江苏南通市如东县2025-2026学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏南通市如东县2025-2026学年度第二学期高一年级期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60∘，则该扇形的弧长是(

)A.10π3 B.20π3 C.50π32.2+i1+i=(

)A.3+i2 B.3−i2 C.1+i23.已知角α的终边经过点P(−2,1)，则sin2α=(

)A.35 B.−35 C.44.函数y=sinx，x∈[π6,2πA.[−1,1] B.[12,1] C.[5.在一座10m高的观测台顶测得对面一座水塔塔顶的仰角为60∘，塔底的俯角为45∘A.20m B.30m C.103+106.已知非零向量a,b满足a−3b⊥a，且b−3aA.16 B.13 C.127.在▵ABC中，已知B=2π3，AC=63，BC=6，则A.−90 B.90 C.180 D.−1808.在▵ABC中，已知AB=7，BC=13．M为AC的中点，且BM=19，则▵ABCA.713 B.719 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在边长为2的等边▵ABC中，AF=12AB，BD=1A.EF=12AB−34AC 10.已知z1 , z2A.z1−z2=z1−z11.在▵ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，其面积为S，外接圆O的半径为R，且2acosB+2bcosA=A.若C=π4，则R=22 B.OA⋅AB=−2

C.若R=2，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数z满足z−1−2i=2，则z的取值范围是

．13.

为了防止电线杆倾斜，在两侧对称的用钢丝绳把它拉紧.已知每条钢丝绳的拉力都是500

N，每条钢丝绳与电线杆的夹角都为α.经工作人员测量得cosα=45，则两条钢丝绳拉力的合力大小为

N14.在▵ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且tanA+tanB +3tanAtanB= 3，则C=

.若P为边AB四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求：(1)2AB+(2)cos∠BAC16.(本小题15分)如图，在▵ABC中，AB=362，CD=5，(1)求AD的长；(2)求▵ABC的面积S▵ABC．17.(本小题15分)如图，有两条相交成60∘角的直路XX′，YY′，交点是O.甲、乙分别在OX，OY上，起初甲离O点3 km，乙离O点1 km，后来甲沿着X(1)起初两人间的距离是多少？(2)经过多长时间，两人间的距离是4 km？(3)什么时候两人间的距离最短，并求出最短距离．18.(本小题17分)在四边形ABCD中，AB=2，BC=6，CD=DA=4．(1)若四边形ABCD是圆O的内接四边形，求①cos②BC(2)求四边形ABCD的面积的最大值．19.(本小题17分)在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量OPk=xk,y(1)若θ=π2，求(2)求证：▵OPkP(3)设u=OPk+OPk+1，v=OPk−参考答案1.A

2.B

3.D

4.B

5.C

6.B

7.A

8.C

9.ABD

10.ACD

11.BCD

12.513.800

14.2π3

；

；

；

；；915.解：(1)AB则2AB所以2AB(2)因为AB=AC=AB·所以cos∠BAC=

16.解：(1)过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵AB=362，CD=5，在Rt▵AEB中，AE=ABsin在Rt▵AEC中，AC=AE由余弦定理可得，AD∴AD=7；(2)=S△ABC

17.解：(1)设两人间的距离为d，起初位置时，甲、乙的位置分别为A，B，起初位置时，AO=3，BO=1．在▵ABO中，由余弦定理

d2得d2=1(2)设经过t小时后，甲、乙的位置分别为C，D．当0≤t≤34时，当t>34时，所以d2若d2=48t所以t=34或t=−1所以经过34小时，两人间的距离是4 km(3)由(2)得d2所以当t=14时，所以经过14小时后，距离最短，最短距离是2 km答：(1)距离是7km.(2)经过34小时.(3)经过1

18.解：(1)连接BD，在圆O中，∠BAD+∠BCD=π，所以cos∠BAD=−在▵ABD中，由余弦定理BD得BD在▵ABD中，由余弦定理BD得BD所以20−16cos∠BAD=52−48cos方法一：以A为坐标原点，AB所在直线为轴建立平面直角坐标系，设B2,0，D−2,2则(x−2)2+解得x=−4y=0(舍)或因为BC=−6所以BC⋅方法二：在▵ABC中，由余弦定理AC得AC在▵ACD中，由余弦定理AC得AC所以40−24cos∠ABC=32−32cos所以∠ABC>π3.延长AD , BC交于点P所以cos∠APB=所以BC⋅(2)四边形ABCD的面积为S=1所以S4由(1)得BD所以3cos所以((4sin因为cos(∠BAD+∠BCD)≥−1，当且仅当∠BAD+∠BCD=π所以(S2)所以四边形ABCD的面积的最大值是8

19.解：(1)因为θ=π2，所以cosθ=0所以OP2=(2)证明▵OPkPk+1与O=因此OP

OP

所以cosO故∠P三角形面积公式：S=1因此：S▵OS▵O故面积相等，得证．(3)u