2025-2026学年广东广州仲元中学九年级下学期一模前适应性联考数学试题含答案

初中广东仲元中学集团2025-2026学年度第二学期初三年级一模前适应性联考数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.分形图形是一种具有自相似性的图形．下列四个分形图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.我国的天舟一号在文昌航天发射中心由长征七号遥二运载火箭成功发射升空，假设某航天器运行轨道为距地430000米高度，则数据430000用科学记数法表示为（）A. B.C. D.3.下列运算正确的是（）A B.C. D.4.化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点O固定，测得C，D之间的距离即内径的长度．此方案依据的数学定理是（）A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边5.科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的．种类甲种类乙种类丙种类丁种类平均数2.32.3283.1方差1.050.781.050.78A.甲种类 B.乙种类 C.丙种类 D.丁种类6.如图，线段的两端点的坐标分别为、，以点为位似中心，在点的同一侧将线段缩小为原来的后，得到线段，则端点的坐标为（）．A. B. C. D.7.如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（）．A. B.C.点D为弦中点 D.点E为劣弧的中点8.如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象相交于点A(﹣1，y1)、B(1，y2)、C(3，y3)三个点，则不等式ax2+bx+c＞的解集是（）A.﹣1＜x＜0或1＜x＜3 B.x＜﹣1或1＜x＜3C.﹣1＜x＜0或x＞3 D.﹣1＜x＜0或0＜x＜19.魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积．如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（）A.1 B. C.3 D.410.如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与轴交于点D，E．过点作轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；②无论x取何值，总是负数；③当时，随着x的增大，的值先增大后减小；④四边形为正方形．其中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11分解因式：______．12.若二次函数的图象同时满足下列条件：①开口向下：②对称轴是轴；③轴交于正半轴，这样的二次函数的解析式可以是______．（写出一个具体的函数解析式）13.如图，中，分别是和平分线，过O点的直线分别交于点D、E，且．若，则的周长为_____．14.如图，圆的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°，若将扇形BAC剪下，围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为_____．15.某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米）16.【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：．【应用体验】已知，则m的值为________三、解答题（共9题，共72分）17.解方程组：．18.如图，在菱形中，分别是边、上的点，，连接，交于点．求证：．19.已知：（1）化简A；（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．条件①：若点是反比例函数图象上的点；条件②：若a是方程的一个根．20.2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：A：决策类人工智能；B：人工智能机器人；C：语音类人工智能；D：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．（1）①此次共调查了_____人；②扇形统计图（图2）中C类对应的圆心角度数为_____°．（2）将表示四个类型的字母A，B，C，D依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率．21.用电脑程序控制甲、乙两种小型赛车进行比赛，已知甲型赛车的平均速度为，练习中发现，两辆车同时从起点出发，甲型赛车到达终点时，乙型赛车离终点还差．（1）求乙型赛车的平均速度；（2）如果两车重新开始比赛时，甲型赛车从起点向后退了一定距离与乙型赛车同时出发，最后也恰好同时到达终点，直接写出甲型赛车从起点后退的距离为______．22.小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示．

时间里程分段速度档跑步里程小明不分段A档4000米小丽第一段B档1800米第一次休息第二段B档1200米第二次休息第三段C档1600米（1）求A，B，C各档速度（单位：米/分）；（2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；（3）小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值．23.如图，在中，．（1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全．（2）推理与计算：在（1）的条件下，若．①求证：直线是的切线；②若，，求的半径．24.我们把一直角边是另一直角边2倍的直角三角形称为“倍勾三角形”，如图1，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=45°，CD⊥AB于D．P是射线AB上的一个动点（不与D重合），E是线段PC的中点，将点E绕点P顺时针方向旋转90°得到点F，连接FB，FC，FP．（1）下列三角形：①△PCF，②△BCD，③△ACD，其中是“倍勾三角形”的有__________（填序号）；（2）求证：CB⊥BF；（3）连接FA，如图2，当F，E，A三点在一直线上时，△BCF是否为“倍勾三角形”，如果是，请证明；如果不是，求的值．25.【项目式学习】【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型，菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．【项目素材】素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点．素材二：乙小组测得种植农民身高为米，他常常往返于菜地之间．素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．【项目任务】（1）任务一：丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆的顶部F处，木杆高米，距离喷水口米，求出水柱所在抛物线的函数解析式．（2）任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，求p的取值范围．（3）任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米？（直接写出答案，精确到米）．

广东仲元中学集团2025-2026学年度第二学期初三年级一模前适应性联考数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.分形图形是一种具有自相似性图形．下列四个分形图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键．【详解】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意；C．该图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意；D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．2.我国的天舟一号在文昌航天发射中心由长征七号遥二运载火箭成功发射升空，假设某航天器运行轨道为距地430000米高度，则数据430000用科学记数法表示为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．【详解】解：，故选：B．3.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．直接运用合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘法则逐项判断即可．【详解】解：A．，故A错误，不符合题意；B．，故B错误，不符合题意；C．，故C错误，不符合题意；D．，故D正确，符合题意．故选D．4.化学老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的任务．如图，小明将两根小棒，的中点O固定，测得C，D之间的距离即内径的长度．此方案依据的数学定理是（）A.边角边 B.角边角 C.边边边 D.角角边【答案】A【解析】【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．【详解】解：由题意得：，∴在和中，，∴，∴；∴此方案依据的数学定理是边角边；故选A．5.科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的．种类甲种类乙种类丙种类丁种类平均数2.32.32.83.1方差1050.781.050.78A.甲种类 B.乙种类 C.丙种类 D.丁种类【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可．解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【详解】解：∵由表格可知四种花开花时间最短的为甲种类和乙种类，四种花的方差最小的为乙种类和丁种类，方差越小越稳定，∴乙种类开花时间最短的并且最平稳的，故选：B．6.如图，线段的两端点的坐标分别为、，以点为位似中心，在点的同一侧将线段缩小为原来的后，得到线段，则端点的坐标为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可知，点是线段的中点，使用中点公式即可得到点的坐标．【详解】解：∵线段由线段以点为位似中心，缩小为原来的后得到，且与在点的同一侧，∴点是线段的中点，∴点的坐标为，即．7.如图，在中，以为直径的经过点C，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点P，画射线分别交弦、劣弧于点D、E，连接．下列结论正确的是（）．A. B.C.点D为弦中点 D.点E为劣弧的中点【答案】D【解析】【分析】本题考查了角平分线的作图、圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据作图推出，得出，即可作答．【详解】解：由作图可知，∴，即点为劣弧的中点．故选：D．8.如图，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝图象相交于点A(﹣1，y1)、B(1，y2)、C(3，y3)三个点，则不等式ax2+bx+c＞的解集是（）A.﹣1＜x＜0或1＜x＜3 B.x＜﹣1或1＜x＜3C.﹣1＜x＜0或x＞3 D.﹣1＜x＜0或0＜x＜1【答案】A【解析】【分析】利用函数图象，写出抛物线在双曲线上方所对应的自变量的范围即可．【详解】解：当或时，抛物线在双曲线上方，所以不等式的解集为或．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组，解题的关键是掌握对于二次函数、、是常数，与不等式的关系可以利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，利用交点直观求解．9.魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积．如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（）A.1 B. C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．过作于，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：如图，过作于，圆的内接正十二边形的圆心角为，，，，这个圆的内接正十二边形的面积为，故选：C10.如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与轴交于点D，E．过点作轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；②无论x取何值，总是负数；③当时，随着x的增大，的值先增大后减小；④四边形为正方形．其中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】①先求抛物线的解析式，再根据抛物线的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；②根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；③先根据题意得出时，观察图像可知，然后计算，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可．【详解】①抛物线与抛物线交于点，，即，解得，抛物线，抛物线的顶点，抛物线的顶点为，将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为，即抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，故①正确；②，，，无论取何值，总负数，故②正确；③，将代入抛物线，解得，，将代入抛物线，解得，，，从图像可知抛物线的图像在抛物线图像的上方，当，随着的增大，的值减小，故③不正确；④设与轴交于点，，，由③可知，，，，当时，，即，，，四边形是平行四边形，，四边形是正方形，故④正确，综上所述，正确的有①②④，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解即可．【详解】解：．12.若二次函数的图象同时满足下列条件：①开口向下：②对称轴是轴；③轴交于正半轴，这样的二次函数的解析式可以是______．（写出一个具体的函数解析式）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象特征及性质，掌握二次函数的图象特征及性质是解题的关键.根据抛物线开口方向，得出的取值范围，由轴交于正半轴，进而得出的取值范围，由对称轴是轴，得的值，即可得出二次函数表达式.【详解】解：∵图象为开口向下，并且与轴交于正半轴，∴，，∵对称轴是轴，，∴，∴，∴二次函数表达式为：（答案不唯一）．故答案为（答案不唯一）．13.如图，中，分别是和的平分线，过O点的直线分别交于点D、E，且．若，则的周长为_____．【答案】18【解析】【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，证明三角形是等腰三角形是解题的关键．根据已知利用平行线的性质及等角对等边、角平分线的定义证明出，，再由三角形周长公式求解即可．【详解】解：∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴，∴三角形的周长为．故答案为：．14.如图，圆的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°，若将扇形BAC剪下，围成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为_____．【答案】【解析】【分析】由题意根据圆的半径为2，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π进行计算即可求解．【详解】解：作OD⊥AC于点D，连接OA，∴∠OAD=30°，AC=2AD，∴AC=2OA×cos30°=2，∴，∴圆锥的底面圆的半径．故答案为：．【点睛】本题考查圆锥的计算；注意掌握圆锥的侧面展开图弧长等于圆锥的底面周长；解题的关键是得到扇形的半径．15.某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米）【答案】【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作于点，由题意，得，线段的和差求出的长，解，求出的长即可．添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键．【详解】解：过点作于点，则：米，∵米，∴米，在中，，∴米；故答案为：．16.【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：．【应用体验】已知，则m的值为________【答案】【解析】【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解．【详解】解：，，，故答案为：．三、解答题（共9题，共72分）17.解方程组：．【答案】【解析】【分析】本题可采用代入消元法或加减消元法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，这里选择代入消元法：先由一个方程变形得到用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，再代入另一个方程消去一个未知数，求出一个未知数的值后，回代求出另一个未知数的值．【详解】解：，由①得，将③代入②得，解得，将代入③得，所以方程组的解为．18.如图，在菱形中，分别是边、上的点，，连接，交于点．求证：．【答案】证明见解析．【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，由菱形得到，利用“”即可证明，进而得到，掌握菱形的性质是解题的关键．【详解】证明：四边形是菱形，，在和中，，，．19.已知：（1）化简A；（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值．条件①：若点是反比例函数图象上的点；条件②：若a是方程的一个根．【答案】（1）（2）①②【解析】【分析】（1）根据分式通分、平方差公式化简即可；（2）根据反比例函数点的特征和一元二次方程解的定义即可求出，代入即可．小问1详解】解：；【小问2详解】解：①点是反比例函数图象上的点，∴，∴；②是方程的一个根，∴，∴，∴；【点睛】本题考查分式化简，涉及到反比例函数点的特征和一元二次方程的解，正确化简分式是关键．20.2025年1月20日，DeepSeek发布了其最新的推理大模型，又一次引起人们对人工智能的关注，人工智能是数字经济高质量发展的引擎．人工智能基于功能和应用领域可分为以下几类：A：决策类人工智能；B：人工智能机器人；C：语音类人工智能；D：视觉类人工智能．某公司就“你最关注的人工智能类型”对员工进行了一次调查，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．（1）①此次共调查了_____人；②扇形统计图（图2）中C类对应的圆心角度数为_____°．（2）将表示四个类型的字母A，B，C，D依次写在四张卡片上，卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在平面上，从中随机抽取一张，记录卡片内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片内容不一致的概率．【答案】（1）①50；②72（2）【解析】【分析】（1）①利用A的人数除以其所占的百分比即可得到结论；②利用圆心角的意义解答即可；（2）利用画树状图法解答即可．【小问1详解】①解：根据题意，得（人）；②C类所占圆心角为：；【小问2详解】解：根据题意，画树状图如下：一共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容不一致的有12种，故抽取到的两张卡片内容不一致的概率为．21.用电脑程序控制甲、乙两种小型赛车进行比赛，已知甲型赛车的平均速度为，练习中发现，两辆车同时从起点出发，甲型赛车到达终点时，乙型赛车离终点还差．（1）求乙型赛车的平均速度；（2）如果两车重新开始比赛时，甲型赛车从起点向后退了一定距离与乙型赛车同时出发，最后也恰好同时到达终点，直接写出甲型赛车从起点后退的距离为______．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设乙型赛车的平均速度为，根据甲型赛车从起点到达终点时，两辆车所用时间相等，列出分式方程，解方程即可求解；（2）设甲型赛车从起点后退的距离为，根据题意，列出一元一次方程，解方程即可求解．【小问1详解】解：设乙型赛车的平均速度为由题意，得解得．检验：当时，，所以原方程的解为，且符合题意．答：乙型赛车的平均速度为．【小问2详解】设甲型赛车从起点后退的距离为，根据题意得，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．22.小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示．

时间里程分段速度档跑步里程小明不分段A档4000米小丽第一段B档1800米第一次休息第二段B档1200米第二次休息第三段C档1600米（1）求A，B，C各档速度（单位：米/分）；（2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；（3）小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值．【答案】（1）80米/分，120米/分，160米/分（2）5分（3）42.5【解析】【分析】此题考查函数图象获取信息，一元一次方程的应用，读懂图象中的数据是解本题的关键．（1）由小明的跑步里程及时间可得档速度，再根据C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分可得B，C档速度；（2）结合图象求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解；（3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为（分），可得方程，求解即可．【小问1详解】解：由题意可知，档速度为米/分，则档速度为米/分，档速度为米/分；【小问2详解】小丽第一段跑步时间为分，小丽第二段跑步时间为分，小丽第三段跑步时间为分，则小丽两次休息时间的总和分；【小问3详解】由题意可得：小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等，此时小丽在跑第三段，所跑时间为：（分）可得：，解得：．23.如图，在中，．（1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全．（2）推理与计算：在（1）的条件下，若．①求证：直线是的切线；②若，，求的半径．【答案】（1）见解析（2）①见解析；②【解析】【分析】本题考查了尺规作图中的画垂直平分线，垂径定理，圆周角定理，切线的判定．熟练掌握垂径定理，圆周角定理，切线的判定定理是解题的关键．（1）作的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，长为半径画圆，即可；（2）①连接，根据圆周角定理可得，再由，可得，即可求证；②设的半径为r，则，，在中，根据勾股定理求出r，即可．【小问1详解】解：如图所示，、点O、点D即为所求．【小问2详解】①证明：连接，，，，，，．又是的半径，直线是的切线．②解：设的半径为r，则，，在中，，即，解得，故的半径为．24.我们把一直角边是另一直角边2倍的直角三角形称为“倍勾三角形”，如图1，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=45°，CD⊥AB于D．P是射线AB上的一个动点（不与D重合），E是线段PC的中点，将点E绕点P顺时针方向旋转90°得到点F，连接FB，FC，FP．（1）下列三角形：①△PCF，②△BCD，③△ACD，其中是“倍勾三角形”的有__________（填序号）；（2）求证：CB⊥BF；（3）连接FA，如图2，当F，E，A三点在一直线上时，△BCF是否为“倍勾三角形”，如果是，请证明；如果不是，求的值．【答案】（1）①②；（2）证明见解析；（3）结论：△BCF不是“倍勾三角形”，=．【解析】【详解】分析：（1）求出AD、CD、DB的长即可判断；（2）由△CDB∽△CPF，推出∠CBD=∠MBP=∠CFB，由△MBP∽△MFC，推出，推出，又∠M=∠M，即可推出△MCP∽△MFB，推出∠MCP=∠MFB，又∠COB=∠FOP，即可推出∠CBO=∠OPF=90°；（3）由题意：PE=PF=CE，∠PEF=∠AEC=45°，设PF=PE=CE=a，由∠AEC=∠EAP+∠APE，∠CAD=∠CAD+∠EAP=45°，推出∠CAE=∠CPA，由∠ACE=∠ACP，推出△ACE∽△PCA，推出AC2=CE•CP，推出2a2=（2）2，推出a=2，推出PC=4，CD=2，PC=2CD，推出∠CPD=30°，∠DCP=∠BCF=60°，推出∠CFB=30°，推出BF=BC，推出△BCF不是“倍勾三角形”；详解：（1）如图1中，∵CD⊥AB，∠A=45°，AC=2，∴AD=CD=2，∴△ACD不是“倍勾三角形”．∵AB=3，∴BD=AB–AD=1，∴CD=2BD，∴△BCD是“倍勾三角形”，∵∠CPF=90°，PC=2PF，∴△PCF是“倍勾三角形”，故答案为①②．（2）如图1–1中，设BF交PC于O，延长CB交FP的延长线于M．∵△BCD，△CPF都是“倍勾三角形”，∴△CDB∽△CPF，∴∠CBD=∠MBP=∠CFP，∵∠BMP=∠CMF，∴△MBP∽△MFC，∴，∴，∵∠M=∠M，∴△MCP∽△MFB，∴∠MCP=∠MFB，∵∠COB=∠FOP，∴∠CBO=∠OPF=90°，∴CB⊥BF．（3）结论：△BCF不是“倍勾三角形”，理由：如图2，由题意：PE=PF=CE，∠PEF=∠AEC=45°，设PF=PE=CE=a，∵∠AEC=∠EAP+∠APE=45°，∠CAD=∠CAE+∠EAP=45°，∴∠CAE=∠CPA，∵∠ACE=∠ACP，∴△ACE∽△PCA，∴AC2=CE•CP，∴（2）2=2a2，∴a=2，∴PC=4，CD=2，PC=2CD，∴∠CPD=30°，∠DCP=∠BCF=60°，∴∠CFB=30°，∴BF=BC，∴△BCF不是“倍勾三角形