2.列方程组求解：根据找到的等量关系列出方程组，选择代入消元法或加减消元法准确求解，注意单位统一。3.检验答案合理性：将解代入原方程检验，并结合实际情境判断是否符合题意（如数量应为正整数、价格应为正数等）。例1（2025·广东广州·模拟预测）陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法器凝聚能量：2个“乾坤圈”和5个“风火轮”同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个“乾坤圈”和2个“风火轮”联合运转1小时，能产生26单位净化能量．(1)单个“乾坤圈”和单个“风火轮”每小时各能产生多少单位净化能量？(2)结界需要450单位能量才能完全净化．若哪吒一次最多能启动18个法器（“乾坤圈”和“风火轮”），法器持续运转5小时，问哪吒最少要启动几个“乾坤圈”才能完全净化结界？例2（2024·广东广州·一模）某科创公司计划投入一笔资金购进A，B两种型号的芯片．已知购进2片A型芯片和1片B型芯片共需900元，购进1片A型芯片和3片B型芯片共需950元．(1)求购进1片A型芯片和1片B型芯片各需多少元？(2)若该科创公司计划购进A，B两种型号的芯片共10万片，根据生产的需要，购进A型芯片的数量不低于B型芯片数量的4倍，问该公司如何购买芯片所需资金最少？最少资金是多少万元？【变式1】（2025·广东广州·二模）某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有、两种组合方式，其中组合有枚糯米咸鹅蛋和个肉粽，组合有枚糯米咸鹅蛋和个肉粽，、两种组合的进价和售价如表：价格进价（元件）售价（元件）(1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？(2)根据市场需求，超市准备的种组合数量是种组合数量的倍少件，且两种组合的总件数不超过件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件种组合？最大利润为多少？【变式2】（2025·广东广州·三模）学校决定按年级开展师生研学活动，该校八年级师生共人将参加研学活动，计划租用辆大客车，现有甲、乙两种型号的大客车，它们的满座载客量和租车费用如表：甲型号大客车乙型号大客车满座载客量（人辆）租车费用（元辆）(1)若租用的辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地，求应分别租用甲、乙型号的大客车多少辆？(2)设租用甲型号大客车辆，租车总费用为元，当租用甲型号大客车多少辆时，租车的总费用最少，最少费用是多少？题型07一元二次方程的应用解｜题｜策｜略1.审题建模找等量关系：仔细阅读题目，抓住关键词（如“增长”、“下降”、“面积”、“利润”等），设出未知数，根据问题情境建立一元二次方程模型。2.正确列方程并求解：增长率问题通常可列形如a(1±x)2=b的方程；面积问题常结合几何图形公式列方程；选择合适方法（因式分解法、公式法等）准确求解。3.检验解的合理性：求出方程的解后，务必代入原题检验，舍去不符合实际意义的解（如增长率不能为负、边长不能为负等）。例1（2025·广东广州·二模）某中学开展“莲韵文化”手工实践活动，同学们制作不同工艺等级的莲花灯．基础款为第1级，每盏利润10元，每天可制作50盏．每提升1个工艺等级，单盏利润增加2元，日产量减少4盏．(1)若某天手工社团获得总利润588元请问他们制作的是第几个工艺等级的莲花灯（工艺等级从第1级开始依次递增）？(2)若社团希望获得最大日利润，应选择第几工艺等级？此时最大日利润是多少元？例2（2024·广东广州·一模）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：销售价格x（元/千克）日销售量y（千克）(1)试求出y关于x的函数表达式；(2)当该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为2000元时，请求出销售价格．【变式1】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．【变式2】（2024·广东广州·二模）为满足市场需求，某超市购进一种水果，每箱进价是元．超市规定每箱售价不得少于元且不得多于元，根据以往经验发现：当售价定为每箱元时，每天可以卖出箱．每箱售价每提高1元，每天要少卖出箱．(1)如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为多少元？(2)当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润y（元）最大？最大利润是多少？题型08分式方程的应用解｜题｜策｜略1.审题建模找等量关系：仔细阅读题目，抓住关键词（如“同时到达”、“提前”、“比……多用”等），找出隐含的相等关系，设出未知数列出方程。2.正确列方程并求解：根据行程问题、工程问题或销售问题中的基本数量关系（如时间=路程÷速度）列出分式方程，注意单位统一。3.“双检验”确保合理性：既要检验解是否为原分式方程的解，又要检验解是否符合实际意义（如速度、时间不能为负）。例1（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．例2（2024·广东广州·二模）某中学决定购买A，B两种型号的毛绒玩具奖励给表现优异的学生．已知一个B型毛绒玩具比一个A型毛绒玩具贵30元，且用900元购买A型毛绒玩具的数量和用1800元购买B型毛绒玩具的数量相等．(1)求A型、B型毛绒玩具的单价；(2)学校计划采购A型和B型毛绒玩具共100个，且A型毛绒玩具的数量不超过B型毛绒玩具数量的2倍，要想花费的资金总额最少，则最多购买A型毛绒玩具多少个？资金总额最少为多少元？【变式1】（2025·广东广州·三模）2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是．(1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？(2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？(3)市场优惠促销，购买个主控芯片赠送个传感器模块．该公司发放活动经费元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作、机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩个．如果一个和一个机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？【变式2】（2025·广东广州·二模）某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块不知规格的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长决定带领小组成员测量它的最大电阻．他们将两节的干电池（总电压为3V），一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路（电池和电流表的内阻忽略不计）．若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了．知识小链接：①导体两端的电压U（），导体的电阻，通过导体的电流I（A），满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．(1)求滑动变阻器的最大电阻；(2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？题型09不等式（组）的应用解｜题｜策｜略1.审题建模抓关键词：仔细阅读题目，抓住“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等关键词，找出隐含的不等关系，设出未知数列出不等式（组）。2.结合实际列式求解：根据利润、行程、方案选择等实际问题中的数量关系列出不等式，准确求解并注意不等号方向的正确处理。3.检验作答保合理：求出解集后，结合实际问题背景检验解的合理性（如人数应为整数、价格应为正数等），最后写出符合题意的答案。例1（2025·广东广州·三模）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量（千克）与销售价格（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如表所示：销售价格（元/千克）3545日销售量（千克）250150(1)试求出关于的函数表达式．(2)经过市场调查，经销商发现每日该种鱼销售量不超过，请问该经销商最低能将售价定为多少元？例2（2025·广东广州·二模）2025年国家卫健委建议实施“体重管理年”三年行动．某校要组织学生外出研学，根据营养师的建议准备了两种食品作为午餐．餐每包的热量为700千焦，蛋白质为5克．餐每包热量为800千焦，蛋白质为10克．(1)若要从这两种食品中摄入3700千焦热量和35克蛋白质，应选用两种食品各多少包？(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午䬸选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于55克，且热量最低，应如何选用这两种食品？【变式1】（2025·广东广州·二模）为响应“碳达峰，碳中和”的目标．某新能源公司推广智能充电桩建设，已知建设充电桩的总成本（万元）与充电桩数量（个）之间存在一次函数关系，10个充电桩的总成本为12万元，20个充电桩的总成本为22万元．(1)求这个一次函数解析式；(2)若每安装一个充电桩，公司可获得0.7万元的补贴，且本补贴可直接抵扣建设成本．该公司预计出资30万元建设充电桩，则最多能建设多少个充电桩?【变式2】（2025·广东广州·二模）某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规15个，乙种圆规20个，需要310元；若购进甲种圆规20个，乙种圆规30个，需要440元．(1)求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；(2)文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，且购进两种圆规所用费用不超过964元，那么这个文具店购进甲种圆规的方案有几种？（20分钟限时练）一、单选题1．（2025·广东广州·三模）若，根据不等式的性质，下列变形正确的是（）A． B． C． D．2．（2025·广东广州·二模）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（

）A． B． C．1 D．23．（2025·广东广州·二模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（）A．3 B．4 C．5 D．64．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2024·广东广州·二模）如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（）A．12 B．16 C．18 D．20二、填空题6．（2024·广东广州·二模）一元二次方程的解是__________．7．（2024·广东广州·一模）某公司在2024年1月份的营业额为25万，3月份的营业额为36万，设该公司营业额的月平均增长率为，则可列方程为______．8．（2025·广东广州·二模）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分400元钱，每人分得若干，第二次比第一次减少6人，平分200元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为人，则可列方程为_______．9．（2024·广东梅州·一模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则__________．10．（2024·广东广州·二模）在数学拓展课上，蔡老师给大家讲了一个有趣的定理：若点C，D在线段所在直线的两侧，并且，那么A，B，C，D四个点在同一个圆上．小雅同学在学习了该定理后积极思考：若限定正三角形的顶点都只能在正方形的边上，则她可以很快在边长为2的正方形纸片上剪出一个面积最大的正三角形，请你计算一下小雅剪出的这个正三角形的边长为____．三、解答题11．（2024·广东广州·中考真题）解方程：．12．（2025·广东广州·二模）解方程组：．13．（2025·广东广州·模拟预测）解不等式组：14．（2025·广东广州·一模）清明节是中国的传统节日之一，主要有踏青、扫墓、吃青团等习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的青团．已知购进90袋甲种青团和120袋乙种青团的总金额是2340元，购进150袋甲种青团和60袋乙种青团的总金额是2220元．(1)求甲、乙两种青团每袋的单价分别是多少元；(2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种青团共150袋，若总金额不超过1750元，最少应购进多少袋甲种青团？15．（2025·广东深圳·二模）综合实践背景随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利．素材1某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等．素材2若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架．问题解决任务1A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？任务2若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本．

热点02方程与不等式的解法与应用热点聚焦方法精讲能力突破第一部分热点聚焦·析考情聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。第二部分题型引领·讲方法纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。题型01二元一次方程组的解法题型02分式方程的解法题型03不等式（组）的解法题型04一元二次方程中含参数问题题型05不等式（组）中含参数问题题型06二元一次方程组的应用题型07一元二次方程的应用题型08分式方程的应用题型09不等式（组）的应用第三部分能力突破·限时练精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。近三年：根据近几年广州中考试题，“方程与不等式的解法与应用”部分的考试方向是突出基础性与工具性。试题严格依据课标，注重对核心概念和基本解法的考查，并高度关注数学建模与实际应用，常结合生活情境（如行程、利润、配套问题）或广州本土文化背景设计应用题。在题型上，该板块分布广泛：选择题和填空题常考查不等式的基本性质、不等式组解集的数轴表示、分式方程增根检验以及方程与函数的简单综合；解答题中，第17-18题位置几乎每年必考方程（组）或不等式（组）的求解；此外，应用题也常以方程（组）或不等式为载体，考查学生建模能力。预测2026年：2026年的考试方向将延续“素养立意”，更加注重在真实情境和跨学科背景下考查学生的模型观念与应用意识。试题可能进一步创新设问方式，例如将方程与不等式结合，设计方案决策或最优化问题。考试题型预计保持稳定：选择题中仍会出现对不等式性质的辨析或方程解的判断；填空题可能涉及利用方程解决简单几何问题；解答题大概率继续考查方程（组）或分式方程的解法，而实际应用题则很可能结合最新时事（如科技发展、绿色出行）呈现，重在检验学生将实际问题抽象为方程（组）或不等式模型并求解的能力。题型01二元一次方程组的解法解｜题｜策｜略1.灵活选择消元法：根据方程组特征选择方法。若同一未知数系数互为相反数或相等，优先用加减消元法；否则可用代入消元法，将其中一个方程变形代入另一方程求解。2.规范求解步骤：按“消元—解一元一次方程—回代求另一未知数”的流程操作，确保每一步计算准确。3.注意检验结果：将求得的解代入原方程组进行检验，看是否满足每个方程，避免计算失误。例1（2025·广东广州·三模）解方程组：【答案】．【分析】此题考查了解二元一次方程组．方程组利用加减消元法求出解即可．【详解】解：，，得，解得，将代入②得，方程组的解为．例2（2025·广东广州·三模）解方程组：【答案】【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可．【详解】解：得：，解得，把代入①得：，解得，∴原方程组的解为．【变式1】（2025·广东广州·二模）解方程组：【答案】【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，理解二元一次方程组的解法是解答关键．由求出的值，再将的值代入②中求出即可求解．【详解】解：由得：，解得：，将代入②得：，解得：，故原方程组的解为．【变式2】（2025·广东广州·二模）解方程组：．【答案】【分析】本题主要考查了求二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握求二元一次方程组的解的步骤．利用求二元一次方程组的解的步骤进行求解即可．【详解】解：得，解得，将代入①得，，所以原方程组的解为．题型02分式方程的解法解｜题｜策｜略1.去分母转化为整式方程：先确定最简公分母，若分母是多项式则需因式分解；方程两边同时乘最简公分母，注意不要漏乘常数项或整式部分。2.规范求解与符号处理：去括号时若括号前是负号，括号内每一项均要变号；按解整式方程的步骤求解后，需将解代入最简公分母检验。3.务必检验根的情况：代入最简公分母检验，若其值不为0则是原方程的解；若为0则是增根需舍去，确保答案正确。例1（2025·广东广州·二模）解方程．【答案】【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．【详解】解：方程两边乘以，得，解得，检验：当时，，∴是原方程的解．例2（2025·广东广州·二模）解方程：．【答案】【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解，所以原方程的解为．【变式1】（2024·广东广州·模拟预测）解方程：【答案】【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行计算，最后进行检验即可．【详解】解：，，，，，．经检验，是原分式方程的解，∴原分式方程的解为．【变式2】（2025·广东广州·二模）解方程：【答案】无解【分析】本题考查了解分式方程，去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程并检验即可．【详解】解：去分母得到，解得，当时，∴是增根，分式方程无解题型03不等式（组）的解法解｜题｜策｜略1.规范求解步骤：解一元一次不等式时，按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行，特别注意系数化为负数时不等号方向要改变。2.借助数轴定解集：解不等式组时，先分别求出每个不等式的解集，再在数轴上表示，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”的口诀确定公共部分。3.结合图像解综合题：对于与函数结合的不等式问题，运用“要解不等关系先解相等关系”的思路，通过函数图像交点确定取值范围。例1（2025·广东广州·三模）解不等式组：【答案】【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集．【详解】解：，由①，得：；由②，得：；∴不等式组的解集为．例2（2025·广东广州·三模）解不等式组：【答案】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出两解集的公共部分，来确定出不等式组的解集．【详解】解：∵∴，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组的解集为．【变式1】（2025·广东广州·中考真题）解不等式组，并在数轴上表示解集．【答案】，画图见解析【分析】本题考查解不等式组和用数轴表示不等式组的解集，需要注意用数轴表示解集的时候实心点和空心点的区别．分别求出每一个不等式的解集，根据数轴，确定不等式组的解集即可．【详解】解：，由①得：，由②得：，将不等式组的解集表示在数轴上如下：则不等式组解集为．【变式2】（2025·广东广州·二模）解不等式组，并在数轴上表示解集【答案】，见解析【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式组的解集为，数轴表示如下所示：题型04一元二次方程中含参数问题解｜题｜策｜略1.紧扣判别式定范围：根据方程根的情况（两个不等实根、相等实根、无实根），利用判别式Δ=b²-4ac建立不等式或等式，求出参数的取值范围。2.结合根与系数关系：运用韦达定理（x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a）表示含参数的对称式，再代入条件求解。3.注意分类讨论思想：当二次项系数含参数时，需先讨论系数是否为0（分一元一次方程和一元二次方程两种情况），再运用判别式求解。例1（2025·广东广州·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．【答案】且m≠-9【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，再由判别式可得，据此求解即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，∴且m≠-9，故答案为：且m≠-9．例2（2025·广东广州·模拟预测）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．【答案】【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据题意得，求解得出的取值范围即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得，，故答案为：．【变式1】（2024·广东广州·二模）已知是关于x的方程的根，则常数k的值为________．【答案】0或1【分析】本题考查了方程的解，解一元二次方程．先将代入求出关于k的一元二次方程，再因式分解法求解即可．【详解】∵是关于x的方程的根，∴，即，解得，故答案为：0或1．【变式2】（2024·广东深圳·三模）对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为__________．【答案】6【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系．判断出，，再根据新定义计算即可．【详解】解：方程的解为、，，，∴．故答案为：6．题型05不等式（组）中含参数问题解｜题｜策｜略1.借助数轴定范围：将含参不等式（组）的解集在数轴上直观表示，根据“覆盖区间”确定参数的位置，利用数形结合列出关于参数的不等式。2.抓住临界点讨论：重点关注不等式取等号的临界值，验证该点是否满足题意。当参数取值变化导致不等号方向改变时，需分类讨论。3.转化为方程求解：根据已知解集或整数解的个数，将参数问题转化为方程问题，建立关于参数的等式或不等式组，再求解。例1（2025·广东广州·模拟预测）关于的不等式的解集如图所示，则的取值范围是______．【答案】【分析】本题考查根据不等式的解集求参数的范围，用数轴表示不等式的解集，由数轴可知，不等式的解集为：，进而得到，即可得出结果．【详解】解：由图可知：不等式的解集为：，∴，∴；故答案为：．例2（2025·广东惠州·二模）若关于的不等式组无解，则的取值范围为___________．【答案】【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式中对应不等式的解集，再根据大大小小找不到（无解）的口诀求解即可．【详解】解：解不等式②得：，∵原不等式组无解，∴，故答案为：．【变式1】（2025·广东韶关·一模）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是______．【答案】【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于a的不等式，解不等式即可得到答案．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∵关于的不等式组的解集为，∴，∴，故答案为：．【变式2】（2024·广东梅州·模拟预测）若关于x的不等式组的所有整数解的和是12，则m的取值范围是____________．【答案】或【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解集、整数解，根据整数解和解集确定待定字母的取值范围，在确定的过程中，不等号的选择应认真细心，切实选择正确．解不等式组得出解集，根据整数解的和为12，可以确定整数解为①或②5，4，3，2，1，0，，再根据解集确定m的取值范围即可．【详解】解：解不等式组，解得：，∵所有整数解的和是12，且或∴不等式组的整数解为①或②5，4，3，2，1，0，∴或；故答案为：或．题型06二元一次方程组的应用解｜题｜策｜略1.审题找等量关系：仔细阅读题目，抓住关键语句，找出表示等量关系的词语（如“共”、“比……多/少”、“是……的几倍”等），设出未知数。2.列方程组求解：根据找到的等量关系列出方程组，选择代入消元法或加减消元法准确求解，注意单位统一。3.检验答案合理性：将解代入原方程检验，并结合实际情境判断是否符合题意（如数量应为正整数、价格应为正数等）。例1（2025·广东广州·模拟预测）陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法器凝聚能量：2个“乾坤圈”和5个“风火轮”同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个“乾坤圈”和2个“风火轮”联合运转1小时，能产生26单位净化能量．(1)单个“乾坤圈”和单个“风火轮”每小时各能产生多少单位净化能量？(2)结界需要450单位能量才能完全净化．若哪吒一次最多能启动18个法器（“乾坤圈”和“风火轮”），法器持续运转5小时，问哪吒最少要启动几个“乾坤圈”才能完全净化结界？【答案】(1)单个“乾坤圈”每小时各能产生6单位净化能量，单个“风火轮”每小时各能产生4单位净化能量(2)9个【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．（1）设单个“乾坤圈”每小时凝聚x单位净化能量，单个“风火轮”每小时凝聚y单位净化能量，根据题意列出方程组，解方程，即可求解；（2）设哪吒启动m个“乾坤圈”，则启动个“风火轮”，根据5个小时至少产生450单位能量，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．【详解】（1）解：设单个“乾坤圈”每小时凝聚x单位净化能量，单个“风火轮”每小时凝聚y单位净化能量，根据题意得：，解得：答：单个“乾坤圈”每小时能凝聚6单位净化能量，单个“风火轮”每小时能凝聚4单位净化能量；（2）解：设哪吒启动m个“乾坤圈”，则启动个“风火轮”，根据题意得：，解得：，∴m的最小值为9，答：哪吒最少要启动9个“乾坤圈”才能完全净化结界．例2（2024·广东广州·一模）某科创公司计划投入一笔资金购进A，B两种型号的芯片．已知购进2片A型芯片和1片B型芯片共需900元，购进1片A型芯片和3片B型芯片共需950元．(1)求购进1片A型芯片和1片B型芯片各需多少元？(2)若该科创公司计划购进A，B两种型号的芯片共10万片，根据生产的需要，购进A型芯片的数量不低于B型芯片数量的4倍，问该公司如何购买芯片所需资金最少？最少资金是多少万元？【答案】(1)购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元；(2)该公司购买型芯片8万片，型芯片2万片所需资金最少,最少资金是万元．【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，正确理解题意，找出数量关系是解题关键．（1）设购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元，根据“购进2片型芯片和1片型芯片共需900元，购进1片型芯片和3片型芯片共需950元”列二元一次方程组求解即可；（2）设购进型芯片的数量为万片，则购进型芯片数量为万片，根据“购进型芯片的数量不低于型芯片数量的4倍”列不等式，求出的取值范围，令购买芯片所需资金为，根据题意得到关于的一次函数，利用一次函数的增减性求解即可．【详解】（1）解：设购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元，由题意得：，解得：，答：购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元；（2）解：设购进型芯片的数量为万片，则购进型芯片数量为万片，由题意得：，解得；，令购买芯片所需资金为，则，，随的增大而增大，当时，最小，最小值为万元，万片，答：该公司购买型芯片8万片，型芯片2万片所需资金最少,最少资金是万元．【变式1】（2025·广东广州·二模）某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有、两种组合方式，其中组合有枚糯米咸鹅蛋和个肉粽，组合有枚糯米咸鹅蛋和个肉粽，、两种组合的进价和售价如表：价格进价（元件）售价（元件）(1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？(2)根据市场需求，超市准备的种组合数量是种组合数量的倍少件，且两种组合的总件数不超过件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件种组合？最大利润为多少？【答案】(1)每枚糯米咸鹅蛋的进价是元，每个肉粽的进价是元(2)为使利润最大，该超市应准备件种组合，最大利润为元【分析】设每枚糯米咸鹅蛋的进价为元，每个肉粽的进价为元，根据，两种组合的进价，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；设该超市准备件种组合，则该超市准备件种组合，根据准备的两种组合的总件数不超过件，列出关于的一元一次不等式，解之得出的取值范围，再设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件组合的销售利润准备数量每件组合的销售利润准备数量，列出关于的函数关系式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题．【详解】（1）解：设每枚糯米咸鹅蛋的进价为元，每个肉粽的进价为元，根据题意得：，解得：，答：每枚糯米咸鹅蛋的进价为元，每个肉粽的进价为元；（2）设该超市准备件种组合，则该超市准备件种组合，根据题意得：，解得：，设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为元，则，，随的增大而增大，当时，取得最大值，最大值．答：为使利润最大，该超市应准备件种组合，最大利润为元．【变式2】（2025·广东广州·三模）学校决定按年级开展师生研学活动，该校八年级师生共人将参加研学活动，计划租用辆大客车，现有甲、乙两种型号的大客车，它们的满座载客量和租车费用如表：甲型号大客车乙型号大客车满座载客量（人辆）租车费用（元辆）(1)若租用的辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地，求应分别租用甲、乙型号的大客车多少辆？(2)设租用甲型号大客车辆，租车总费用为元，当租用甲型号大客车多少辆时，租车的总费用最少，最少费用是多少？【答案】(1)租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆；(2)租用甲型号大客车辆时，租车的总费用最少，最少费用是元．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握相关知识的应用是解题的关键．（）设租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆，根据题意得，然后解方程即可；（）根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时值最小，求出其最小值即可．【详解】（1）解：设租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆，根据题意，得，解得，答：租用甲型号大客车辆，租用乙型号大客车辆；（2）解：租用乙型号大客车辆，根据题意，得，解得，∴，，∵，∴随的增大而增大，∴当时，值最小，为，答：当租用甲型号大客车辆时，租车的总费用最少，最少费用是元．题型07一元二次方程的应用解｜题｜策｜略1.审题建模找等量关系：仔细阅读题目，抓住关键词（如“增长”、“下降”、“面积”、“利润”等），设出未知数，根据问题情境建立一元二次方程模型。2.正确列方程并求解：增长率问题通常可列形如a(1±x)2=b的方程；面积问题常结合几何图形公式列方程；选择合适方法（因式分解法、公式法等）准确求解。3.检验解的合理性：求出方程的解后，务必代入原题检验，舍去不符合实际意义的解（如增长率不能为负、边长不能为负等）。例1（2025·广东广州·二模）某中学开展“莲韵文化”手工实践活动，同学们制作不同工艺等级的莲花灯．基础款为第1级，每盏利润10元，每天可制作50盏．每提升1个工艺等级，单盏利润增加2元，日产量减少4盏．(1)若某天手工社团获得总利润588元请问他们制作的是第几个工艺等级的莲花灯（工艺等级从第1级开始依次递增）？(2)若社团希望获得最大日利润，应选择第几工艺等级？此时最大日利润是多少元？【答案】(1)他们制作的是第个工艺等级的莲花灯(2)社团希望获得最大日利润，应选择第5工艺等级，最大利润为612元【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出方程和函数解析式，是解题的关键：（1）设他们制作的是第个工艺等级的莲花灯，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可；（2）设总利润为，选择第个工艺等级，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，求最值即可．【详解】（1）解：设他们制作的是第个工艺等级的莲花灯，由题意，得：，解得：或（不合题意，舍去）；答：他们制作的是第个工艺等级的莲花灯；（2）设总利润为，选择第个工艺等级，由题意，得：，∴当时，函数取的最大值，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，∵为整数，∴时，；时，；故社团希望获得最大日利润，应选择第5工艺等级，最大利润为612元．例2（2024·广东广州·一模）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：销售价格x（元/千克）日销售量y（千克）(1)试求出y关于x的函数表达式；(2)当该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为2000元时，请求出销售价格．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用；（1）根据表格数据，待定系数法求解析式，即可求解；（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为，将代入，得，解得：，∴；（2）解：依题意，，即，解得：或（舍去）答：销售价为元/千克．【变式1】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值．【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时(2)的值为【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用．（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度；（2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，（千米小时）．答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时；（2）根据题意得：，即，解得：，（不符合题意，舍去）．答：的值为．【变式2】（2024·广东广州·二模）为满足市场需求，某超市购进一种水果，每箱进价是元．超市规定每箱售价不得少于元且不得多于元，根据以往经验发现：当售价定为每箱元时，每天可以卖出箱．每箱售价每提高1元，每天要少卖出箱．(1)如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为多少元？(2)当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润y（元）最大？最大利润是多少？【答案】(1)如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为元(2)当每箱售价定为元时，每天的销售利润y最大，最大利润是元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键．（1）设售价定为元，且，依题意得，，整理得，，计算求出满足要求的解即可；（2）依题意得，，由，可知当时，y随x的增大而增大，即当时，y有最大值，然后计算求解即可．【详解】（1）解：设售价定为元，且，依题意得，，整理得，，解得，或（舍去），答：如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为元．（2）解：依题意得，，∵，∴当时，y随x的增大而增大．∵，∴当时，y有最大值，最大值为，∴当每箱售价定为元时，每天的销售利润y最大，最大利润是元．题型08分式方程的应用解｜题｜策｜略1.审题建模找等量关系：仔细阅读题目，抓住关键词（如“同时到达”、“提前”、“比……多用”等），找出隐含的相等关系，设出未知数列出方程。2.正确列方程并求解：根据行程问题、工程问题或销售问题中的基本数量关系（如时间=路程÷速度）列出分式方程，注意单位统一。3.“双检验”确保合理性：既要检验解是否为原分式方程的解，又要检验解是否符合实际意义（如速度、时间不能为负）。例1（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．【答案】(1)元(2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用；（1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可；（2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可．【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．∴用智能机器人采摘的成本是（元）；（2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；∴，解得：，经检验是原方程的解且符合题意；∴（千克），答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．例2（2024·广东广州·二模）某中学决定购买A，B两种型号的毛绒玩具奖励给表现优异的学生．已知一个B型毛绒玩具比一个A型毛绒玩具贵30元，且用900元购买A型毛绒玩具的数量和用1800元购买B型毛绒玩具的数量相等．(1)求A型、B型毛绒玩具的单价；(2)学校计划采购A型和B型毛绒玩具共100个，且A型毛绒玩具的数量不超过B型毛绒玩具数量的2倍，要想花费的资金总额最少，则最多购买A型毛绒玩具多少个？资金总额最少为多少元？【答案】(1)A型的单价是30元，B型的单价是60元；(2)最多购买A型66个，资金总额最少为4020元．【分析】本题考查了分式方程，不等式的解法，一次函数的性质应用，熟练掌握解分式方程，不等式，活用一次函数的性质是解题的关键．（1）设A型的单价是x元，则B型的单价是元，根据题意，列出方程，即可求解；（2）设购买A型a个，则B型的个．根据题意，列出不等式，可得设花费的资金总额为W元，可得到W关于a的函数关系式，然后根据一次函数的性质解答即可．【详解】（1）解：设A型的单价是x元，则B型的单价是元，根据题意，得，解得，经检验，是所列分式方程的根，（元），∴A型的单价是30元，B型的单价是60元．（2）解：设购买A型a个，则B型的个．根据题意，得：，解得，设花费的资金总额为W元，则，∵，∴W随a的增大而减小，∵且a为整数，∴当时，W取最小值，，∴要想花费的资金总额最少，则购买A型66个，资金总额最少为4020元．【变式1】（2025·广东广州·三模）2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是．(1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？(2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？(3)市场优惠促销，购买个主控芯片赠送个传感器模块．该公司发放活动经费元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作、机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩个．如果一个和一个机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？【答案】(1)主控芯片单价为元，传感器模块单价为元；(2)制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个(3)最多可生产85套机器人【分析】本题主要考查分式方程和二元一次方程组的应用，读懂题意是解答本题的关键．（1）设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片列分式方程求解即可；（2）设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是列出二元一次方程组求解即可；（3）采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块，主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人．【详解】（1）解：设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据题意得：解得：经检验，是原方程的解，且符合题意，∴主控芯片单价为（元）答：主控芯片单价为元，传感器模块单价为元；（2）解：设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据题意得，解得：，故制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个，答：制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个；（3）解：采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块，主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人．答：最多可生产85套机器人．【变式2】（2025·广东广州·二模）某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块不知规格的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长决定带领小组成员测量它的最大电阻．他们将两节的干电池（总电压为3V），一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路（电池和电流表的内阻忽略不计）．若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了．知识小链接：①导体两端的电压U（），导体的电阻，通过导体的电流I（A），满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．(1)求滑动变阻器的最大电阻；(2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？【答案】(1)．(2)学校买这批仪器至少要花费670元．【分析】本题主要考查欧姆定律、分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质．解题关键在于理解电路中电阻与电流的关系，利用条件准确列出分式方程求解电阻值；通过设未知数建立函数和不等式模型，结合函数性质求出费用最小值．（1）设滑动变阻器最大电阻为，分别表示出滑动变阻器滑片在不同位置时的电阻，再结合两种情况下电流的差值为列出分式方程，求解并检验得到滑动变阻器的最大电阻．（2）通过设未知数建立函数关系来求解费用最小值．设购买电流表个，总花费为元，则购买滑动变阻器个．根据滑动变阻器数量不少于电流表数量的倍列出不等式，确定的取值范围．再根据单价列出总费用关于的一次函数表达式，利用一次函数的性质（当时，随的增大而减小），在的取值范围内找到使最小的值，进而求出最小花费．【详解】（1）解：设滑动变阻器的最大电阻是．由题意可列方程：，解得：，经检验，是原方程的根．答：滑动变阻器的最大电阻为．（2）解：设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个．由题意知：，解得：，总费用，即，∵，∴y随m的增大而减小．∵m是整数，∴当时，y最小，此时，（元），答：学校买这批仪器至少要花费670元．题型09不等式（组）的应用解｜题｜策｜略1.审题建模抓关键词：仔细阅读题目，抓住“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等关键词，找出隐含的不等关系，设出未知数列出不等式（组）。2.结合实际列式求解：根据利润、行程、方案选择等实际问题中的数量关系列出不等式，准确求解并注意不等号方向的正确处理。3.检验作答保合理：求出解集后，结合实际问题背景检验解的合理性（如人数应为整数、价格应为正数等），最后写出符合题意的答案。例1（2025·广东广州·三模）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量（千克）与销售价格（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如表所示：销售价格（元/千克）3545日销售量（千克）250150(1)试求出关于的函数表达式．(2)经过市场调查，经销商发现每日该种鱼销售量不超过，请问该经销商最低能将售价定为多少元？【答案】(1)(2)经销商最低能将售价定为40元【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，读懂题意找到关系式是解题的关键．（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出y关于x的函数表达式；（2）代入，可得出关于x的一元一次不等式，求解取其中的最小值，即可得出结论．【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为，将，代入得：，解得：，∴y关于x的函数表达式为（2）当时，，解得：，∴x的最小值为40．答：该经销商最低能将售价定为40元．例2（2025·广东广州·二模）2025年国家卫健委建议实施“体重管理年”三年行动．某校要组织学生外出研学，根据营养师的建议准备了两种食品作为午餐．餐每包的热量为700千焦，蛋白质为5克．餐每包热量为800千焦，蛋白质为10克．(1)若要从这两种食品中摄入3700千焦热量和35克蛋白质，应选用两种食品各多少包？(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午䬸选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于55克，且热量最低，应如何选用这两种食品？【答案】(1)选用A种食品3包，B种食品2包(2)选用A种食品3包，B种食品4包【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可；（2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求出，再设总热量为，得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解．【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得，解方程组，得，答：选用A种食品3包，B种食品2包．（2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据题意，得，∴，设总热量为，则，∵，∴w随a的增大而减小，∴当时，w最小，∴，答：选用A种食品3包，B种食品4包．【变式1】（2025·广东广州·二模）为响应“碳达峰，碳中和”的目标．某新能源公司推广智能充电桩建设，已知建设充电桩的总成本（万元）与充电桩数量（个）之间存在一次函数关系，10个充电桩的总成本为12万元，20个充电桩的总成本为22万元．(1)求这个一次函数解析式；(2)若每安装一个充电桩，公司可获得0.7万元的补贴，且本补贴可直接抵扣建设成本．该公司预计出资30万元建设充电桩，则最多能建设多少个充电桩?【答案】(1)(2)最多能建设93个充电桩【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出函数关系式求解即可．（1）设一次函数解析式为，把代入函数关系式，求出的值即可；（2）根据“实际出资≤预计出资+获得的补贴”列出不等式求解即可．【详解】（1）解：设一次函数解析式为，把代入函数关系式，得：，解得，所以，一次函数解析式为；（2）解：设最多能建设x个充电桩，根据题意得，，解得，，∵是整数，∴的最大值为：93，故最多能建设93个充电桩．【变式2】（2025·广东广州·二模）某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规15个，乙种圆规20个，需要310元；若购进甲种圆规20个，乙种圆规30个，需要440元．(1)求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；(2)文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，且购进两种圆规所用费用不超过964元，那么这个文具店购进甲种圆规的方案有几种？【答案】(1)购进甲圆规的单价为10元，乙圆规的单价为8元(2)这个文具店购进甲种圆规的方案有种，分别是购进甲种圆规个，个，个【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）设购进甲圆规的单价为x元，乙圆规的单价为y元，根据“若购进甲种圆规15个，乙种圆规20个，需要310元；若购进甲种圆规20个，乙种圆规30个，需要440元”，可列关于x、y的二元一次方程组，求解即可；（2）设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个，根据“销售这两种圆规的总利润不低于480元，且购进两种圆规所用费用不超过964元”列出关于m的不等式组，求解，再根据为正整数，即可解答．【详解】（1）解：设购进甲圆规的单价为x元，乙圆规的单价为y元，根据题意，得，解得，答：购进甲圆规的单价为10元，乙圆规的单价为8元；（2）解：设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个，根据题意，得，解得，∵为正整数，则，∴这个文具店购进甲种圆规的方案有种，分别是购进甲种圆规个，个，个．（20分钟限时练）一、单选题1．（2025·广东广州·三模）若，根据不等式的性质，下列变形正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项判断即可．【详解】解：A、由可得，，，无法得出，选项错误；B、由可得，，选项错误；C、由可得，，选项正确；D、由可得，当时，；当时，；当时，，选项错误；故选：C．2．（2025·广东广州·二模）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】本题考查了二元一次方程的解．直接将代入求解即可．【详解】解：将代入得：，解得：．故选：B．3．（2025·广东广州·二模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．根据方程有两个相等的实数根，计算根的判别式得关于的方程，求解方程即可．【详解】解：，方程有两个相等的实数根，，，解得：．故选：B．4．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可．【详解】解：，由得：，方程组的解满足，，解得：，整数m的最小值为2，故选：B．5．（2024·广东广州·二模）如果关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为（）A．12 B．16 C．18 D．20【答案】B【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法和分式方程的解法，解不等式组可得，解分式方程可得，再结合已知不等式组和分式方程解的情况即可求解．【详解】解：不等式组整理得：，解得：，由不等式组有且只有两个奇数解，得到，解得：，即整数，3，4，5，6，7，8，9，分式方程去分母得：，解得：，由分式方程解为非负整数，得到，6，8，之和为16，故选：B．二、填空题6．（2024·广东广州·二模）一元二次方程的解是__________．【答案】，【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，由可得出即可求解．【详解】解：，∴或，∴，，故答案为：，．7．（2024·广东广州·一模）某公司在2024年1月份的营业额为25万，3月份的营业额为36万，设该公司营业额的月平均增长率为，则可列方程为______．【答案】【