2025-2026学年山东省烟台市高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年山东省烟台市高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足iz=3+5i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量a，b满足|a|=10，|b|=A.5 B.5 C.6 3.一水平放置的四边形ABCD，用斜二测画法画出其直观图为等腰梯形A′B′C′D′，如图所示，若A′B′=3，C′D′=1，则AC=(

)A.23

B.6

C.34.已知圆台上、下底面半径分别是1和3，体积为13π，则该圆台的高为(

)A.1 B.3 C.4 D.65.在△ABC中，AD=2DB，CP=3PD，若AP=mA.0 B.1 C.2 D.36.如图，为测量河对岸CD两点间的距离，现在楼顶A处观察C的俯角为30°，观察点D的俯角为60°，B为楼底一点且AB⊥平面BCD，若楼高AB=203，∠CBD=120°，则CD=(

)A.205 B.207 C.7.已知在梯形ABCD中，AB/​/CD，∠DAB=90°，AB=2CD=4，AD=23，点F在BC边上运动(包含端点)，则AF⋅DFA.[134,4] B.[154,4]8.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2=4a2，A.π6 B.5π6 C.π3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=a+bi，a，b∈R且b≠0，下列说法正确的有(

)A.z−z−是纯虚数 B.若|z|=1，则z−=1z

C.z⋅i10.已知向量a=(3,−2)，b=(k,1)，则下列说法正确的有(

)A.若|a+b|=|a−b|，则k=−32

B.若向量a，b夹角为锐角，则k>23

C.若k=−3211.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+14A.a=12 B.B=π6 C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(1,−3)，b=(x,2)，若b//(b−3a)，则13.已知正三棱柱ABC−A1B1C1，AB=2314.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b=acosC−ccosA，则a2−c2b2=

；四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

复数z1=a+2i，z2=2−3i，其中i是虚数单位，且z1z2为纯虚数．

(1)求复数z1；

(2)设复数z1，z2，z3在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z316.(本小题15分)

如图，圆锥SO的母线长为43，侧面展开图为半圆，过SO上一点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去圆柱OO′．

(1)若SO=3SO′，求剩下几何体的表面积；

(2)当挖去的圆柱17.(本小题15分)

如图，观测站C在目标A的南偏西35°方向，经过A处有一条南偏东25°走向的公路AB，在C处观测到有一轿车从A处沿此公路向B处行驶，行驶15km后到达D处，此时测得cos∠ACD=1114．

(1)求A，C两地的距离；

(2)若此轿车从D处继续行驶，经过20分钟后到达B处，且BC=31km，求该车行驶的速度(单位：km/h)18.(本小题17分)

在①33bsinC+ccosB=a，②1+2cosAcosB=cos(A−B)+cosC，③3sinC+2cos2C2=3这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题．

问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_____．

(注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分)

(1)求角C的大小；

(2)D为AB上一点，且c=3．

(i)若D满足CD19.(本小题17分)

在△ABC中，AB=BC=3，∠ABC=θ，点D∈平面ABC，DA⊥AB，且点B，D位于直线AC两侧．

(1)若θ=2π3，CD=13，求cos∠ADC的值；

(2)若θ参考答案1.D

2.A

3.C

4.B

5.B

6.C

7.D

8.A

9.ABD

10.BCD

11.ACD

12.−213.20π

14.3

15.3+2i

5−i；−1−5i；1+5i

16.36π+16317.24km

60km/h

18.π3

(i)1；(ii)19.解：(1)在△ABC中，AB=BC=3，∠ABC=2π3，所以∠BAC=∠BCA=π6．

又因为DA⊥AB，所以∠CAD=π3，

由余弦定理得，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos2π3=3+3−2×3×