2025-2026学年广东省广州市番禺区仲元中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省广州市番禺区仲元中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列运算正确的个数是(

)

①(sinπA.1 B.2 C.3 D.42.若Cn+1n−1=28，则n=A.6 B.7 C.8 D.93.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d≥0”是“{A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若定义在(0,+∞)上的可导函数f(x)满足2f(x)+f(6−x)=3lnx，则函数f(x)在x=3处的瞬时变化率为(

)A.−14 B.18 C.15.10000的除去1和自己外的正因数的个数是(

)A.25 B.24 C.23 D.166.若两个整数a，b除以同一个正整数m所得的余数相同，则称a，b对模m同余，记作a≡b(modm)，如：4≡6(mod2)，1≡4(mod3).现将满足p≡2(mod4)的正整数p按从小到大的顺序排列得到数列{an}，则k=1A.5138 B.1069 C.5427.将1，2，3，4，5，6，7，8填入如图所示的方格中，每个方格填写1个数字，则仅有两列数字之和为9的填法有(

)A.576种 B.1152种 C.2304种 D.4608种8.定义在(0,π2)上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(x)<−tanx⋅A.f(π6)>2f(π4)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论中正确的有(

)A.若y=sinπ3，则y′=cosπ3 B.A73=710.已知等比数列{an}首项a1>1，公比为q，前n项和为Sn，前n项积为Tn，函数A.{lgan}为单调递增的等差数列 B.0<q<1

C.{Sn−a11−q11.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，f′(x)是f(x)的导函数，若xf(x)+x2f′(x)=e2x，且A.函数f(x)在定义域上单调递增

B.函数f(x)在定义域上有极小值

C.函数g(x)=xf(x)−e2lnx的单调递增区间为(1,+∞)

D.不等式三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=lnx+ mxx+1在定义域内单调递增，则实数m的取值范围是

．13.已知数列{an}与{bn}满足an+1+2bn=2bn+114.已知数列{an}满足an+1=ean−1(n∈N∗四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=4an+1．

(1)求数列{an}的通项公式；

16.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex，其中e是自然对数的底数．

(1)若f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，求函数g(x)的解析式以及最小值；

(2)若y=f(x)的图像与直线l：y=kx+1相切，求实数k17.(本小题15分)

现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？

(1)老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人；

(2)4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；

(3)2名老师之间必要有男女学生各1人．18.(本小题17分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1(n∈N∗)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn=5n−1，令cn19.(本小题17分)

已知a>0且a≠1，函数f(x)=ax+ln(1+x)−1．

(1)记an=f(n)−ln(n+1)+n，n∈N∗，Sn为数列{an}的前n项和.当a=89时，试比较S64与2024的大小，并说明理由；

参考答案1.A

2.B

3.B

4.D

5.C

6.C

7.D

8.C

9.BD

10.BCD

11.ACD

12.[−4,+∞)

13.(1314.−ln2

15.解：(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=4an+1，

当n=1时，2S1=2a1=4a1+1得a1=−12，

当n≥2时，2Sn−2Sn−1=4an+1−(4an−1+1)，得an=2an−1，

故数列{an}是以−12为首项，以2为公比的等比数列，

故数列{16.g(x)=ex+e−x2，最小值117.96；

1728；

3840．

18.解：等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1(n∈N∗)．

(1)由等差数列通项公式及求和公式可得，4a1+4×32d=4(2a1+2×12d)a1+(2n−1)d=2[a1+(n−1)d]+1，解得d=2，a1=1，

∴an=2n−1；

(2)由(1)知an=2n−1，bn=5n−1，

∴cn=anbn=(2n−1)×5n−1．

∴数列{cn}的前n项和T19.解：(1)∵an=f(n+1)−ln(n+1)+n=(89)n+n−1，

Sn为数列{an}的前n项和，

∴S64=89[1−(89)64]1−89+64(0+63)2=8−8×(89)64+64×632<8+2016=2024．

(2)证明：当a=1e时，f(x)=1ex+ln(1+x)−1,f′(x)=−1ex+11+x=ex−x−1ex(1+x)．

记g(x)=ex−x−1，g′(x)=ex−1．

当−1<x<0时，g′(x)<0；当x>0时．g′(x)>0，

∴g(x)在(−1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．

∴g(x)≥g(0)=0，即f′(x)≥0，当且仅当x=0时，取等号，

∴f(x)在(−1,+∞)上单调递增，

∴当−1<x<0时，f(x)<f(0)=0；当x>0时，f(x)>f(0)=0．

∴xf(x)≥0．

(3)f(x)=ax+ln(1+x)−1，f′(x)=axlna+11+x=ax(1+x)lna+11+x，

①当a>1时，f′(x)>11+x>0，f(x)是(−1,+∞)上的增函数，

又当x→−1时，f(x)→−∞；当x→+∞时，f(x)→+∞，

故f(x)有1个零点．

②当0<a<1时，记g(x)=ax(x+1)lna+1，

则g′(x)=ax(x+1)l